代数几何综合题
【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决.
为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题.
【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式.
类型一坐标系、函数为背景
典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)
(2)
【全解】
(1)∵AB=OB,∠ABO=90°,
∴△ABO是等腰直角三角形.
∴∠AOB=45°.
∵∠yOC=45°,
∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°.
∴AO⊥CO.
∵C'O'是CO平移得到,
∴AO⊥C'O'.
∴△OO'G是等腰直角三角形.
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x.
∴其以OO'为底边的高为x.
∴点G的坐标为(3,3).
设抛物线表达式为y=ax2+bx,
整理,得x2-8x-10=0,
解得x1=4-,x2=4+,
此时,点P的坐标为(4-,-2)或(4+,-2),
综上所述,点P的坐标为(4-,2)或(4+,2)或(4-,-2)或(4+,-2)时,△POB的面积S=8.
【技法梳理】 (1)判断出△ABO是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°,然后求出AO⊥CO,再根据平移的性质可得AO⊥C'O',从而判断出△OO'G是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解;
(2)求出OO',再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标,然后设抛物线表达式为
y=ax2+bx,再把点B,G的坐标代入,利用待定系数法求二次函数表达式解答;
(3)设点P到x轴的距离为h,利用三角形的面积公式求出h,再分点P在x轴上方和下方两种情况,利用抛物线表达式求解即可.
举一反三
(第1题)
【小结】本题是二次函数、反比例函数综合题型,主要利用了等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理,待定系数法求二次函数表达式,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,要注意分情况讨论.
类型二几何图形为背景
典例2(2015·湖北荆门)如图(1),已知:在矩形ABCD的边AD上有一点O,OA=,以O为圆心,OA长为半径作圆,交AD于点M,恰好与BD相切于点H,过点H作弦HP∥AB,弦HP=3.若点E 是CD边上一动点(点E与C,D不重合),过点E作直线EF∥BD交BC于点F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为G.设CE=x,△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求证:四边形ABHP是菱形;
(2)问△EFG的直角顶点G能落在☉O上吗?若能,求出此时x的值;若不能,请说明理由;
(3)求S与x之间的函数表达式,并直接写出FG与☉O相切时,S的值.
(1)
(2)
【解析】 (1)连接OH,如图(1).
(1)
∵AB∥HP,∠BAD=90°,
∴AQ⊥HP.
而AM是直径,
∴∠HOQ=60°,则∠OHQ=30°,∠APH=60°.又BD与☉O相切,
∴∠QHD=90°-∠OHQ=60°.
∴∠APH=∠QHD.
∴AP∥BH.
又AB∥HP,
∴四边形ABHP是平行四边形.
由AB⊥AM,AM是直径知AB是☉O的切线,而BD也是☉O的切线,
∴AB=BH.
∴四边形ABHP是菱形.
(2)点G能落在☉O上,如图(1).
方法一:过C作射线CR⊥EF交EF于点R,交AD于点M1,交BD于点R1,交AP于点P1,则C关于EF对称点G在射线CR上.
当点G落在M1上时,M1E=CE=x,AB=CD=HP=3,AD=AB·tan60°=3,ED=CD-CE=3-x.
∴M1D=.
而MD=AD-AM=,
∴M1与M重合.
∴M在CP1上,则MP1⊥AP,而MP⊥AP.
∴P与P1重合,这时射线CR与☉O交于点M,P.
由AP∥BD,CP⊥AP,CR1=PR1,知C与P关于BD对称.
由于点E不与点D重合,故点G不可能落在P点.
∴点G只能落在☉O的M点上,此时x=2.
方法二:连接CM,PM,如图(1),
由(1)知∠AMP=∠APH=60°,
∴∠CMD=∠AMP=60°.
∴C,M,P三点共线.
∵∠BDA=30°,
∴CM⊥BD.
而BD∥EF,
∴CM⊥EF,点C关于EF的对称点G落在CP上.
又点P到BD的距离等于点C到BD的距离(即点A到BD的距离),EF与BD不重合,
∴点G不能落在点P,可以落在☉O上的点M.
当点G落在☉O上的点M时,ME=CE=x,
∴点G落在☉O上的点M,此时x=2.
方法三:证法略.
提示:过C作C'P⊥AP于点P',交BD于点R',可求CP'=2CR'=3,PM+CM=3,则CP'=CM+MP,从而C,M,P三点共线,x的值求法同上.
(3)由(2)知:①当点G在CM上运动时,0
