初三数学代数几何综合题

初三数学 代数几何综合题2Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC ∽△EBA;⑵ AC2＝12BC ·CE ； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。

解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDA ＝∠ABE ，∵BF AD =，∴∠DCA ＝∠BAE ，∴△CAD ∽△AEB⑵ 过A 作AH ⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC ＝HB ＝12BC ， ∵∠CAE ＝900，∴AC 2＝CH ·CE ＝12BC ·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC ＝AB ＝2，∵EM 是⊙O 的切线，∴EB ·EC ＝EM 2①∵AC 2＝12BC ·CE ，BC ·CE ＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE ＝17－22＝13∵△CAD ∽△ABE ，∴∠CAD ＝∠AEC ，∴cot ∠CAD ＝cot ∠AEC ＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。

代数综合训练题一.选择题(本大题共8个小题，每个4分,共32分)1、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（ ）A ．77.110⨯B ．60.7110-⨯C ．77.110-⨯D ．87110-⨯2．下列运算正确的是（ ）A ． a 2＋a ＝2a 3B ．a 2·a 3＝a 6C ．(－2a 3)2＝4a 6D ．a 6÷a 2＝a 3 3、把8a 3﹣8a 2+2a 进行因式分解，结果正确的是（ ）A ．2a （4a 2﹣4a+1）B ．8a 2（a ﹣1）C ．2a （2a ﹣1）2D ．2a （2a+1）2 4、实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（ ）A ．﹣2a+bB ．2a ﹣bC ．﹣bD ．b5、若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的图象可能是（ ）6、若关于x 的方程+=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣7、若不等式组11m x x ⎩-⎧⎨＜＞恰有两个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．-1≤m＜0 B ．-1＜m≤0 C．-1≤m≤0 D．-1＜m ＜0 8、抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜6二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）9、如图，将函数y=12（x-2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A C DC B A O O O O x yx y x y y x（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是。

代数几何综合1、〔2021年潍坊市压轴题〕如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假设直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.〔3〕把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不管k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.答案：〔1〕因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又12=-a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以23212++-=x x y . 〔2〕由〔1〕知23212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB,令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE,即：,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 〔3〕由〔1〕知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -= 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1,所以1111PN PM NN MM =,………………(1) 不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上， 那么〔1〕式变为NMN M y t y t x x --=-,又y M =k x M -2, y N =k x N -2, 所以〔t+2〕(x M +x N )=2k x M x N,……(2) 把y=kx-2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2+2kx-4=0, 所以x M +x N =-2k, x M x N =-4,代入〔2〕得t=2,符合条件，故在y 轴上存在一点P 〔0,2〕，使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称.考点：此题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式确实定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大.点评：此题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。

勲趺rg存皇第十二讲代数综合问题【典型例题1】已知直线y = -% 4-b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2相交于B、C两点，与x轴交于点A, n点3的坐标为（2, 1）.（1）分别求直线与抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点Z）,使S QS=S MBC?如果存在，求出这样的点D，如果不存在，说明理由.解：（1）°・°直线y = -x + b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2经过点B （2, 1）,/. l=-2+b, l=8+2m+m+2。

・：b=3, m=-3 o・・・直线的表达式为y = 一兀+ 3 ,抛物线的表达式为y = 2兀2 _ 3兀-1。

（2）假设抛物线上存在点D （x, y）,使Sg初=S®c。

由题意，得点A的坐标为（3, 0） o兀=-1,解得y = 4.■•点C的朋标为（・1, 4）。

•直线y = -x + b与y轴相交的交点处标为（0, 3）,•S AO BC=匸O2Q _1 2 _9•^AA（）D=—X• y =— o•y二土3。

・ 3 = 2x2 -3x-l ng-3 = 2x2 -3x-l o・・・2兀2 —3x-4 = 0或2/—3兀+ 2 = 0 （此方程无实数解，舍去）。

解得“3土阿。

4・・・存在这样的点D,使得=S'ORC，此吋点D的他标为（3 +顷,3）3_阿,3）o4 4【知识点】直线与抛物线的表达式，直线与坐标轴的交点坐标，三角形的而积，解一元二次方程等。

【基本习题限时训练】1.抛物线y=ax2+bx-l与y轴交于点A,与x轴交于点B （5, 0）和点C （-3, 0）,那么AABC的而积等于( )(A)2；(B) 4；(C) 6；(D) 8O答案:Bo2.如果一次函数y=ax+b和二次函数y=x2+bx-3的图像都经过点(1,3),那么a与b的值分别为( )(A)・2, 5；(B) 2, 5；(C) 5,・2；(D) 5, 2。

代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。

中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。

例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。

解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。

关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。

练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。

（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。

人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．?F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018?成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．?【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=AP?OG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴?∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，?∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，?∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当?时，，?，．∵?，，∴，即?（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵?，∴，．即?，．?，?．?，∴．即?（）．由?，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则?，解得?，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。

中考数学模拟题《代数几何综合问题》专项检测题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________两圆一中垂模型讲解【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.【结论】分类讨论：若AB=AC,，则点 C 在以点 A 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若BA=BC,，则点 C 在以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径的圆上若CA=CB 则点 C在线段AB 的垂直平分线PQ 上.以上简称“两圆一中垂”.“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法构成三角形的点M，N以及线段AB 中点E(共除去5个点)，需要注意细节.典例秒杀典例1如图平面直角坐标系中已知A(2 2) B(4 0) 若在x轴上取点 C 使. △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C 有( ).A.1个B.2 个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵点 A B的坐标分别为(2 2) B(4 0) ∴AB=2√2.①若AC=AB 以 A为圆心 AB长为半径画弧与x 轴有2个交点(含 B点) 即(0 0) (4 0)(舍去)∴满足△ABC是等腰三角形的点C 有1个②若 BC=AB 以B为圆心 BA长为半径画弧与x 轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C 有2个③若CA=CB，作线段AB的垂直平分线与x轴有 1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的点C有1个.综上所述，满足条件的点C共有 4个.故选 D.典例2图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，P 是x 如图，已知点 A(1，2)是反比例函数y=kx轴上一动点.若△PAB是等腰三角形，则点 P的坐标是 .【答案】(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0)的图象关于原点对称【解析】∵反比例函数y=kx∴A，B两点关于点O对称∴O为AB 的中点且 B(-1 -2)∴当△PAB为等腰三角形时，只有. PA=AB或PB=AB两种情况.设点 P 的坐标为(x 0)∵A(1 2) B(-1 -2)∴AB=√[1−(−1)]2+[2−(−2)]2=2√5,PA=√(x−1)2+22,PB=√(x+1)2+(−2)2故当 PA=AB时√(x−1)2+22=2√5,解得x=--3 或x=5 此时 P点坐标为(-3 0)或(5 0);当 PB=AB 时√(x+1)2+(−2)2=2√5,解得 x=3 或x=-5 此时P点坐标为(3 0)或(-5 0).综上可知点 P的坐标为(-3 0)或(5 0)或(3 0)或(-5 0).典例3如图，抛物线y=x²−2x−3与y轴交于点C，点 D的坐标为(0，-1)，抛物线在第四象限内有一点 P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为( ).A.1+√2B.1−√2C.√2−1D.1−√2或1+√2【答案】A【解析】令x=0 则y=-3∴点C的坐标为( (0,−3).∵点 D的坐标为(0 -1)×(−1−3)=−2.∴线段CD的中点的纵坐标为12∵△PCD是以CD 为底边的等腰三角形∴点 P 只能在线段CD 的垂直平分线上∴点 P 的纵坐标为-2∴x²−2x−3=−2,解得x1=1−√2,x2=1+√2.∵点 P 在第四象限∴点 P 的横坐标为1+√2.故选 A.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中AB=2OB,在坐标轴上取一点 P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点 P共有( ).A.4个B.5 个C.6个D.7个2.(★★☆☆☆)如图点 A的坐标是(2 2) 若点 P 在x 轴上且△APO是等腰三角形，则点 P的坐标不可能是( ).A.(4 0)B.(1 0)C.(−2√2,0)D.(2 0)(x−√3)2+4上则能3.(★★☆☆☆)已知直线y=−√3x+3与坐标轴分别交于点A B 点 P 在抛物线y=−13使△ABP为等腰三角形的点 P 有( ).A.3个B.4个C.5个D.6 个直击中考的图象交于A(3 4) B(n -1)两点.1.如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(1)求反比例函数和一次函数的解析式.(2)在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标.(3)根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.2.已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点 A 在点B 的左边)，与y轴交于点C(0,−3),顶点 D 的坐标为( (1,−4).(1)求抛物线的解析式.(2)在y轴上找一点E，使得. △EAC为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标.两垂一圆模型讲解【模型】平面内有两点A，B，再找一点C，使得△ABC为直角三角形.【结论】分类讨论：若∠A=90°,则点 C在过点 A 且垂直于 AB 的直线上(除点 A 外);若∠B=90°,则点 C 在过点 B 且垂直于 AB 的直线上(除点 B 外);若∠C=90°,则点 C在以 AB为直径的圆上(除点 A B外).以上简称“两垂一圆”.“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.典例秒杀典例1如图已知点A(-8 0) B(2 0) 点 C在直线y=−3x+4上，则使△ABC是直角三角形的点C 的个数为( ).4A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】如图所示，有三个点满足条件.典例2的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足已知抛物线y=x²−9与x轴交于A，B两点，点 P 在函数y=√3x条件的点 P 的个数为( ).A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】令x²−9=0,解得x₁=3,x₂=−3,不妨设A(-3 0) B(3 0)若AB为斜边，则以 O为圆心，OA长为半径作圆，如图1.的图象的交点即为满足条件的点，这样的点有4个，分别是P₁,P₂,P₃,P₄;圆O与y=√3x的图象于点P₆，P₅，交点即为满足条件的点，若以AB为一直角边，则分别过A，B作x轴的垂线，交y=√3x如图2，这样的点有2个.综上所述，满足条件的点 P 有 6 个.故选 D.典例3如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为经过点(1，0)的直线，其图象与x轴交于点A，B，且过点 C(0，−3),，其顶点为 D，在 y轴上有一点 P(点 P 与点 C 不重合)，使得△APD是以点 P 为直角顶点的直角三角形，则点 P 的坐标为( ).A.(0 3)B.(0,−3)C.(0 -1)D.(0,−1)或(0,−3)【答案】C【解析】由题意得二次函数图象的对称轴为直线. x=1,则−b=1,b=-22又二次函数的图象过点 C(0，-3)∴--3=c 即c=-3∴二次函数的解析式为y=x²−2x−3.由y=x²−2x−3=(x−1)²−4,得顶点 D的坐标为(1 -4).令x²−2x−3=0,得x₁=3,x₂=−1,则 A(3 0).设 P(0 m)(m≠-3) 由题意得PA=√9+m2,PD=√1+(m+4)2,AD=2√5.∵∠APD=90°∴PA²+PD²=AD²,即(√9+m2)2+(√1+(m+4)2)2=(2√5)2.解得m₁=−1,m₂=−3(不合题意，舍去).∴P(0 -1).故选 C.1.(★★★☆☆)如图所示已知 A(2 6) B(8 -2) C为坐标轴上一点且△ABC是直角三角形，则满足条件的点 C 有( ).A.6 个B.7 个C.8个D.9 个2.(★★★☆☆)已知点 P 为二次函数y=x²−2x−3图象上一点，设这个二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A 在B 的右侧)，与y轴交于C 点，若△APC为直角三角形且 AC 为直角边，则点 P 的横坐标的值为 .直击中考1.如图 1，抛物线y=ax²+bx+6与 x轴交于点A(-2 0) B(6 0) 与y轴交于点C 顶点为 D 直线AD交y轴于点E.(1)求抛物线的解析式.(2)如图2 将△AOE沿直线AD 平移得到△NMP.①当点 M落在抛物线上时，求点 M的坐标②在△NMP 移动过程中，存在点 M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 M的坐标.胡不归模型讲解从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路.由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A-B(如图所示，A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠近目的地的一侧全是沙砾地带)，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻居劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际不断喃喃地念叨着“胡不归? 胡不归? ……”这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢?倘若有可能，他应该选择怎样的路线呢?这就是风靡千年的“胡不归问题”.【模型】由于在驿道和沙砾地带的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一段路程后，再走沙砾地带，虽然多走了路，但反而总用时更短呢?如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时?【解析】设在沙砾地带的行驶速度为v₁，在驿道上的行驶速度为v₂显然v₁<v₂.不妨假设从 C处进入沙砾地带.设总用时为t，则t=BCv1+ACv2=1v1(BC+v1v2AC).因为 v₁，v₂是确定的，所以只要BC+v1v2AC的值最小，用时就最少.问题就转化为求BC+v1v2AC的最小值.我们可以作一条以C为端点的线段，使其等于v1v2AC,并且与线段CB位于AM 两侧，然后根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢?由三角函数的定义，过A点，在 AM的另一侧以A 为顶点，以AM为一边作∠MAN=α,sinα=v1v2,然后作CE⊥AN 则CE=v1v2AC.故当点 B，C，E在一条直线上时，BC+CE的值最小即BC+v1v2AC的值最小，即总用时最少.【问题解决】求形如“PA+kPB”的最值问题，构造射线 AD，使得sin∠DAN=k,即CHAC=k,CH=kAC.将问题转化为求BC+CH 的最小值过 B 点作BH⊥AD交MN于点C 交 AD 于点H 此时BC+CH 取到最小值即BC+kAC的值最小.典例秒杀典例1如图菱形 ABCD中∠ABC=60° 边长为3 P是对角线BD 上的一个动点，则12BP+PC的最小值是( ).A. √3B.32√3 C.3 D.√3+32【答案】B【解析】如图作 PM⊥AB于点M CH⊥AB 于点H.∵四边形ABCD是菱形∴∠PBM=12∠ABC=30∘,∴PM=12PB,∴12PB+PC=PC+PM,根据垂线段最短可知CP+PM的最小值为CH 的长在 Rt△CBH中CH=BC⋅sin60∘=3√32,∴12PB+PC的最小值为3√32,故选 B.典例2如图，△ABC在平面直角坐标系内，点A(0，3 √3) C(2 0).点 B为y 轴上的动点，则12AB+BC的最小值为( ).A.2√3B.52√3C.3√3D.72√3【答案】B【解析】如图，取. D(−3,0),连接AD 作. BE⊥AD,CE′⊥AD交AD于点E′,交 y轴于点B′.∵A(0,3√3),C(2,0),D(−3,0),∴OD=3,OA=3√3,OC=2,CD=5,∴tan∠DAO=ODOA =√33,∴∠DAO=30°,∴EB=12AB,∠ADO=60∘,∴12AB+BC=EB+CB,∴当 E 与E′重合，B与B′重合时，EB+BC的值最小，即最小值为CE'的长.在 Rt△CDE'中 ( CE′=CD⋅sin60∘=5√32,∴12AB+BC的最小值为5√32.故选 B.典例3如图，△ABC中AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点 E D 是线段BE 上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是( ).A.2√5B.4√5C.5√3D.10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于点H ( CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°.∵tanA=BEAE=2,∴设AE=a BE=2a则100=a²+4a²,∴a²=20,解得a=2√5或a=−2√5(舍去)∴BE=2a=4√5.∵AB=AC BE⊥AC CM⊥AB∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等).∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∴DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.故选 B.小试牛刀1.(★★★☆☆)如图 △ABC 在平面直角坐标系中 AB=AC A(0 2 √2) C(1 0) D 为射线AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，运动路径为A→D→C ，点 P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标为( ).A.(0 √2 )B.(0,√22)C.(0,√23)D.(0,√24)2.(★★★☆☆)如图 在△ABC 中 ∠A=90° ∠B=60° AB=2 若 D 是BC 边上的动点 则2AD+CD 的最小值为 .直击中考1.已知抛物线 y =ax²+bx +c 与 x 轴交于A(-1 0) B(5 0)两点 C 为抛物线的顶点 抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，连接 BC ，且 tan∠CBD =43,如图所示.(1)求抛物线的解析式.(2)设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点.①过点 P 作x 轴的平行线交线段BC 于点 E 过点 E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB ，FC ，求△BCF 的面积的最大值 ②连接PB 求 35PC +PB 的最小值.阿氏圆问题模型讲解“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A，B两点，点P 满足PA : PB=k(k≠1) 则点 P 的轨迹为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型】如图所示⊙O的半径为R 点A B都在⊙O外 P为⊙O上一动点，已知K=25OB,连接PA PB 则当102:25/4B的值最小时，P点的位置如何确定?【解析】如图，在线段OB上截取OC 使OC=25R,连接PO PC 则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC.故本题求PA+25PB的最小值可以转化为求PA+PC的最小值，其中A与C 为定点，P 为动点，故当A，P，C 三点共线时，PA+PC的值最小.典例秒杀典例1如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P 为⊙B上的动点，则PD+12PC的最小值等于( ).A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】如图，在 BC上截取BE=1,连接BP PE DE.∵正方形ABCD的边长为4 ⊙B的半径为2∴BC=CD=4,BP=2,∴EC=3,∴BPBC =BEBP=12,又∠PBE=∠PBE,∴PBECBP,∴PEPC =BEBP=12,∴PE=12PC,∴PD+12PC=PD+PE,∴当D P E三点共线时 PD+PE取得最小值即PD+12PC取得最小值∴PD+12PC的最小值为DE=√DC2+CE2=5.故选 C.典例2问题提出:如图1 在 Rt△ABC中∠ACB=90° CB=4 CA=6 ⊙C的半径为2 P 为圆上一动点连接AP BP 求AP+12BP的最小值.(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2 连接CP 在CB 上取点D 使CD=1 连接 PD 则有CDCP =CPCB=12.又∵∠PCD=∠BCP ∴△PCD∽△BCP.∴PDBP =PCBC=12,∴PD=12BP,∴AP +12BP =AP +PD.请你完成余下的思考，并直接写出答案： AP +12BP 的最小值为(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP +BP 的最小值为 .(3)拓展延伸:如图3 已知扇形 COD 中 ∠COD =90°,OC =6, OA =3,OB =5,点 P 是 ⌢CD 上一点，求2 2PA +PB 的最小值.【解析】(1)如图 连接AD. ∵AP +12BP =AP +PD,∴要使 AP +12BP 最小，即AP+PD 最小 则点A P D 在同一条直线上 ∴AP +12BP 的最小值为AD 的长，在 Rt △ACD 中 CD=1 AC=6 ∴AD =√AC 2+CD 2=√37, ∴AP +12BP 的最小值为 √37.(2)如图 在 CA 上取点 D 连接 BD 使 CD =23, ∴CD CP=CP CA=13.∵∠PCD=∠ACP ∴△PCD ∽△ACP ∴PD AP =CP CA=13,∴PD =13AP,∴13AP +BP =PD +BP,同(1)的方法得 13AP +BP 的最小值为 BD =√BC 2+CD 2= 23√37.(3)如图 延长OC 到点E 使CE=6 则OE=OC+CE=12 连接 PE OP∵OA =3,∴OAOP =OPOE =12. ∵∠AOP =∠EOP,∴△OAPO △OPE, ∴APEP =OAOP =12,∴EP =2PA,∴2PA +PB =EP +PB,∴当E P B 三点共线时 2PA +PB 取得最小值，为 BE = √OB 2+OE 2=13.小试牛刀1.(★★☆☆☆)如图在Rt△ABC中∠ACB=90°,CB=7,AC=9,，以C为圆心 3为半径作⊙C，P 为⊙C上一动点，连接AP BP 则1AP+BP的最小值为( ).3A.7B.5√2C.4+√10D.2√132.(★★☆☆☆)如图所示已知正方形 ABCD 的边长为4 ⊙B的半径为2，点 P是⊙B上的一个动点，则PD−1PC的最大值为( ).2A.3B.4C.5D.6PA+PB的3.(★★☆☆☆)如图在平面直角坐标系中点A(4 0) B(4 4) 点 P 在半径为 2 的圆 O 上运动，则12最小值是 .直击中考1.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴 y轴分别交于A C两点抛物线y=x²+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA，MB，BC，当点 M运动到某一位置时，四边形AMBC的面积最大，求此时点 M的坐标及四边形AMBC的面积PA的值最小，(3)如图2 若 P点是半径为2的⊙B上一动点连接PC PA 当点 P 运动到某一位置时，PC+12请求出这个最小值，并说明理由.等分面积模型讲解【模型】三角形中的中线等分面积很常见，如图，在△ABC中，取BC的中点D，连接AD，由于左右两个三角形等底同高，故它们的面积相等，即S ABD=AGD,如果在AC边上取一点P，那么如何作线平分面积呢?¯【作法】因为 D 是 BC 的中点S ABD=S ACD,所以要想平分三角形的面积，可作. AE‖PD,连接PE 如图.比较S ABD=S ACD,AED可等量替换为△AEP,因此，得S=S EPC,即完成了面积平分.四边形ABEP典例秒杀典例1已知平面上点O(0 0) A(3 2) B(4 0) 直线. y=mx−3m+2将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为( ).A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=mx--3m+2=m(x-3)+2当x=3时 y=2则直线y=mx--3m+2一定过点A(3 2)因为直线 y=mx--3m+2 将△OAB分成面积相等的两部分所以直线y=mx-3m+2一定过OB的中点(2 0)把x=2 y=0代入y=mx-3m+2得0=2m--3m+2解得m=2.故选 B.典例2如图 AB∥DC ED∥BC AE∥BD 那么图中与△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ).A.1个B.2个C.3 个D.4 个【答案】B【解析】∵AB∥DC∴△ABC与△ABD的面积相等.∵AE∥BD∴△BED 与△ABD的面积相等.∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形∴与△ABD面积相等的三角形有△ABC △BED 共2个.故选 B.典例3(1)如图1 梯形 ABCD的对角线交于点O AB∥CD 请写出图中面积相等的三角形(2)如图 2，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A(—2，3) B(2 1).①求点 C的坐标及三角形 AOC 和三角形BOC 的面积②请利用(1)的结论解决如下问题：D 是边OA 上一点，过点 D 作直线DE 平分三角形ABO的面积，并交AB 于点E(要有适当的作图说明).【解析】(1)∵AB∥DC∴S ABD=S ABC,S ADC=S BDC,∴S AOD=S BOC.(2)①∵点 A(-2 3) B(2 1)∴直线AB的解析式为y=−12x+2,∴C(0 2)∴S AOC=12×2×2=2,S Bx=12×2×2=2.②由①可知点 C是线段AB 的中点，则S CA=S OBC.连接CD 过点O作( OE‖CD交AB 于点E 连接DE 则直线DE就是所求作的直线.小试牛刀1.(★★★☆☆)操作体验.(1)如图 1 已知△ABC,请画出△ABC的中线AD，并判断△ABD与△ACD面积的大小关系.(2)如图2，在平面直角坐标系中，△ABC的边 BC 在 x 轴上已知点A(2 4) B(-1 0) C(3 0) 试确定过点 A 的一条直线l 平分△ABC的面积，请写出直线l的表达式.(3)如图3 在平面直角坐标系中若A(1 4) B(3 2) 则在直线y=−4x+20上是否存在一点C，使直线OC 恰好平分四边形OACB 的面积?若存在，请计算点 C的坐标若不存在，请说明理由.2.(★★★☆☆)已知在梯形ABCD中AB‖CD.(1)如图1 若点 E 为AD 的中点 BE 的延长线交 CD 的延长线于点F，求证：(2)如图2，请过点 B画一条直线将梯形ABCD 的面积平分，并简单说出画法.x+m的图象与x 轴交于点A(−6,0),交 y轴于点 B.3.(★★★☆☆)如图已知一次函数y=43(1)求m的值与点 B 的坐标.(2)在x轴上是否存在点C，使得. △ABC的面积为 16?若存在，求出点C的坐标若不存在，说明理由.(3)一条经过点 D(0，2)和直线AB上一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式.直击中考1.在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分.进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形分为面积相等的两部分?他画出了如下示意图(如图1)，得到了符合要求的直线AF.小明的作图步骤如下：第一步，连接AC第二步过点 B作BE∥AC交DC 的延长线于点E;第三步，取ED的中点F，作直线AF则直线 AF即为所求.请参考小明思考问题的方法，解决问题：如图2 五边形 ABOCD各顶点坐标为A(3 4) B(0 2) O(0 0) C(4 0) D(4 2).请你构造一条经过顶点 A 的直线将五边形 ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式.第 21 页共 21 页。

中考数学复习代数几何综合问题专项练习(人教版含答案) K
j 代数几何综合问题（1）专项练习
1 如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点B（0，4）。

⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为，连接BC、AC。

求证△ABC 是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。

2 二次函数的图象的一部分如图所示。

已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。

（1）试求，所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形。

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。

3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，，EF⊥OD，垂足为F。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。

代数几何综合问题（1）专项练习
参考答案
1 （1）解由题意知16a+6=4。

第二十四讲代数与几何综合题一、选择题1.如图24- 1，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点 A 、点B ，与y 轴交于点 6若厶AOC 为等腰三角形，则下列各式成立的是（ ）.图 24 - 1A . c + b + 1 = 0B . c + b - 1 = 0C . c -b - 1 = 0D . c - b + 1 = 0 2 .如图24- 2，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax 2 + c （a ^ 0）的图象经过正方形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ,则ac 的值是（）. A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 （2009兰州）如图24- 3,点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发，沿 0宀C T D T O 的路线做匀速运动.设运动时间为 图象中，表示y 与t 之间函数关系最恰当的是二、填空题16（x > 0）图象上五个整 x数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形 （阴影部分），则 这个五个橄榄形的面积总和是 _______ （用含兀的代数式表示）.3. t （秒），/ APB 的度数为y （度），则下列）. 4. （2009福州）如图24- 4,已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数(图 24 - 39045图24 - 45 .如图24- 5①，矩形ABCD 中，AB= 12cm , BC = 24cm;直线PQ 从AB 出发，以1cm/s 的速度向DC作匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q;点M从点C出发，沿C宀D T A T B T C方向逆时针运动，点M与PQ同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ均停止运动.图24- 5②是点M运动的路线长y(cm) 与运动时间t(s)的函数关系图象.图24 - 5(1) 点M在CD上运动的速度为_______ c m/s, M点改变速度后的速度为 _______ cm/s；(2) y关于运动时间t的函数关系式为________ , P、M的相遇时间是________ (s), M、Q相遇的时间是______ (s);(3) 当O W t v8时，△ PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式为______________ ，当S=60cm1 2时，t的值为_______ ;(4) 当PM = QM时，此时的时间为 ______ s.二、解答题6 .如图24- 6,在平面直角坐标系中，Rt△ AOB也Rt△ CDA，且A( —1, 0)、B(0, 2)，抛物线y= ax2+ ax—2经过点C.1 27.已知：二次函数y x2bx c的图象经过点A(—3, 6)，并与x轴交于点B( —1, 0)2和点C,顶点为P.1 求抛物线的解析式；2 在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P, Q,使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P, Q的坐标，若不存在，请说明理由.(1)求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段0C上的点，满足/ DPC = Z BAC,求点D的坐标.&已知：抛物线y = x2+ (2n—1)x+ n2—1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；⑵设A是(1)所确定的抛物线上，位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB丄x轴于B, DC丄x轴于C.①当BC = 1时，求矩形ABCD的周长；②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.9. 如图24 —7,对称轴为直线X=7的抛物线经过点A(6, 0)和B(0, 4).2⑵设点E(x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以0A为对角线的平行四边形•求口OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求变量x的取值范围；①当口OEAF的面积为24时，请判断D OEAF是否为菱形？并说明理由；②是否存在点E,使口OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在请说明理由.10. 如图24 —8,直线AB交x轴于点A(2 , 0)，交抛物线y= ax2于点B(1，-、3)，点C到△ OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D .（1）求直线0C 及抛物线的解析式；⑵当x >0时，在直线0C 和抛物线 尸ax 2上是否分别存在点 P 和点Q,使四边形DOPQ 为特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由.②图 24 - 9⑴当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图24 — 9②所示），求线段PC 的长；3⑵在图24 — 9①中，连结AP ，当AD = 2，且点Q 在线段AB 上时，设点B ,的距离为x ,字^ =y ，其中S SPQ 、S MBC 分别表示厶APQ 和厶PBC 的面积，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶当AD V AB ,且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图24 - 9③所示），求/ QPC 的大小. 12. （2009哈尔滨）如图24 — 10①，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形11. （2009 上海）已知：如图，24- 9①/ ABC = 90°, AB = 2, BC = 3, AD // BC , PAD为线段BD 上的动点，点 Q 在射线AB 上，且满足 PQPC ABA 1 ! D! D A 1 rxKA £C c QQ 之间 ①DABCO是菱形，点A的坐标为（一3, 4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M , AB 边交y轴于点H .（1）求直线AC的解析式;⑵连结BM,如图24- 10②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△ PMB的面积为S(S M 0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角？并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.13. (2009温州)如图24- 11,在平面直角坐标系中，点AC，3,0), B(^3, 2),C(0, 2).动点D以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动.过点E作EF丄AB，交BC 于点F，连结DA、DF •设运动时间为t秒.(1) 求/ ABC的度数；⑵当t为何值时，AB// DF?(3)设四边形AEFD的面积为S,求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围.14. 把一张宽AD = 2的矩形纸片ABCD，如图24- 12①那样折叠，折叠后的点A落在CD 边上.现将矩形纸片放在如图24- 12②所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A',与AD、AB的交点分别为E、F , EF交x轴于点G ,过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T.设DA = x,点T的纵坐标为y,求y与x之间的函数关系式.图24 - 1215. (2007福州)如图24- 13①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点D的坐标为(8, 0)，点B的标为(0, 6).点F在对角线AC 上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E.设四边形BCFE 的面积为◎,四边形CDGF的面积为S2,^ AFG的面积为S3.图24 - 13⑴试判断Si、S2的关系，并加以证明；⑵当S3 : S2= 1 : 3时，求点F的坐标；⑶如图24- 13②，在⑵的条件下，把△ AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△ A' E' F '且A '、F '两点始终在直线AC上.是否存在这样的点 E '，使点E ' 到x轴的距离与到y轴的距离比是5 ：4?若存在，请求出点E'的坐标；若不存在，请说明理由.216. (2008 武汉)如图24- 14①，抛物线y= ax - 3ax+ b 经过A( —1, 0), C(3, 2)两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B.图24 - 14(1)求此抛物线的解析式；⑵若直线y= kx- 1(k z 0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；⑶如图24- 14②，过点E(1 , - 1)作EF丄x轴于点F-将厶AEF绕平面内某点旋转180°后得①②△ MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)，使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标.17. (2009重庆)已知：如图24 —15,在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA= 2, OC = 3.过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D，连结DC ,过点D作DE丄DC ,交OA于点E .⑴求过点E、D、C的抛物线的解析式；⑵将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段0C交于点G.如果DF与⑴中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为-,5那么EF = 2G0是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案第二十四讲代数与几何综合题D . 2. D . 3. C .S 圆 T HC 2 1 S 4 S OHC 4 OH HC = 4 n — 8,所以S 大橄榄形=2S = 8n -16同理，D 处橄榄形所在正方形边长为2, 所以 S D 橄榄形=2( — ：: 22 一丄：：2 ：： 2) = 2 n —4.4 2n .S E 橄榄形=——1.2而同图可知S B 橄榄形= S D 橄榄形, S A 橄榄形=S E 橄榄形,n所以 S 总面积=8“一 16+ 2(2 二一4) + 2(— 1) = 13J — 26.2① 当 P 、M 相遇时，AP = t , DM = y —12= 4t — 16, 由 AP + DM = 24 可得 t + (4t — 16) = 24.解得 t = &② 当M 、Q 相遇时，BQ = t , BM = y — 2AB — AD = 4t — 52.52 由 BM = BQ 得 4t — 52= t .解得 t 工52 - 3<-6t +144(0 兰t 兰4), 厂30t +240(4<t V8).当 S = 60 时，若—6t + 144= 60，解得 t = 14,因为 此时0w t w 4,所以t = 14(舍去).若—30t + 240= 60,解得t = 6(符合题意).所以当S = 60时，t 的值为6.(4) 2或11.5.提示：当 M 点运动到CD 或AB 中点时，有PM = QM .分别计算时间就可4. 13二-26 .提示：观察图象结合16), B(2, 8), C(4, 4), D(8, 个橄榄形 16 A 、B 、C 、D 、E 为y 的五个整数点可推断： A(1 ,x 5. (1)3, 4.(2)y =』 航―)8,52.卑―4(4ctW6) . 3 ⑶SR G答图24 - 1以了.6 .解： ⑴由 Rt △ AOB 也 Rt A CDA ，得 0D = 2+ 1 = 3, CD = 1 ,••• C 点坐标为（一3, 1）.可得抛物线的解析式为 y =J x 2」X_2.2 2（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ,使四边形 ABPQ 是正方形.以 AB 为 边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ .过P 作PE 丄0B 于E , QG 丄x 轴于G （见答图24 -2）, i A\ 0 /"討p< 1 答图24 - 2 可证△ PBE ◎△ AQG ◎△ BAO .• PE = AG = B0= 2, BE = QG = A0= 1 .• P 点坐标为(2, 1), Q 点坐标为(1 , - 1).由(1)抛物线y =」x 2 •丄X -2 ,2 2当x = 2时，y = 1，当x = 1时，y =— 1 .• P 、Q 在抛物线上.故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2, 1)、Q(1,— 1),使四边形 ABPQ 是正 方形. 1 2 37. (1) y x - x -22 (2)C(3, 0).可证/ ACB =Z PCD = 45°.(见答图 24 — 3)易求得 AC = 6 .2 , PC = 2 .2 , BC = 4,4 45 5• DC = -, OD = 3— = - .• D(Y , 0).3 3 3 32 c8. (1)y = x — 3x .•••/ DPC = Z BAC ,• △ DPC BAC .(2)抛物线与x轴的另一个交点为(3, 0), 顶点为(3, —9),对称轴为直线x = 3,2 4 2其大致位置如答图24—4所示.竹答图24 — 4①••• BC = 1,由抛物线和矩形的对称性可知OB = - X (3 —1) = 1 ,••• B(1 , 0), A(1 , —2) , AB = 2.2矩形ABCD的周长为6.②可设A点的坐标为(x , x2—3x),3• B 点的坐标为(x , 0)(0v x v -) , BC = 3—2x.2••• A在x轴下方，•- x?—3x v 0 , AB = |x?—3x|= 3x — / ,•矩形ABCD 的周长P= 2[(3x—x2)+ (3 —2x)] = —2(x—- )2+ 13.2 2•/ 0 v -v 3, •当x=-时，矩形ABCD的周长P有最大值为13.2 2 2 2此时点A的坐标为A(-,—-).2 49. 解：(1)由抛物线的对称轴是x=7,及抛物线经过点A(6 , 0)可知抛物线还经过(1 , 0)2占八、、♦设抛物线的解析式为y= a(x—1)(x—6).2 2 o 14由抛物线经过点B(0 , 4)可得a二？.故抛物线解析式为y上x2 - 14x • 4 ,顶点3 3 3为昇25、为(二)•2 62 7 25(2)•••点E(x , y)在抛物线上，位于第四象限，• y v0且坐标适合y=—(x-7)2-—-3 2 6•/ OA是口OEAF的对角线，1 7 2--S= 2S A OAE= 2 X X OA • |y|=—6y =—4(x—) + 25.2 2•••抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)和(6 , 0)，•自变量x的取值范围是1 v x v 6.①根据题意，当S= 24时，即—4(x —7)2+ 25= 24.2化简，得(x - 7) 2 = 1 .解之，得 X 1 = 3 , x 2= 4 •2 4 此时点E 坐标分别为E I (3, - 4), E 2(4,— 4).点 E I (3, — 4)满足 0E = AE ,点 E 2(4,— 4)不满足 0E = AE ,•••当口 OEAF 的面积为24,且点E 坐标为(3, — 4)时，口 OEAF 是菱形. ②当0A 丄EF ，且0A = EF 时，D OEAF 是正方形， 此时点E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为(3, — 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ,使口OEAF 为正方形.10. 简解：(1)见答图24 — 5 — 1，可得直线 AB 的解析式为y - -.、3x • 2、、3..抛物线的解析式为 y = .. 3x 2.又•••点C 到厶OAB 各顶点距离相等，可得△ OAB 为等边三角形， 即点C 是厶OAB 三边的垂直平分线的交点.连结 BC ,并延长交OA 于E ,则 BE 丄 OA , OE = AE . •••点E 的坐标为(1 , 0). 可得点C 的坐标为C(1,-).3•直线OC 的解析式为y =x ,直线AC 的解析式为y =— x +-. 333⑵可得点D 的坐标为D(0,今卫),OD =仝卫.33① OD // PQ .(i )当DQ 1 = OP 1时，四边形DOPg 为等腰梯形.(如答图24 — 5①)由题意得,△ OCD 为等边三角形，/ CDO = / COD ,• Q 1是直线AC 与抛物线的交点，(ii )当/ ODQ 2= 90°时，四边形 DOP 2Q 2为直角梯形(如答图24 — 5②).£，2®3答图24 - 5②设过点D （0,竽）且平行于x 轴的直线交抛物线 y 二,3x 2于点Q 2,则Q 2的纵3 坐标为2、3，可得点Q 2的坐标为（学,23），点P 2的坐标为（学,：；2）.3 3^3 3 ' 3 ② DQ // OP .过点D （O ,^^）且平行于oc 的直线为y •為3 ,交抛物线 y = ..3X 2 于点 Q .「. ^x 233 r3x 2,2解得禺=1或x 2（舍）.3把 x = 1 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3,•••点Q 的坐标为（1, 3）（与点B 重合）.（i ）当 OD = P 3Q 3时，四边形DOP 3Q 3是等腰梯形，如答图 24- 5 — 1.•••△ OCD 为等边三角形，/ DOC = / Q 3P 3O = 60°,「. Q 3P 3/ AC . 可得Q 3P 3的解析式为，433 •33点P 3为直线Q 3P 3与直线OC 的交点，.••点P 3的坐标为 Q 4（1,、3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形.思路分析： ⑴考虑到 AB = AD = 2，贝U PQ : PC = 1，即PQ = PC ; （2）先分别表示出S^ APQ 和PBC ，然后再去表示两三角形面积之比，列出函数关系式；⑶（2等（ii ）Z OP 4Q 4= 90°时，四OC 与直线AB 的交点.,2 4、32.3Q 1 （-^9 ）和卩3（2,卞），合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P2^36^32） ^Q 2^36,2233）和卩4（? 迈）、3 3 3 3 2 2Q 3（1,，3）（与点 B 重y利用三角形相似与等量代换.简解：⑴当AD = 2时可得/ PBC = 45°.PQ AD,AD = AB ，点 Q 与点 B 重合，• PB = PQ = PC . PC AB•••/ PCB =Z PBC = 45°.「./ BPC = 90°. 在 Rt △ BPC 中，PC = BC • cosC = 3 X cos45°=⑵如答图24- 6①，过点P 作PE 丄BC , PF 丄AB ,垂足分别为 可得四边形FBEP 是矩形.••• PF // BC , PE = BF .3•- CG = — ,PG = AB =2, PC2AD 可得 PQ =15 ABE、•/ AD // BC ,「. PF // AD .BF•/ AQ = AB - QB = 2 — x , BC = 3,PF.AD 又 AD 旦AB =2,. 2AB PF PEPF BF1S.APQ 2 SPBC 1BCPF PE••• y 与x 的函数关系是为 yrB G C当点Q 与点B 重合时,x = 0; 答图24 - 6 当点P运动到与点D 重合时，x 取得最大值.作 PG 丄BC 于G .AD =3 , BC =23可得PB = PC , G 为BC 中点.在 Rt △ FAQ 中, PA 2 + AQ 2= PQ 2, （扩（2—t ）2 =（舟）2.整理，得t 2_4t晋"解得t1计,t225 8QA DQPN •/ AD // BC,「. PN // AD . -BN ADABPNPMADAB由0v t v 2 得t =78•自变量x的取值范围是0^t _7 -8(3) 如答图24- 6③，过点P作PM丄BC,PN丄AB,垂足分别为M、N，可得四边形PNBM 为矩形，PN // BC, PM = BN，/MFN = 90°._ PQ AD . PN PQ"AB " P M "PC又•••/ PMC = Z PNQ = 90 °,「. Rt △ PCM s Rt △ PQN .•••/ CPM = Z QPN .•••/ MPN = 90°,「./ QPC = Z CPM + Z QPM = Z MPN = 90°.12 .思路分析：由 A( — 3, 4)可知AO = 5,贝U OC = 5，所以点C 坐标(5, 0)，可求出直线 AC1的解析式；当点 P 在AB 上时，S 二丄BPMH ，当点P 在BC 上时，由菱形性质可知2 △ MOCMBC ，从而/ MBC = 90°，所以 S =丄 BR MB. 2解：⑴过点A 作AE 丄x 轴，垂足为E （如答图24 — 7①）.答图24 — 7①由A （— 3，4）及四边形ABCO 为菱形，可得 OC = CB = BA = OA = 5，C 点的坐标为 C （5，0）. 可得直线AC 的解析式为y = _丄x • 5 •2 2 1 S = BP •2 2 2 2②当P 点在BC 边上运动时，记为 P i .•••/ OCM = Z BCM ，CO = CB ，CM = CM ，5• △ OMC ◎△ BMC . • BM = OM = -，Z MBC = Z MOC = 90°5 5⑵由⑴得M 点坐标为（0，- ），• OM =2 2①如答图24 — 7②，当P 点在AB 边上运动时,2ci 1 5 5 25 5•- S= P1B • BM = (2t —5) •= t—( v t w 5).2 2 2 2 4 2⑶设OP与AC相交于点Q，连结OB交AC与K.3可得 tan / BCO = tan / AOE =里，由/ MPB 与/ BCO 互余可得 tan / MPB =•44①当P 点在AB 边上运动时，如答图 24- 7②.MH MH =OH -OM , PH 2.2 tan ZMPB1 由 PH = AH — AP 得 3- 2t = 2. t 2AQ AP 1由 AB//OC 可得△ AQPCQO .…CQ CO 5 在 Rt △ AEC 中，AC =:：：AE 2 EC 2〉』42 82 =4.5,25 10 ..5 ^,QC3-在 Rt △ OHB 中，OB h 』HB 2 HO 2 =：；22 42 =2、、5. 由菱形性质可得OK 」O B = . 5,AK 二匹=2 .5,. QK =AK — AQ 二爲^, 2 2 3 ••• tan. OQC =巴=3QK 4②当P 点在BC 边上运动时，如答图 24 - 7③..QK =KC —CQ 二 5.—OKOK", tan OQK =OKMtan._ MPB 3 10由PB =2t -5 解得325由 PC // OA 可得△ PQC s^ OQA . CQ AQCP CQ」,CQ 」AC-5.4AO AQ 3综上所述，当t =1或t =竺时，/ MPB与/ BOC互为余角，直线OP与直线AC所 2 63夹锐角的正切值为3或1.413•思路分析：第(1)(2)题，通过解直角三角形解决，第⑶题求四边形AEFD的面积时，要把它转化为规则图形的面积的和或•/ C(0, 2), B(3.3 , 2),••• BC // OA.差来解答.解：•••/ ABC = Z BAM .•/ BM = 2, AM = 2 3 , • tan/BAM =圧3•••/ ABC = Z BAM = 30°.(2)若AB / DF，则/ CFD = Z ABC = 30°.在Rt△ DCF 中，CD = 2-t，/ CFD = 30 °，/3•- S= S 梯形OABC —S A OAD —S A CDF —S A FEB=4 . 3 一J『- ](2 7)(4t 1) - 6(4 -2t)2二-3t -3.(0 :: t =2)14•简解：连结AA',由折叠的对称性知，EF垂直平分AA '于点G.在Rt A A' GT中，2 GH 丄A' T, AA'丄EF，所以△ A' GH GTH，所以HG : HT = A' H : GH，即HG•/ AB = 4 ,• BE = 4- 2t ,/ FBE = 30°.. BF"厂2—.E( 3・3t,t) ,• DE // x 轴.11S = S ^DEF + S A DEA = DE CD DE22CF = , 3 (2 -1). = 2(4_2t) _ 3⑶方法一：过点 E 作EG 丄x 轴于点G ,则 EG = t , OG 3 •.3t.OD =丄 DE OC 二2方法二：BF’D, CF 43-2(4切/ 1=H「A' H•而A' H= 1，HG持，所以HT Jx2.又因为点T在第四象限，所以T 的纵坐标为_】x4 5，故所求的函数关系式为415. 解:(1)S i= S2-证明：如答图24- 9①,4 15口，叫).答图24 - 9①•/ FE 丄y 轴，FG 丄 x 轴，/ ABD = 90°, •••四边形AEFG 是矩形. ••• AE = GF , EF = AG .• S ^AEF = S A A FG .冋理 S A ABC = S A A CD .• S ^ABC — S ^AEF = S X ACD — S A AFG ，即 S 1 = S 2 .=3— 5a ,同理可得②如答图24 — 9③，若点 E'在第二象限，•设 E '—4a , 5a), a > 0, 得 AN = 4a , A N(2) •/ FG // CD ,•••△ AFG ACD .S SFG 2 AG 21 1K=(CD )=(AD )二门=4CD = BA = 6, AD = BC = 8,「. FG = 3, ⑶假设存在符合条件的点 E '.V A A ' E 'E ' A '= EA = 3, E 'F ' = EF = 4. ①如答图24 — 9②，若点1 __2 'AG = 4, • F(4, 3).F '是由△ AEF 沿直线AC 平移得到的, 设 E ' (4, 5a), a > 0.延长 E'A'交 x 轴于 M ，得 AM = 5a — 3, AM = 4a . 由 tan. A AM =列AM5a - 34a答图24 — 9③3③ 如答图24- 9④，若点E '在第三象限,答图24 - 9④ 设 E ' （— 4a , — 5a ）, a >0,延长 E ' F'交 y 轴于点 P ,得 AP = 5a , PF '= 4a -4.同 理可得0 = 5a ■3 4a —43 a （a v 0，舍去）. 2 在第三象限不存在点 E '. ④点E '不可能在第四象限. •••存在满足条件的 E '坐标分别是（6兰）或（_3'2 2' 81 2 316. 解：⑴抛物线解析式为 y-- — x —x 2.2 2（2）方法一：（见答图24 - 10①）, 1 2 3由 yx 2 x 2，得 B(4, 0), D(0, 2). 2 2• CD // AB . 1…S 梯形 ABCD =(5 + 3) X 2 = 8.2设直线y = kx - 1分别交AB 、CD 于点H 、T , 小 1 3 则 H( , 0), T( , 2).kk•••直线y = kx - 1平分四边形 ABCD 的面积，131( 1) 2=4.2 k k方法二：过点 C 作CH 丄AB 于点H .(见答图24- 10②)13「5a4a3 15 E (S ，R.• • S 梯形=—S 梯形 ABCD =4. 23答图24 - 10①. 12 3由y x2x 2 得B(4 , 0), C(0, 2).2 2••• CD // AB.由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形.• S^AOD = S A BHC .3设矩形ODCH的对称中心为P,贝y P(—,1).2由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分.•••过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y= kx- 1经过点P时，得1 = 3k -1..2 34 4•••当k =—时，直线y =—x -1将四边形ABCD面积二等分.3 3⑶见答图24- 10③.假设△ AEF绕点G旋转180°后得到△ MNQ，由中心对称性可知△ AEF MNQ .MQ = AF = 2, NQ = EF = 1，/ MQN = Z AFE = 90°. 设M(m, n)，则N(m-2, n+ 1).T M、N在抛物线上，.n = -丄m2—m 2,2 21 23且n 1 (m —2) (m —2) 2.2 2"，口 m = 3, 解得』• M(3, 2), N(1 , 3).“ =1.17 .分析(1)设抛物线的解析式为y= ax2+ bx+ c(a^ 0)，由已知先求出C、D、E的坐标后再代入求出a、b、c的值即可；(2)先假设EF = 2GO成立，再根据题设条件给予证明；(3)方法同⑵.简解：(1)由已知，得C(3, 0), D(2, 2).•••/ ADE = 90°—/ CDB = Z BCD ,1 AE = AD • tan / ADE = 2x tan /BCD =2 x = 1. 2 .E(0, 1).可得过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y =_£x 21.6 6(2)EF = 2GO 成立.6 12 •••点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 一，.点M 的纵坐标为 一 •55可得直线DM 的解析式为y• 3.2答图24 — 11①•••/ ADK =/ FDG = 90 °，•/ FDA = / GDK . 又•••/ FAD = / GKD = 90° ,•△ DAF ◎△ DKG .KG = AF = 1.. GO = 1 .• EF = 2GO .⑶如答图24 — 11②.点P 在AB 上，G(1 , 0), C(3,A 4-r6 H C\?答图24 — 11②则设 P(t , 2). • PG 2= (t — 1)2+ 22, PC 2= (3 — t)2 + 22, GC = 2. ① 若 PG = PC ,贝U (t — 1)2 + 22 = (3 — t)2+ 22. 解得t = 2 ,• P 1(2, 2),此时点Q 1与点P 1重合. • Q 1 (2, 2).② 若 PG = GC ,贝U (t — 1)2 + 22= 22,得t = 1, • P 2(1 , 2).此时GP 2丄x 轴，GP 2与该抛物线在第一象限内的交点 Q 2的横坐标为1,•••点Q 2的纵坐标为-■ Q 2(1,-)••• F(0, 3), EF = 2.K ，则 DA = DK .0),3 3③若PC = GC,贝y （3 —1）2+ 22= 22,解得t = 3,「. P3（3, 2），此时P3C= GC = 2,△ P3CG为等腰直角三角形.过点Q3作Q3H 丄x 轴于点H，贝y Q3H = GH，设Q3H = h,••• Q3（h+ 1, h）. ••• Q3 在抛物线上，_§（h 1）2 12（h 1）+ 1 = h.6 67 12 7解得h1= , h2=—2（舍去）..Q3（12,7）5 5 57 12 7综上所述，存在三个满足条件的点Q.即Q1(2, 2)或Q2(1,-)或Q3(—，—厂3 5 54 4•••当y时，直线yxT将四边形ABCD面积二等分.。

中考数学复习专题3 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容根本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进展综合来解题．典型例题精析例1．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm〔•0≤x≤10〕，直尺和三角形纸板的重叠局部〔图中阴影局部〕的面积为Scm2．〔1〕当x=0时〔如图〕，S=________；当x=10时，S=___________；〔2〕当0<x≤4时〔如图2〕，求S关于x的函数关系式；〔3〕当4<x<10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值〔同学可在图3、•图4中画草图〕解析：〔1〕2；2．〔2〕在Rt△ADG中，∠A=45°，∴DG=AD=x．同理EF=AE=x+2，∴S梯形DEGF=12〔x+x+2〕×2=2x+2，∴S=2x+2．〔3〕①当4<x<6时，〔如图5〕 GD=AD=x，EF=EB=12-〔x+2〕=10-x，那么S△ADG=12x-2，S△BEF=12〔10-x〕2，而S△ABC=12×12×6=36，∴S=36-12x2-12〔10-x〕2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-〔x-5〕2+11，∴当x=5〔4<5<6〕时，S最大值=11．②当6≤x<10时〔如图6〕，BD=BG=12-x，BE=EF=10-x， S=12〔12-x+10-x〕×2=22-2x， S随x的增大而减小，所以S≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S最大值=11．例2．如下图，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D 两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AG．• 〔1〕求证：∠BGD=∠C；〔2〕假设∠DO2C=45°，求证：AD=AF；〔3〕假设BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-〔4m+2〕x+4m2+8=0•的两个实数根，求BD、BF的长．制卷人：打自企；成别使；而都那。