圆锥曲线中的最值问题

h 1
将C、E坐标和e

c 代入双曲线得：e2
a
4

h2 b2
1和e2 2 2

2
4 1 1
h2 b2
1
消去
h2 b2
整理得到：e 2 4
(4

4 )

1
2，即：

1

e2
3
2
由 [ 2，3]可以解出：e [ 7, 10] 则e的最小值为 7，最大值为 10.
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求圆锥曲线的最值 常用哪些方法？
1、基本内容：有关距离的最值，角的 最值，面积的最值。
2、基本方法
（1）定义法：圆锥曲线的定义和性质。
（2）切线法：以切线为边界的解决 方法（数形结合）
(3)判别式法：构造一元二次方程， 利用判别式△≥0
4、几何法：利用平面几何知识。
5、其它方法如：配方法，均值不等 式法，换元法等也可以解决此类问 题
圆锥曲线中的最值问题
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1
y
16 9
换元法 判别式法
则3x 4 y的最大值是_____1_2， 2
3
O ( t ,0)
x
最想小 值 是___1_2___2.
3x 4y t
一想2.若将3x
圆锥曲线中的最值问题
课后练习： 1.已知点F1(3,0)、F2 (3,0)，求与直线x y 9 0有公共点的椭圆 中长轴最短的椭圆方程.
2.已知双曲线x2 y2 1上动点P和定点A (2,1)，且F为双曲线的 3
右焦点，求 | PA | 1 | PF |的最小值. 2
3.长度为3的线段AB的两个端点在抛物线y2 x上移动，
4
4
方法二：数形结合法
y P A
y P A
F
F
O
x
O
x
Q
例3备
圆锥曲线中的最值问题
变 F是 x2 y2 1的 右 焦 点 ，P是 其 上 一 点 ， 定 点B(2,1).
25 9
17
题
则| PBB||5| |PPQF||的最小值 ____4_____;
4
| PB | | PF |的 最小 值 __1_0____3_7__.
求SPAB的最大值
圆锥曲线中的最值问题
例2. P为抛物线x2 4 y上的一动点，定点A(8,7)，则P到
x轴 与 到A点 的 距 离 之 和 的 最 小 值为 ___9_____.
方法一：建立目标函数 设P( x, y)，则y x 2 4
d y ( x 8)2 ( y 7)2 x2 ( x 8)2 ( x2 7)2
解：建立如图所示的直角坐标系.
转移法
双曲线过C、D以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.
记A(c,0)
则C( c , h) 2
E( x0 , y0 )
设双曲线的方程为 x2 a2
y2 b2
1，则e
c a
由定比分点坐标公式得：x0

( 2)c 2( 1)
，y0
圆锥曲线中的最值问题
变 如 图 ， 已 知A、B是 椭 圆x2 y2 1
y
16 9
题 的 两 个 顶 点 ，C、D是 椭 圆 上 两 点 ，
B
C
且 分 别 在AB两 侧 ， 则 四 边 形ABCD
O
A
面 积 的 最 大 值 是_1_2___2___.
D
y
y
B
知
P
P
识
O
x
O
x
迁
A
移
l
求抛物线上一动点P到 定直线l的距离的最小值
小结
圆锥曲线中的最值问题
例3. 如 图 ， 已 知 梯 形ABCD中 | AB | 2 | CD |，
y
点E分 有 向 线 段AC所 成 的 比 为， 双 曲 线 过C、 D
C
D、E三 点 ， 且 以A、B为 焦 点.
当 [ 2 ，3]时 ，
34
A
E O
B
求 双 曲 线 离 心 率e的 最 值.
y

4
y换成
y x

4 3
如何求其范围呢？
Q(3,4)利用几何意义：看成PQ 的
斜率
k2
O
P
x k , k1 k2 ,
k1
圆锥曲线中的最值问题
变如 图 ， 已 知A、B是 椭 圆x2 y2 1 16 9
y B
题的 两 个 顶 点 ，C、D是 椭 圆 上 两 点 ，
线 段AB的 中 点 为M， 求 点M到y轴 距 离 的 最 小 值d .
4.过 椭 圆C
:
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)上的动点P向圆O :
x2

y2
b2
引 两 条 切 线PA、PB， 切 点 分 别 是A、B， 直 线AB与x轴 、y轴 分
别 交 于M、N两 点 ， 求MON的 面 积 的 最 小 值.
34
y
y
PQ
B
O
F
x
P
B
P2
P1 F1 O
F
x
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利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.
圆锥曲线中的最值问题
例3.
已
知e1，e2是
共
轭
双
曲
线x 2 a2

y2 b2

1(a

0，b 0)的离
心率，则e1 e2的最小值是___2__2__.
想 1. 已知双曲线x2 y2 1，过其右焦点F的直线l交
O
且 分 别 在AB两 侧 ， 则 四 边 形ABCD D
面 积 的 最 大 值 是__1__2__2__.
C x
A
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1 16 9
则3x 4 y的最大值是_1_2__2__，
最 小 值 是___12__2__ .
y
3 O ( t ,0)
x
3x4y t
一
16 9 双曲线于AB，若| AB | 5，则直线l有 __2__个.
想
y
y
P
O
Fx
F1 O
F2
x
2.已
知
椭
圆x 2 a2

y2 b2
1的焦点F1，F2，若在椭圆上存在一点P
使得F1PF2 90，求离心率e的取值范围.
圆锥曲线中的最值问题
小结：
1. 掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法：建立目标函数， 利用函数的性质和不等式的性质以及通过设参、换元等途径 来解决. 2. 解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值问题 时 要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题 化归为动态的形的问题，从而使问题顺利解决. 3. 涉及焦半径、焦点弦的问题要灵活地利用圆锥曲线的定义 去研究解决.