有限元讲义分析应用领域

有限元分析方法及应用 机电学院本科课程内部讲义

北京理工大学

2014

目 录

第一章 有限元概述 (3)

1.1 有限元历史 (3)

1.2 有限元的定义及基本原理 (4)

1.3 有限元分析的一般流程 (6)

1.4 有限元的应用范围 (7)

第二章 基础知识篇 (8)

2.1 外力、应力、应变和位移 (8)

2.2 两类平面问题 (10)

2.3 平衡微分方程 (11)

2.4 几何方程 (12)

2.5 物理方程 (14)

2.6 边界条件 (17)

2.7 弹性力学的解题方法（解析法） (18)

2.8 虚功方程 (27)

第三章 应用CAE篇 (31)

3.1 几何清理及网格划分 (32)

3.2 材料模型及单元类型 (55)

3.3 边界与载荷 (56)

3.4 后处理 (60)

第四章 线性分析及应用篇 (62)

4.1 线性静力分析基础 (62)

4.2静力分析简介及步骤 (64)

4.3模态分析 (71)

第五章 非线性 (75)

5.1 几何非线性问题的有限元法 (76)

5.2 材料非线性问题的有限元法 (83)

第一章有限元概述

1.1 有限元历史

20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。结构分析的有限元方法在二十世纪五十年代到六十年代创立的。

1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到了正确的解答。

“有限元法基础及应用”补充讲义

一、弹簧单元与弹簧系统

1、 弹簧单元分析 1）单元描述

弹性系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。

单元节点编号：j i ,

节点位移（基本未知量）：j i u u ,

单元节点力（单元在节点处受到的作用力）：j i f f ,

已知弹簧的物理特性：∆⋅=k F

其中：为弹簧力（拉伸为正）为弹簧伸长量，为弹簧刚度F u u k i j -=∆, 2）建立弹簧单元的有限元特性方程

考虑弹簧元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程：

j

i i j j j i i j i ku ku u u k F f ku ku u u k F f +-=-==-=--=-=)()(

写成矩阵形式：

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧j i j i u u k k k k f f 上式的矩阵符号形式为：

kd f =

方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性，即节点力~节点位

移之间的关系。

式（1-3）中：

称为单元节点力列阵

称为单元节点位移列阵称为单元刚度矩阵,,,⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡--=j i j i f f u u k k k k f d k

（1-1）

（1-2）

（1-3）

3）弹簧单元刚度方程的讨论

a. 有何特点？k

对称、奇异、主对角元素恒正。

b . 么？中元素的物理意义是什k

刚度矩阵元素的大小等于弹簧刚度。

从对方程（1-2）分析的分析可以看出，矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位移对行序号对应节点的节点力贡献系数。

有限元方法讲义

第1讲抛物问题有限元方法

1、椭圆问题有限元方法

考虑椭圆问题边值问题：

（1）

问题（1）的变分形式：求使满足

（2）

的性质，广义解的正则性结果。

区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。

剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。

的逼近性质，逆性质：

这里，为的插值逼近。

问题（2）的有限元近似：求使满足

（3）

（3）的解唯一存在，且满足。

（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：

（4）

刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。

模误差分析：由（2）－（3）可得

（5）

由（5）可首先得到

则得到

（6）

－模误差分析

设满足

用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到

再利用模误差估计结果，得到

（7）

最优阶误差估计和超收敛估计概念。

当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得

（8）

利用（7），类似分析可得

（9）

2、抛物问题半离散有限元方法

考虑抛物型方程初边值问题：

（10）

（10）的变分形式：求使满足

（11）

（11）的半离散有限元近似：求使满足

（12）

令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：

（13）

其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。。

求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。

定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：

（14）

证明：在（12）中取得到

整理为（注意是正定的）

对此式积分，证毕。

误差分析。引进解的椭圆投影逼近：满足

（15）

根据椭圆问题的有限元结果可知

（16）

分解误差：

的估计由（16）式给出，只须估计。

由（11），（12）和（15）知，满足

有限元分析及应用》课程标准

课程代码：汽车学分： 3 建议课时数：64

英文名称：

适用专业：计算机辅助设计与分析先修课程：《计算机辅助设计》课程团队负责人及成员：陈良萍、刘宏强、王云、赵静、李蕾、黄艺、史俊玲、毛新

1.课程定位和设计思路

1.1 课程定位

本课程是为计算机辅助设计与分析专业本科生开设的一门专业核心课程，重点介绍有限元法的基本原理和方法、一些成熟的有限元软件功能和简单的分析步骤，同时结合工程实际，为他们进一步学习或实际应用及参加科研工作开辟道路。其任务是通过先修课程中所学知识的综合运用和新知识的获取，使学生初步掌握现代设计中的一种重要方法，开阔视野，提高能力，以适应科学技术发展的要求。

1.2 设计思路

在教学中，首先通过力学中的矩阵位移法思想的对比教学，引出连续介质力学有限单元法的学习重点在于单元的插值函数如何构造。这因为，虽说矩阵位移法是对杆系结构而言的，但其结构的离散化和组建整体刚度方程的思想完全可以借鉴到连续介质力学，它们的不同点只是在单元刚度矩阵的建立；而不同单元类型的单元刚度矩阵的建立，又取决于对应单元插值函数的构造。这样处理，不但使学生抓住了本课程的教学重点，而且对有限单元法的整体思想有了宏观上掌握；起到主动学习而非被动接受的作用。在单元构造的教学中，理论学习的重点在于常规单元的介绍；通过常规单元介绍插值函数的完备性与收敛性等。接之，介绍高次单元、等参单元等教学内容。在理论教学中，强调数学论证的严谨性和工程应用的适应性。

结合工程实例教学，拓宽学生数值分析方面的应用能力在课内对不同的单元类

张年梅有限元方法讲义

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

张年梅有限元方法讲义

有限元方法是一种非常重要的数值计算方法，广泛应用于力学、

电磁学、声学、地球物理学等领域。张年梅是中国工程院院士、有限

元方法的权威专家，他在有限元方法的研究和应用方面取得了很多成果。他的有限元方法讲义成为了很多工程学子和研究人员学习的重要

参考资料。

有限元方法是一种用数值方法解决复杂工程问题的工具。它将实

际工程问题抽象为有限个简单形状的单元，并通过适当的数学方法和

计算机程序求解得到问题的近似解。有限元方法的基本思想是将一个

复杂的结构或领域分割成有限个简单的子结构或子域，然后在每一个

子结构或子域上建立合适的数学模型，最后通过组合所有子结构或子

域的模型获得整体结果。

张年梅有限元方法讲义详细介绍了有限元方法的基本原理、数学

模型的建立和求解方法。讲义先介绍了有限元方法的起源和发展历程，然后对基本概念和术语进行了解释，包括有限元模型、单元、节点、

网格等。接着讲义详细介绍了有限元方法的基本原理，包括离散化、

变分原理、加权残差法、Galerkin法等。

有限元方法的数学模型的建立是有限元分析的关键步骤。张年梅

有限元方法讲义介绍了常见的结构、固体、流体、电磁等问题的有限

元建模方法，包括线性弹性分析、非线性分析、热传导分析、流体动

力学分析等。在建立数学模型之后，有限元方法的求解方法也是十分

重要的。张年梅有限元方法讲义介绍了有限元方法的常用数值解法，

包括直接法、迭代法、有限元展开法等。

有限元方法在实际工程问题中有着广泛的应用。张年梅有限元方

第6章 结构动力分析有限元法

此前述及的问题属于静力分析问题，即作用在结构上的荷载是与时间无关的静力。由此求得的位移、应力等均与时间无关。实际工程中的大部分都可简化成静力问题。但当动载与静载相比不容忽略时，一般应进行动力分析。如地震作用下的房屋建筑，风荷载作用下的高层建筑等，都应计算动荷载作用下的动力反应。研究课题中以动力问题为主。

解决动力问题有两大工作要做：一是动荷载的模拟和计算，二是结构反应分析。本章将讨论如何用有限元来解决动力计算问题。

6.1 结构动力方程

一．单元的位移、速度和加速度函数

设单元的位移函数为；

}{[]}

{e

f N d = 6—1—1

式中：

单元位移函数列阵}{f 、结点位移函数列阵}{

e

d 均是时间t 的函数。 由6-1-1可求得单元的速度、加速度函数：

}{[]}{e f N d = 6—1—2 }{[]}{e

f N d = 6—1—3

二．单元的受力分析

设图示三角形单元，当它处于运动状态时，其上的荷载一般应包括：

单元上的荷载；单元对结点的作用力,

}{

[]}{

(,e

e

ix iy F F F K d ⋅⋅⋅=结点力）

单元内部单位体积的：

惯性力：}{

}

{[]}{e

m F f N d

ρρ=-=- 6—1—4

阻尼力（设正比于运动速度）：}{}{[]}{e

c

F f N d αραρ=-=- 6—1—5

干扰力（已知的条件）：}

{p F

根据达朗贝尔原理，上述四力将构成一瞬时平衡力系，使单元处于动平衡状态。 为此寻求四者之间的关系；

三．结点力与结点位移、速度和加速度之间的关系

用虚功原理推导：