名师点拨高考数学难点

高三数学高考数学难点攻克与解题技巧分享与典型题型解析与解题思路探讨数学作为高中阶段的重要学科之一，对于学生来说往往是最具挑战性的一门学科之一。

特别是在高考阶段，数学的难度系数也随之提升，考生们必须要有足够的准备和解题技巧才能更好地应对。

本文将分享一些高考数学的难点攻克方法和解题技巧，同时结合典型题型进行解析，以期能帮助广大考生在高考数学中取得更好的成绩。

一、高考数学的难点分析在高考数学中，有一些知识点和题型往往是考生们最头疼的难点。

下面我们就来分析一下这些难点并给出解题技巧。

1. 集合与函数集合与函数作为高考数学必学的知识点，常常出现在选择题和解答题中。

在解答集合与函数的问题时，考生需要注意以下几个方面：首先，对于集合的表示和操作要熟练掌握。

这包括交集、并集、差集等基本操作，以及集合的表示方法和判定集合之间的关系。

其次，对于函数的应用要灵活运用。

函数的定义域、值域、反函数等概念需要理解清楚，并能够熟练应用到各类问题中。

最后，要注意对于集合与函数的混合应用。

有些题目可能会结合集合和函数的性质进行综合求解，考生需要能够看清题目要求，灵活应用所学知识。

2. 三角函数三角函数是高考数学中的重点和难点之一。

学生在解三角函数相关的问题时，常常容易陷入一些常见的误区。

下面列举一些容易出错的地方：首先，角度的转化需要熟练。

弧度与角度之间的转化是解答三角函数问题的基础，考生需要通过练习熟练掌握。

其次，角度的定义域要注意。

例如，反三角函数的定义域需要符合对应三角函数值的范围，考生需要在解答问题时注意角度的合法性。

最后，要掌握三角函数的性质和常见的等式变形方法。

这样在解答复杂的三角函数问题时能够通过运用性质和等式来简化问题。

3. 函数与导数函数与导数是高考数学中的基础和重点内容，也是许多考生容易被绕晕的地方。

在解答函数与导数相关的问题时，考生需要注意以下几个难点：首先，对于函数的图像和性质要熟悉掌握。

通过观察函数的图像，可以大致了解函数的增减性、极值点等重要特征，从而更好地解答问题。

难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A ={(x ,y )|x 2+mx －y +2=0},B ={(x ,y )|x －y +1=0,且0≤x ≤2},如果A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.●案例探究 ［例1］设A ={(x ,y )|y 2－x －1=0},B ={(x ,y )|4x 2+2x －2y +5=0},C ={(x ,y )|y =kx +b },是否存在k 、b ∈N ,使得(A ∪B )∩C =∅，证明此结论.命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A ∪B )∩C =∅转化为A ∩C =∅且B ∩C =∅，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ,进而可得值.解：∵(A ∪B )∩C =∅，∴A ∩C =∅且B ∩C =∅∵⎩⎨⎧+=+=bkx y x y 12 ∴k 2x 2+(2bk －1)x +b 2－1=0 ∵A ∩C =∅∴Δ1=(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0∴4k 2－4bk +1<0,此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0,即b 2>1①∵⎩⎨⎧+==+-+b kx y y x x 052242∴4x 2+(2－2k )x +(5+2b )=0∵B ∩C =∅,∴Δ2=(1－k )2－4(5－2b )<0∴k 2－2k +8b －19<0,从而8b <20,即b <2.5 ② 由①②及b ∈N ,得b =2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎪⎩⎪⎨⎧<--<+-032,018422k k k k ∴k =1,故存在自然数k =1,b =2,使得(A ∪B )∩C =∅.［例2］向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.解：赞成A 的人数为50³53=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B .设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .依题意(30－x )+(33－x )+x +(3x+1)=50,解得x =21.所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人. ●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)集合M ={x |x =42π+kx ,k ∈Z },N ={x |x =22ππ+k ,k ∈Z },则( )A.M =NB.M NC.M ND.M ∩N =∅2.(★★★★)已知集合A ={x |－2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅,若A ∪B =A ，则( )A.－3≤m ≤4B.－3<m <4C.2<m <4D.2<m ≤4 二、填空题3.(★★★★)已知集合A ={x ∈R |a x 2－3x +2=0,a ∈R },若A 中元素至多有1个，则a 的取值范围是_________.4.(★★★★)x 、y ∈R ,A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|bya x - =1,a >0,b >0},当A ∩B 只有一个元素时，a ,b 的关系式是_________.三、解答题5.(★★★★★)集合A ={x |x 2－ax +a 2－19=0},B ={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，C ={x |x 2+2x －8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ∅和A ∩C =∅同时成立.6.(★★★★★)已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A ={(a n ,nS n )|n ∈N *},B ={(x ,y )|41x 2－y 2=1,x ,y ∈R }.试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明.(1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 至多有一个元素；(3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅.7.(★★★★)已知集合A ={z ||z －2|≤2,z ∈C },集合B ={w |w =21zi +b ,b ∈R },当A ∩B =B 时，求b 的值.8.(★★★★)设f (x )=x 2+px +q ,A ={x |x =f (x )},B ={x |f ［f (x )］=x }. (1)求证：A ⊆B ;(2)如果A ={－1，3}，求B .参考答案难点磁场解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)20(01022x y x y mx x 得x 2+(m －1)x +1=0①∵A ∩B ≠∅∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.首先，由Δ=(m －1)2－4≥0,得m ≥3或m ≤－1,当m ≥3时，由x 1+x 2=－(m －1)＜0及x 1x 2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.当m ≤－1时，由x 1+x 2=－(m －1)>0及x 1x 2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.故所求m 的取值范围是m ≤－1. 歼灭难点训练一、1.解析：对M 将k 分成两类：k =2n 或k =2n +1(n ∈Z ),M ={x |x =n π+4π,n ∈Z }∪{x |x = n π+43π,n ∈Z },对N 将k 分成四类，k =4n 或k =4n +1,k =4n +2,k =4n +3(n ∈Z ),N ={x |x =n π+2π,n∈Z }∪{x |x =n π+43π,n ∈Z }∪{x |x =n π+π,n ∈Z }∪{x |x =n π+45π,n ∈Z }.答案：C2.解析：∵A ∪B =A ，∴B ⊆A,又B ≠∅,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤--≥+12171221m m m m 即2＜m ≤4. 答案：D 二、3.a =0或a ≥89 4.解析：由A ∩B 只有1个交点知，圆x 2+y 2=1与直线b ya x -=1相切，则1=22ba ab +,即ab =22b a +.答案：ab =22b a +三、5.解：log 2(x 2－5x +8)=1,由此得x 2－5x +8=2，∴B ={2,3}.由x 2+2x －8=0，∴C ={2,－4},又A ∩C =∅，∴2和－4都不是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，而A ∩B ∅,即A ∩B ≠∅,∴3是关于x 的方程x 2－ax +a 2－19=0的解，∴可得a =5或a =－2.当a =5时，得A ={2，3}，∴A ∩C ={2}，这与A ∩C =∅不符合，所以a =5(舍去)；当a =－2时，可以求得A ={3，－5}，符合A ∩C =∅，A ∩B ∅，∴a =－2.6.解：(1)正确.在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n ）的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上.(2)正确.设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A ∩B =∅；当a 1≠0时，方程(*)只有一个解x =12124a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解. ∴A ∩B 至多有一个元素.(3）不正确.取a 1=1,d =1,对一切的x ∈N *,有a n =a 1+(n －1)d =n >0,nS n>0,这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0.如果A ∩B ≠∅,那么据(2）的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0）,而x 0=5224121-=--a a ＜0,y 0=43201=+x a ＜0,这样的(x 0,y 0）∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不正确的.7.解：由w =21zi +b 得z =ib w 22-, ∵z ∈A ,∴|z －2|≤2,代入得|ibw 22-－2|≤2,化简得|w －(b +i )|≤1.∴集合A 、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b ,1)为圆心，半径为1的圆面.又A ∩B =B ，即B ⊆A ，∴两圆内含.因此22)01()2(-+-b ≤2－1,即(b －2)2≤0，∴b =2. 8.(1)证明：设x 0是集合A 中的任一元素，即有x 0∈A . ∵A ={x |x =f (x )},∴x 0=f (x 0).即有f ［f (x 0)］=f (x 0)=x 0,∴x 0∈B ,故A ⊆B .(2)证明：∵A ={－1,3}={x |x 2+px +q =x },∴方程x 2+(p －1)x +q =0有两根－1和3，应用韦达定理，得⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=⨯---=+-313)1(),1(31q p q p ∴f (x )=x 2－x －3.于是集合B 的元素是方程f ［f (x )］=x ,也即(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3=x (*)的根. 将方程(*)变形，得(x 2－x －3）2－x 2=0 解得x =1,3,3,－3. 故B ={－3，－1，3，3}.难点2 充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9，∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴qp p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1 这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件. 当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n pp p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( ) A.ab =0 B.a +b =0 C.a =b D.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也不是必要条件 二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α²β|=|α|²|β|＜2³2=4. 设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b (2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线. ∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根. ∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2. 歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ²|x |=－(x |x +0|+b ) =－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )= (－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件. 答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明pq ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4³21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件. 6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.dn a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ 从而b n +1－b n =a 1+n ²32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数.故{b n }是等差数列，公差为32d .②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′ ∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n ① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列. 7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3) 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3) 设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m ②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2. 则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q 综上所述，p 是q 的必要不充分条件.难点3 运用向量法解题平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.●难点磁场(★★★★★)三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值.●案例探究［例1］如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD .(1)求证：C 1C ⊥BD .(2)当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明. 命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用a ⊥b ⇔a ²b =0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a , =b ,1CC =c ,依题意，|a |=|b |，、、 1CC 中两两所成夹角为θ，于是-==a －b ，CC ⋅1=c (a －b )=c ²a －c ²b =|c |²|a |cos θ－|c |²|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD .(2)解：若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1，由)()(1111CC AA C CA -⋅+=⋅=(a +b +c )²(a －c )=|a |2+a ²b －b ²c －|c |2=|a |2－|c |2+|b |²|a |cos θ－|b |²|c |²cos θ=0,得 当|a |=|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c |时，A 1C ⊥BD ， ∴1CC CD=1时，A 1C ⊥平面C 1BD .［例2］如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求的长；(2)求cos<11,CB BA >的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M .命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属 ★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标.(1)解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 依题意得：B (0，1，0)，N (1，0，1)∴||=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)解：依题意得：A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2). ∴1BA =1),2,1,1(CB -=(0，1，2)11CB BA ⋅=1³0+(－1)³1+2³2=3|1BA |=6)02()10()01(222=-+-+-5)02()01()00(||2221=-+-+-=CB.1030563||||,cos 111111=⋅=⋅<∴CB BC CB BA (3)证明：依题意得：C 1(0，0，2)，M (2,21,21))2,1,1(),0,21,21(11--==A C∴,,00)2(21121)1(1111C A C A ⊥∴=⨯-+⨯+⨯-=⋅∴A 1B ⊥C 1M . ●锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？ ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.(★★★★)已知△ABC 中， =a ，=b ，a ²b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( )A.30°B.－150°C.150°D.30°或150° 二、填空题3.(★★★★★)将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.(★★★★)等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.(★★★★★)如图，在△ABC 中，设=a ， =b ， =c ,=λa ,(0<λ<1), =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.(★★★★)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a .(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.(★★★★★)已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列.(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为与的夹角，求tan θ.8.(★★★★★)已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的 中点.(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41+++=.参考答案难点磁场解：(1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+- .2221)291()05(||22=--+-=∴ 5)21()15(||,10)71()15(||)2(2222=--+-==--++=D 点分的比为2. ∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y.2314)3111()315(||22=--+-=(3)∠ABC 是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.1452629291052)5(2)8(6)5()8(26||||cos 2222==-+⋅-+-⨯-+⨯=⋅=∴BC BA ABC 歼灭难点训练一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又||=5， =(5，3），||=34，∴||≠|},∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1²4+2²1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=²3²5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°.又∵a ²b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵与共线，∴=m =m (－)=m (μb －a ), ∴=+=a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又与共线，∴=n =n (－)=n (λa －b ), ∴=+=b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］.6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且=(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ²=0，1MC ²1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aa a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAC所以AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,-= =(1－x ,－y ), =－=(2,0),∴²=2(1+x ), ²=x 2+y 2－1,⋅ =2(1－x ).于是，⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM x x x y x y x PM y x||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则+=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21=）(2）因为21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知21=，同理21=，所以=，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21+++=+++=+=+=.难点5 求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.●难点磁场(★★★★)已知f (2－cos x )=cos2x +cos x ,求f (x －1). ●案例探究［例1］(1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.(2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域. 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错. 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令t=log a x (a >1,t >0;0<a <1,t <0),则x =a t .因此f (t )=12-a a (a t －a －t )∴f (x )=12-a a (a x －a －x )(a >1,x >0;0<a <1,x <0)(2)由f (1)=a +b +c ,f (－1)=a －b +c ,f (0)=c得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=)0()]1()1([21)0()]1()1([21f c f f b f f f a并且f (1)、f (－1)、f (0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f (x )=2x 2－1或f (x )=－2x 2+1或f (x )=－x 2－x +1或f (x )=x 2－x －1或f (x )=－x 2+x +1或f (x )=x 2+x －1.［例2］设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≤－1时，y =f (x )的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y =f (x )的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f (x )的表达式，并在图中作出其图象.命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱. 技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式. 解：(1)当x ≤－1时，设f (x )=x +b∵射线过点(－2，0).∴0=－2+b 即b =2，∴f (x )=x +2. (2)当－1<x <1时，设f (x )=ax 2+2.∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a ²(－1)2+2,即a =－1 ∴f (x )=－x 2+2.(3)当x ≥1时，f (x )=－x +2综上可知：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者来完成.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2.换元法或配凑法，已知复合函数f ［g (x )］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f (x ); 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)若函数f (x )=34-x mx(x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( )A.3B.23C.－23D.－32.(★★★★★)设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，在x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1,则x >1时f (x )等于( )A.f (x )=(x +3)2－1B.f (x )=(x －3)2－1C.f (x )=(x －3)2+1D.f (x )=(x －1)2－1 二、填空题3.(★★★★★)已知f (x )+2f (x1)=3x ,求f (x )的解析式为_________.4.(★★★★★)已知f (x )=ax 2+bx +c ,若f (0)=0且f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=_________. 三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )满足f (x －2)=f (－x －2),且其图象在y 轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f (x )的解析式.6.(★★★★)设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间［2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈［1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.(★★★★★)动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点的行程，f (x )表示P A 的长，g (x )表示△ABP 的面积，求f (x )和g (x ),并作出g (x )的简图.8.(★★★★★)已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明：f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈［1,4］的解析式； (3)试求y =f (x )在［4，9］上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）∵f (2－cos x )=cos2x －cos x =2cos 2x －cos x －1 令u =2－cos x (1≤u ≤3),则cos x =2－u∴f (2－cos x )=f (u )=2(2－u )2－(2－u )－1=2u 2－7u +5(1≤u ≤3) ∴f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +4(2≤x ≤4) 解法二：(配凑法）f (2－cos x )=2cos 2x －cos x －1=2(2－cos x )2－7(2－cos x ）+5∴f (x )=2x 2－7x －5(1≤x ≤3),即f (x －1)=2(x －1)2－7(x －1)+5=2x 2－11x +14(2≤x ≤4). 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (x )=34-x mx. ∴f ［f (x )］=334434--⋅-⋅x mx x mxm =x ,整理比较系数得m =3. 答案：A 2.解析：利用数形结合，x ≤1时，f (x )=(x +1)2－1的对称轴为x =－1,最小值为－1，又y =f (x )关于x =1对称，故在x >1上，f (x )的对称轴为x =3且最小值为－1.答案：B二、3.解析：由f (x )+2f (x 1)=3x 知f (x 1)+2f (x )=3x 1.由上面两式联立消去f (x 1)可得f (x )=x2－x .答案：f (x )=x2－x 4.解析：∵f (x )=ax 2+bx +c ,f (0)=0,可知c =0.又f (x +1)=f (x )+x +1, ∴a (x +1)2+b (x +1)+0=ax 2+bx +x +1,即(2a +b ）x +a +b =bx +x +1.故2a +b =b +1且a +b =1,解得a =21,b =21,∴f (x )=21x 2+21x .答案：21x 2+21x三、5.解：利用待定系数法，设f (x )=ax 2+bx +c ,然后找关于a 、b 、c 的方程组求解，f (x )=178722++x x .6.解：(1)设x ∈［1,2］,则4－x ∈［2,3］,∵f (x )是偶函数，∴f (x )=f (－x ),又因为4是f (x )的周期，∴f (x )=f (－x )=f (4－x )=－2(x －1)2+4.(2)设x ∈［0，1］，则2≤x +2≤3,f (x )=f (x +2)=－2(x －1)2+4,又由(1）可知x ∈［0,2］时，f (x )=－2(x －1)2+4,设A 、B 坐标分别为(1－t ,0）,(1+t ,0)(0＜t ≤1),则|AB |=2t ,|AD |=－2t 2+4,S 矩形=2t (－2t 2+4)=4t (2－t 2),令S 矩=S ，∴82S =2t 2(2－t 2)²(2－t 2)≤(3222222t t t -+-+)3=2764,当且仅当2t 2=2－t 2,即t =36时取等号.∴S 2≤27864⨯即S ≤9616,∴S max =9616.7.解：(1)如原题图，当P 在AB 上运动时，P A =x ;当P 点在BC 上运动时，由Rt △ABD可得P A =2)1(1-+x ;当P 点在CD 上运动时，由Rt △ADP 易得P A =2)3(1x -+;当P 点在DA 上运动时，P A =4－x ,故f (x )的表达式为：f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤)43( 4)32( 106)21( 22)10( 22x x x x x x x x x x(2)由于P 点在折线ABCD 上不同位置时，△ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对P 点的位置进行分类求解.如原题图，当P 在线段AB 上时，△ABP 的面积S =0；当P 在BC 上时，即1＜x ≤2时，S △ABP =21AB ²BP =21(x －1）；当P 在CD 上时，即2＜x ≤3时，S △ABP =21²1²1=21；当P 在DA 上时，即3＜x ≤4时，S △ABP =21(4－x ).故g (x )=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<≤<-≤≤)43( )4(21)32( 21)21( )1(21)10( 0x x x x x x8.(1)证明：∵y =f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)=f (4－5)=f (－1),又y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)=－f (－1)=－f (4),∴f (1)+f (4)=0.(2)解：当x ∈［1,4］时，由题意，可设f (x )=a (x －2)2－5(a ≠0),由f (1)+f (4)=0得a (1－2)2－5+a (4－2)2－5=0，解得a =2,∴f (x )=2(x －2)2－5(1≤x ≤4).(3)解：∵y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)=－f (－0),∴f (0)=0,又y =f (x ) (0≤x ≤1)是一次函数，∴可设f (x )=kx (0≤x ≤1),∵f (1)=2(1－2)2－5=－3,又f (1)=k ²1=k ,∴k =－3.∴当0≤x ≤1时，f (x ) =－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)= －3(x －5)=－3x +15, 当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2［(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5.∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .难点6 函数值域及求法函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.●案例探究 ［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［43,32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.错解分析：证明S (λ)在区间［43,32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2,则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =λ1022代入上式得：S =5000+4410 (8λ+λ5),当8λ=λ5,即λ=85(85<1)时S 取得最小值.此时高：x =λ4840=88 cm,宽：λx =85³88=55 cm.如果λ∈［43,32］可设32≤λ1<λ2≤43,则由S 的表达式得：)58)((1044)5858(1044)()(2121221121λλλλλλλλλλ--=--+=-S S又21λλ≥8532>,故8－215λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［43,32］内单调递增.从而对于λ∈［43,32］,当λ=32时，S (λ)取得最小值.答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［43,32］,当λ=32时，所用纸张面积最小.［例2］已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈［1,+∞)(1)当a =21时，求函数f (x )的最小值.(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.(1)解：当a =21时，f (x )=x +x21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=27. (2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=xax x ++22 >0恒成立⇔x 2+2x +a >0恒成立.设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.解法二：f (x )=x +xa+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： (1)求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.(2)函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.(3)运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =x 2+x1(x ≤－21)的值域是( )A.(－∞,－47]B.［－47,+∞)C.［2233,+∞)D.(－∞,－3223］ 2.(★★★★)函数y =x +x 21-的值域是( ) A.(－∞,1]B.(－∞,－1]C.RD.［1,+∞)二、填空题3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(20V )2千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).。

高中数学④1．1教材解读一、本节重、难点重点：将0到360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算． 难点：弧度的概念，用集合表示终边相同的角．二、任意角1．任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如右图，角α可以看作一条射线绕着端点O 从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OB 所形成的．点O 为角的顶点，射线OA 是角的始边，射线OB 是角的终边．注：掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．角可以是任意大小的．2．角的分类按照角的旋转方向可以将角分成三类．正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角；零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫零角．注：正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动．3．象限角（１）在直角坐标系内，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）．这里强调以“角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限． （２）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，可以构成一个集合{}|360S k k ββα==+∈Z ，·，即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与整数个周角的和．注：①α是任意角；②k 是整数；③终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；④终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍．各象限角的集合为：第一象限角的集合为{}|36036090x k x k k <<+∈Z ，··；第二象限角的集合为{}|36090360180x k x k k +<<+∈Z ，··；第三象限角的集合为{}|360180360270x k x k k +<<+∈Z ，··；第四象限角的集合为{}|360270360360x k x k k +<<+∈Z ，··．注：象限角的集合表示形式并不唯一，如第四象限角的集合还可以表示为{}|36090360x k x k k -<<∈Z ，··．三、弧度制1． 角度制：规定周角1360的为１度角，记作1，用度作单位来度量角的单位制叫做角 度制；2． 弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角；用弧度作单位来度量 角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，１弧度记作１rad ，rad 读作弧度．（１）规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值l rα=，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径． （２）比值l r与所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关． 3． 角度制与弧度制的转化（１）角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．（２）在表示角的时候，弧度制不能与角度制混用．例如2π30()k k α=+∈Z 是不正确的．（３）以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但用度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去．4．弧长公式与扇形面积公式 弧度制下：l r α=；21122S lr r α==； 角度制下：π180n r l =；2π360n r S =． 两者相比较，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式具有更为简单的形式，其记忆与应用更易操作．。

高考数学冲刺复习攻克难点解析考点高考，对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。

而数学作为其中的关键学科，更是让许多同学感到压力巨大。

在高考冲刺阶段，如何有效地攻克数学难点，精准解析考点，成为了决定高考数学成绩的关键。

首先，我们要明确高考数学的难点所在。

函数与导数、圆锥曲线、数列、立体几何等部分往往是同学们普遍认为较难的内容。

函数与导数这一板块，综合性强，常常涉及到函数的单调性、极值、最值以及导数的应用等知识点。

对于这类难点，我们要深入理解函数的概念和性质，掌握求导的方法和技巧。

通过大量的练习，熟悉各种题型，提高解题能力。

比如，对于复杂函数的求导，要注意运用四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，细心计算，避免出错。

圆锥曲线部分，包括椭圆、双曲线、抛物线，其方程和性质较为复杂，计算量也较大。

解决圆锥曲线问题，需要牢记各种曲线的标准方程和几何性质，同时要善于运用代数方法将几何问题转化为代数方程求解。

在解题过程中，要注重设而不求、韦达定理等方法的运用，简化计算过程。

数列问题，常常考查等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推关系。

对于这类题目，要熟练掌握基本公式，同时注意观察数列的特点，寻找规律。

有时候，需要通过构造新数列来解决问题，这就需要我们具备较强的思维能力和创新意识。

立体几何部分，空间想象力是关键。

要掌握好线面平行、垂直的判定和性质定理，学会运用空间向量的方法解决夹角和距离问题。

在复习过程中，多做一些模型，增强对空间图形的直观感受。

在攻克难点的同时，我们也要精准解析考点。

高考数学的考点是相对固定的，通过对历年高考真题的研究和分析，可以总结出常考的知识点和题型。

集合与简易逻辑，通常考查集合的运算、命题的真假判断等。

不等式部分，重点是一元二次不等式的解法、基本不等式的应用。

三角函数，要熟练掌握三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式。

平面向量，主要考查向量的运算、向量的数量积等。

高中数学攻克高考数学难题的技巧在高中数学学习中，高考数学难题往往是学生们最头疼的问题之一。

考试中的难题往往需要学生们具备扎实的基础知识和灵活运用的能力。

本文将为大家介绍一些攻克高考数学难题的技巧，帮助学生们在考试中取得好成绩。

一、夯实基础知识要攻克高考数学难题，首先要夯实基础知识。

通过复习归纳和总结，理清每个知识点的要点和难点。

重点掌握概念、公式和定理，理解其背后的原理和推导过程。

还要注重提高计算能力，熟练掌握各种计算方法，尤其是对于常见的计算题要加强练习和记忆。

二、灵活运用解题方法在高考数学中，灵活运用解题方法至关重要。

对于难题，学生们要善于从多个角度思考问题，寻找解题突破点。

可以尝试不同的解题方法，比较其优劣，选择最有效的方法。

多做一些相关的经典题目，通过分析题目的解题思路和方法，提高自己的解题能力。

三、注重题目分析和数据整合攻克高考数学难题的另一个技巧是注重题目分析和数据整合。

在解题过程中，要仔细阅读题目，理解题意。

尤其是对于复杂题目，可以逐步分析，将问题拆解成几个简单的小问题，逐步解决。

同时，要善于整合数据，寻找数据之间的联系和规律，并将其应用到解题过程中。

四、掌握常见解题技巧和套路攻克高考数学难题还需要掌握一些常见的解题技巧和套路。

比如，对于复杂的函数题，可以使用图像分析法、性质分析法等方法；对于代数题，可以使用代数运算化简、因式分解等方法；对于几何题，可以使用图像分析、相似三角形等方法。

熟练掌握这些解题技巧和套路，可以帮助学生们更快地解决难题。

五、加强练习和模拟考试最后一个攻克高考数学难题的技巧是加强练习和模拟考试。

通过反复练习题目，增强解题能力和应变能力。

可以选择一些历年的高考试题进行模拟考试，熟悉考试形式和要求，提前适应高考的节奏和压力。

总之，高中数学攻克高考数学难题需要学生们扎实的基础知识、灵活运用解题方法，并注重题目分析和数据整合。

同时，掌握常见的解题技巧和套路，加强练习和模拟考试也是非常重要的。

二、跳出题海——名师绝招破解13大难点难点1 构造法解f(x)与f'(x) 均存在的问题高考中有一难点,即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题的题目,该类题目具有一定的难度,下面总结其基本类型及其处理方法.类型一f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型典例1 (1)设f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)(2)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是.答案(1)A (2)(-∞,-3)∪(0,3)解析(1)令g(x)=,则g'(x)=,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)==0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵f(x)是奇函数,∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0;当x∈(-1,0)时,f(x)<0.综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).(2)借助导数的运算法则, f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0⇔[f(x)g(x)]'>0,所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增.又由分析知函数y=f(x)g(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3,0), (0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).点拨(1)对于不等式f '(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);(2)对于不等式f '(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地,对于不等式f '(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx.(3)对于不等式f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);(4)对于不等式f '(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0);(5)对于不等式xf '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(6)对于不等式xf '(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(x≠0).1.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<,则不等式f(x2)>的解集为( )A.(1,2)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-1,1)2.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有( )A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)3.已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且f(x)>xf'(x)恒成立,则x2f-f(x)>0的解集为.类型二xf '(x)±n f(x)型典例2 设函数f(x)在R上的导函数为f '(x),且2f(x)+xf '(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是( )A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x答案 A解析解法一:令g(x)=x2f(x)-x4,则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)-x3=x[2f(x)+xf'(x)-x2],当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x<0时,g'(x)<0,∴g(x)>g(0),即x2f(x)-x4>0,从而f(x)>x2>0;当x=0时,由题意可得2f(0)>0,∴f(0)>0.综上可知, f(x)>0.解法二:∵2f(x)+xf '(x)>x2,∴令x=0,则f(0)>0,故可排除B,D,不妨令f(x)=x2+0.1,则已知条件2f(x)+xf '(x)>x2成立,但f(x)>x不一定成立,故C也是错误的,故选A.点拨(1)对于xf'(x)+nf(x)>0型,构造F(x)=x n f(x),则F'(x)=x n-1[xf '(x)+nf(x)](注意对x n-1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)+f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0;(2)对于xf '(x)-nf(x)>0(x≠0)型,构造F(x)=,则F'(x)=(注意对x n+1的符号进行讨论),特别地,当n=1时,xf'(x)-f(x)>0,构造F(x)=,则F'(x)=>0.1.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f '(x),对任意正实数x满足xf '(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1)的解集是( )A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(0,1)2.f(x)在(0,+∞)上的导函数为f'(x),xf'(x)>2f(x),则下列不等式成立的是( )A.2 0172f(2 018)>2 0182f(2 017)B.2 0172f(2 018)<2 0182f(2 017)C.2 017f(2 018)>2 018f(2 017)D.2 017f(2 018)<2 018f(2 017)类型三λf(x)±f'(x)(λ为常数)型典例3 (1)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f '(x),则有( )A.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)>e2 019f(0)B.e2 019f(-2 019)<f(0), f(2 019)<e2 019f(0)C.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)>e2 019f(0)D.e2 019f(-2 019)>f(0), f(2 019)<e2 019f(0)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f '(x)>0恒成立,且f(2)=(e为自然对数的底数),则不等式e x f(x)->0的解集为.答案(1)D (2)(2,+∞)解析(1)构造函数h(x)=,则h'(x)=<0,即h(x)在R上单调递减,故h(-2019)>h(0),即>⇒e2 019f(-2 019)>f(0);同理,h(2 019)<h(0),即f(2 019)<e2 019·f(0),故选D.(2)由f(x)+2f '(x)>0得2>0,可构造h(x)=·f(x),则h'(x)=[f(x)+2f'(x)]>0,所以函数h(x)=·f(x)在R上单调递增,且h(2)=e·f(2)=1.不等式e x f(x)->0等价于f(x)>1,即h(x)>h(2)⇒x>2,所以不等式e x f(x)->0的解集为(2,+∞).点拨(1)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e x f(x);(2)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;(3)对于不等式f'(x)+kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e kx f(x);(4)对于不等式f'(x)-kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<e x的解集为.难点2 构造辅助函数求解导数问题1.“作差(商)法”构造函数当试题中给出简单的基本初等函数,例如f(x)=x3,g(x)=ln x,要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)或φ(x)=g(x)-f(x),证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可,在求最值的过程中,可以利用导数.此外,在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下,也可以构造函数h(x)=,证明h(x)min≥1(0<φ(x)max≤1).典例1 已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.解析(1)由f(x)=e x-ax得f '(x)=e x-a,则f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x, f'(x)=e x-2,令f '(x)=0,得x=ln 2.所以,当x<ln 2时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x>ln 2时, f'(x)>0, f(x)单调递增.故当x=ln 2时, f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x,由(1)得g'(x)≥f(ln 2)>0,所以g(x)为增函数,因此,当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x2<e x.(3)证明:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x3<e x.证明如下:令h(x)=x3-e x(x∈(0,+∞)),则h'(x)=x2-e x,由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x3<e x.取x0=,当x>x0时,有x2<x3<e x,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<ce x.点拨在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”;第(3)问中,必须结合第(2)问的结论,证明“x3<e x”,于是构造函数“h(x)=x3-e x”.函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2,若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤g(x)成立.求实数a的取值范围.2.“拆分法”构造函数当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式,进而证明f(x)max≤g(x)min即可,此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例2 设函数f(x)=ae x ln x+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明: f(x)>1.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae x+,依题意得解得a=1,b=2.(2)证明:由(1)知f(x)=e x ln x+,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.构造函数g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,所以当x∈时,g'(x)<0,当x∈时,g'(x)>0,故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.构造函数h(x)=xe-x-(x>0),则h'(x)=e-x(1-x),所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,故h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点拨对于第(2)问的证明,若直接构造函数h(x)=e x ln x+(x>0),求导以后不易分析,因此先将不等式“e x ln x+>1”合理拆分为“xln x>xe-x-”,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的目的.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.3.“换元法”构造函数典例3 已知函数f(x)=ax2+xln x(a∈R)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)求证:当n>m>0时,ln n-ln m>-.解析(1)因为f(x)=ax2+xln x,所以f '(x)=2ax+ln x+1,因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f '(1)=3,即2a+1=3,故a=1.(2)证明:要证ln n-ln m>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.令=x,由已知n>m>0,得>1,即x>1,构造函数g(x)=ln x-+x(x>1),则g'(x)=++1.因为x∈(1, +∞),所以g'(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.点拨将待证不等式等价变形为“ln-+>0”后,观察可知,对“”进行换元,进而构造函数“g(x)=ln x-+x(x>1)”来证明不等式,简化了证明过程中的运算.已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有<<.4.二次(或多次)构造函数典例4 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时, f(x)≤a x+1,求a的取值范围.解析(1)f '(x)=(1-2x-x2)e x.令f '(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时, f '(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时, f '(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减,在(-1-,-1+)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时, f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1), f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).已知函数f(x)=ex-xln x,g(x)=e x-tx2+x,t∈R,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求t的取值范围.5.“转化法”构造函数典例5 设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的最小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;(3)若对任意的b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+(x>0),则f'(x)=,故当x∈(0,e)时, f'(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时, f'(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,故当x=e时, f(x)取到极小值,也即最小值, f(e)=ln e+=2,故f(x)的最小值为2.(2)g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,故x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,故φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象可知:①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),故(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,故m≥,当且仅当x=时等号成立,故m的取值范围为.点拨本例第(3)问中,利用不等式的性质,将“<1”等价转化为“f(b)-b<f(a)-a”,进而构造函数“h(x)=f(x)-x”,通过研究函数的单调性求解实数m的取值范围.已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.难点3 借助“草图”求解函数压轴题高考函数解答题一般是高考数学试卷的压轴题,其难度达到整份试卷的顶峰,相当一部分学生不会做或只做了第一问而不敢问津第二问或第三问.仔细琢磨、潜心思考问题形成的原因,难道学生不会求导?学生不会运用导数求解其单调性或最值?不会分类讨论?也许都不是.事实上,最主要是学生缺乏画草图的意识,想不到借助草图引领自己到达成功的彼岸.典例1 设函数f(x)=e mx+x2-mx.(1)证明: f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;(2)若对于任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.解析(1)证明: f '(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1≤0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意的x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1成立的充要条件是由f(1)-f(0)≤e-1,得e m-m≤e-1,构造函数g(m)=e m-m-e+1,求导得g'(m)=e m-1,令g'(m)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,g'(m)<0,g(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,g'(m)>0,g(m)为增函数.g(1)=0,g(-1)=2+-e<0,不妨设g(m1)=0,则m1<-1,画出g(m)=e m-m-e+1的大致图象,如图1所示,得g(m)≤0的解集为(m1,1).由f(-1)-f(0)≤e-1得,e-m+m≤e-1,构造函数h(m)=e-m+m-e+1,求导得h'(m)=-e-m+1,令h'(x)=0,得m=0,由指数函数的性质得m∈(-∞,0)时,h'(m)<0,h(m)为减函数,m∈(0,+∞)时,h'(m)>0,h(m)为增函数.h(-1)=0,h(1)=2+-e<0,不妨设h(m2)=0,则m2>1,画出h(m)=e-m+m-e+1的大致图象,如图2所示,得h(m)≤0的解集为(-1,m2).综上,m∈(-1,1).点拨此题起点低,落点高,第(1)问是大家熟悉的利用导数研究函数的单调性问题,一定要注意导函数的零点问题,再根据系数m对导函数的正负影响分类讨论;第(2)问处理恒成立问题,运用等价转化思想,转化为不等式组之后,又根据函数的单调性和分类讨论、数形结合的数学思想解题,以函数为载体,以导数为工具,以图形为航标,以综合运用数学思想方法为核心来考查考生的数学素养.1.已知函数f(x)=e x-e-x-2x.设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求实数b的最大值.典例2 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(2)当m≤2时,证明: f(x)>0.解析(1)f '(x) =e x-.由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f'(x)=e x-.函数f'(x)=e x-在(-1,+∞)上单调递增,且f'(0)=0,因此当x∈(-1,0)时, f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0.所以f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x-在(-2,+∞)上单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0).当x∈(-2,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值.f '(x)、 f(x)的大致图象如图.由f '(x0)=0得=,即ln(x0+2)=-x0,故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.所以当m≤2时, f(x)>0.点拨图形虽然简单,但它就像灯塔一样,指引着解题的方向.几乎所有的函数解答题的答案中都没有图形,因为只能画草图,根本画不出精确的图形.经过观察,发现数学成绩优良的学生与数学成绩一般的学生最大的差别有两点:(1)擅长画图,利用数形结合的方法解题;(2)擅长等价转化问题,把不熟悉、陌生的数学问题等价转化为熟悉的、已解决过的问题.2.设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.难点4 解答导数零点不可求问题的三种方法导数是研究函数的有力工具,其核心是由导数值的正、负确定原函数的单调性.用导数研究函数f(x)=0的单调性,往往需要解方程f '(x)=0.当该方程不易求解时,如何继续解题呢?1.猜——猜出方程f '(x)=0的根典例1 设f(x)=.(1)若函数f(x)在(a,a+1)上有极值,求实数a的取值范围;(2)若关于x的方程f(x)=x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范围.解析(1)f '(x)=-,令f '(x)=0,得x=1.由f(x)在(a,a+1)上有极值,得即0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).(2)方程f(x)=x2-2x+k,即f(x)-x2+2x=k.设g(x)=f(x)-x2+2x,可得所求实数k的取值范围,即函数g(x)的值域.g'(x)=2(1-x)+.接下来,需求函数g(x)的单调区间,所以需解不等式g'(x)≥0及g'(x)≤0,因而需解方程g'(x)=0,但此方程不易求解,所以我们可以先猜后解.易得g'(1)=0,且当0<x<1时,g'(x)>0,当x>1时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)max=g(1)=2.进而可得函数g(x)的值域是(-∞,2],所以所求实数k的取值范围是(-∞,2].点拨当所求函数的解析式中出现ln x时,常猜x=1;当函数解析式中出现e x时,常猜x=0或x=ln x 0.求函数f(x)=e x+x2-(2+ln 2)x的最小值.2.设——设出方程f '(x)=0的根典例2 设函数f(x)=e2x-aln x.(1)讨论f(x)的导函数f '(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时, f(x)≥2a+aln.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2e2x-(x>0).当a≤0时, f '(x)>0, f '(x)没有零点;当a>0时,因为y=e2x单调递增,y=-单调递增,所以f '(x)在(0,+∞)上单调递增.又f '(a)>0,当b满足0<b<且b<时, f '(b)<0,故当a>0时, f '(x)存在唯一零点.(2)证明:设f '(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时, f '(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln,当且仅当x0=时取“=”.故当a>0时, f(x)≥2a+aln.点拨本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值,因此需要求f'(x)=0的根,但是f'(x)= 2e2x-=0的根无法求解,故设出f '(x)=0的根为x0,通过f(x)在(0,x0)和(x0,+∞)上的单调性知f(x)min=f(x0)=+2ax0+aln,进而利用基本不等式证得结论,这种解决方法类似解析几何中的设而不求.设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.3.证——证明方程f '(x)=0无根典例3 已知m∈R,函数f(x)=mx--ln x,g(x)=+ln x,h(x)=,若∃x0∈[1,e],使得f(x0)- g(x0)>h(x0),求实数m的取值范围.解析由题意知关于x的不等式f(x)-g(x)>h(x)在[1,e]上有解,即关于x的不等式<m(1<x≤e)有解.设u(x)=(1<x≤e),下面求函数u(x)的最小值.u'(x)=(1<x≤e),不易求解方程u'(x)=0.可大胆猜测方程u'(x)=0无解,证明如下:由1<x≤e,可得-(2x2+2)lnx<0;2x2-4ex-2=2(x-e)2-2e2-2<0,所以u'(x)<0.所以u(x)在(1,e]上是减函数,所以函数u(x)的值域是,进而可得所求实数m的取值范围是.点拨当利用导数求函数f(x)在区间[a,b]、[a,b)或(a,b]上的最值时,可首先考虑函数f(x)在该区间上是否单调,若单调,则f(x)在区间的端点处取得最值.若存在x使不等式>成立,求实数m的取值范围.难点5 “二次求导”在解题中的应用1.“二次求导”与函数单调性典例1 若函数f(x)=,0<x1<x2<π.设a=f(x1),b=f(x2),试比较a,b的大小.解析由f(x)=得f '(x)=,令g(x)=xcos x-sin x,∴g'(x)=-xsin x+cos x-cos x=-xsin x,∵0<x<π,∴g'(x)<0,即函数g(x)在(0,π)上是减函数,∴g(x)<g(0)=0,因此f '(x)<0,故函数f(x)在(0,π)上是减函数,∴当0<x1<x2<π时,有f(x1)>f(x2),即a>b.点拨为了得出f(x)的单调性,需判断f '(x)的符号,而f '(x)=的分母为正,只需判断分子xcos x-sin x的符号,引入新的函数g(x)=xcos x-sin x,再通过证g'(x)=-xsin x<0,得到g(x)是(0,π)上的单调递减函数,且知g(x)<0,从而得出f '(x)<0.通过二次求导,我们判断出了一次导函数的符号,并最终解决了问题.已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+x2,求f(x)的解析式及单调区间.2.“二次求导”与不等式的证明典例2 (2017课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明: f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2< f(x0)<2-2.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).设g(x)=ax-a-ln x,则f(x)=xg(x), f(x)≥0等价于g(x)≥0.因为g(1)=0,g(x)≥0,故g'(1)=0,而g'(x)=a-,g'(1)=a-1,得a=1.若a=1,则g'(x)=1-.当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.综上,a=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f '(x)=2x-2-ln x.设h(x)=2x-2-ln x,则h'(x)=2-.当x∈时,h'(x)<0;当x∈时,h'(x)>0.所以h(x)在单调递减,在单调递增.又h(e-2)>0,h<0,h(1)=0,所以h(x)在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.因为f '(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.由f '(x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0∈(0,1)得f(x0)<.因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e-1∈(0,1), f '(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2,所以e-2<f(x0)<2-2.点拨本题是应用导数证明不等式.证明的关键在于构造适当的函数,然后在相应区间上用二次求导的办法判断导数的符号,获得导函数的单调性,再利用单调性证明不等式.已知函数f(x)=me x-ln x-1.(1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)当m≥1时,证明: f(x)>1.3.“二次求导”与函数的极值(最值)典例3 设k∈R,函数f(x)=e x-(1+x+kx2)(x>0).(1)若k=1,试求函数f(x)的导函数f '(x)的极小值;(2)若对任意的t>0,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,都有f(x)<tx2,求实数k的取值范围.解析(1)当k=1时,函数f(x)=e x-(1+x+x2)(x>0),则f '(x)=e x-(1+2x),令g(x)=f '(x),则g'(x)=e x-2,令g'(x)=0,得x=ln 2,当0<x<ln 2时,g'(x)<0;当x>ln 2时,g'(x)>0,从而f '(x)在(0,ln 2)上递减,在(ln 2,+∞)上递增,故f '(x)的极小值为f '(ln 2)=1-2ln 2.(2)对任意的t>0,记函数F(x)=f(x)-tx2=e x-[1+x+(k+t)x2],x>0,根据题意得,存在s>0,使得当x∈(0,s)时,F(x)<0.易得F'(x)=e x-[1+2(k+t)x],令h(x)=F'(x),则h'(x)=e x-2(k+t).①若h'(x)≥0,因为h'(x)在(0,s)上递增,故当x∈(0,s)时,h'(x)>h'(0)≥0,于是F'(x)在(0,s)上递增,则当x∈(0,s)时,F'(x)>F'(0)=0,从而F(x)在(0,s)上递增.故当x∈(0,s)时,F(x)>F(0)=0,与已知矛盾;②若h'(x)<0,因为h'(x)在(0,s)上连续且递增,故存在s>0,使得当x∈(0,s)时,h'(x)<0,从而F'(x)在(0,s)上递减,于是当x∈(0,s)时,F'(x)<F'(0)=0,因此F(x)在(0,s)上递减.故当x∈(0,s) 时,F(x)< F(0)=0,满足已知条件.综上所述,对任意的t>0,都有h'(x)<0,即1-2(k+t)<0,亦即k>-t.已知函数f(x)=ax2-(a2+b)x+a ln x(a,b∈R).(1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1,b=0时,证明:f(x)+e x>-x2-x+1(其中e为自然对数的底数).难点6 “两招”破解不等式的恒成立问题第一招:函数法典例1 (2017课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,…<m,求m的最小值.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).①若a≤0,因为f=-+aln 2<0,所以不满足题意;②若a>0,由f '(x)=1-=知,当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增.故x=a是f(x)在(0,+∞)上的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时, f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知当x∈(1,+∞)时,x-1-ln x>0.令x=1+,得ln<.从而ln+ln+…+ln<++…+=1-<1.故…<e.而>2,所以m的最小值为3.点拨(1)对a分类讨论,并利用导数研究f(x)的单调性,找出最小值点,从而求出a.(2)由(1)得当x>1时,x-1-ln x>0.令x=1+,换元后可求出…的范围.(2016广东肇庆第三次模拟,21)已知函数f(x)=x2+ln x,g(x)=f(x)-2ax.(a∈R)(1)当a=0时,求f(x)在区间上的最大值和最小值;(2)若∀x∈(1,+∞),g(x)<0恒成立,求a的取值范围.第二招:分离参数典例2 已知函数f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;(2)若对任意的x∈[1,e],g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围. 解析(1)f '(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f '(x)=0,得x=0或x=.当x∈时, f '(x)<0,函数f(x)为减函数;当x∈时, f '(x)>0,函数f(x)为增函数;当x∈时, f '(x)<0,函数f(x)为减函数.∵f=+b, f=+b,∴f>f.∴f=+b=,∴b=0.(2)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x,∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x,由于不能同时取等号,∴ln x<x,即x-ln x>0,∴a≤(x∈[1,e])恒成立.令h(x)=,x∈[1,e],则h'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,x+2-2ln x=x+2(1-ln x)>0,从而h'(x)≥0,∴函数h(x)=在[1,e]上为增函数,∴h(x)min=h(1)=-1,∴a≤-1.点拨由不等式恒成立求解参数的取值范围问题,一般采用分离参数的方法,将其转化为求不含参数的函数的最值问题,如本例(2)转化为a≤,从而将问题转化为求函数h(x)=,x∈[1,e]的最小值问题.已知函数f(x)=2ln x+ax+(a∈R)的图象在x=2处的切线过点(-4,2ln 2).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式>m-恒成立,求实数m的取值范围.难点7 双变量的“任意性”与“存在性”问题1.“存在=存在”型∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B 的交集不为空集,即A∩B≠⌀.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.典例1 已知函数f(x)=x2-ax3,a>0,x∈R.g(x)=.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2-ax3,∴f '(x)=2x-2ax2=2x(1-ax).令f '(x)=0,得x=0或x=.∵a>0,∴>0,∴当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递减, f(x)在(-∞,-1]上的值域为.∵g(x)=,∴g'(x)==.∵当x<-时,g'(x)>0,∴g(x)在上单调递增,∴g(x)<g=,∴g(x)在上的值域为.若∃x1∈(-∞,-1],∃x2∈,使得f(x1)=g(x2),则1+<,a<.故实数a的取值范围是.已知函数f(x)=和函数g(x)=a·sin x-a+1(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )A. B.[1,2) C. D.2.“任意=存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)=g(x2),等价于函数f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B 的子集,即A⊆B.其等价转化的基本思想:函数f(x)的任意一个函数值都与函数g(x)的某一个函数值相等,即f(x)的函数值都在g(x)的值域之中.典例2 已知函数f(x)=,x∈[0,1].(1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围.解析(1)f '(x)==-,x∈[0,1].令f '(x)=0,解得x=或x=(舍去).当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表所示:x 0 1f '(x) - 0 +↘-4 ↗-3f(x)-所以f(x)的递减区间是,递增区间是.f(x)min=f=-4,又f(0)=-, f(1)=-3,所以f(x)max=f(1)=-3.故当x∈[0,1]时, f(x)的值域为[-4,-3].(2)“对于任意的x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立”等价于“在x∈[0,1]上,函数f(x)的值域B是函数g(x)的值域A的子集,即B⊆A”.因为a≥1,且g'(x)=3(x2-a2)<0,所以当x∈[0,1]时,g(x)为减函数,所以g(x)的值域A=[1-2a-3a2,-2a].由B⊆A,得1-2a-3a2≤-4且-2a≥-3,又a≥1,故1≤a≤.已知函数f(x)=x2-ax3(a>0),x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1.求a的取值范围.3.“任意≥(≤、>、<)任意”型∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,等价于f(x)min>g(x)max,或等价于f(x)>g(x)max恒成立,或等价于f(x)min>g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均大于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)<g(x2)恒成立,等价于f(x)max<g(x)min,或等价于f(x)<g(x)min恒成立,或等价于f(x)max<g(x)恒成立.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任何一个函数值均小于函数g(x)的任何一个函数值.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)>k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min>k恒成立,也等价于f(x)min-g(x)max>k.∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)-g(x2)<k恒成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max<k恒成立,也等价于f(x)max-g(x)min<k.典例3 设函数f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=+xln x,如果对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围.解析(1)f'(x)=3x2-2x.f'(x)>0时,x<0或x>,f'(x)<0时,0<x<.所以, f(x)的递增区间是(-∞,0),;递减区间是.(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,而f=-, f(2)=1,故f(x)在区间上的最大值f(x)max=f(2)=1.“对任意的x1,x2∈,都有f(x1)≤g(x2)成立”等价于“对任意的x∈,g(x)≥f(x)max恒成立”,即当x∈时,g(x)=+xln x≥1恒成立,即a≥x-x2ln x恒成立,记u(x)=x-x2ln x,则有a≥u(x)max.u'(x)=1-x-2xln x,可知u'(1)=0.当x∈时,1-x>0,2xln x<0,则u'(x)>0,所以u(x)在上递增;当x∈(1,2)时,1-x<0,2xln x>0,则u'(x)<0,所以u(x)在(1,2)上递减.故u(x)在区间上的最大值u(x)max=u(1)=1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).点拨(1)∀x 1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)恒成立,通常等价转化为f(x)min>g(x)max.这是两个独立变量——双变量问题,不等式两边f(x1),g(x2)中自变量x1,x2可能相等,也可能不相等;(2)对任意的x∈[m,n],不等式f(x)>g(x)恒成立,通常等价转化为[f(x)-g(x)]min>0.这是单变量问题,不等式两边f(x),g(x)的自变量x相等.函数f(x)=+1(m≠0),g(x)=x2e ax(a∈R).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当m>0时,若对于任意的x1,x2∈[0,2], f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围.4.“任意≥(≤、>、<)存在”型∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)min>g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求大于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)max<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的任意一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,但并不要求小于函数g(x)的所有函数值.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于f(x)min-g(x)min>k.∀x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于f(x)max-g(x)max<k.典例4 函数f(x)=ln x-x+-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意的x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.解析“对任意的x 1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2)成立”等价于“f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在[1,2]上的最小值,即f(x)min≥g(x)min(*)”.f '(x)=--=,当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(1,2)时, f '(x)>0, f(x)单调递增.故当x∈(0,2)时, f(x)min=f(1)=-.又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],①当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>3,此时与(*)矛盾;②当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0,同样与(*)矛盾;③当b∈(2,+∞)时,g(x)min=g(2)=8-4b,由8-4b≤-,得b≥.综上,实数b的取值范围是.已知函数f(x)=x3+x2+ax.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求a的最小值;(2)若g(x)=,∀x1∈,∃x2∈,使得f '(x1)≤g(x2)成立,求a的取值范围.5.“存在≥(≤、>、<)存在”型若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)>g(x2)成立,等价于f(x)max≥g(x)min.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值大于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于f(x)min<g(x)max.其等价转化的基本思想是函数f(x)的某一个函数值小于函数g(x)的某一个函数值,即只要有这样的函数值即可.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)>k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]max>k,也等价于f(x)max-g(x)min>k.若∃x1∈D1,∃x2∈D2,使得f(x1)-g(x2)<k成立,等价于[f(x1)-g(x2)]min<k,也等价于f(x)min-g(x)max<k.典例5 已知函数f(x)=4ln x-ax+(a≥0).(1)直接写出函数f(x)的单调区间;(2)当a≥1时,设g(x)=2e x-4x+2a,若存在x1,x2∈,使f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围.解析(1)当a=0时,函数f(x)的递减区间为,递增区间为.当0<a<1时,函数f(x)的递减区间为,,递增区间为.当a≥1时, f(x)的递减区间为(0,+∞).(2)“存在x1,x2∈,使f(x1)>g(x2)”等价于“当x∈时, f(x)max>g(x)min”.由(1)知,当x∈时,f(x)max=f=-4ln 2+a+6,由g'(x)=2e x-4>0,得x>ln 2,所以g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+∞)上单调递增,故当x∈时,g(x)min=g(ln 2)=4-4ln 2+2a,由f(x)max>g(x)min,得-4ln 2+a+6>4-4ln 2+2a,又a≥1,所以1≤a<4.设函数f(x)=-ax.(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,求实数a的最小值;(2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f '(x2)+a成立,求实数a的取值范围.难点8 “不规则”几何体的三视图问题1.放置方式的“不规则”典例1 (1)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.48B.32+8C.48+8D.80(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B. C. D.答案(1)C (2)B解析由三视图可得该几何体是一个直四棱柱.如图,直四棱柱ABCD-A 1B1C1D1.因为放置方式上的“不规则”,把直四棱柱的一个侧面放置在水平面上而不是把底面放置在水平面上,可能在脑海里会形成“不规则”几何体的形象,它实际上是一个常见的规则几何体.由三视图可得该直四棱柱的底面是一个上底边长为2,下底边长为4,高为4的等腰梯形,侧棱长是4,所以计算可得答案是C.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥,其直观图如图所示,△PAD为正三角形,四棱锥的底面是直角梯形ABCD,且平面PAD⊥平面ABCD,四棱锥的高为,∴所求体积V=××=,故选B.点拨以上两道题的难度虽然不大,但是如果不清楚几何体的放置方式,解决起来有一定的难度,所以同学们在平时学习中要从放置方式的变化上去认识一些规则几何体对应的三视图.1.某四面体的三视图如图所示,在该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )。

高考数学重难点及考点知识介绍1．高考数学重难点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。

难点：函数、数列、圆锥曲线。

2．高考数学考点：（1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。

（2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。

（3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。

（4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最简三角方程。

（5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。

（6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。

（7）直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。

（8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。

（9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。

（10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。

（11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。

（12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。

（13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。

（14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。

高三数学难点解析与攻克方法随着高中阶段的数学学习逐渐深入，很多学生会遇到难以理解和攻克的数学难点。

本文将针对高三数学学习的难点进行解析，并提供一些有效的攻克方法。

希望能够帮助同学们在高三数学学习中取得更好的成绩。

一、函数与图像函数与图像是高中数学中的重点与难点之一。

学生们在学习函数时，往往容易混淆函数的概念以及如何根据函数绘制图像。

事实上，只要掌握了函数的特性和图像的基本规律，就能轻松应对这一难点。

攻克方法：1.理解函数的定义和性质：函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。

要明确函数的定义域、值域以及奇偶性、单调性等性质。

2.学会根据函数的性质绘制图像：例如，对于一次函数，掌握斜率和截距对图像的影响；对于二次函数，掌握顶点和对称轴对图像的影响。

通过练习和思考，培养对图像的感觉。

二、数列与数列的求和数列是高中数学课程中的重要内容，而求和是数列中的一个常见问题。

很多学生在数列的求和过程中容易出错，这就需要对数列的定义和求和方法有一个清晰的认识。

攻克方法：1.熟悉数列的定义和常见的数列类型：例如，等差数列、等比数列等。

掌握数列的通项公式和递推公式，以便能够准确地找到数列的第n 项。

2.掌握数列求和的方法：根据数列的性质，可以通过等差数列求和公式或等比数列求和公式来求解。

学会化简求和式，合理运用求和公式。

三、立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，它需要学生具备较强的空间想象力和逻辑推理能力。

不少学生在学习立体几何时容易迷失方向，无法准确应用相应的定理与公式。

攻克方法：1.掌握立体几何的基本概念：了解各种立体图形的性质，如长方体、正方体、球等。

掌握重要的公式与定理，如勾股定理、平行四边形对角线定理等。

2.善于分析和解决问题：在解决立体几何问题时，分析题目给出的条件，将问题转化为几何图形的性质和关系，通过等效替换、对称性等方法来简化问题，从而找到合适的解决思路。

四、复杂方程与不等式高三数学中的复杂方程与不等式是学生普遍认为难以攻克的部分。

高考数学难点题型分析及解法分享随着高考越来越严格，高考数学中的难点题型也越来越多，尤其是在高二和高三的学习中，很多同学会遇到各种各样的难题，这就需要我们认真分析其难点所在，并采用针对性的方法进行解决。

本文将深入分析高考数学中的难点题型，并结合解题技巧分享解法。

一、平面向量平面向量在高考数学中被列入必考内容，其主要难点就在于矢量的运算和坐标系的转换。

我们首先需要理解平面向量的几何概念，如矢量的模、方向、共线性、垂直等等。

在矢量的运算中，加减、数乘和点积都是必须掌握的。

而坐标系的转换则需要掌握两个重要的公式：平移公式和旋转公式。

解题技巧：1.加减矢量时，要注意矢量的起点和终点必须一致；2.点积的运算需要注意矢量的顺序；3.坐标系的转换前，需要将向量先转换再进行公式的运算。

二、三角函数三角函数是高中数学学习中最难的部分之一，其中最重要的内容是弧度制和正弦余弦定理。

在弧度制的学习中，我们需要认清角度的概念及其与弧度的变换关系。

在正弦余弦定理的学习中，我们需要了解付出足够的时间和练习，才能掌握准确地描写和计算不同角度下的三角函数变化。

解题技巧：1.弧度制与角度制的转换要注意单位换算关系;2.在正弦余弦定理的应用中，要灵活运用三大公式（正弦定理、余弦定理和正切定理）；3.练习过多的题目，熟练掌握模板题的解题方法，然后再进行类比推出新的解法。

三、立体几何在高考数学中，立体几何是数学难度最高的部分之一，并且这个难度不只体现在难度系数上，更多地是体现在对思维的综合判断、分析能力的考查上。

在这一部分中，需要我们掌握的是空间直线和面的知识，以及立体图形的展开和表达方式，还要了解立体图形的中心和节数，最后要对空间解析几何的知识有掌握。

解题技巧：1.立体几何的解题方法应该优先考虑几何性质，而不是纯数学求解方法；2.了解黄金几何分割的概念，从而可以快速解决一些立体几何的题目；3.尽量将三维图形转化为二维平面上的图形，再进行求解，考虑用截距法或是向量法来解决此类问题。

高三数学备课的重点难点讲解技巧高三数学备课的过程中，重点和难点的讲解技巧至关重要。

想象一下，数学就像一个繁复的迷宫，每个知识点都是迷宫中的一个关卡。

要有效地引导学生通过这个迷宫，首先要清楚地了解每个知识点的重要性及其在整个课程中的位置。

首先，识别并明确各个知识点的核心内容至关重要。

重点知识是整个课程的骨架，理解这些核心内容有助于学生建立牢固的基础。

例如，在讲解函数的极值时，需要强调函数的定义、求导法则及应用。

通过将这些核心概念串联起来，学生能够更好地理解如何解决相关问题。

其次，针对难点的讲解需要采取细致入微的策略。

这些难点往往是学生理解的障碍，如解析几何中的综合题目或高次方程的解法。

在备课时，要通过具体的例题和步骤讲解，让学生能够循序渐进地掌握难点。

使用图示或实例来解释抽象的概念，可以帮助学生更清晰地理解这些复杂的内容。

此外，设置适当的练习和反馈机制也是提高教学效果的重要手段。

在讲解重点和难点时，设计针对性的练习题，并在课后及时给予反馈，能够帮助学生巩固知识，发现并纠正错误。

通过不断的练习，学生逐步消化和吸收这些难点内容，从而达到更高的掌握水平。

另一种有效的方法是运用多样化的教学资源。

例如，使用数学软件进行动态演示，或借助网络上的教学视频，这些都可以为学生提供不同的视角和更直观的理解方式。

这样，学生在面对复杂的数学问题时，就能更容易找到解决的方法。

最后，不要忽视学生的反馈。

在教学过程中，要时刻关注学生的理解情况，根据他们的反馈调整教学策略。

如果发现某些知识点仍然让学生感到困惑，可以通过更多的例题讲解或不同的解释方式进行补充，确保学生能够真正掌握这些重要的内容。

通过以上方法，高三数学的备课可以变得更加高效。

确保学生能够在最短的时间内掌握最关键的知识点，同时克服学习中的难点，这样才能帮助他们在高考中取得理想的成绩。

高三数学备考解析高考数学难点1. 高考数学的难点分析高考数学在许多学生眼中都有一定的难度和挑战性。

主要难点可以归纳为以下几个方面：1.1 高考数学的抽象性高考数学涉及到很多抽象的概念和理论，需要学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力。

一些数学问题需要学生通过建立模型或者利用数学定理进行求解，这对于部分学生而言是一种挑战。

1.2 高考数学的题目多样性高考数学中的题目种类繁多，既有选择题、填空题，也有解答题、证明题等。

每种题型都有其独特的解题方法和技巧，需要学生具备全面和扎实的数学知识，同时还需要能够将知识灵活应用到不同的题目中。

1.3 高考数学的思维要求高考数学注重学生的思考和推理能力，要求学生具备一定的解题思路和解题方法。

有些题目需要学生在一定的时间限制内快速做出正确的判断和计算，这对于部分学生而言是一种考验。

2. 高三数学备考解析2.1 知识复习在备考期间，学生需要将高三学习中所涉及的数学知识进行系统的复习和梳理。

可以按照课本的知识点进行分类，逐一进行回顾和巩固。

同时，也要注重对于易错点和易混淆点的掌握，针对性地进行复习和强化。

2.2 解题技巧培养高考数学注重解题方法和技巧的应用。

学生可以通过大量的练习题来熟悉常见的解题思路，能够快速准确地选择合适的方法进行解题。

还可以参考一些解题技巧的专题书籍或者教辅材料，提升解题的效率和准确性。

2.3 模拟训练在备考期间，定期进行模拟考试是很有必要的。

通过模拟考试可以熟悉高考数学的考试流程和题型，及时发现自己的不足和问题，并进行相应的调整和提高。

同时，还可以通过模拟考试来检验备考的效果和进展。

2.4 注意答题细节高考数学中的一些小问题和细节往往能够影响到最终的得分。

因此，学生在答题的过程中要注意细致入微，避免粗心和马虎。

包括书写规范、符号使用准确、计算过程清晰等方面的要求都需要严格遵守，以提高得分的准确性。

3. 总结高三数学备考需要学生全面复习知识、熟悉解题技巧，同时还要注重模拟训练和答题细节的把握。

高三数学备课的知识点难点解析高三数学备课中的知识点和难点解析，如同一位经验丰富的老师在面对一群充满求知欲的学生时，细致入微地剖析每一个难点，解答每一个疑问。

首先，代数部分是高三数学中的基础且关键的组成部分。

函数是这一部分的核心，尤其是对函数的性质、图像以及应用题的掌握。

函数的图像不仅仅是曲线的描绘，更是理解函数特性的关键。

学生们常常在这里迷失，因为图像上的细节和变化关系复杂。

因此，备课时需要重点强调函数的图像与性质的关系，尤其是极值、渐近线、对称性等概念的应用。

通过具体的例题和图像分析，使学生能逐步掌握如何从图像中提取信息，并将这些信息运用到实际问题中去。

其次，几何部分中的难点常常体现在空间几何和立体几何的综合运用上。

高三数学中的空间几何问题不仅要求学生具备良好的立体想象能力，还需要理解复杂的几何关系。

在备课时，教师需重点解析空间几何体的基本性质、体积和表面积计算，以及如何运用几何公式进行复杂问题的求解。

通过细致的步骤讲解和图示，帮助学生在空间几何的学习中建立起清晰的思维框架。

进一步地，解析几何中的难点在于坐标系中的代数与几何的结合。

特别是在处理直线、圆锥曲线的问题时，坐标系的运用显得尤为重要。

学生在解决这些问题时常常需要将几何问题转化为代数问题，并运用方程组等方法进行求解。

因此，备课时应重点讲解如何将几何问题用代数语言描述，如何通过代数方法解决几何问题。

加强代数与几何的结合训练，可以帮助学生更好地掌握这一部分的知识点。

最后，概率与统计部分是高三数学中不可忽视的难点。

尽管概率与统计在日常生活中有广泛的应用，但在数学考试中，这一部分的题目往往涉及复杂的计算和理论。

备课时需要详细讲解概率的基本概念、概率分布、随机变量等内容，并通过大量的练习题帮助学生理解和掌握这些概念。

在统计方面，重点讲解数据分析、概率分布的应用以及如何解读统计数据，是提高学生应对考试的关键。

通过以上几个方面的备课和解析，不仅帮助学生应对高三数学考试中的各种难点，还能为他们的数学思维打下坚实的基础。

高考数学知识点难题高考是每个学生都必须要面对的一次重要考试，其中数学作为一门必修科目，对于许多学生来说是一座难以逾越的高山。

数学题中总有那么一些难题，让人趋之若鹜又倍感头疼。

下面就让我们一起来探讨一下高考数学中的一些知识点难题。

一、函数与方程函数与方程是高考数学的重要内容之一。

而在这一部分中，关于函数的性质和变化规律的题目常常令人困惑。

以求函数的最值为例，在高考中我们经常会遇到这样的问题：给出一个函数，要求求其在某个特定区间内的最大值或最小值。

其中，这个特定区间可能是一个闭区间，也可能是一个开区间。

而在解题过程中，需要善于利用函数的性质和变化规律，运用极值的判定原理来求解。

而这一过程常常需要综合运用导数知识、函数图像的性质等等。

二、几何与三角在高考数学中，几何与三角是一类较为常见的知识点。

这部分的题目常常需要通过几何图形的性质和三角函数的关系来解决问题。

以直角三角形为例，经常会出现一些求解边长和角度的题目。

其中，一些题目可能会给出一个或几个边长，要求求解出其余的边长或角度。

这需要我们善于利用直角三角形的性质，如勾股定理和三角函数的定义来进行问题的求解。

而这一过程也需要运用到一些几何图形的性质，如相似三角形等。

三、概率与统计概率与统计是高考数学中的另一重要部分。

在这一部分中，主要涉及到一些计算概率和统计特征的题目。

以计算概率为例，常常会涉及到事件的概率计算、条件概率计算等。

而在这一过程中，我们需要关注事件的独立性、互斥性以及事件之间的关系等。

还需要善于运用排列组合的知识来解决问题。

而对于统计特征的题目，一般会给出一些数据，要求计算其均值、方差、标准差等。

在解决这类题目时，我们需要先计算出数据的总和、个数等统计量，然后根据相应的公式进行计算。

需要注意的是，计算过程中要注意四舍五入的原则以及使用正确的公式。

总结高考数学中的难题常常涉及到函数与方程、几何与三角、概率与统计等知识点。

解决这些难题需要我们善于运用相关知识，灵活运用不同的解题方法和策略。

专家指导：高考数学综合题解题思路点拨复习要点1．切实把握基础知识，提高解题操作技能。

2．注重数学思想和方法的明白得和把握。

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、进展和应用的过程中。

高考试题中，对数学思想和方法的考查也包蕴在其中，专门少直截了当表达。

数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化。

数学思维方法要紧包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观看法、试验法、专门化法等等，数学方法要紧指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些具体方法。

3．高考综合题重点考查的几种的能力。

（1）学习新的数学知识的能力，这是指通过阅读明白得往常没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则等），能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力。

（2）探究数学问题的能力是指运用学过的数学知识通过观看、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对数学问题进行探究和研究的能力。

（3）应用数学知识解决实际问题的能力指正确明白得问题的背景，分析实际问题给出的信息，进行提炼加工，建立相应的数学模型，运用所学的数学知识和数学方法解决问题。

（4）数学创新能力指的是运用已知信息开展数学思维活动，并产生某些新颖的有创见的能力。

题型解析下面就江苏高考综合题的热点题型作一分析，谈谈这些问题的解题思路，供同学们作参考之用。

一、函数与不等式函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容之一，函数的基础知识有：定义域、对应法则、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等。

通过函数图像，加深对函数性质的明白得，深化数形结合的思想。

不等式不仅是高中数学的重要内容，也是连续深造的重要基础，因此不等式一直差不多上高考命题的重点之一。

内容要紧包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用。

不等式和数学其他模块联系紧密，是重要的数学工具，将差不多不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势。

名师点拨：数学(理科)六类解答题应试技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！）。

二、数列题1、证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列；2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法；如果两端都是含n 的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。

三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单；2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系；3、注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。

四、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数；2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式；3、记准均值、方差、标准差公式；4、求概率时，正难则反（根据p1+p2+...+pn=1)；5.注意计数时利用列举、树图等基本方法；6.注意放回抽样，不放回抽样；7.注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在大题中的渗透；8.注意条件概率公式；9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题1、注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法；2、注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b （斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等；3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

高考数学难点要点概括高考数学是许多考生最为担心的科目之一，但是只要熟悉高考数学的难点和重点，就能够在考场上发挥出色。

本文将会介绍高考数学的难点和要点，帮助考生更好地备考和应对考试。

一、高考数学难点概括1. 知识点较多。

高考数学涉及的知识点非常多，包括数学分析、几何、代数、概率统计等等，不同的章节之间又有相互联系，需要考生对整个数学体系都有较为全面的了解。

2. 考查方式难以预测。

高考数学考试的题型多种多样，考查方式也很难预测，有的题目需要运用理论知识，有的题目需要进行数据分析，还有的题目需要运用思维策略解题。

3. 题目难度大。

高考数学考试的题目难度逐年增加，尤其是选择题难度不断提升，而且在某些地区，高考数学卷子被称作“体育卷”，其难度可想而知。

二、高考数学要点概括1. 强化基础知识。

要想在高考数学中取得较好的成绩，必须要有扎实的基础知识，因此考生要积极强化基础知识，建立起正确的知识框架，如数学分析中的导数、微积分、极限等等。

2. 注重练习解题。

高考数学中最重要的就是解题，因此考生不能光看书，还要注重练习，通过不断的解题，加深对知识点的理解和掌握，同时也能锻炼自己的思维能力。

3. 掌握解题策略。

高考数学很注重考查考生的解题策略和思维能力，考生可以通过多做题、多思考、多总结的方式，掌握解题策略，提高解题效率。

4. 注意理论与实践的结合。

高考数学中既需要掌握基础理论知识，也需要掌握实际应用能力，因此考生需要注意理论与实践的结合，同时也需要注重数字应用、实际问题的解决。

三、高考数学复习策略1. 先强化基础知识。

考生在复习时要先强化基础知识，对于生硬的公式和定理要多记忆和多复习，在此基础上逐渐提高。

2. 定时模拟考试。

考生在复习时要进行定时模拟考试，可以更好地掌握考试要点和做题策略，为考生在考试中的发挥提供帮助。

3. 阅读题目老师思路。

高考数学中有一些复杂的几何题或代数题，很难想清楚，考生可以在复习时注意阅读题目解题思路，理解解题策略，这样在考试时能更轻松地解答出题目。