高考数学难点突破 难点38 分类讨论思想

高考数学专题复习——分类讨论思想方法教案一、教学目标1. 让学生理解分类讨论思想方法在解决数学问题中的应用。

2. 培养学生运用分类讨论解决数学问题的能力。

3. 提高学生对高考数学题型的应对策略。

二、教学内容1. 分类讨论思想方法的定义及作用。

2. 分类讨论思想方法在高中数学中的应用实例。

3. 高考数学题型中分类讨论思想方法的具体运用。

三、教学重点与难点1. 重点：分类讨论思想方法的理解与应用。

2. 难点：如何引导学生自主发现和运用分类讨论思想方法解决数学问题。

四、教学过程1. 导入：通过一个简单的数学问题引入分类讨论思想方法。

2. 新课：讲解分类讨论思想方法的定义、作用和应用实例。

3. 练习：让学生尝试解决一些运用分类讨论思想方法的高中数学问题。

五、课后作业2. 布置一些运用分类讨论思想方法的高中数学题目，让学生课后练习。

3. 鼓励学生查阅相关资料，了解分类讨论思想方法在高考数学题型中的应用。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析典型的数学案例，让学生体会分类讨论思想方法的重要性。

2. 互动讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己在解决问题时运用分类讨论的经历。

3. 练习巩固：设计具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握分类讨论思想方法。

4. 拓展延伸：引导学生关注高考数学题型的新动态，了解分类讨论思想方法在实际应用中的广泛性。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题和解决问题的能力。

2. 课后作业：评估学生对分类讨论思想方法的理解和应用能力。

3. 阶段测试：通过阶段测试，检验学生对分类讨论思想方法的掌握情况。

4. 学生反馈：收集学生对教学过程和教学内容的意见和建议，不断优化教学方法。

八、教学资源1. 教材：选用权威的高中数学教材，为学生提供系统的知识体系。

2. 案例素材：收集各类高中数学题目，作为教学案例。

3. 教学课件：制作精美的教学课件，辅助课堂教学。

4. 网络资源：利用互联网查找相关资料，为学生提供更多的学习资源。

九、分类讨论思想方法在解答某些数学问题时；有时会有多种情况；对各种情况加以分类；并逐类求解；然后综合求解；这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法；也是一种数学思想。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性；能训练人的思维条理性和概括性；所以在高考试题中占有重要的位置。

分类原则；分类的对象是确定的；标准是统一的；不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。

分类方法；明确讨论对象；确定对象的全体 → 确定分类标准；正确进行分类 → 逐步进行讨论；获取阶段性结果 → 归纳小结；综合得出结论。

Ⅰ、再现性题组；1. 集合A ＝{x||x|≤4,x ∈R}；B ＝{x||x －3|≤a ；x ∈R}；若A ⊇B ；那么a 的范围是_____。

A. 0≤a ≤1 B. a ≤1 C. a<1 D. 0<a<12. 若a>0且a ≠1；p ＝log a (a 3＋a ＋1)；q ＝log a (a 2＋a ＋1)；则p 、q 的大小关系是_____。

A. p ＝q B. p<q C. p>q D.当a>1时；p>q ；当0<a<1时；p<q 3. 函数y ＝sin |sin |x x ＋cos |cos |x x ＋tgx tgx ||＋||ctgx ctgx的值域是_________。

4. 若θ∈(0,π2)；则lim n →∞cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ-的值为_____。

A. 1或－1B. 0或－1C. 0或1D. 0或1或－1 5. 函数y ＝x ＋1x的值域是_____。

A. [2,+∞)B. (-∞,-2]∪[2,+∞)C. (-∞,+∞)D. [-2,2]6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形；则它的体积为_____。

A. 893 B.493 C.293 D.493或8937. 过点P(2,3)；且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。

难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立. 当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜Sk 因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立. 综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立. ［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有 )(1a x ab y -+-= 由x –a ≠0，得a x y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=. ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π ∵xy COA ||tan = )1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-== ∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk -=-=θθθ 又tan2θ=–b∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k k kx a --=+ ③ 又xy k =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn nn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ； （3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )； 若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增. 从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1.综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43. ●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根.若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0.将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得 01)1()1(020=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x 0=01x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1设动点M 的坐标为(x ,y )， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f ∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()( 即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f 又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1. 因b ≠1，得∑==n k n x 1(x k –x k –1) =1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在. （3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1 ∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1.因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］.可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b .(3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。

高考备考破解高考数学难题11大技巧一、调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。

2. 先熟后生。

通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数： （1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位； （3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)． 【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B ．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？ （1）分成每组都是2本的三组； （2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)． （2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)． 【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种 【答案】B【解析】分两步进行分析:先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ） A. 9 B.10 C.11 D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种. 【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种； 故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中 （1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？ 【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用． 【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种 【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*) 则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．【点评】 （1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决． （2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）A.4100a =B.()21210n n a a n N ++=∈C.()22110n n a a n N -+=∈D.以上说法都不正确 【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+cS c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ①所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立. 当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜Sk 因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立. 综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立. ［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有 )(1a x ab y -+-= 由x –a ≠0，得a x y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=. ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π ∵xy COA ||tan = )1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-== ∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-= ∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan k k -=-=θθθ 又tan2θ=–b∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k k kx a --=+ ③ 又xy k =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn nn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ； （3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )； 若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增. 从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1.综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43. ●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根.若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0.将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得 01)1()1(020=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x 0=01x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1设动点M 的坐标为(x ,y )， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f ∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()( 即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f 又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1∴x n –x n –1=(b1)n –1,n =1,2,…… 由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1. 因b ≠1，得∑==n k n x 1(x k –x k –1) =1+b 1+…+1)1(111--=--b b b bn n 即x n =1)1(1---b b b n （2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→n lim x n 不存在. （3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b ); 当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1 ∵ba b a x b x f 4)2()(22+--= ∴ba b a f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1.因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b1–1≤1， ∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］.可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b .(3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。

高中数学差38分摘要：1.问题阐述：高中数学成绩差38分2.分析原因：基础知识不牢固、学习方法不当、心理因素等3.解决方案：制定学习计划、改进学习方法、调整心态、寻求辅导等4.实施计划：具体的学习行动和时间安排5.预期成果：提高数学成绩，达到预期目标正文：在学习高中数学的过程中，有时候可能会遇到一些困难，导致成绩不尽如人意。

比如，有些同学在数学考试中差38分就能达到预期目标。

针对这个问题，我们可以从以下几个方面进行分析和建议。

首先，要找出导致数学成绩差的原因。

这可能包括基础知识不牢固、学习方法不当、心理因素等。

基础知识是学习高楼的基石，如果基石不牢，高楼就会摇摇欲坠。

因此，要想提高数学成绩，首先要扎实掌握基础知识。

此外，学习方法和心理因素也对成绩有很大影响。

合适的学习方法可以提高学习效率，而良好的心态则是学习过程中不可或缺的保障。

接下来，针对以上原因，制定解决方案。

首先，要制定一个合理的学习计划，明确每天的学习任务和时间安排。

其次，改进学习方法，可以尝试使用多种学习工具，如教材、辅导书、网络资源等，互相补充，形成全面的知识体系。

同时，要学会总结和归纳，将所学知识系统化，加深理解。

此外，调整心态也非常重要，要学会面对困难和挫折，保持积极向上的心态。

如果需要，可以寻求老师和同学的帮助，共同进步。

在实施计划的过程中，要保持持续的努力和毅力，遵循学习计划，不断巩固基础知识，提高解题能力。

同时，要关注学习过程中的反馈，及时发现问题，调整学习策略。

最后，要有明确的预期成果。

设定一个可实现的短期和长期目标，激励自己不断向前。

通过以上措施，相信同学们在高中数学学习上会取得显著的进步，最终达到预期目标。

总之，要提高高中数学成绩，关键在于找出问题所在，制定合理的解决方案，并付诸实践。

只要同学们努力去学，相信一定能克服困难，取得理想的成绩。

第三讲 分类讨论思想要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论[解析] (1)①当2－a ≥2，即a ≤0时，22－a －2－1＝1， 解得a ＝－1，则f (a )＝f (－1)＝－log 2[3－(－1)]＝－2； ②当2－a <2即a >0时，－log 2[3－(2－a )]＝1， 解得a ＝－12，舍去．综上所述，f (a )＝－2，故选A. (2)由题意得q 2＝a 3＋a 6＋a 9a 1＋a 4＋a 7＝9，q ＝±3，①当q ＝3时，a 2＋a 5＋a 8＝3(a 1＋a 4＋a 7)＝6，S 9＝2＋6＋18＝26； ②当q ＝－3时，a 2＋a 5＋a 8＝－3(a 1＋a 4＋a 7)＝－6，S 9＝2－6＋18＝14.所以S 9＝14或26.[答案] (1)A (2)14或26解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．[对点训练]1．(2018·洛阳统考)已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当x1>1且x2>1时，x1＋x2>2且x1·x2>1成立，即充分性成立；当x1＋x2>2，且x1x2>1时，不妨取x1＝0.1，x2＝100，此时x1>1不成立，即必要性不成立．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分不必要条件，故选A.[答案] A2．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B ⊆A，则实数m的取值范围是________．[解析]当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2，满足B⊆A；当B≠∅时，若B⊆A，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． [答案] (－∞，4]要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论[解析] (1)根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，m －1<0，解得m <1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－m x ，由题意得，1－m 3－m＝12，解得m ＝13；②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m <0，m －1>0，解得m >3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3 x ，由题意得，m －1m －3＝12，无解．综上可知m ＝13，故选B(2)函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．①当a <－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)，由－(a ＋1)＝4，得a ＝－5，满足题意．②当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24，由a 24＝4，得a ＝±4(舍去)．③当a >2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1，由a －1＝4，得a ＝5，满足题意．综上可知，a ＝5或－5. [答案] (1)B (2)5或－5几类常见的由图形的位置或 形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化； (2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化； (4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等． [对点训练]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，由图，可得A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)． ①当3≤s <4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC 及其内部，此时，z ＝3x ＋2y 在点B 处取得最大值，且z max ＝3(4－s )＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.[答案] D4．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或83 3.[答案]43或83 3要点三由参数变化引起的分类讨论【例3】(2018·山东青岛调研)已知f(x)＝ax－(2a＋1)ln x－2 x，其中a∈R，讨论函数f(x)在定义域上的单调性．[解] 函数f (x )＝ax －(2a ＋1)ln x －2x 的定义域为{x |x >0}． f ′(x )＝(ax )′－(2a ＋1)(ln x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′＝a －2a ＋1x ＋2x 2＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x 2＝(ax －1)(x －2)x 2. 当a ＝0时，f ′(x )＝－(x －2)x 2. 可以看出，当x >2时，f ′(x )<0； 当0<x <2时，f ′(x )>0，所以，a ＝0时，函数f (x )在区间(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x 2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2.(ⅰ)若a <0，则1a <0<2，当0<x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0，所以a <0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减．(ⅱ)若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ；解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2<0，得2<x <1a .所以0<a <12时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在区间(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增． (ⅲ)若a ＝12，则f ′(x )＝(x －2)22x 2，在定义域(0，＋∞)上，总有f ′(x )＝(x －2)22x 2≥0.所以a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数． (ⅳ)若a >12，则0<1a <2，解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x2>0，得0<x <1a 或x >2； 解不等式a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)x 2<0，得1a <x <2.所以，a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0,2)上单调递增；在(2，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫2，1a 上单调递减；在(0,2)，⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，在定义域(0，＋∞)上，函数f (x )为单调递增函数；当a >12时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上单调递减．破解由参数变化引起分类讨论的4个关键点(1)确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．(2)确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．(3)分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解． (4)得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论． [对点训练]5．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3.由于f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x >1时，f (x )>0⇔ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，①当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，∴g ′(x )>0，则g (x )在(1，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0，因此g (x )>0.②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a－1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，∴g (x )在区间(1，x 2)上单调递减，且g (1)＝0，此时g (x )<0，与已知矛盾，舍去．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．1.分类讨论的原则 (1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 2.分类讨论的思维流程明确讨论的对象和动机―→确定分类的标准―→逐类进行讨论―→归纳综合结论―→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．专题跟踪训练(三)一、选择题1．(2018·佛山二模)若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43[解析] 若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m ＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43，故选D.[答案] D2．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析] 因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4，故选B.[答案] B3．(2018·湖南郴州质量监测)甲、乙、丙三人站成一排照相，甲排在左边的概率是( )A ．1 B.16 C.12D.13[解析] 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲排在左边的站法为2种，∴甲排在左边的概率是26＝13，故选D.[答案] D4．(2018·湖北武汉调研)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋2y ≤4x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143D ．3或－113[解析] 先画出线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z ＝x ＋ay 取最大值只需直线在x 轴上的截距最大，当a >0时，－1a <0，①若－12<－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a <－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a >12，即－2<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113，故选D. [答案] D5．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[解析] 解法一：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ， 其对称轴为x ＝－2a .当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．当a <0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法二：由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4， 要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x ， 因为－2x 在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，故选B.解法三：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上单调递增，最大值为f (2)，满足题意，排除A 、C 、D ，故选B.[答案] B6．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为a log a b >a 1，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为a log a b <a 1，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.综上可知，选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合； 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0. 综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0. [答案] x ＝3或3x －4y ＋7＝08．已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．[解析] ∵2sin2α＝1＋cos2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1， 即2sin αcos α＝cos 2α.①当cos α＝0时，α＝k π＋π2(k ∈Z )， 此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1； ②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3. 综上所述，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为－1或3. [答案] －1或39．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．[解析] 若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.[答案] 72或2 三、解答题10．(2018·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，求△ABC 的面积．[解] 解法一：由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.∵A ＝π3，∴0<B <23π，∴－π3<2B －π3<π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2. 当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.解法二：∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B .当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6， ∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.11．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值．[解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意可得2b ＝|1－9|2＝4，所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫满足x 25＋y 24＝1，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ， 所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2.①若－4t ≤－2，即t ≥12时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，且|QM |max ＝4t ＋3＝322， 解得t ＝38<12(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值， 且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24.综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.12．(2018·东北三校联考)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R ，讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] 由题意知函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． (ⅰ)当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； (ⅱ)当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14. 由g (－1)＝1>0， 可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点； 当a >89时，函数f (x )有两个极值点．。

难点38 分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f (x )=x 2+｜x –a ｜+1，x ∈R .(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小值.［例1］已知{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为它的前n 项和. （1）用S n 表示S n +1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+cS c S k k 成立. 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由S n =4(1–n21），得 221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *) 故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *）因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥23S 1–2=1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为c S >=-252232，由S k ＜S k +1(k ∈N *)得 23S k –2＜23S k +1–2 故当k ≥2时，23S k –2＞c ，从而①不成立. 当c =3时，因为S 1=2，S 2=3，所以当k =1，k =2时，c ＜Sk 因为c S >=-4132233，又23S k –2＜23S k +1–2 所以当k ≥3时，23S k –2＞c ，从而①成立. 综上所述，不存在自然数c ,k ,使21>--+cS c S k k 成立. ［例2］给出定点A （a ,0)（a ＞0）和直线l ：x =–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B （–1，b )，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =–bx .设点C (x ,y )，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ①依题设，点C 在直线AB 上，故有 )(1a x ab y -+-= 由x –a ≠0，得a x y a b -+-=)1( ② 将②式代入①式，得y 2［(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2］=0若y ≠0，则(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )若y =0则b =0,∠AOB =π，点C 的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(i)当a =1时，轨迹方程化为y 2=x (0≤x ＜1) ③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C (x ,y )，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a xa y EA DA CE BD +-=⋅=. ∵∠COA =∠COB =∠COD –∠BOD =π–∠COA –∠BOD∴2∠COA =π–∠BOD ∴COACOA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠ BOD BOD tan )tan(-=∠-π ∵xy COA ||tan = )1(||||||tan a xa y OD BD BOD +-== ∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0＜x ＜a )(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为(1–a )x 2–2ax +(1+a )y 2=0(0≤x ＜a )以下同解法一.解法三：设C (x ,y )、B (–1,b )，则BO 的方程为y =–bx ，直线AB 的方程为)(1a x ab y -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC =θ,∴直线OC 的斜率为k =tan θ,OC 的方程为y =kx 于是2212tan 1tan 22tan kk -=-=θθθ 又tan2θ=–b∴–b =212k k - ① ∵C 点在AB 上 ∴)(1a x ab kx -+-= ② 由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k k kx a --=+ ③ 又xy k =，代入③，有 )(12)1(22a x xy x y x x y a --⋅⋅⋅+ 整理，得(a –1)x 2–(1+a )y 2+2ax =0 ④当b =0时，即B 点在x 轴上时，C (0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x 当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a =1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn nn n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A ={x ｜x 2–3x +2=0},B ={x ｜x 2–ax +(a –1)=0}，C ={x ｜x 2–mx +2=0}，且A ∪B =A ，A ∩C =C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 .三、解答题5.（★★★★）已知集合A ={x ｜x 2+px +q =0}，B ={x ｜qx 2+px +1=0},A ,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B ={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y =f (x )的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n +1(n =0,1,2,…)时，该图象是斜率为b n 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{x n }由f (x n )=n (n =1,2,…)定义.（1）求x 1、x 2和x n 的表达式；（2）计算∞→n lim x n ； （3）求f (x )的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f (x )=ax –bx 2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f (x )｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f (x )=(a –1)x 2+ax –41=0有解. 当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a 2–(a –1)＞0. 答案：252252+-<<--a 或a =1 2.解：(1)当a =0时，函数f (–x )=(–x )2+｜–x ｜+1=f (x )，此时f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (–a )=a 2+2｜a ｜+1.f (–a )≠f (a ),f (–a )≠–f (a )此时函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f (x )=x 2–x +a +1=(x –21)2+a +43 若a ≤21，则函数f (x )在(–∞,a ］上单调递减. 从而函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (a )=a 2+1若a ＞21，则函数f (x )在（–∞,a ]上的最小值为f (21)=43+a ，且f (21)≤f (a ). ②当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x –a +1=(x +21)2–a +43 若a ≤–21，则函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (–21)=43–a ，且f (–21)≤f (a )； 若a ＞–21，则函数f (x )在［a ,+∞)单调递增. 从而函数f (x )在［a ,+∞］上的最小值为f (a )=a 2+1.综上，当a ≤–21时，函数f (x )的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f (x )的最小值是a 2+1； 当a ＞21时，函数f (x )的最小值是a +43. ●歼灭难点训练一、1.解析：分a =2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C 46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A ={1,2},B ={x ｜(x –1)(x –1+a )=0},由A ∪B =A 可得1–a =1或1–a =2；由A ∩C =C ，可知C ={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22）三、5.解：设x 0∈A ，x 0是x 02+px 0+q =0的根.若x 0=0，则A ={–2,0}，从而p =2,q =0,B ={–21}. 此时A ∩B =∅与已知矛盾，故x 0≠0.将方程x 02+px 0+q =0两边除以x 02，得 01)1()1(020=++x p x q . 即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B . ∵A ∩B ={–2},则–2∈A ,且–2∈B .设A ={–2,x 0}，则B ={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B =∅）. 若x 0=–21，则01x –2∈B ,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x 0=01x ，即x 0=±1. 即A ={–2,1}或A ={–2,–1}.故方程x 2+px +q =0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或 6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P ={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}.∵ON ⊥MN ,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1设动点M 的坐标为(x ,y )， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x 2–1)(x 2+y 2)–4λ2x +(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x =45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线； （2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f (0)=0，又由f (x 1)=1，当0≤y ≤1，函数y =f (x )的图象是斜率为b 0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f ∴x 1=1又由f (x 2)=2，当1≤y ≤2时，函数y =f (x )的图象是斜率为b 的线段，故由b x x x f x f =--1212)()( 即x 2–x 1=b1∴x 2=1+b1 记x 0=0，由函数y =f (x )图象中第n 段线段的斜率为b n –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f (x n )=n ,f (x n –1)=n –1∴x n –x n –1=(b 1)n –1,n =1,2,……由此知数列{x n –x n –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(x k –x k –1) =1+b 1+…+1)1(111--=--b bb b n n即x n =1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b bb b b x n n n n当0＜b ＜1，n →∞, x n 也趋于无穷大.∞→nlim x n 不存在. （3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y =x ，即当0≤x ≤1时，f (x )=x ;当n ≤y ≤n +1，即x n ≤x ≤x n +1由（1）可知f (x )=n +b n (x –x n )(n =1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y =f (x )的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y =f (x )的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1 ∵b ab a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a b a f 4)2(2=≤1∵a ＞0,b ＞0∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒–1≤f (x ），据此可以推出–1≤f (1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1⇒f (x )≤1.因为b ＞1，可以推出f (b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］.可以推出ax –bx 2≥b (x –x 2)–x ≥–x ≥–1即ax –bx 2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx 2≤2b x –bx 2≤1 即ax –bx 2≤1,∴–1≤f (x )≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b .(3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f (x )=ax –bx 2≥–b ≥–1即f (x )≥–1f (x )≤1⇒f (1)≤1⇒a –b ≤1即a ≤b +1a ≤b +1⇒f (x )≤(b +1)x –bx 2≤1即f (x )≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f (x )｜≤1的充要条件是a ≤b +1.。

分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

【综合练习】1．集合A ＝{|||≤4,∈R}，B ＝{||－3|≤a ，∈R}，若AB ，那么a 的范围是_____。

B a ≤1C a0、a ＝0、a0且a ≠1，tgx tgx ||||ctgx ctgx π2cos sin cos sin n n n n θθθ＋θ- 1C π4π4π4π21x 894929498912lg 2lg lg ++<+n n n S S S ()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2)lg()lg(a q q n 111()--a q q n 1212211()()--+lg lg S S n n ++22lg()lg()S c S c n n -+-+22a q qn 111()--a q q n 111()--a q q n 1211()--+a q qn 1111()--+a q 11-a q11-a q q n 11-lg()lg()S c S c n n -+-+22log log ..050522S S n n ++1a 1a ⎪⎩⎪⎨⎧+-022)1(11≥＝≤a f a 1141210<<->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a f aa ()＝14416820a f a ≥＝≥()-+⎧⎨⎪⎩⎪1212f a f a ()()1220416820＝≥＝≥-+-+⎧⎨⎩12212121122222max 2max 22=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛+->⇒+->x x x a x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠>+-+21012)6)(4(a a a a x a x 为常数，，2a4a6a 12122a 124a6a4a6a4a6a 124a6a6a4a 124a6a6a4a4a6a 126a4a126a4a1+a1+a1-a1+a1-a x y22+x y x y axy2222220-++==⎧⎨⎪⎩⎪1+a1+a1-a1-a1+a1-a,为曲线＝2上任意一点，则|MA|＝－a＋＝－a＋2＝－2a－1＋a＝[－a－1]＋2a－1由于＝2限定≥0，所以分以下情况讨论：当a－1≥0时，＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；当a－1<0时，＝0取最小值，即|MA}＝a；综上所述，有fa＝21aa-⎧⎨⎩||()()aa≥时时11<。

教学篇•方法展示解读分类讨论思想在高中数学解题中的应用杜佳星（甘肃省靖远县第一中学，甘肃靖远）数学思想是数学教育中的重点，能否掌握数学思想对于学生在数学领域的成长和未来发展有重要的影响。

分类讨论思想是解决高中数学各类数列、函数题目时应用频率较高的一种数学思想，是学生解决数学问题的有力手段，应用分类讨论思想可以为高中生解决数学问题提供一些思路和帮助。

相较于小学、初中阶段的数学而言，高中阶段的数学因为参数的增多、抽象性提高而表现出复杂的情况，如果还进行统一分析，很多学生很难理清复杂的题干关系。

而分类讨论思想之所以在高中数学教学和解题中受欢迎，是因为这种数学思想能够帮助学生简化题干关系，将一个问题分割成几个小问题，这些小问题更容易理解和解决。

一、分类讨论思想概述分类讨论思想是一种先分后合的数学分析思想，也是一种解决数学题目、完整回答问题的思路。

在应用分类讨论方法解决抽象的数学问题时，将一个复杂的大问题按照统一的标准划分为几个小问题，逐一解决这些小问题可有效化简大问题，提高问题的解决质量和效率。

二、分类讨论思想在高中数学中的举例说明（一）数列部分应用分类讨论思想数列部分是高中数学的重点之一，在数学考试中占据一定的分数比例。

分类讨论思想是高质量、高效率解决数列部分问题的有力方法，应用分类讨论思想能够帮助学生减小丢分的可能性。

例1.现有一等比数列，此数列中首项于题干中明确，但公比不确定设为系数a，求前N项的数值总和[1]。

这样一个数列问题可以作为母本出N个数列题目，而学生可以从解决这个母本问题入手。

现在，在没有具体数列、首项的干扰下，分析这道数列问题。

因题干中公比不确定，所以公比有两种情况：一种是公比数值为1，另一种是公比数值不为1。

当公比数值为1时，那么所求的前N项的数值总和就是前N项的乘积；当公比数值不为1时，那么所求的前N项的数值总和就是（首项+第N项）×N/2。

数列问题本来并不困难，但很多学生在解题过程中会忽视第一种公比数值为1的情况，导致解题过程和答案不完整。