抽象函数常见题型及解法综述

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知中x的取值范围为A，据此求的值域问题。

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得

所以函数的定义域是

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题

实质上相当于已知的值域B，且，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；

②，求f(3)，f(9)的值。

解：取，得

因为，所以

又取

得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已

知条件与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在，使得，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2

x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2

x f 中的2

x 满足412≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，

由此可得4

111)

2

1(3)2

1

(2)3(log 11

2

2

1≤

≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

111[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1

)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log 1122

1≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4

111[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2

x 满足412≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21

[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。 解：)(x f 的定义域是]21

[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中， 由此可得4

111)

2

1(3)2

1

(2)3(log 11

2

2

1≤

≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

111[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例3. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1

)6(1)2(=

抽象函数的一些常见类型与解决方法：

1） 求定义域：例1：已知函数(31)f x -的定义域是[2,3]-，求1(3)2

f x +的定义域

例2：已知函数()x f 的定义域为(-2,2),函数()(1)(32)g x f x f x =-+-，求函数()g x 的定义域

2） 求值域：例3：函数)(x f 的值域是[-1，5]，求函数(31)f x -的值域

例4：已知()y f x =的值域是[-1，3]，求2[()]3()y f x f x =+的值域

3）求函数的表达式，例5：若函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f x g x x +=

-，则()f x ＝ ，()g x ＝

例6：已知： ()f x 为定义在R 上的奇函数，且对任意x ，满足(2)()f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，有3()f x x =，求[1,5]x ∈时，()f x 的函数的解析式

4）解不等式：例7：已知：()y f x =在(1,1)-上是减函数，且2(1)(1)f a f a -<-，求a 的范围

例8：定义在] ,[22-上的偶函数g (x), 当x ≥0时g (x) 单调递减, 若)m ( g )m ( g <-1, 则m 的 取值范围是 .

例9：定义在R 上的奇函数()f x ，在R 上f （x ）为减函数，若(3)f ＝0，求使()0

xf x

围

5）求值：例10：设函数()y f x =，对任意x 满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =有且只有6个不同的根，求这6个根之和

抽象函数的常见题型及解法

一、 抽象函数的定义域

1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域

若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.

已知f(x)的定义域为[1，4]，求f(

)的定义域. 解: 由1≤

≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤

<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥

∴函数的定义域为:

2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域

若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]

3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域

先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第

∈21

+x

21+x x

1

x 1x

1

2

1

()⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,2

11,∈ϕϕ

二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.

若已知f(x+1)的定义域为，求函数f (

)的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21

[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。 二、求值问题

例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

三、值域问题

例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有

0)]2

([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，

一、求解析式的一般方法 1、换元法

例1：已知f(x+1)=x 2

-2x 求f(x)

解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2

-4t-3

∴f(x)=x 2

-4x-3

换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。 2、方程组法

例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x

1

)=3x ，求f(x) 解：令x=

x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2

-x

2f(x)+f(x 1)=x 3

∴f(x)= x

2

-x

例3 .

例4

3、待定系数法

例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)

则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1

例6：已知f(x)是多项式函数，

解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法

在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()

（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0

求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log 1122

1≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4111[， 二、求值问题

例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=

因为5

1)6(1)2(=

=f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得5

8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题

例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2

x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2

x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得

4111)21(3)21(2)3(log 1122

1≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x

所以函数)]3([log 2

1x f -的定义域是]4

11

1[，

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题

例 3. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1

)6(1)2(=

抽象函数的常见题型及解法

一、 抽象函数的定义域

1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域

若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.

已知f(x)的定义域为[1，4]，求f(

)的定义域. 解: 由1≤

≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤

<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥

∴函数的定义域为:

2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域

若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]

3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域

先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第

∈21

+x

21+x x

1

x 1x

1

2

1

()⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,2

11,∈ϕϕ

二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.

若已知f(x+1)的定义域为，求函数f (

)的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.

二、求值问丿抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。木文就抽象函数常见题型

及解法评析如下：

一、定义域问题

例1・已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。

解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54

从而函数f (x)的定义域是［1,4］

评析：一般地，已知函数.f(0(劝的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))

中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。

例2・己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。

解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得

一1 Slog】(3—兀)W 2 => (-)2 <3-x< (-)■' =>l

3 2 2 4

所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］

T 4

评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知0(兀)的

值域B,且Be A,据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

例3・已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②

f(x-y) = / W + /(y),求f (3) , f(9)的值。

抽象函数常见题型解法综述

一、定义域问题

例已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2

x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2

x f 中的2x 满足412

≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

例若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x

f y 的定义域。

解：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函

数)21(+=x

f y 而言，有1124x

-≤

+<，解之得：),21

(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为)

,21

(]31,(+∞--∞

二、求值问题

例. 已知定义域为+

R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5

1

)6(1)2(=

=f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=

因为51)6(1)2(==f f ，，所以5

4

)3(-=f 又取3==y x

得5

8

)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题

例设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2

)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。