抽象函数解题策略
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性
【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为
【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f =
【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。
1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则
_____
f =12
2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000)
______(1)(3)(5)(1999)
f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)
______(1)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =
3.对任意整数,x y 函数()y f x =满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(1)1f =，则(8)_____f -=19
4.函数()y f x =为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)______f =2
5.已知a 为实数，且01,()a f x <<是定义在[]0,1上的函数，满足(0)0,(1)1f f ==，对所有的x y
≤均有(
)(1)()()2x y f a f x af y +=-+，则____a =；1
()_____7
f =。 【解析】2113()(),()(1)244f a f a f a a a =∴==-+ ，又213144()()(1)[(1)]22
f f a a a a a a +
==-++-，解得12a =；设1()7f b =，则2011227()()(),()272277f f f f b +
==∴=，同理311()3,,(1)7,()777f b f b f b ==∴== 。 【题型3】判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求()f x 与()f x -的关系。
【例3】已知()f x 的定义域为R ，且对任意实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+，求证：()f x 是偶函数。
【分析】在()()()f xy f x f y =+中，令1x y ==，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=，令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =-+-⇒-=，于是()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，故()f x 是偶函数。
【题型4】判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，多用定义法解决。
【例4】函数()()f x x R ∈，当0x >时，0()1f x <<，且对任何实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，试判断函数()f x 的单调性。
【解析】令0x y ==，则有2(0)(0)f f =，故有(0)0f =或(0)1f =又有(1)(0)(1)0f f f =>而(1)0,(0)1f f ≠=。①当0x >时，0()1f x <<，当0x <时，0x ->，故有0()1f x <-<，而
()()(0)1f x f x f -==，故有1
()10()
f x f x =
>>-。又当0x =时，(0)10f =>，故对于任何x R ∈，有()0f x >。令122121,0,0()1x x x x f x x -∞<<<+∞->∴<-< ，故
21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，所以函数()f x 是减函数。
【例5】已知函数()f x 对任何正数,x y 都有()()()f xy f x f y =,且()0f x ≠,当1x >时,()1f x <。试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由。
【解析】对x R +∈
有2()0f x f f ==≥，又()0f x ≠，故()0f x >，设12,x x R +∈，且
12x x <，则211x
x >，则221121121111
()()()
()()1()()()x x
f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⋅⋅===<，所以12()()f x f x >,故()f x 在
x R +∈上为减函数。
1.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[7,3]--上是【B 】 A. 增函数且最小值为5- B. 增函数且最大值为5- C. 减函数且最小值为5- D. 减函数且最大值为5-
2.设函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+,若0x >时()0f x <,且(1)2f =-,求
()f x 在[]3,3-上的值域为 []6,6-
