最新高考-高考数学三角函数习题课 精品

可编辑修改精选全文完整版一、选择题1．如果角θ的终边经过点（3，-4），那么θsin 的值是（ ） A53 B 53- C 54 D 54- 2．)314sin(π-的值等于（ ） A21 B 21- C 23 D 23-3．若0835-=α，则角α的终边在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4．已知21sin -=θ，则)sin(θπ+等于A21 B 21- C 23 D 23-5．已知θ是第一象限角，那么2θ是（ ） A 第一或第三象限角 B 第二或第三象限角 C 第三或第四象限角 D 第一或第四象限角 6．已知θ是三角形的一个内角，且22sin =θ，则角θ等于（ ） A4π B 43π C 4π，43π D 3π7．已知0tan sin <⋅θθ，那么角θ是（ ）A 第一或第三象限角B 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角8．)421sin(2π+=x y 的周期、振幅、初相分别是（ ）A4,2,4ππB 4,2,4ππ-- C 4,2,4ππ D 4,2,2ππ9. sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在10．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数11． 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )12．为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位13．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 14．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6)二、填空题15.与34π终边相同的角的集合 16．已知45cos sin -=-θθ，则=⋅θθcos sin17．已知θ是第四象限角，125tan -=θ，则=θcos 18．已知=-=+-θθθθθtan ,35cos 2sin 3cos sin 2则19．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________．20..若a ＝sin(sin2009°)，b ＝sin(cos2009°)，c ＝cos(sin2009°)，d ＝cos(cos2009°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．三、解答题21．)660cos()330sin(750cos 420sin 0000-•-+•：计算22．求使)42sin(3π+=x y 取到最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值，及这个函数在[]π2,0的单调递增区间。

三角函数习题课（一）一、学习目标：1、熟悉三角函数的计算公式；2、熟练应用三角函数的公式进行恒等变换；3、通过强化训练、讲解加深对三角函数公式的理解与应用。

二、上节课典型误点（错题）讲解：三、课前小测：1.在复平面内表示复数(12)i i -的点位于（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有20x >； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧ .B p q ⌝∧⌝ .C p q ⌝∧ .D p q ∧⌝3、若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð A 、2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B 、2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、2(,0][,)2-∞+∞D 、2[,)2+∞ 4. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m5.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c6、已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ ） A ．2524- B ．2512- C ．2512 D ．2524 6、设函数32()f x x ax bx =++(0)x >的图象与直线4y =相切于(1,4)M ．求32()f x x ax bx =++在区间(0,4]上的最大值与最小值；四、本节知识分析及经典例题、练习巩固：（一）三角函数概念及诱导公式计算1、已知角α的终边过点(39,2)P a a -+，且cos α≤0，0sin >α，求a 的取值范围。

2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（ ）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（ ）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（ ）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（ ）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（ ）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（ ）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（ ）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。

新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

解：（Ⅰ）由1＋cos 2A ―cos 2B ―cos 2C ＝2sinB ·sinC 得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+ （2分） 由正弦定理得bc a c b =-+222，（4分）∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0＜A ＜π ∴3π=A （6分）21解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②（2分）∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b ∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列． （4分） 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=， 即sin 2cos 23x x +=-，∴2(sin 2)34x π+=-，…………………………………… 4分与|2(sin2)|24x π+≤矛盾，∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分 （Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+22cos 2sin 22(cos 2sin 2)2(sin 2)224x x x x x π=+=+=+，……… 8分 ∴2sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分16．⑴∵x x x f 2c o s 3)22co s (1)(-+-=π 1分 ＝)32sin(21π-+x3分 又由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ32,632x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)32sin(πx5分故22121)(min =⨯+=x f ，f (x )max ＝1+2×1＝3 6分⑵m x f -)(＜2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时⎩⎨⎧+<->2)(2)(min max x f m x f m9分结合⑴知：⎩⎨⎧=+<=->422123m m 故m 的取值范围是（1，4）12分20．⑴由x x f =)(得ax 2＋(2a －1)x ＝0(a ≠0)∴当且仅当21=a 时，x x f =)(有唯一解x ＝0，∴22)(+=x xx f 当1)(=n x f 得x 1＝2，由211122)(11=-+==++n n n n n n x x x x x f x 得 ∴数列}1{nx 是首项为2111=x ，公差为21的等差数列∴nx nn x n n 22)1(21211==-+=故 7分16.解：（1）BA BA B A B A b a sin cos cos sin sin sin cot tan 2222=∴=由正弦定理得'6,22sin 2sin ,cos sin cos sin 或直角三角形为等腰或即于是∆∆∴=+=∴==πB A B A B A B B A A（2）,,60B A c =∴︒='126120cos 22323432-=︒⨯⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⇒==∴∆∆AB CA CA BC BC AB a a S ABC 故是正三角形即19．解：（1）212142212111=---=---=-++n n n n n n n a a a a a b b故数列{b n }是等差数列 ………………………………3分nn a n n n b b n n 22,2212121)1(1+=∴=++=-+=, ……………………7分 16.解：（1）x x x x x x b a x f cos 2sin )sin (cos )sin (cos )(⋅+-⋅+=⋅=分的最小正周期分分分6.)(5)42sin(2)2sin 4cos 2cos 4(sin23)2sin 222cos 22(22sin 2cos 2cos sin 2sin cos 22 ππππ=∴+=+=+=+=+-=T x f x x x x x x x x x x x （2）.45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x …………8分 分有最小值时即当分有最大值时即当12.1)(,2,454210.2)(,8,242 -==+==+∴x f x x x f x x ππππππ18．解:（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈= ，……………2分又143log 2n n b a =-，故 32(*)n b n n N =-∈……………4分 （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分∴1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S …9分 两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …12分2321()(*)334nn n S n N +∴=-⨯∈……………12分解：（1）由已知条件及余弦定理得 3sin 3tan ,,2cos cos 2cos bc A A bc A A A=∴=∴3sin 2A =. ∵(0,)2A π∈,.3A π=故 ……………………6分（2）)50cos 50sin 31(70sin )]10tan(31)[10sin(︒︒-︒=︒--︒+A A= sin7050cos 50sin 350cos - =2sin7050cos )5030sin(-==－40sin 20cos 20sin 2=－1 21. 解（1）由n+1n n 12a 3a a -=-变形得2a 1+n -2a n = a n -a 1-n (n 2≥)，故2b 1+n =b n 故{}n b 是以a 2-a 1为首项，21为公比的等比数列。

-+ + -+ - +第15讲三角函数习题课【复习概要】三个方面的知识。

第一，任意角的三角函数的定义。

sin=y, cos=x, tan=y其中，r是点P到原点的距离，= r r x第二. 象限角的正负分布律。

这个分布律最后归纳到三张图里，就是正弦上下结构，余弦左右结构，正切对角结构。

记住这三张图的象限分布结构。

这是本节的重点。

第三，界限角的三角函数值，包括, 3的三角函数值。

0, , , 22 2例1.试题题干: 设sin< 0, t an> 0 ，则角是（）．选项A 第一象限角选项B 第二象限角选项C 第三象限角选项D 第四象限角分析：这道题，y 考察你对三角函数分布图的掌握y 。

x xsin- tanx2 +y2正弦是上下结构，正切是对角结构。

通过分布图发 现，要满足sin < 0 ,必须是在三，四象限角。

而要满足tan> 0 必须是一，三象限角。

显然，两个条件同时满足只有第三象限角。

因此，本题//答案选: C例2， 确定下列角的各三角函数值的正负号：(1). -325o (2). 35 根据前面学习的内容，确定题中给定的角是哪个象限 是十分关键。

分析：-325o 。

顺时针旋转325o ,终边一定停在第一象限，这是第一象限角于是，第一象限角的所有三角函数都是正数sin(-325°)>0,cos(-325°)>0, tan - 325o > 0 下一题， < 3< 是第二象限角，得出sin 3 > 0, cos 3< 0, tan 3< 0 .2 5 5 5 5例3 确定下列角的各三角函数值的正负号：(1). 4252o (2). - 196分析：第一个是角4252o 超过了360°，得4252o = 11⨯ 360o + 292o 。

根据终边相同的角的公式， 4252o 和292o 是终边相同的，显然292o 是逆时针旋转的第四象限角 。

2025届新高考一轮复习特训 三角函数一、选择题1．函数()sin 2f x =到()g x 的图象,则()g x =( )A.cos 4xB.cos x- C.cos 4x- D.sin x-2．已知()1sin ,tan 5tan 2αβαβ+==,则()sin αβ-=( )3．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是( )A.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.511,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,则cos 2α=( )355．与1990-︒终边相同的最小正角是( )A.80︒B.150︒C.170︒D.290︒6．已知tan α==( )7．下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )A.π0,2⎛⎫⎪⎝⎭B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭8．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭πT <<，且()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )D.3二、多项选择题9．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]y x =被称为高斯函数；例如[]2.13-=-，[]2.12=，已知()sin sin f x x =+()()x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是( )A.函数()g x 是偶函数B.函数()g x 是周期函数C.函数()g x 的图像关于直线x =()g x x =只有1个实数根10．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则( )A.()()πf x f x += B.()f x 的图象关于直线x =C.()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增11．已知函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =A.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B.函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增)()12x f x -=-D.函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称三、填空题12．若tan θ==____________.13．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC 的斜边AB ，直角边AC ，BC ，点E 在以AC 为直径的半圆上，延长AE ，BC 交于点D .若5AB =，sin CAB ∠=DCE ∠=ABE 的面积是______.14．如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是__________.四、解答题15．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度h （单位：cm ）由关系式πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭确定，其中0A >，0ω>，[0,)t ∈+∞.在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，且最高点与最低点间的距离为10cm .（1）求小球相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）和时间t （单位：s ）之间的函数关系式；（2）小球在0t s 内经过最高点的次数恰为50次，求0t 的取值范围.16．已知α=(1)写出与角α终边相同的角的集合;(2)写出在()4π,2π-内与角α终边相同的角.17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||πϕ<）图象的最高点为π,16⎛⎫⎪⎝⎭，距离该最高点最近的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式及单调递减区间；（2）若函数()(0)2a g x f x a ⎛⎫=>⎪⎝⎭，()g x 的图象关于直线x =()g x 在π0,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的值.18．已知函数（1）化简；（2）若的值.19．如图，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，且OA OB ⊥.cos αβ的值.()f x =()f x ()0f x =00π2π2cos(2)63x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭参考答案1．答案：A解析：()sin 2f x=ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象,再把横坐标缩短为原来的一半,得到()cos 4g x x =的图象故选：A.2．答案：A解析：因为()sin sincos +cos sin αβαβαβ+===cos 5cos sin αβαβ=,所以11sin cos cos sin 6cos sin ,cos sin ,sin cos 212αβαβαβαβαβ+====所以()5141sin sin cos cos sin .1212123αβαβαβ-=-=-==故选：A.3．答案：A解析：因为2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ωω⎡+∈+⎢⎣π[2π,3π)3+∈，所以5,42ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．答案：D解析：因为角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边过点()1,2P -,所以cos α==所以2cos 22cos 1αα=-=故选：D.5．答案：C解析：因为199********-=-⨯-︒︒︒，199********-=-⨯+︒︒︒，所以与1990-︒终边相同的最小正角是170︒.故选C.6．答案：B,故选：B.7．答案：A解析：方法一：令πππ2π2π262k x k -+-≤+≤，k ∈Z ，得π2π2π2π33k x k -+≤≤+，k ∈Z .取0k =，则π3x -≤≤ππ2π0,,233⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎭⎣⎦Ü，所以区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的单调递增区间.方法二：当π02x <<时，，所以在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故A 正πx <<π6x <-<()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当πx <<π6x <-<()f x 在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错误；当3π2π2x <<π6x <-<()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 错误.8．答案：A T <<2ππω<<，解得23ω<<.因为()y f x =的图象关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2b =，且，即，所以，又π4π4+=，解得ω=5π()sin 224f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以π5ππ3πsin 2sin 2122242f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.9．答案：AD解析：选项A ，函数()f x 的定义域为R ，2tan 313tan 2αα+==-πππ663x -<-<()f x 3ππsin 224b ω⎛⎫++= ⎪⎝⎭3ππsin 024ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πππ()24k k ω+=∈Z 2ω<<3ππ24ω<+<因为()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，当0πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，…因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象如下图所示由()()g x f x =⎡⎤⎣⎦可知，在0x ≥内，当2πx k =+∈Z 时，()2g x =，当π2π2π6k x k +≤≤+2πx k ≠+∈Z 时，()1g x =，当2π2πk x k ≤<5ππ2π2π6k x k +<≤+，k ∈Z 时，()0g x =，因为()()()()g x f x f x g x -=-==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()g x 为偶函数，则函数()g x 的图象如下图所示显然()g x 不是周期函数，故选项A 正确，B 错误，C 错误;()g x x =，当()0g x =时，0x =方程有一个实数根，当()1g x =时，x =π212⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，方程没有实数根，当()2g x =时，πx =，此时()π02g =≠，方程没有实数根，()g x x =只有1个实数根，故D 正确；故选：AD.10．答案：AD解析：对于A,函数()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==,()()πf x f x +=,A正确;对于B,由πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线x =对于C,由πππ2π32066332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,C 错误;对于D,当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,πππ2,322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,而正弦函数sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,因此函数()f x 在区间5ππ,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,D 正确.故选：AD.11．答案：ACD解析： 函数ππ()sin(3)22f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线x =ππ3π42k ϕ∴⨯+=+,k ∈Z ,ππ4k ϕ∴=-+,k ∈Z因为ππ22ϕ-<<,所以ϕ=π()sin(3)4f x x =-．函数πππ()sin 3sin 312124f x x x ⎡⎤⎛⎫+=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,故A 正确;当[,123ππx ∈,π3π0,434x ⎡-∈⎤⎢⎥⎣⎦,函数()f x 没有单调性,故B 错误;若12|()()|2f x f x -=,因为[]()1,1f x ∈-,所以()()1211f x f x =⎧⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x f x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,则12|x x -2π3=5π5ππsin 3sin 012124f π⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,故D 正确故选：ACD ．.解析：由题意得：DCE ACE ∠+∠=π2CAE ACE +∠=所以DCE CAE ∠=∠，故sin sin DCE CAE ∠=∠=cos CAE ∠==因为sin CAB ∠=45CAB ∠=故()sin sin sin cos cos sin EAB CAE CAB CAE CAB CAE CAB∠=∠+∠=∠∠+∠∠343455=⨯=因为5AB =，ACB ∠=CAB ∠=3BC =，4AC =又因为AEC ∠=CAE ∠=，所以cos 4AE AC CAE =∠==的cos 11cos sin cos tan 131cos cos θθθθθθθ====+++所以ABE △的面积是11sin 522S AB AE EAB =⋅⋅∠=⨯=14．答案：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z 解析：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为360120k ⋅︒+︒,k ∈Z ,终边落在阴影部分第四象限最左边的角为,k ∈Z .所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.故答案为：36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z .15．答案：（1）π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭（2）1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：（1）由题意得1052A ==.因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为1s ，所以最小正周期为2s ，即2T ==π=，所以π5sin π([0,))4h t t ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，当t =最高点.因为小球在0s t 0149504T tT +≤<+.因为2T =，所以01984t ≤<所以0t 的取值范围为1198,10044⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．答案：(1)π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z (2)36045k ⋅︒-︒36045360120{,|}k k k αα⋅︒-︒≤≤⋅︒+︒∈Z解析：(1)与角α终边相同的角的集合为π2π,3k k θθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .(2)令π4π2π2π3k -<+<,得136k -<<又k ∈Z ,2k ∴=-,-1,0,∴在()4π,2π-内与角α终边相同的角是17．答案：（1）π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z（2）a =5=解析：（1）由题意解题思路知A =5ππ126=-=所以πT =，2π2πω==，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+，得πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π2π2k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又||πϕ<，所以ϕ=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3π2π22π62k x k +≤+≤+，k ∈Z 2πππ3k x k +≤≤+，k ∈Z ，即()f x 的单调递减区间为π2π[π,π]()63k k k ++∈Z .（2）由（1）可得π()sin (0)6g x ax a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由()g x 的图象关于直线x =πππ62k =+，k ∈Z ，即51544a k =+，k ∈Z ，当π0,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππππ,66156a ax ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由()g x 在[π0,15ππ62+≤，即5a ≤.又0a >且51544a k =+，k ∈Z ，所以a =5=.18．答案：（1）π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）35-解析：（1）ππππcos 2cos 2π2tan 22333()ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）因为()00πcos 23f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以000ππππsin 2sin 2cos(2)6323x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0002πππcos 2cos 2πcos 2333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故00π2π33sin 2cos 2631010x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．答案：（1）1-（2）3225-解析：（1）由题意得π2βα=+sin sin cos cos αβαβ=πsin sin sin cos 21πcos sin cos cos 2αααααααα⎛⎫+⎪⎝⎭==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.35α=，sin α=则πcos cos sin 2βαα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭所以442sin cos 255αβ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭。

4.3三角函数的图象与性质考点一三角函数的图象及其变换1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sin-2xC.cos2-2x答案BC由题图可知,2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|U可知,2π|U=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵,0φ=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin22=cos22π--2x-2x,故选BC.2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin2+的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sin2tD.y=2sin2t答案D该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin2t2t故选D.易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-π4,而不是将2x变为2x-π4.评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin2t,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D将y=sin2x的图象向右平行移动π6个单位长度得到y=sin2=sin2t,故选D.评析将y=sin2t y=sin2t.4.(2016北京理,7,5分)将函数y=sin,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为π6的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3的最小值为π3答案A点,t在函数y=sin2t,∴t=sin2×π4=12.函数y=sin的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y=sin2x的图象,故s的最小值为π6.5.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C因为函数+φ+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k 的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.6.(2014课标Ⅰ理,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()答案C由题图可知:当x=π2时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈π2,OM=cosx,设点M到直线OP 的距离为d,则O=sinx,即d=OMsinx=sinxcosx,∴f(x)=sinxcosx=12sin2x≤12,排除B,故选C.7.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案A由题意得2π=254π4,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴π4+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=π4,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.8.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=χ2-π6(k∈Z)B.x=χ2+π6(k∈Z)C.x=χ2-π12(k∈Z)D.x=χ2+π12(k∈Z)答案B将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=2sin2π122π6象,由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),可得x=χ2+π6(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=χ2+π6(k∈Z),故选B.易错警示将y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,应该得到y=2sin2π12,而不是y=2sin2π12.9.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3π5)A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度答案D因为y=2sin3=2sin3y=2sin3π15个单位长度,可以得到y=2sin3x的图象,故选D.10.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin Bω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C 关于y轴对称,则ω的最小值是() A.16 B.14 C.13 D.12答案C设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),则g(x)=sin=sin B+π2又曲线C关于y轴对称,∴π2+π3=π2+kπ(k∈Z),∴ω=2k+13(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=13.故选C.11.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sinB.sin2C.cos2D.cos−22π3−π6=π2,∴T=π,由Tπ,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),答案BC由题图可知,0,∴=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2=sin2=cos2f(x)=sin2=sinπ−2=2,故选BC.12.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则=.2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin即=sinπ4=16.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin2,则φ=.答案56π解析令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f=cos2t2+φ=cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+π2=sin2x+φ-π2,因为与y=sin2+图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π.17.(2011浙江文,18,14分)已知函数+φ,x∈R,A>0,0<φ<π2.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=2π3,求A的值.解析(1)由题意得,T=2ππ3=6.因为P(1,A)在+φ的图象上,所以φ=1.又因为0<φ<π2,所以φ=π6.,-A).(2)设点Q的坐标为(x由题意可知π3x0+π6=3π2,得x0=4,所以Q(4,-A).连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=2π3,由余弦定理得cos∠PRQ=B2+R2-P22B·B=-12,解得A2=3.又A>0,所以A=3.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q 坐标,根据△PRQ 的边角关系,列出关于A 的方程是求解关键.考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=tan1+tan 2x的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π答案C 本题考查三角函数的周期.解法一:f(x)的定义域为Ux ≠kπ+2,k ∈Z .f(x)=sincos 1+sin cos2=sinx·cosx=12sin2x,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.解法二:f(x+π)=tan(rπ)1+tan 2(x+π)=tan 1+tan 2x =f(x),∴π是f(x)的周期.f π2=tan r π21+tan 2r π2,tan +π2=sin r π2cos r π2=cos -sin =-1tan ,∴f π2=-tan1+tan 2x ≠f(x),∴π2不是f(x)的周期,∴π4也不是f(x)的周期.故选C.方法总结函数周期的求法:(1)定义法:若f(x+T)=f(x),T≠0,则T 是f(x)的一个周期.(2)若T 是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是y=f(x)的周期.(3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1op (f(x)≠0)或f(x+a)=-1op (a 是常数且a≠0,f(x)≠0),则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.(4)若f(x)的图象关于直线x=a 和x=b 对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b 对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.2.(2018课标Ⅰ文,8,5分)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4答案B本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×1−cos22=52+3cos22,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.解题关键解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式3.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin2+3()A.4πB.2πC.πD.π2答案C本题考查三角函数的性质.由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin2T=2π=π.故选C.4.(2017天津,理7,文7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案A的最小正周期大于2π,∴4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,则ω=2π=23,又5π8+φφ=1.∴5π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ+π12,k∈Z.∵|φ|<π,∴φ=π12,故选A.易错警示根据f(x)的最小正周期T>2π,可知14T=11π8-5π8=3π4,得T=3π.若不注意已知条件,则容易出现34T=3π4,得T=π,从而造成错误.思路分析由三角函数的图象(图略)可知4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,ω=23,,2代入y=f(x)中解出φ的值即可.5.(2017山东文,7,5分)函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.y=3sin2x+cos2x=2sin2从而最小正周期T=2π2=π.6.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=15sin+cos()A.65B.1C.35D.15答案A∵f(x)=15sin+cos tcos cosx+12sinx=35sinx+5=35×2sin=65sin∴f(x)的最大值为65.故选A.一题多解∵cos t-x-x x,∴f(x)=65sin max=65.故选A.7.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案B f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sint+112,当sinx=1时,f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将-x转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].8.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π答案B∵f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)=4sin2,∴T=2π2=π,故选B.评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.9.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=12(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.10.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案A∵ω>0,∴T=2π=π,∴ω=2.又即φ=-1,得φ+4π3=2kπ+3π2,k∈Z,即φ=2kπ+π6,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin2,∴f(2)=Asin4-4+,f(0)=Asinπ6.∵π<4+π6<3π2,∴f(2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且y=sinx在-7π6,-π上为减函数,∴sin-4+-=sinπ6,且sin-4+从而有0<f(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).评析本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+π6与-4+π6的范围是解题的关键.11.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.χ-14B.2χ-14C.t14,kD.2t14,2k答案D由题图可知2=54-14=1,所以T=2.结合题图可知,在-34的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为-14由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为2t14,2k故选D.12.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos2,④y=tan,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案A ①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;③y=cos 2T=2π2=π;④y=tan 2t T=π2.因此选A.评析本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.13.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin B ,π单调递减,则ω的取值范围是()2C. D.(0,2]答案A 由π2<x<π得χ2+π4<ωx+π4<ωπ+π4,又y=sinα32π上递减,π4≥π2,+π4≤32π,解得12≤ω≤54,故选A.评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.14.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)>π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在0,B.f(x)C.f(x)在0,D.f(x)答案A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin ωx+φ+π4,∵周期T=2π=π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+π4=kπ+π2,φ=kπ+π4,k∈Z.又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sin 2=2cos2x,易得f(x)在,故选A.评析本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试题.15.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin 2+cos 2+则()A.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称答案D f(x)=sin2+cos2=2·sin2=2cos2x,其部分图象如图.故选D.评析本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.16.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,|U,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x),则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B依题意,有·-+φ=mπ,·π4+φ=nπ+π2(m、n∈Z),∴=2(tp+1, =2(rp+14又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x),得π≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9,f(x)=sin9.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin此时,当536π时,11x-π4∈2318π,f(x)不单调,不合题意.故选B.17.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos2x,则该函数为()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98答案D f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数.f(x)=cos x-cos2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2cos+98,当cos x=14时,f(x)max=98.故选D.解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos2x转化为关于cos x的二次函数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.18.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin3+cos3的最小正周期和最大值分别是() A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和2答案C解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.解析由题意知:f(x)=sin3+cos3=3cos=2sin T=2π13=6π;当,即x=34π+6kπ,k∈Z时,f(x)取最大值2,故选C.易错警示对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法求解.19.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin()A.0,B.πC.π,D.2π答案A解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin x 的取值范围,结合选项分析即可.解析f(x)=7sin令2kπ-π2≤−π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得2kπ-π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z,令k=0,得-π3≤≤2π3.故选A.20.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在−π2B.f(x)在−π4C.f(x)在D.f(x答案C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ<x<kπ+π2,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为χ,χ+k∈Z;令2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,解得kπ-π2<x<kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为χ−π2,χ,k∈Z.对于A,f(x)在−π2,−A错误;对于B,f(x)在−π0上单调递增,在B错误;对于C,f(x)在0,C正确;对于D,f(x D错误.故选C.21.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin B b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象2中心对称,则() A.1 B.32 C.52 D.3答案A∵2π3<T<π,ω>0,∴2π3<2π<π,∴2<ω<3①.又y=f(x2中心对称,∴=2,b3π2+π4=χ(∈Z),从而ω=2316(k∈Z)②,由①②知ω=52(取k=4),∴f(x),∴f=sin32π+2=1.22.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π个单位长度,得到函数y=sin f(x)=()B.+C.sin2D.2答案B将函数y=sinπ3个单位长度可得函数y=sin=sin+象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)B.易错警示(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.23.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<0中心对称,则()A.f(x)在区间0,12B.f(x)在区间−π12C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y x是曲线y=f(x)的切线答案AD 因为f (x 0对称,所以=0,即4π3+φ=k π,k ∈Z,故φ=k π-4π3,k ∈Z .结合0<φ<π,得φ=2π3,所以f (x )=sin 2对于A ,令π2+2k π≤2x +2π3≤3π2+2k π,k ∈Z,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z,故f (x )的单调递减区间为-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z .显然0,⫋−π12+χ,5π12+χ,k ∈Z,故.对于B ,f '(x )=2cos 2令f '(x )=0,得2x +2π3=k π+π2,k ∈Z,即x =χ2−π12,k ∈Z .又因为x ∈−π12x =5π12,故f (x )在区间−π12k ∈Z,故B 错误.对于C ,令2x +2π3=π2+k π,k ∈Z,解得x =-π12+χ2,k ∈Z,故C 错误.对于D ,结合B ,令2cos 2,得2x +2π3=2π3+2k π,k ∈Z 或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z,解得x =k π,k ∈Z 或x =π3+k π,k ∈Z,故其中一个切点为0,y =f (x )在该点处的切线方程为y x ,即y x ,故D 正确.故选AD .24.(2022全国甲理,11,5分)设函数f (x )=sin B 0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()答案C 由x ∈(0,π)得ωx +π3∈χf (x )=sin B 0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则ωx +π3的取值应包括π2,π,3π2,2π,5π2,所以5π2<ωπ+π3≤3π,解得136<≤83,即ω故选C .25.(2022北京,13,5分)若函数f (x )=A sin x -3cos x 的一个零点为π3,则A =;=.答案1;-2解析由题意知,即A sin π3−3cos π3=0,解得A =1,所以f (x )=sin x -3cos =2sin=2sin=−2sinπ4=−2=−2.26.(2022全国乙理,15,5分)记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为.答案3解析∵T =2π,ω>0,f (T )∴cos×2π+=cosφ∵0<φ<π,∴φ=π6,∴f(x)=cos B又,∴,∴π9+π6=kπ+π2(k∈Z),∴9=+13(k∈Z),∴ω=9k+3(k∈Z).∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.27.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为.答案2解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f−调性确定最小正整数x的值.解析设函数f(x)的最小正周期为T,则3413π12−π3=3π4,解得T=π,π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).0代入上式,得2π3+=π2+2kπ,k∈Z,∴φ=-π6+2kπ,k∈Z,取φ=-π6,∴f(x)=2cos26∴f−=−7π2=2cosπ3=1,==2cosπ2=0,∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.由f(x)>1,得2cos2,即cos2>12,①由f(x)<0,得cos2,②由①得-π3+2kπ<2x-π6<π3+2kπ,k∈Z,解得-π12+kπ<x<π4+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,11π12<<5π4;由②得π2+2kπ<2x-π6<3π2+2kπ,k∈Z,解得π3+kπ<x<5π6+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,π3<<5π6.综上,最小正整数x为2.方法点拨解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.28.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案5解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可知f(x)=2cosx+sinx=5sin(x+φ)(tanφ=2),∴f(x)的最大值为5.29.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.答案解析由已知得f(x)=2sin B令2kπ-π2≤ωx+π4≤2kπ+π2,k∈Z,由ω>0,得2χ-34π≤x≤2χ+π4, k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为-3π4所以(-ω,ω)⊆-3π4≤−ω,又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+π4=kπ+π2,k∈Z,解得ω2=kπ+π4,k∈Z,又所以30.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.答案解析由辅助角公式得cos=5sin(x-φ),其中由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+π2,k∈Z,即θ=φ+π2+2kπ,∴cosθ=cos评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.31.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为32,求m的最小值.解析(1)f(x)=12-12cos2x+=sin2t+12.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)知f(x)=sin2t+12.由题意知-π3≤x≤m.所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.要使得f(x)在-π3,m上的最大值为32,即sin2t6-π3,m上的最大值为1.所以2m-π6≥π2,即m≥π3.所以m的最小值为π3.32.(2016山东文,17,12分)设f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求.解析(1)f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=23sin2x-(1-2sinxcosx)=3(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-3cos2x+3-1=2sin+3-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是χ-π12,kπ或kt12,k(k∈Z)(2)由(1)知f(x)=2sin+3-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin t+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sinx+3-1的图象,即g(x)=2sinx+3-1.所以=2sinπ6+3-1=3.方法总结研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.33.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsinπ2-x·cos x-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4.解析(1)f(x)的定义域为Ux≠2+kπ,∈Z.f(x)=4tanxcosxcos-3=4sinxcos-3cos+sin-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,易知函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,B=U−12+kπ≤≤512∈Z,易知A∩B=-12所以,当x∈-π4,f(x)在区间-π12,在区间-π4.方法总结研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sinx的性质进行研究.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.34.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin2B分)所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(4分)依题意,π=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin24函数y=sinx的单调递增区间为2χ-π2,2kπ分)由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为χ-3π8,kπ分)易错警示本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x的系数.评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.35.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2t(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π3.解析(1)由已知,有f(x)=1−cos22-sin2-12cos2x=sin2x-14cos2x=12sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π3,在区间-π6,f=-14,f-=-12,f所以,f(x)在区间-π3最小值为-12.36.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=2sin2cos2-2sin22.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为=sin所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4.当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-37.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,.解析(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=2sin2所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2当x∈0,,2x+π4∈由正弦函数y=sinx,当2x+π4=π2,即x=π8时,f(x)取最大值2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为2+1,最小值为0.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.38.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)>的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ02π322πx356Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对,0,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ02π322πx123712561312πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin(2)由(1)知f(x)=5sin得g(x)=5sin2+因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,解得x=χ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x),0中心对称,令χ2+π12-θ=5π12,解得θ=χ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.39.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点,3.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x),3,-2,所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=Lin4π3ncos4π3,即312+-2=-3212n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+cos2x=2sin2由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin2+2设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g(x)=2sin2由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为χ-π2,kπ,k∈Z.40.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若α<求cos+.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2π=2.又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….由-π2≤φ<π2得k=0,所以φ=π2-2π3=-π6.(2)由(1)得=3sin2·2所以sin=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,所以cos t6因此cos t=sin t cosπ6+cos sinπ6=14××12=41.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin3(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角=45cos求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2χ3≤x≤π12+2χ3,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为-π42χ3,π12(2)由已知,有sin=45cos2α-sin2α),所以sinαcosπ4+cosαsinπ4π42α-sin2α).即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-2.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时综上所述,cosα-sinα=-2或评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.42.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-3cos2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-π4.解析(1)由已知,有cos-3cos2=12sinx·cosx-2=14sin2x-=14sin2x-=12sin2t所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,在区间-π12,f=-14,f-=-12,fπ4=14,所以函数f(x)在闭区间-π4上的最大值为14,最小值为-12.评析本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.43.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2 (1)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若求a,θ的值.解析(1)当a=2,θ=π4时,f(x)=sin+2cos(sinx+cosx)-2sinx4-x由x∈[0,π],知π4-x∈-3π4故f(x)在[0,π]最小值为-1.(2)由=0,oπ)=1得2θ-sint=1,由θ∈-π2cosθ≠0,解得=−1,=−π6.44.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若,π,且求α的值.解析(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=cos2xsin2x+12cos4x=12(sin4x+cos4x)sin4所以f(x)的最小正周期为π2,(2)因为所以sin4因为,π所以4α+π4∈所以4α+π4=5π2.故α=9π16.。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

第6讲三角函数经典精讲题一：函数2()22sin f x x x -,(02x π≤≤)则函数f (x )的最小值为（）A ．1B ．-2C D ．题二：设函数f （x ）=|sin x |+cos2x ，若62x ππ-≤≤，则函数f （x ）的最小值是． 题三：已知α、β为锐角，且2sin cos sin 1sin cos sin 1=-+⋅-+βββααα，则βαtan tan =题四：已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式． 题五：设函数22()cos()2cos ,32xf x x x π=++∈R . (1)求()f x 的值域;(2)记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,若()1f B =,1b =,c =求a 的值.题六：已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ (1)求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值; (2)若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求0cos 2x 的值. 题七：已知关于实数x 的不等式22(tan 1)(tan 1)||22x θθ+--≤， x 2－3(tan θ＋1)x ＋2(3tan θ＋1)≤0的解集分别为M ，N ，且M ∩N ＝∅，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围．题八：在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为()． A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54πB ．⎝⎛⎭⎫π4，π C.⎝⎛⎭⎫π4，54πD ．⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫54π，32π 题九：将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为 题十：先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________．题十一：已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值． 题十二：若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()． A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 题十三：在△ABC 中，2AB AC AB AC ⋅=-=，(1)求：AB 2+AC 2的值； (1) 当△ABC 的面积最大时求A 的大小。

课时规范练20《素养分级练》P362基础巩固组1.(重庆巴蜀中学高三月考)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是( ) A.-√32B.-12C.12D.√32答案:B 解析:原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin35°=-cos25°c os35°+sin25°sin35°=-cos(25°+35°)=-cos60°=-12.2.若角α的终边过点P(-3,4),则sin 2α+π2= ( )A.-2425B.-725C.725D.2425答案:B 解析:sin 2α+π2=cos2α=2cos 2α-1,由题意得cosα=-3√(-3)2+42=-35,所以sin 2α+π2=2×-352-1=-725,故选B.3.(安徽合肥高三月考)已知sin π4-θ=cos3π4+θ,则tan 2θ+π6=( )A.√33B.√3C.-√33D.-√3答案:A 解析:因为sinπ4-θ=cos3π4+θ,所以sin π4·cosθ-cos π4sinθ=cos 3π4cosθ-sin 3π4sinθ,则√2cosθ=0,所以cosθ=0,所以θ=π2+kπ,k∈Z,所以tan 2θ+π6=tan 2π2+kπ+π6=tan π6=√33. 4.(陕西榆林高三期中)已知α,β均为锐角,且(1-√3tan α)(1-√3tan β)=4,则α+β=( ) A.π3B.2π3C.3π4D.π2答案:B解析:由(1-√3tanα)(1-√3tanβ)=4,得1-√3tanβ-√3tanα+3tanαtanβ=4,所以-√3(tanβ+tanα)=3(1-tanαtanβ),所以tanα+tanβ1-tanαtanβ=-3√3=-√3,所以tan(α+β)=-√3,因为α,β∈0,π2,所以(α+β)∈(0,π),所以α+β=2π3,故选B.5.(四川南充高三月考)若2cos 2α-π3=1+cos 2α,则tan 2α的值为( ) A.-√33B.√33C.-√3D.√3答案:D 解析:2cos 2α-π3=212cosα+√32sinα2=12+sin 2α+√32sin2α=1-12cos2α+√32sin2α,由1-12cos2α+√32sin2α=1+cos2α,可得√32sin2α=32cos2α,又cos2α≠0,则tan2α=√3,故选D.6.(河北石家庄高三期中)已知π8<β<α<π2,且sin 2αsin π4-cos 2αsin5π4=13,sin 2βcos π4+cos 2βsin π4=√33,则sin(2α-2β)的值为( ) A.5√39B.√69C.-5√39D.-√69答案:B解析:由题知,sin2αsin π4-cos2αsin 5π4=sin2α·cos π4+cos2αsin π4=sin2α+π4=13,因为sin2βcos π4+cos2βsin π4=√33,所以sin 2β+π4=√33,又π8<β<α<π2,所以π2<2β+π4<2α+π4<π,则cos 2α+π4=-2√23,cos 2β+π4=-√63,所以sin(2α-2β)=sin 2α+π4-2β+π4=sin 2α+π4cos2β+π4-cos 2α+π4sin 2β+π4=√69,故选B.7.(多选)下列化简结果正确的是( ) A.cos 22°sin 52°-sin 22°cos 52°=12B.tan24°+tan36°1-tan24°tan36°=√3C.cos 15°-sin 15°=√22D.sin 15°sin 30°sin 75°=14答案:ABC解析:cos22°sin52°-sin22°cos52°=sin(52°-22°)=sin30°=12,所以A 正确;tan24°+tan36°1-tan24°tan36°=tan(24°+36°)=tan60°=√3,所以B 正确;cos15°-sin15°=√2(cos45°cos15°-sin45°sin15°)=√2cos(45°+15°)=√22,所以C 正确;sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin(90°-15°)=sin15°co s15°sin30°=12sin30°sin30°=18,所以D 错误.故选ABC.8.(陕西咸阳高三月考)tan 245°-tan 215°tan15°= .答案:2√3 解析:tan 245°-tan 215°tan15°=1-tan 215°tan15°=2tan30°=2√3.9.(山东济南高三月考)已知θ∈0,π2,2sin 2θ+cos 2θ=1,则tanθ= . 答案:2解析:因为2sin2θ+cos2θ=1,即2sin2θ=1-cos2θ,所以4sinθcosθ=2sin 2θ,又θ∈0,π2,所以sinθ≠0,cosθ≠0,故2cosθ=sinθ,所以tanθ=2.10.(重庆巴蜀中学高三模拟)已知tan θ-π4=12,则sin 2(θ+π4)cos2θ= .答案:-1解析:令t=θ-π4,则tant=12,θ=t+π4,所以θ+π4=t+π2,2θ=2t+π2,所以sin 2(θ+π4)cos2θ=sin 2(t+π2)cos(2t+π2)=cos 2t -sin2t=cos 2t -2sint ·cost=1-2tant=-1.综合提升组11.(湖南长沙高三期中)已知α,β∈(0,π),tan α+π3=√22,cos β+π6=√63,则cos(2α-β)=( ) A.-5√39 B.-√33C.5√39D.√33答案:D解析:cos(2α-β)=cos 2α+π3-β+π6-π2=sin 2α+π3-β+π6=sin2α+π3·cos β+π6-cos2α+π3sin β+π6.sin 2α+π3=2sin α+π3cos α+π3=2sin(α+π3)cos(α+π3)sin 2(α+π3)+cos 2(α+π3)=2tan(α+π3)tan 2(α+π3)+1=2√23,cos 2α+π3=cos 2α+π3-sin 2α+π3=cos 2(α+π3)-sin 2(α+π3)cos 2(α+π3)+sin 2(α+π3)=1-tan 2(α+π3)1+tan 2(α+π3)=13.因为cos β+π6=√63,β∈(0,π),所以β+π6∈0,π2,所以sin β+π6=√33,故cos(2α-β)=√33,故选D.12.(多选)(山东烟台高三期中)已知cos(α+β)=-√55,cos 2α=-45,其中α,β为锐角,则以下结论正确的是( ) A.sin 2α=35 B.cos(α-β)=2√55C.cos αcos β=√55D.tan αtan β=13答案:AB解析:因为cos2α=-45,0<α<π2,所以0<2α<π,所以sin2α=√1-cos 22α=35,故A 正确;因为cos(α+β)=-√55,0<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<π,所以sin(α+β)=√1-cos 2(α+β)=2√55,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-45×-√55+35×2√55=2√55,故B 正确;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=2√55①,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-√55②,由①+②得2cosαcosβ=√55,解得cosαcosβ=√510,故C 不正确;由①-②得2sinαsinβ=3√55,解得sinαsinβ=3√510,所以tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=3√510√510=3,故D 不正确.故选AB.创新应用组13.(江苏南京高三期末)若λsin 160°+tan 20°+cos 70°=√3,则实数λ的值为( ) A.3 B.32C.2D.4答案:A解析:因为λsin160°+tan20°+cos70°=√3,即λsin(180°-20°)+tan20°+cos(90°-20°)=√3,所以λsin20°+sin20°cos20°+sin20°=√3,所以λsin20°cos20°+sin20°+sin20°cos20°=√3cos20°,即(λ+1)sin20°·cos20°=√3cos20°-sin20°=2√32cos20°-12sin20°=2sin(60°-20°)=2sin40°,所以λ+12sin40°=2sin40°,所以λ+12=2,则λ=3,故选A.。

第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换课后训练巩固提升1.要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)],所以只需将函数y=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度.2.将函数y=12sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=4sin x B.y=2sin x C.y=sin xD.y=14sin x解析:y=12sinx 的图象y=4×12sinx=2sinx 的图象.3.将函数y=sin xcos x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短为原来的一半,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=sin 4xB.y=cos 4xC.y=12sin 4x D.y=12cos 4xy=sinxcosx=12sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得到函数y=12sin2(x+π4) =12sin(2x+π2)=12cos2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,得到函数图象的解析式为y=12cos4x.4.(多选题)下列四种变换,能使y=sin x 的图象变为y=sin (2x +π4)的图象的是( )A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标扩大为原来的2倍 C.将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度D.将各点横坐标缩短为原来的12,再向右平移π8个单位长度y=sinx 的图象变为y=sin(2x+π4)的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移,将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.故选AC.5.要得到函数y=cos (2x +π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向左平移5π12个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度(2x +π3)=sin [π2+(2x +π3)]=sin(2x+5π6)=sin [2(x +5π12)].由题意知,要得到y=sin (2x +5π6)的图象,只要将y=sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度.6.函数y=12sin (2x -π4)的图象可以看作把函数y=12sin 2x 的图象向平移 个单位长度得到的.π87.把函数f(x)=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .g(x)=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象,则f (π6)= .y=sinx 的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(12x+π6)的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin (12x +π6),故f (π6)=√22.9.将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x 的图象. (1)求f(π)的值;(2)求f(x)的单调递增区间.将函数y=cos2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=cos4x 的图象,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=cos4(x-π12)=cos (4x -π3)的图象,故f(x)=cos(4x-π3).因此f(π)=cos (4π-π3)=cos π3=12. (2)令2kπ-π≤4x -π3≤2kπ(k∈Z),解得12kπ-π6≤x≤12kπ+π12(k ∈Z),故f(x)的单调递增区间为[12kπ-π6,12kπ+π12](k ∈Z).1.将函数f(x)=cos (x +7π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( ) A.x=π3B.x=-π3C.x=π12D.x=-π12y=cos (x +7π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos (12x +7π6)的图象.令12x+7π6=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-7π3(k ∈Z).故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-π3.2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4B.6C.8D.12由题意可知π2=kT(k ∈Z). 因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π|ω|,所以π2=k·2π|ω|,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.3.(多选题)为了得到函数y=2sin 2x 的图象,下列变换正确的是( ) A.将函数y=(sin x+cos x)2的图象向右平移π4个单位长度B.将函数y=1+cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度C.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度D.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向左平移π6个单位长度2x=1-cos2x.将函数y=(sinx+cosx)2=1+sin2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=1+sin2(x -π4)=1+sin (2x -π2)=1-cos2x 的图象,故A 正确.将函数y=1+cos2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=1+cos (2x +π2)=1-sin2x 的图象,故B 不正确.将函数y=2sin 2(x +π6)=1-cos (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=1-cos[2(x-π6)+π3]=1-cos2x 的图象,故C 正确,D 不正确.4.将函数y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( ) A.(7π48,0)B.(π3,0)C.(7π12,0)D.(5π8,0)y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin (2x +π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=3sin [2(x -π6)+π6]=3sin (2x -π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).当k=1时,x=7π12.故函数图象的一个对称中心为(7π12,0),故选C.5.要得到y=sin (x2+π3)的图象,需将函数y=cos x2的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.:cos x2=sin (x2+π2),将y=sin(x2+π2)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin (x2+φ2+π2)的图象.令φ2+π2=2kπ+π3(k ∈Z),解得φ=4kπ-π3(k ∈Z),故当k=1时,φ=11π3,即为φ的最小正值.6.将函数f(x)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π3对称,则|φ|的最小值为 .:f(x)=12sin(2x+φ)向左平移π6个单位长度后得到y=12sin (2x +π3+φ),再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=12sin (x +π3+φ),此函数图象关于直线x=π3对称.当x=π3时,sin (π3+π3+φ)=sin (2π3+φ)=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),得φ=-π6+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为π6.7.将函数y=lg x 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.函数y=lgx 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C 1;函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)=cos [2(x +π12)-π6]=cos2x 的图象,即图象C 2.画出图象C 1和C 2的图象如图所示.(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有5个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为5.8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在区间[-π4,2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a 的最小值.因为ω>0,所以根据题意有{-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为(0,34].(2)由题意知f(x)=2sin2x,g(x)=2sin [2(x +π6)]+1=2sin (2x +π3)+1.由g(x)=0得,sin (2x +π3)=-12,解得x=kπ-π4或x=kπ-7π12,k ∈Z,即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为π3和2π3.故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。