一类高维非线性椭圆型方程正整解的存在性

K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 K-Hessian方程的背景介绍K-Hessian方程是一个重要的偏微分方程，在几何分析和非线性偏微分方程研究中起着重要的作用。

它最早由美国数学家D.C.中提出，在几何分析中有广泛的应用。

K-Hessian方程是一个高阶非线性椭圆型偏微分方程，它的解与曲率和Hessian矩阵之间的关系密切相关。

K-Hessian方程在几何学、概率论、最优控制理论等领域都有着重要的应用。

研究K-Hessian方程的Liouville型结果对于理解非线性偏微分方程的性质和解的结构具有重要意义。

Liouville型结果是指：满足一定约束条件下的非负解的结构和分类。

通过研究K-Hessian方程的Liouville型结果，可以揭示解的性质、特征和分布规律，进一步推动相关领域的理论研究和应用发展。

探讨K-Hessian方程的Liouville型结果对于推动数学领域的发展具有重要意义。

1.2 Liouville型问题的研究意义1.在微分几何中，Liouville型问题可以帮助我们更深入地理解曲率的性质和几何结构。

通过研究Liouville型问题，可以揭示曲率与几何流形的关系，从而推动微分几何理论的发展。

Liouville型问题在数学领域中扮演着重要的角色，其研究意义不仅限于理论层面，还涉及到实际问题的建模和解决。

深入研究Liouville型问题将有助于推动数学领域的发展并解决实际问题。

2. 正文2.1 K-Hessian方程的定义与性质K-Hessian方程是一类非线性椭圆型偏微分方程，具有重要的数学和物理背景。

它的定义与性质包括以下几个重要方面：1. K-Hessian方程的定义：K-Hessian方程是指具有如下形式的二阶非线性椭圆型偏微分方程：\[ F(D^2u)=f(x,u,Du) \]\( F(D^2u) \)表示Hessian矩阵的K-拉普拉斯算子，由方程中的K 决定，通常表达为对Hessian矩阵的第K大本征值的求和，而\( f(x,u,Du) \)为给定的非线性项。

一类退化椭圆方程解的存在性及弱极大值原理在这篇硕士学位论文中,主要考虑了一类带Dirichlet边值的退化椭圆型方程解的存在性与极大值原理,其中a(x)非负可测,在(?)的零测度闭子集上退化,可积性满足通过单调算子的办法得到在f∈Lp(Ω),1<p<2时,方程在
H01,a(Ω)∩Lq(Ω)中弱解的存在性,通过分析带权Sobolev空间的性质,得到弱解的弱极大值原理.全文共分五章：第一章,介绍这类退化模型的物理背景,研究这类问题的已有理论和方法.第二章,给出了本文用到的一些基础知识.第三章,主要研究了一类带权Sobolev空间的基本性质.第四章,证明了解的存在性和弱极大值原理.第五章,总结与展望.。

收稿日期:２０２２Ｇ０６Ｇ０５.基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１９６１０６９);新疆优秀青年科技人才培训计划项目(２０１９Q ０２２);新疆维吾尔自治区自然科学基金(２０１９D ０１A ７１);新疆维吾尔自治区高校科研计划(X J E D U ２０１８Y ０３３);新疆师范大学青年拔尖人才计划项目.作者简介:马玉花(１９９７ ),女,硕士生.㊀∗通信作者:顾海波(１９８２ ),男,教授,硕士生导师.E Ｇm a i l :h b gu _m a t h ＠１６３．c o m .马玉花,顾海波,李㊀宁．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性[J ]．南昌大学学报(理科版),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．MA Y H ,G U HB ,L IN．E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN o n l i n e a r C a pu t o ＧH a d a m a r dF r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h I n t e g r a l B o u n d a r y V a l u eC o n d i t i o n s [J ]．J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e ),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性马玉花,顾海波∗,李㊀宁(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐㊀８３００１７)㊀㊀摘要:通过多值映射的不动点定理,证明了如下一类带有积分边值条件的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含问题多个正解的存在性:C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α代表C a p u t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.关键词:C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含;边值条件;正解;不动点定理中图分类号:O ７１５．１４㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００６Ｇ０４６４(２０２３)０２Ｇ０１１８Ｇ０７E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r n o n l i n e a r c a pu t o Ｇh a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n s MA Y u h u a ,G U H a ib o ∗,L IN i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sS c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :B y t h e f i x e d p o i n t t h e o r e mo fm u l t i Ｇv a l u e dm a p p i n gs ,w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e t h e o r e mo f a t l e a s t t w o p o s i t i v e s o Ｇl u t i o n s f o r t h e f o l l o w i n gp r o b l e mo fC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o nw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n :C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α,w h e r e C H D αd e n o t e s t h eC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑRңp (R )i s am u l t i v a l u e d m a p ,p (R )i s t h ef a m i l y o f a l l s u b s e t s o f R ．K e y Wo r d s :C a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n ;b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n ;p o s i t i v e s o l u t i o n s ;f i x e d p o i n t t h e Ｇo r e m㊀㊀分数阶微积分是应用数学中最重要的领域之一,它将现有的整数阶的微分算子推广到任意阶的微分算子.近年来,关于分数阶微分方程问题引起了人们广泛的关注.分数阶微分方程应用于反常扩散㊁流体力学㊁生物医学㊁最优控制等领域.相比起整数阶的微分算子,分数阶微分算子具有全局性,从而可以准确描述客观世界的发展规律.伴随着自然科学及社会科学发展㊁复杂工程应用需求的增加,分数阶微分方程已不能满足人类探索发展规律的需求,而微分包含可以看作是分数阶微分方程的推广,它可以对复杂的现象进行更加准确的刻画.对于微分包含解的存在性一直是人们研究的热点问题,同时人们已经不再满足去寻找微分包含的一般解,而是想找到更具有现实意义的正解.有关分数阶微分包含的理论研究有很多[１－１３].在现有的成果当中,有关分数阶微分包含正解的存在性定理的结果并不是很多[８－９],因此,对于微分包含具有多个正解的存在性研究是第４７卷第２期２０２３年４月㊀㊀㊀㊀㊀㊀南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )V o l ．４７N o ．２A pr ．２０２３㊀必要的.文[６]中,作者结合变分方法和临界点理论,给出了下面一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性.－[a ＋b (ʏa |Ñu |２d x )m ]Δu ＝f (x )u －γ－λu p －１,x ɪΩu ＞０,x ɪΩu ＝０,x ɪ∂Ωìîíïïïï其中Ω是R N (N ȡ３)是一个有界开区域且具有光滑边界阶∂Ω,a ,b ȡ０且a ＋b ＞０,m ＞０,λȡ０,１＜p ɤ２,０＜γ＜１.系数函数f 为非零非负函数.文[７]中,作者利用不动点定理,给出了下面一类非线性加权问题正解的存在性.cD η,ψ,ω０＋z (t )＝f (t ,u (t )),０＜t ɤ１z (０)＝z ０＞０{其中c D η,ψ,ω０＋是加权广义η阶的C a p u t o 分数阶导数,０＜η＜１,连续函数f :[０,１]ˑR ＋ңR ＋,严格增函数ψ:[０,１]ңR ＋,加权函数ω(t )ʂ０且满足ω－１(t )＝１ω(t).文[８]中,作者通过多值映射的压缩不动点定理,给出了下面非线性分数阶微分包含正解的存在性定理.C H D α０＋u (t )ɪF (t ,u (t )),t ɪ(０,１)u (０)＝u ㊆(０),u (１)＝λʏ１０u (s )d s ìîíïïïï其中C H D α０＋是α阶的Ca p u t o 分数阶导数,２＜α＜３,０＜λ＜２,F :[０,１]ˑR ңp (R )是具有紧值的多值映射,p (R )是R 的非空子集.受以上结果的启发,本文将研究如下带有积分边值的分数阶微分包含多个正解的存在性问题C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤex (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(１)其中C H D α代表C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.本文将利用[１０]中G u o －K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理,给出带积分边界值条件的分数阶微分包含方程(１)的正解存在的充分条件.本文具体安排如下:在第１节中,我们给出了相关预备知识,包括问题描述㊁基本定义和相关引理,以及本文所需的条件假设;在第２节中,我们利用不动点定理给出了(１)存在多个正解的充分条件;在第３节中,举出一个例子说明主要结果的有效性;在第４节中,对文章进行了总结.１㊀预备知识㊀㊀这部分我们将介绍一些相关的基础概念及定义,并介绍了一些对后续正解的存在性定理非常重要的引理.首先,我们将介绍一些关C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微积分相关的内容,定义１．１[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[)ңR 的α＞０阶的H a d a m a r d 分数阶积分为H I αx (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１)x (s )d ss,n －１＜αɤn㊀㊀定义１．２[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[]ңR 的α＞０阶的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数导数为C H D αx (t )＝１Γn －α()ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１),δn(s )d s s,n －１＜αɤn其中δn ＝t d d t æèçöø÷n ,n ɪN .下面我们将介绍一些关于多值映射的基本概念.令(X , )是一个赋范线性空间,一个多值映射F :９１１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性X ңp (X )满足:(１)若对于任意的x ɪX ,F (X )是闭的(凸的),则称多值映射F 是闭的(凸的).(２)若对于X 上所有的有界子集B ,有F (B )＝ɣx ɪBF (x )是有界的,则多值映射F 在有界集上是有界的.(３)若对于X 上所有的有界子集B ,F (B )是相对紧的,则多值映射F 是全连续的.定义１．３[１５]㊀(X , )是一个赋范线性空间,多值映射Θ:X ңp (X ).若对每一个x ０ɪX ,集合Θ(x ０)是X 的一个非空闭子集,对于X 中的每个包含Θ(x ０)开子集B ,存在x ０的一个开邻域V ,使得Θ(V )⊆B ,则称Θ在X 上是上半连续的.定义１．４㊀若对于每个x ɪC ([１,e ],R ),称S F ,x 是F 的选择集合,定义为:S F ,x ＝f ɪL １([１,e ],R ):f ɪF (t ,x (t )),对于几乎处处的t ɪ[１,e ]{}㊀㊀定义１．５㊀假设０＜αɤ１,λȡ０,d ＞０,x ɪC ([１,e ]),满足x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d 并且存在f ɪS F ,x ,使得x (t )满足积分方程:x (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,t ɪ[１,e ]则x 是以下边值问题的唯一解C HD α１x (t )＝f (t ),１＜t ɤe x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {㊀㊀定义１．６[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,C 是X 的闭凸子集,P c p ,c (C )表示C 中所有非空紧凸子集集合.对于任意有界子集Ω⊂X ,它的非紧测度为γ(Ω)＝i n f {d ＞０:Ω可以被有限多个直径小于等于d 的集合覆盖}定义１．７[１５]㊀多值映射F :[１,e ]ˑR ңP (R ),若满足:(１)对于x ɪ[０,ɕ),t ңF (t ,x )是可测的,且对几乎所有的t ɪ[１,e ],x ңF (t ,x )是上半连续的,则F 是C a r a t h e o d a r y 的.(２)如果对每一个δ＞０,存在φδɪL １([１,e ],R ＋),使得对几乎所有的 x ɤδ和t ɪ[１,e ],都有 F (t ,x ) ＝s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤφδ(t ),则F 是L １－C a r a t h e o d a r y .定义１．８[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,若对于映射T :E ⊂X ңX ,T 连续且满足条件:对每个有界子集Ω⊂E ,均有γ(T Ω))ɤk (Ω),则称T 为k －集压缩映射(k ȡ０).对于k ＜１的k －集压缩映射称为严格k －集压缩映射.特别地,全连续映射是０－集压缩映射,因此是严格k －集压缩映射.引理１．２[１６]㊀设X 为B a n a c h 空间,令F 是一个多值映射,满足F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (C )是L １－C a r a t h e od a r y 令Θ:L １([１,e ],R )ңC ([１,e ],R )是一个连续线性算子,则Θ S F :C ([１,e ],R )ңP c p ,c (C ([１,e ],R )),x ң(Θ S F )(x )＝Θ(S F ,x )是C ([１,e ],R )ˑC ([１,e ],R )中的一个闭图算子.其中C ([１,e ],R )表示[１,e ]ңR 上的连续函数.引理１．３[１６]㊀若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图象,即x n ңx ∗,y n ңy ∗,y n ɪA (x n ),有y ∗ɪA (x ∗).引理１．４[１０]㊀令E 是一个B a n a c h 空间,C ⊂E 是一个锥,且 在C 上是增的.若存在常数L ,r ,Q ,k ,(０＜L ＜r ＜Q ,０ɤk ＜１)和上半连续的k －集压缩映射F :Ωk －ɘC ңP c p ,c (C ),使得以下条件成立,则F 至少有两个不动点,x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).(１)对∀x ɪ∂E Ωr ɘC ,x ∉F (x );(２)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩL ɘC ,有 h ＞ x ;(３)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E Ωr ɘC ,有 h ɤ x ;(４)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘC ,有 h ȡ x .０２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀其中,Ωr ＝{x ɪE : x ＜r },∂E Ωr ＝{x ɪE : x ＜r }.对于∂E ΩL ,ΩQ 同理.为方便下文讨论,给出下列记号:设E ＝(C [１,e ], ),范数定义为 x ＝m a x t ɪ[１,e]|x (t )|,K ＝{x ɪC [１,e ]:x (t )ȡ０}显然K 是E 上的一个锥.定义算子A :K ңP c p ,c (C [１,e ]),A (x )＝h (t )ɪC [１,e ]:h (t )＝１Γ(α)ʏt １(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,f ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ]ìîíïïïüþýïïï下面给出本文假设条件如下:(H １)函数F :[１,e ]ˑ[０,ɕ]ңP c p ,c ([０,ɕ))是L １－C a r a t h e o d a r y ,并且有非空的紧凸值.(H ２)存在一个不减函数φ:[０,ɕ]ң(０,ɕ)和一个函数p ɪL ２([１,e ]ңR ＋),使得 F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤp (t )φ(x )㊀㊀(H ３)存在ηɪC [１,e ],η(t )＞０,有 F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡη(t )φ(x )㊀㊀(H ４)存常数r ＞０,使得(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０㊀㊀(H ５)存在ξɪ[１,e ],０＜L ＜r ,使得ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )㊀㊀(H ６)存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q ,使得ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )㊀㊀为了得到微分包含边值问题(１)的正解的存在性定理,先证明下面的引理:引理１．５㊀假设条件(H １)和(H ２)成立,则算子A 是一个上半连续的全连续算子.证明㊀第１步,A 将E 的有界集映射成为E 中的有界集.令B r ＝{x ɪE : x ɤr }是K 中的有界集.对于t ɪ[１,e ],x ɪB r 时,f ɪS F ,x ,令h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d ss＋λ则对t ɪ[１,e ],由条件(H ２)有|h (t )|ɤ１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１|f (s )|d ss＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤφ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故当t ɪ[１,e ]时有 h (t ) ɤp L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 从而A (B r )是一致有界的.第２步,A 是将有界集合映射到等度连续集.令t １,t ２ɪ[１,e ]且t １＜t ２,则由条件(H ２),有１２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性|h (t ２)－h (t １)|＝１Γ(α)ʏt ２１(l o g t ２s )α－１f (s )d s s －１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１f(s )d s sɤ１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷|f (s )|d s s ＋１Γ(α)ʏt ２t １(l o g t ２s )α－１|f (s )|d s s ɤ p L ２φ( x )Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２æèçöø÷１２＋p L ２φ( x )l o g t ２t １æèçöø÷α－１２Γ(α)(２α－１)１２利用L e b e s g u e 控制收敛定理知,当t １ңt ２时,有ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２ң０因此,当t １ңt ２时,|h (t ２)－h (t １)|ң０,即A 是等度连续的.由A s c o l i －A r z e l a d 定理,A 是全连续的.第３步,A 存在一个闭图,令x n ңx ∗,h n ңh ∗,h n ɪA (x n ),要证h ∗ɪA (x ∗).对于h n ɪA (x n ),则存在f n ɪS F ,x n,使得h n (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f n (s )d ss＋λʏe１x n (s )d s ＋d 定义线性算子:Θ:L １([１,e ],[０,ɕ))ңC ([１,e ],[０,ɕ))f ң(Θf )(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为h n (t )ɪΘ(S F ,x n),x n ңx ∗,h n ңh ∗.由引理１．２知,Θ是闭图象算子,故h ∗ɪΘ(S F ,x ∗),即存在f ∗ɪS F ,x ∗,满足h ∗(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f ∗(s )d ss ＋λʏe１x ∗(s )d s ＋d 再由引理１．３知,A 是上半连续的.综上,A 是一个上半连续的全连续算子.２㊀主要结果㊀㊀定理２．１㊀若假设条件(H １)－(H ６)都成立,则(１)至少存在两个正解.证明㊀由引理１．５知A 是一个上半连续的全连续算子,下面只需要证明A 满足引理１．４的所有条件,即可证明(１)至少存在两个正解.首先证明,A :K ңP c p ,c (K ),任给的x ɪK ,h ɪA (x ),那么存在w ɪS F ,x ,有h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为F :[１,e ]ˑ[０,ɕ)ңP c p ,c ([０,ɕ)),因此,当t ɪ[１,e ]时h (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡd 故有h ɪK .即A :K ңP c p ,c (K ).下证,对∀x ɪ∂E Ωr ɘK ,x ∉A (x ).用反证法,假设存在x ɪ∂E Ωr ɘK ,t ɪ[１,e ],使得x ɪA (x ), x ＝r ,存在w ɪS F ,x ,利用H öl d e r 不等式,有|x (t )|＝１Γ(α)ʏt １(l o gt s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏt１(l o gt s )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ２２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀φ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故与假设(H ４)矛盾.其次证,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩL ɘK ,有 h ＞ x .任意x ɪ∂E ΩL ɘK ,则 x ＝L .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,当t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ３)和(H ５)可知 h ȡh (ξ)＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏξ１l o g ξs æèçöø÷α－１η(s )d s s ＋d ＞L ＝ x 再证对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E Ωr ɘK ,有 h ɤ x .任意x ɪ∂E Ωr ɘC ,则 x ＝r .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ４)可知|h (ξ)|＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏξ１(l o gξs )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|ds ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)((２α－１))１２＋λ(e －１)r ＋d ɤr ＝ x 由ξɪ[１,e ]的任意性有 h ɤ x .最后证明,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘK ,有 h ȡ x .任意x ɪ∂E ΩQ ɘK ,则 x ＝Q .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ６)知,h (ζ)＝１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏζ１l o g ζs æèçöø÷α－１η(s )d s s＋d ȡQ ＝ x 由ζɪ[１,e ]的任意性有 h ȡ x .综上,A 满足引理１．４的所有条件,故A 至少有两个不动点x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr \ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).即L ɤx ０＜r ＜x １ɤQ 是(１)的两个正解.３㊀例子㊀㊀为了说明我们主要结果的有效性,下面给出一个简单的例子.C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe ,x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(２)其中α＝０．７,λ＝０,d ＝１.F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (R )的多值映射:３２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性x ңF (t ,x )＝e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２éëêêùûúú对于f ɪF (t ,x ),有１１０ɤm i n e x １０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ|f |ɤm a x e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ１２因此,F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤ１２＝p (t )φ( x ) F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡ１１０＝η(t )φ( x )φ(x )＝(e －１)３２p (t )＝１(e －１)３η(t )＝１１０(e －１)３计算知,当r ＞２．２０时,满足(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０若取r ＝２．２１,存在ξɪ[１,e ],当０＜L ＝１．２９＜r 时,有ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q＝２．５１时,有ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )从而边值问题(２)满足引理２．１的所有条件,故根据定理２．１,(２)至少存在两个正解.４㊀总结㊀㊀本篇文章结合前人有关分数阶微分方程正解的存在性研究,将单值推广到多值,再利用多值映射的压缩或拉伸不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的C a p u t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性问题,最后举出一个简单的例子说明结果的有效性.正解相比较一般的解更具有实际意义,而实际生活中问题复杂且受到多种因素的干扰,对于分数阶微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困难,因此如何更有效的寻找到分数阶微分包含的正解有待进一步的探究.参考文献:[１]㊀B E L MO RS ,J A R A DF ,A B D E L J AWA DT．O nC a p u t o ＧH a d a m a r d t y p e c o u p l e d s y s t e m s o f n o n c o n v e x f r a c t i o n a l d i f f e r e n Ｇt i a l i n c l u s i o n s [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE qu a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):１Ｇ１２．[２]L A C HO U R IA ,A B D O MS ,A R D J O U N IA ,e t a l ．H i l f e r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t hE r d él y i ＧK o b e r f r a c t i o n a l i n t e Ｇg r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE q u a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):２４４．[３]Y A N GD ,B A IC ．E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rA n t i ＧP e r i o d i cF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h ψＧC a u p t oF r a c t i o n a lD e Ｇr i v a t i v e [J ]．D i s c r e t eD y n a m i c s i nN a t u r e a n dS o c i e t y,２０１９,２０１９:１Ｇ８．[４]P I A Z Z ALD ,MA R R A F F A V ,S A T C OB ．M e a s u r eD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n s :E x i s t e n c eR e s u l t s a n dM i n i m u mP r o b l e m s [J ]．S e t ＧV a l u e da n dV a r i a t i o n a lA n a l y s i s ,２０２０,２９(２０２１):３６１Ｇ３８２．[５]MA R R A F F A ,V．,D IP I A Z Z A ,L ．,S A T C O ,B ．A p p r o x i m a t i n g t h e s o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sd r i v e nb y me a s u r e s [J ]．A n n a l i d iM a t e m a t i c a ,２０１９,１９８(２０１９):２１２３Ｇ２１４０．４２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀[６]林荣瑞,佘连兵,吴莲发．一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性[J ]．南昌大学学报(理学版),２０２１,４５(２):１１１Ｇ１１６．[７]A B D O M S ,A B D E L J AWA DT ,A l i S M ,e t a l ．E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o rw e i g h t e d f r a c t i o n a l o r d e r d i f f e r e n t i a l e Ｇqu a t i o n s [J ]．C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,２０２０,１４１:１１０３４１．[８]HA G H I ,T．,G HA N B A R I ,K．P o s i t i v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s [R ]．I nT h e ４６Ｇt hA n n u a l I Ｇr a n i a n M a t h e m a t i c sC o n f e r e n c e ,２０１５:８８２Ｇ８８５．[９]李春红,杨丹丹．带有积分边值的非线性分数阶微分包含多个正解存在性[J ]．沈阳大学学报(自然科学版),２０２０,３２(３):２５８Ｇ２６２．[１０]A G A RWA LRP ,O ＂R E G A N D．A N o t eo n t h eE x i s t e n c eo fM u l t i p l eF i x e dP o i n t s f o rM u l t i v a l u e d M a p sw i t hA p p l i c a Ｇt i o n s [J ]．J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,２０００,１６０(２):３８９Ｇ４０３．[１１]G U H ,S N U Y．N o n l o c a l c o n t r o l l a b i l i t y o f f r a c t i o n a lm e a s u r ee v o l u t i o ne q u a t i o n [J ]．J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a Ｇt i o n s ,２０２０,２０２０(１)．[１２]G O U H ,L IY．E x i s t e n c ea n dA p p r o x i m a t eC o n t r o l l a b i l i t y o fS e m i l i n e a r M e a s u r eD r i v e nS y s t e m sw i t h N o n l o c a lC o n d i Ｇt i o n s [J ]．B u l l e t i no f t h e I r a n i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ,２０２１,４８:７６９Ｇ７８９．[１３]Z HO U Y ,P E N GL ．T o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f s o l u t i o ns e t s f o r p a r t i a l f u n c t i o n a l e v o l u t i o n i n c l u s i o n s [J ]．C o m p t e s r e n d u s M a t h e m a t i qu e ,２０１７,３５５(１):４５Ｇ６４．[１４]G OHA R M ,L IC ,Y I N C ．O nC a p u t o ＧH a d a m a r df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fC o m p u t e r M a t h e m a t i c s ,２０２０,９７(７):１４５９Ｇ１４８３．[１５]G O R N I E W I C ZL ．A p r o x i m a t i o n M e t h o d s i nF i x e dP o i n tT h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s [M ]//T o p o l o g i c a l F i x e dP o i n t T h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s ．S p r i n g e r ,D o r d r e c h t ,１９９９:１０５Ｇ１５７．[１６]D E N K OW S K I Z ,S M I G O R S K I ,P A P A G E O R G I O U NS ．S E T ＧV a l u e dA n a l y s i s [M ]．B o s t o n :S p r i n ge r ,２００３．５２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性。

偏微分方程的解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中研究多元函数的偏导数之间关系的方程。

解的存在唯一性是指在一定的条件下，偏微分方程能有且只有一个解。

本文将从理论和数学推导两个方面来探讨偏微分方程的解的存在唯一性。

一、理论方面在讨论偏微分方程的解的存在唯一性之前，我们需要定义一些基本的概念。

1. 偏微分方程的定义偏微分方程是一个含有多个未知函数及其偏导数的方程，通常写作F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0。

其中，u表示未知函数，x1, x2, ..., xn 是自变量。

2. 初始条件和边界条件解决偏微分方程需要给出初始条件和边界条件。

初始条件是指在某一时刻或者某个区域的特定点上，未知函数及其偏导数的值。

边界条件是指在某个区域的边界上，未知函数及其偏导数的值。

3. 解的存在性和唯一性解的存在性是指在给定的初始条件和边界条件下，偏微分方程是否存在解。

解的唯一性是指在给定的初始条件和边界条件下，解是否唯一存在。

二、数学推导在数学推导中，我们将着重讨论一些经典的偏微分方程及其解的存在唯一性。

1. 热传导方程热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

对于定义在区域Ω上的函数u(x, t)，热传导方程可写作∂u/∂t - ∇²u = 0，其中∇²表示Laplace算子。

热传导方程既有初始条件u(x,0)=f(x)，也有边界条件u(x,t)=g(x,t)。

根据热传导方程的性质，假设初始条件满足适当的光滑性和有界性条件，边界条件满足适当的光滑性和界定条件，可以证明存在唯一的解。

2. 波动方程波动方程是描述波动在空间中传播的方程。

对于定义在区域Ω上的函数u(x,t)，波动方程可写作∂²u/∂t² - ∇²u = 0。

波动方程的解存在性和唯一性需要根据初始条件u(x,0)=f(x)和边界条件u(x,t)=g(x,t)进行讨论。

一类椭圆问题的解的存在性以及唯一性何其涵;李彦哲;阮雯钐【摘要】为了得到一类椭圆型方程组在不同条件下的正解的存在性以及唯一性,利用变分方法建立了其正解与某个特定的单个椭圆方程的正解之间的一个关系.此关系表明:当方程系统的非线性项满足一定的条件时,方程系统存在非平凡(正)解;当其耦合系数大于某个确定的常数时,其正解是唯一的.%In order to obtain the existence and uniqueness of positive solutions for a class of elliptic systems under different conditions, a relation between the positive solutions of the system and the positive solutions of a particular single elliptic equation is established by using the variational method.This relation shows that when the nonlinear terms of the system satisfy certain conditions, the system has a nontrivial(positive)solution, and when its coupling coefficient is greater than a certain constant,its positive solution is unique.【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(043)002【总页数】5页(P855-859)【关键词】方程组;存在性;唯一性【作者】何其涵;李彦哲;阮雯钐【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004【正文语种】中文【中图分类】O290 引言本文将研究下述椭圆型方程组：(1)其中, Ω⊂RN是一个边界光滑的区域，且f,g满足如下条件：① 存在k0>0，使得f(1,k0)k0-g(1,k0)=0以及下述方程:(2)存在至少一个非零解u0;② 对于任意的t∈R, k∈R,有f(t,tk)k-g(t,tk)=tp(f(1,k)k-g(1,k));③ 存在唯一的k0>0,使得f(1,k0)k0-g(1,k0)=0,当k∈(0,k0)时, f(1,k)k-g(1,k)<0以及当k∈(k0,+∞), f(1,k)k-g(1,k)>0。

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性在偏微分方程中，非线性方程是一类在研究中经常遇到的重要方程。

与线性方程不同，非线性方程的解的存在性通常更加复杂且难以确定。

本文将探讨偏微分方程中的非线性方程及其解的存在性问题。

一、非线性方程非线性方程是指未知函数及其导数之间具有非线性关系的方程。

在偏微分方程中，非线性方程往往包含高阶导数项，例如常见的非线性偏微分方程中的非线性项可以是未知函数的高阶导数、函数本身的幂次项以及乘积项。

非线性方程的存在性问题是研究非线性偏微分方程解的一个重要问题。

一般来说，要判断非线性方程的解是否存在，需要借助数学分析和函数空间理论的工具，采用适当的方法和技巧进行分析。

二、解的存在性解的存在性是指非线性偏微分方程是否存在满足特定条件的解。

对于非线性方程，解的存在性问题往往比线性方程更加困难，需要借助更加深入的数学理论和分析技巧。

解的存在性问题可以通过两种主要的方法来研究：一是通过构造解的方法，即通过适当的变换和假设，构造满足方程条件的解；二是通过存在性定理，即通过数学推导和证明来判断解的存在性。

在构造解的方法中，常常使用变量替换、特解法以及变分法等技巧。

通过巧妙地选取变换和假设，可以将原方程转化为更加容易求解的方程，从而得到解的存在性的结论。

在存在性定理中，常用的方法包括分离变量法、最大值原理、奇点理论等。

这些定理给出了解存在的充分条件，从而简化了解的存在性问题的研究。

三、例子与应用非线性偏微分方程的解的存在性问题在实际应用中具有重要的意义。

例如，许多物理学领域的问题可以建模为非线性偏微分方程，解的存在性问题对于理解和解释物理现象具有重要作用。

以非线性波动方程为例，这是描述波动现象的重要方程之一，其包含非线性项，解的存在性问题是研究波动现象稳定性和非线性行为的关键。

通过研究非线性波动方程的解的存在性，可以得到波动现象的定性和定量结果，从而有效地预测和控制波动过程。

此外，非线性偏微分方程的解的存在性问题在数学分析、控制论、最优化等领域也有着广泛的应用。

K-Hessian方程的一个Liouville型结果1. 引言1.1 背景介绍K-Hessian方程是一类非线性偏微分方程，它在几何分析和微分几何领域中具有重要的应用。

从数学上讲，K-Hessian方程可以被表示为一个高阶非线性椭圆型偏微分方程。

随着几何分析的发展，人们对K-Hessian方程的研究也愈发深入，其中涉及到许多复杂的理论和技巧。

K-Hessian方程的解的性质一直是研究的焦点之一。

Liouville型结果是指关于K-Hessian方程解的性质和分类的一类结果。

通过对K-Hessian方程进行Liouville型结果的研究，可以更好地理解方程的解的结构和特征，为进一步研究和应用奠定基础。

在过去的研究中，已经取得了一些关于K-Hessian方程的Liouville型结果的定理，这些定理对于揭示方程解的性质和特点具有重要的意义。

通过对这些定理的详细讨论和证明，可以进一步加深我们对K-Hessian方程解的理解，并为其在不同领域中的应用提供理论支持。

【内容结束】1.2 问题提出K-Hessian方程的一个Liouville型结果是一个重要的数学问题，它涉及到对K-Hessian方程的研究及其在几何分析中的应用。

在这个问题中，我们将探讨K-Hessian方程的性质，以及通过Liouville型结果得到的一些有趣的结论。

具体来说，我们将研究K-Hessian方程的解的性质，并讨论这些解在不同情况下的表现。

从而揭示K-Hessian 方程的一些新的特征和规律。

通过对K-Hessian方程的研究，我们可以更好地理解其在数学和几何中的应用，并为未来的研究工作提供新的方向和思路。

本文将从K-Hessian方程的定义开始，介绍Liouville 型结果的定理，讨论证明思路和数学推导，最后通过实例分析展示K-Hessian方程的一些具体应用。

通过本文的研究，读者将对K-Hessian方程及其Liouville型结果有一个更全面和深入的了解。

偏微分方程中的非线性方程与解的存在性偏微分方程是数学领域中的重要研究对象之一，它描述了自然界中很多现象和过程的规律。

在偏微分方程的研究中，非线性方程是一类具有重要意义的方程类型。

本文将探讨偏微分方程中的非线性方程以及解的存在性。

一、非线性方程的定义与特点在数学中，非线性方程指的是未知量与其导数或高阶导数之间存在乘法关系的方程。

与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难，因为它们无法简化为一次项的代数方程。

在偏微分方程中，非线性方程常常具有复杂的形式和行为，往往需要借助数值或变分方法进行求解。

二、非线性方程的分类根据方程的次数和形式，偏微分方程中的非线性方程可以分为多种类型。

常见的有非线性椭圆方程、非线性抛物方程和非线性双曲方程等。

1. 非线性椭圆方程非线性椭圆方程在物理学和几何学中具有广泛的应用。

它们可以描述领域内的稳定状态和平衡问题，如椭圆型偏微分方程的存在性问题。

非线性椭圆方程的研究困难主要体现在非线性项的存在，这使得常用的求解技术不再适用。

2. 非线性抛物方程非线性抛物方程描述了许多动态和演化过程，如热传导、扩散和泛函状态的变化。

非线性抛物方程的求解面临着时间和空间复杂性的挑战，例如非线性项会引起方程的发散或者不稳定。

3. 非线性双曲方程非线性双曲方程常用于描述波动现象，如声波、电磁波等。

非线性双曲方程的求解存在着多个挑战，如波的衰减、非线性项的影响等。

解的存在性是非线性双曲方程研究中的核心问题之一。

三、解的存在性针对偏微分方程中的非线性方程，解的存在性是一个重要的问题。

解的存在性研究的目标是确定方程在给定条件下是否存在解，以及解的性质和稳定性。

对于某些非线性方程，解的存在性可以通过使用分析工具和数学推理得出。

例如，利用不动点定理、变分法和轨道理论等数学工具，可以证明某些非线性方程在一定条件下存在唯一解。

然而，对于更一般和复杂的非线性方程，求解存在性问题往往需要借助数值计算和数值方法。

通过将偏微分方程离散化为差分方程或代数方程，然后利用数值迭代等方法求解，可以得到偏微分方程的数值解，从而验证解的存在性。