椭圆型方程新解法

高二数学 第二章 第2节 椭圆（理）知识精讲 人教新课标A 版选修21一、学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质。

2、能力目标：培养学生的解析几何观念；培养学生的观察、概括能力，以及类比的学习方法；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、重点、难点：重点：掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质，并会利用椭圆的几何性质解决一些问题。

难点：对椭圆的定义和几何性质的灵活应用，会处理有关椭圆焦点三角形的问题，并能与正余弦定理相结合。

能用坐标法解决简单的直线与椭圆的位置关系等问题。

三、考点分析：本节课我们主要学习熟练掌握椭圆的定义及其两种标准方程，会用待定系数法确定椭圆的方程，以及对椭圆的简单几何性质的运用。

初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法，同时掌握一些直线与椭圆的位置关系的运用。

1、对椭圆第一定义的理解在椭圆的第一定义中，平面内动点与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当这个常数小于|F 1F 2|时，动点不存在。

2、椭圆的第二定义：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个小于1的正常数e ，这个点的轨迹是椭圆。

定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：（1）定点必须在直线外。

（2）比值必须小于1。

（3）符合椭圆第二定义的动点轨迹肯定是椭圆，但它不一定具有标准方程的形式。

（4）椭圆离心率的两种表示方法：c P F e a P F ==椭圆上任意一点到焦点的距离点到与对应的准线的距离准线方程为：椭圆焦点在x 轴 2a x c =±椭圆焦点在y 轴 ca y 2±=3、椭圆的标准方程椭圆方程图形特征几何性质范围顶点焦点准线对称性长短轴离心率焦半径4、常用的公式及结论：（1）对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较其与2x、2y项分母的大小即可。

解方程新旧解法对比探究七一小坝小学张天松一、解方程理论依据对比：旧解法：根据四则运算的逆运算,①加数+加数=和;②一个加数=和-另一个加数;③被减数-减数=差;④被减数=减数+差;⑤减数=被减数-差;⑥因数×因数=积;⑦一个因数=积÷另一个因数;⑧被除数÷除数=商;⑨被除数=商×除数;⑩除数=被除数÷商，这实际是用算术的思路求未知数。

新解法：根据等式的基本性质，新教材利用“天平原理”为处理方程提供了一个强有力的智力图像:方程类似于一组天平,方程的等号表示处于平衡状态,用天平平衡的道理,形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解,让学生明白:在等式的两边同时进行相同的运算,那么平衡就得到维持,即为等式的基本性质:方程两边同时加上或减去相同的数,左右两边仍然相等;方程两边同时乘或除以相同的数(0除外),左右两边仍然相等。

例一：6x+3=5.4旧解法:6x+3=5.4 解: 6x=5.4-3 6x=2.4x=2.4÷8x=0.4 新解法:6x+3=5.4解:6x+3-3=5.4-3 6x=2.46x÷8=2.4÷8 x=0.4解法分析:旧解法中学生须牢记加、减、乘、除四种运算中的数量关系等式,而数量关系等式的总数达10个,记住四种运算中各部分的名称与数量关系等式,对学生来说绝非易事,根据以往经验,许多小学生直至毕业仍为数量关系等式犯糊涂,解方程时算法经常是错误百出。

而新教材中的解法只需记住“同加、同减、同乘、同除”几个字,比旧教材根据逆运算关系解方程,思路更统一,方法更简单。

学生理解得特别好,掌握的程度很高。

利用等式的基本性质解方程的优越性还体现在有利于中小学数学教学的衔接,较为彻底地避免旧教法中同一内容两种思路、两种算理解释的现象。

例二：17-x=15 17-x=15解:x=17-15x=2例三：6÷x=26÷x=2解:x=6÷2x=3 17-x=15解:17-x+x=15+x 17=15+x15+x=1715+x-15=17-15 x=26÷x=2解:6÷x×x=2×x 6=2x2x=62x÷2=6÷2x=3解法分析：旧解法在解a-x=b和a÷x=b这类方程时，我们可以清晰的看到根据四则运算的逆运算，减数=被减数-差、除数=被除数÷商我，们能很轻松的求出方程的解。

第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。

在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。

特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。

2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。

这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。

L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。

它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。

3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。

这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。

二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。

要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。

把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。

定解条件由实际问题提出。

对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。

边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。

对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。

怎么求椭圆的标准方程
首先，我们需要了解椭圆的基本定义和性质。

椭圆的定义是一个固定点F到平面上任意一点P到两个定点A、B的距离之和等于常数2a，这个常数2a就是椭圆的长轴长度。

而椭圆的短轴长度则是2b，满足a>b。

椭圆的中心是定点A、B连线的中点O，长轴和短轴的交点是椭圆的焦点。

接下来，我们来求解椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程一般是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

首先，我们需要确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。

确定椭圆的中心坐标(h,k)，如果椭圆的中心不是坐标原点，我们可以通过平移坐标系的方法将椭圆的中心移到坐标原点，这样就可以简化问题。

假设椭圆的中心坐标是(h,k)，我们可以将椭圆的方程变形为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。

确定椭圆的长短轴的长度a和b，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，我们可以通过椭圆的焦点和顶点的坐标来确定a和b的值。

椭圆的焦点坐标可以通过勾股定理和椭圆的定义来求解，然后根据a²=b²+c²来确定a和b的值。

最后，我们将确定的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b代入标准方程(x-h)²/a ² + (y-k)²/b² = 1中，就可以得到椭圆的标准方程了。

总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b，然后代入标准方程中进行计算。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

一元五次方程的椭圆函数解法
首先，我们来讨论一元五次方程的一般形式。

一元五次方程的一般形式可以表示为ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0，其中a、b、c、d、e和f为实数系数，且a不等于0。

解决这种方程的一种方法是利用椭圆函数的性质和变换来简化方程的形式，使其变为椭圆函数方程。

其次，我们需要对一元五次方程进行变换，使其变为椭圆函数方程。

这通常涉及到一系列代数变换和替换，以消除方程中的高次项和简化方程的形式。

一旦得到椭圆函数方程，我们就可以利用椭圆函数的性质和特殊的求解技巧来解决方程。

椭圆函数方程的解法涉及到椭圆积分、椭圆函数的周期性质、变换和递归关系等数学工具。

通过适当的变换和代换，我们可以将椭圆函数方程转化为标准的椭圆函数形式，然后利用椭圆函数的性质和求解技巧，找到方程的解。

需要指出的是，一元五次方程的椭圆函数解法相对复杂，需要深厚的数学功底和对椭圆函数理论的深入理解。

因此，对于一般的数学问题，通常会采用更直接和常规的代数方法来解决方程，而椭
圆函数解法往往用于特定的数学和物理问题中。

总之，一元五次方程的椭圆函数解法涉及到代数方程的变换和椭圆函数的性质，需要深入的数学知识和技巧。

对于普通的代数方程求解问题，通常会采用更直接和常规的代数方法来解决。

椭圆的参数方程一、基本说明1模块：高中数学选修4-42年级：高中二年级3所用教材版本：人民教育出版社4所属的章节：第二讲5学时数： 40分钟二、教学设计1、教学目标：知识与技能：了解椭圆参数方程的推导过程及椭圆参数方程中参数的几何意义；掌握椭圆的参数方程，会用椭圆参数方程解决一些简单的应用问题。

过程与方法：通过学习椭圆的参数方程，进步完善对椭圆的认识，同时使学生更熟悉和掌握坐标法，提高分析问题与解决问题能力，掌握类比的学习方法。

情感态度与价值观：通过利用信息技术激发学生学习数学的热情，感受信息技术在数学中的作用，实现信息技术与数学课程的有机整合，使学生更好地理解数学的本质，主动地探索和研究数学。

2、内容分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，在选修1-1中就已学过椭圆的定义及性质。

这节课主要学习椭圆的参数方程。

它是在学习了圆的参数方程的基础来学习的，它后面将要学习双曲线的参数方程，因此它有承上启下的作用。

本节是以学生熟悉椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用，同时引导学生从不同的角度认识椭圆的几何性质。

这节课的重点是了理解椭圆参数方程的推导过程、椭圆参数方程中参数的几何意义及椭圆参数方程的简单应用3、任务分析：椭圆是学生比较熟悉的曲线，由椭圆的标准方程通过纯粹的代数和三角变换得椭圆的参数方程并不难，难的是参数方程中参数的几何意义。

利用信息技术从参数连续变化形成椭圆的过程中认识参数的几何意义，生动、形象，易于学生接受理解。

在解决问题过程中，用一题多解的形式培养学生的发散思维，通过比较各种解法，从中获取最优解法，体现出本节课参数方程的重要性和优越性。

通过讨论，培养学生团结协作的精神。

4、教学方法和教学策略分析：本节课采用“高中数学新课程与信息技术整合教学的双主教学模式”①，课件制作主要用PPT和几何画板。

注：①湖南省教育科学“十一五”规划课题《高中数学新课程与信息技术整合有效性的研究》中探索的一种教学模式三、教学基本流程四、教学过程设计教学反思:人们对事物的认识是不断加深，层层推进。

椭圆知识点总结椭圆学问点总结1学问点一椭圆的定义平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。

当即时，集合P为椭圆。

当即时，集合P为线段。

当即时，集合P为空集。

学问点二椭圆的标准方程(1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

(2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。

学问点三椭圆方程的一般式这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考：(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。

方程可变形为。

当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。

一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。

学问点四椭圆标准方程的求法1.定义法椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

变式练习1.在△ABC中，点B(6,0)、C(0,8)，且成等差数列。

(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。

(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

2.待定系数法首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。

例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。

例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程;(1)两个焦点分别是(3,0)，(3,0)且经过点(5,0).(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系一. 教学内容：椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系［知识点］1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数e ca e M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()() 方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c =-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y b a b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x a c ca r ex c a a ca ex 0202+==+=+右焦半径右右r a cx car a ex 200-=⇒=-3. 椭圆参数方程问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。

解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()ϕϕOx OA 参数。

那么∴x ON OA y NM OB x a y b ======⎧⎨⎩||cos ||sin cos sin ()ϕϕϕϕ1这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”ϕϕ 说明：<1> 对上述方程（1）消参即xay b x a y b ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⇒+=c o s s i n ϕϕ22221普通方程<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

第5讲椭圆[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点) 2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1.椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性X围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆□01相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆□02相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆□03相离．4．弦长公式(1)假设直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝□011＋k2|x1－x2|＝□021＋1k2|y1－y2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长□032b2a，最长为□042a.5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，那么当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)过焦点F1的弦AB，那么△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)椭圆x29＋y24＝1的离心率是()A.133 B.53C.23 D.59答案 B解析由得a＝3，b＝2，所以c＝a2－b2＝32－22＝5，离心率e＝ca＝5 3.(2)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，假设长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的标准方程为()A.x236＋y232＝1 B.x29＋y28＝1C.x29＋y25＝1 D.x216＋y212＝1答案 B解析由题意，得2c2a＝13，2a＝6，解得a＝3，c＝1，那么b＝32－12＝8，所以椭圆C的方程为x29＋y28＝1.应选B.(3)假设方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，那么m的取值X围是________．答案2<m<6且m≠4解析方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m－2>0，6－m>0，m－2≠6－m，解得2<m<6且m≠4.(4)动点P(x，y)的坐标满足x2＋(y＋7)2＋x2＋(y－7)2＝16，那么动点P的轨迹方程为________．答案x264＋y215＝1解析由得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>|AB|，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为x264＋y215＝1.题型一椭圆的定义及应用1．过椭圆x24＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，那么△ABF2的周长为()A．8 B．4 2 C．4 D．2 2 答案 A解析因为椭圆为x24＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，那么|P A|＋|PB|的最大值为() A．5 B．4 C．3 D．2 答案 A解析如图，∵椭圆y24＋x23＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，可得|PB|＝4－|PB′|，因此|P A|＋|PB|＝|P A|＋(4－|PB′|)＝4＋(|P A|－|PB′|)．∵|P A|－|PB′|≤|AB′|，∴|P A|＋|PB|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5.当且仅当点P 在AB ′的延长线上时，等号成立． 综上所述，可得|P A |＋|PB |的最大值为5.3．(2019·某某模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，那么△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752答案 C解析 由题意，得a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6.∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72.利用定义解焦点三角形问题及求最值的方法解焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧．见举例说明3求最值抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值．见举例说明21．如下图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，那么点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案 A解析 由题意得|PF |＝|MP |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|MP |＝|MO |>|OF |，即点P 到两定点O ，F 的距离之和为常数(圆的半径)，且此常数大于两定点的距离，所以点P 的轨迹是椭圆．2．(2019·某某皖江模拟)F 1，F 2是长轴长为4的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点，那么△PF 1F 2面积的最大值为________．答案 2解析 解法一：∵△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝12a 2.又2a ＝4，∴a 2＝4，∴△PF 1F 2面积的最大值为2.解法二：由题意可知2a ＝4，解得a ＝2.当P 点到F 1F 2距离最大时，S △PF 1F 2最大，此时P 为短轴端点，S △PF 1F 2＝12·2c ·b ＝bc .又a 2＝b 2＋c 2＝4，∴bc ≤b 2＋c 22＝2， ∴当b ＝c ＝2时，△PF 1F 2面积最大，为2.题型二 椭圆的标准方程角度1 定义法求椭圆的标准方程1．A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，那么动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 234＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1.角度2 待定系数法求椭圆的标准方程2．椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，那么椭圆方程为________．答案 y 210＋x 26＝1解析设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )．由得⎩⎨⎧94m ＋254n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110，所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见举例说明1.其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的四步骤提醒：当椭圆的焦点位置不明确时，可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)可简记为“先定型，再定量〞．见举例说明2.1．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．答案x225＋y216＝1解析设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，那么有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r. 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，所以点P的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.2．(2019·某某调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F2F2|，|PF2|成等差数列，那么椭圆方程为________．答案x28＋y26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎨⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.题型三 椭圆的几何性质1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，那么椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)答案 D解析 由得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．2．F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，假设△ABF 2是锐角三角形，那么该椭圆的离心率e 的取值X 围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)答案 B解析 ∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1<45°，∴tan ∠AF 2F 1<1，∴b 2a2c <1，整理，得b 2<2ac ，∴a 2－c 2<2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1>0，解得e >2－1或e <－2－1(舍去)，∵0<e <1，∴椭圆的离心率e 的取值X 围是(2－1,1)．3．(2019·某某质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，那么PF →·P A →的最大值为________．答案 4解析 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.那么当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些X 围问题时，经常用到x ，y 的X 围，离心率的X 围等不等关系．见举例说明3.(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．见举例说明1.2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a，b，c之间的关系求离心率，可以利用变形公式e＝1－b2a2求解．也可以利用b2＝a2－c2消去b，得到关于a，c的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．如举例说明2.(3)由椭圆的定义求离心率．e＝ca＝2c2a，而2a是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而与焦点三角形联系起来．1．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，那么椭圆E的标准方程为()A.x22＋y22＝1 B.x22＋y2＝1C.x24＋y22＝1 D.y24＋x22＝1答案 C解析易知b＝c＝2，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为x24＋y22＝1.2．(2020·某某模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和直线l：x4＋y3＝1，假设过C的左焦点和下顶点的直线与l平行，那么椭圆C的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以bc ＝34，又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45. 3．假设点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，那么OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 由椭圆x 24＋y 23＝1，得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，那么OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6.题型四 直线与椭圆的综合问题角度1 直线与椭圆的位置关系1．直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解将直线l的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点．角度2 点差法解中点弦问题2．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________．答案 y 275＋x 225＝1解析 设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1，y 22a 2＋x 22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2×y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x225＝1.角度3 弦长问题3．椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，某某数m 的取值X 围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x . 角度4 综合计算问题4．(2019·某某高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，假设|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M,0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，那么直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k 4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k2－10k.在y＝kx＋2中，令y＝0，得x M＝－2 k.由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－k2.由OP⊥MN，得4－5k2－10k·⎝⎛⎭⎪⎫－k2＝－1，化简得k2＝245，从而k＝±2305.所以直线PB的斜率为2305或－2305.1．直线与椭圆位置关系的判定方法(1)代数法联立直线与椭圆方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．见举例说明1.(2)几何法画出直线与椭圆的图象，根据图象判断公共点个数．2．“点差法〞的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法〞，步骤如下：3．中点弦的重要结论AB为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k ＝－b 2x 0a 2y 0.见举例说明2.(2)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b 2a 2. 4．直线与椭圆相交的弦长公式(1)假设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.见举例说明3.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a .1．假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么m 的取值X 围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5答案 D解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，假设直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，那么点(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部或在椭圆上，所以1m ≤1，由方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，那么m >0且m ≠5，综上知m 的取值X 围是m ≥1且m ≠5.2．直线y ＝x ＋m 被椭圆2x 2＋y 2＝2截得的线段的中点的横坐标为16，那么中点的纵坐标为________．答案 －13解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2＋y 2＝2，消去y 并整理得3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2m 3，∴－2m 3＝13，解得m ＝－12.由截得的线段的中点在直线y ＝x －12上，得中点的纵坐标y ＝16－12＝－13.解法二：设线段的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么2x 21＋y 21＝2,2x 22＋y 22＝2.两式相减得2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.把y 1－y 2x 1－x 2＝1，x 1＋x 2＝13代入上式，得y 1＋y 22＝－13，那么中点的纵坐标为－13.3．(2019·某某六中模拟)直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C ：x 28＋y 22＝1交于A ，B 两点，直线l 1与直线l 2：x ＋2y －4＝0交于点M .(1)证明：直线l 2与椭圆C 相切；(2)设线段AB 的中点为N ，且|AB |＝|MN |，求直线l 1的方程．解(1)证明：由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，x ＋2y －4＝0，消去x 整理得y 2－2y ＋1＝0， ∵Δ＝4－4＝0，∴l 2与C 相切．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x ＋2y －4＝0，得M 的坐标为(0,2)．由⎩⎨⎧x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋8＝0， 因为直线l 1与椭圆交于A ，B 两点， 所以Δ＝(16k )2－32(1＋4k 2)＝128k 2－32>0，解得k 2>14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 那么x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝81＋4k 2， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－8k1＋4k 2. ∵|AB |＝|MN |， 即1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|x 0－0|，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|x 0|， 即8k1＋4k2＝4 24k 2－11＋4k 2，解得k 2＝12，满足k 2>14.∴k ＝±22，∴直线l 1的方程为y ＝±22x ＋2.组 基础关1．椭圆mx 2＋3y 2－6m ＝0的一个焦点的坐标为(0,2)，那么m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．8答案 C解析 由mx 2＋3y 2－6m ＝0，得x 26＋y22m ＝1.因为椭圆的一个焦点的坐标为(0,2)，所以2m ＝6＋4，解得m ＝5.2．(2019·某某模拟)如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.255答案 B解析 由题2b ＝16.4,2a ＝20.5，那么b a ＝45，那么离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(－6，－2)B ．(3，＋∞)C ．(－6，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－3)∪(2，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以－6<a <－2或a >3.4．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103答案 B解析 由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，那么直线AB 的方程为y ＝2x－2.联立⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.应选B.5．如图，椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，那么椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1答案 C解析 设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP ||OF |＝35，那么|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP ||OF ′|cos (π－∠POF )＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，那么椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55答案 C解析 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.应选C.7．(2020·某某一诊)点M (－1,0)和N (1,0)，假设某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，那么称该直线为“椭型直线〞，现有以下直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线〞的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④答案 C解析 由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15<0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线〞；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线〞；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)>0，知2x－y＋1＝0是“椭型直线〞；对于④，把x＋y－3＝0代入x24＋y23＝1，整理得7x2－24x＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24<0，知x＋y－3＝0不是“椭型直线〞．故②③是“椭型直线〞．8．椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，那么椭圆的标准方程为________．答案x245＋y236＝1解析由题意设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由离心率e＝55可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为x25c2＋y24c2＝1，将P(－5,4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为x245＋y236＝1.9．椭圆x25＋y24＝1的右焦点为F，假设过点F且倾斜角为π4的直线l与椭圆相交于A，B两点，那么|AB|的值为________．答案165 9解析由题意知，F(1,0)．∵直线l的倾斜角为π4，∴斜率k＝1.∴直线l的方程为y＝x－1.代入椭圆方程，得9x2－10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝109，x1x2＝－53.∴|AB|＝2·(x1＋x2)2－4x1x2＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. 10．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，假设直线PF1的斜率为33，那么该椭圆的离心率为________．答案3 3解析 因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ， 整理得3e 2＋2e －3＝0， 又0<e <1，解得e ＝33.组 能力关1．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，那么△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析 如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1(或△PQF 2)的周长即△PQF 周长的最小值，为10＋2×4＝18.2．离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的下、上焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx ＋1过椭圆C 的焦点F 2，与椭圆交于A ，B 两点，假设点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，那么k 2＝________.答案 27解析 直线l 过定点(0,1)，即F 2为(0,1)，由于c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，故a ＝2，b ＝1，那么椭圆C 的方程为y 22＋x 2＝1，由⎩⎨⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2，由点A 到y 轴的距离是点B 到y 轴距离的2倍，得x 1＝－2x 2，代入x 1＋x 2＝－2kk 2＋2，解得x 2＝2kk 2＋2，x 1＝－4k k 2＋2，代入x 1x 2＝－1k 2＋2，解得k 2＝27.3．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．假设△MF 1F 2为等腰三角形，那么M 的坐标为________．答案 (3，15)解析 设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧(x ＋4)2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)．4．(2020·某某摸底)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b a x 相交于P ，Q 两点，且A P →·A Q →＝0，O P →＝3O Q →，那么椭圆C 的标准方程为________，圆A 的标准方程为________．答案 x 24＋y 2＝1 (x －2)2＋y 2＝85 解析 如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ，那么AT ⊥PQ . ∵A P →·A Q →＝0，即AP ⊥AQ ， ∴|AT |＝12|PQ |.又O P →＝3O Q →，∴|OT |＝|PQ |. ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12.由得焦半距c ＝3，∴a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又|AT |2＋|OT |2＝4，∴|AT |2＋4|AT |2＝4， ∴|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105. ∴圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 中点的横坐标为14，且AF→＝λFB →(其中λ>1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)某某数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由AF→＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．假设直线AB ⊥x 轴，那么x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12，∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， 即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1，又λ>1，∴λ＝3＋52.组 素养关1．(2019·某某二模)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝32，离心率为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)假设M 为y 轴正半轴上的定点，过M 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，设O 为坐标原点，S AOB ＝－32tan ∠AOB ，求点M 的坐标．解(1)由题意，知c a ＝12，b 2a ＝32，结合a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，b ＝3，所以x 24＋y 23＝1.(2)设M (0，t )，t >0，由题意知，直线l 的斜率存在，设l 为y ＝kx ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由S △AOB ＝－32tan ∠AOB ，得12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝－32·sin ∠AOBcos ∠AOB ，得|OA ||OB |cos ∠AOB ＝－3，即OA →·OB→＝－3， 联立直线l 和椭圆C 的方程，有 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝－8kt3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k 2，由x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝－3，得(k 2＋1)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝－3， ∴(k 2＋1)4t 2－123＋4k 2－kt ·8kt3＋4k 2＋t 2＝－3， 整理可得7t 2＝3，又t >0，得t ＝217. 故M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，217 2．(2019·某某六市第二次联考)动点P 到定点F (1,0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与AB 相交于一点(交点位于线段AB 上，且与点A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)求直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？假设有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；假设没有，请说明理由．解(1)设点P (x ，y )．由题意可得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．将x ＝1代入x 22＋y 2＝1，得|y |＝22，所以|AB |＝ 2. 当m ＝0时，显然不符合题意．当m ≠0时，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，word- 31 - / 31 所以|n |m 2＋1＝1，所以n 2＝m 2＋1.由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 并整理， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0. 因为Δ＝4m 2n 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0， 所以x 1＋x 2＝－4mn2m 2＋1，x 1x 2＝2(n 2－1)2m 2＋1. 所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|x 1－x 2|＝12×2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立．将m ＝±22代入n 2＝m 2＋1，得n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．故四边形ACBD 的面积有最大值，最大值为22，对应的直线方程为y ＝22x－62和y ＝－22x ＋62.。

椭圆的常见题型及解法（二）一对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称”；“点关于直线对称”；“曲线关于点对称”；“曲线关于直线对称”.①点A 关于B 的对称点为C ，点B 为A 、C 的中点，由中点坐标公式有：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11112222y b y x a x y y b x x a ； ②设点A(x 1,y 1)关于直线 ：ax+by+c=0的对称点为C(x,y),由AC 直线与 垂直，且AB的中点在 上，有：()();222202212211222211221111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--b a bc abx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y(当直线 中a=0或b=0时，上面结论也正确)③曲线F(x,y)=0关于点B(a,b)对称的曲线，在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于点B(a,b)的对称点为C(x,y).其实点A 为主动点,点C 为从动点,由中点坐标公式有:⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y b y xa x y yb x x a 22221111,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:0)2,2(=--y b x a F .④曲线F(x,y)=0关于点ax+by+c=0对称的曲线, 在曲线F(x,y)=0上任取一点A(x 1,y 1)，它关于直线ax+by+c=0的对称点为C(x,y),则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--2222122221111122220221b a bcabx y b a y b a acaby x a b x c y y b x x a b a x x y y ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:()()0)22,22(22222222=+---+---b a bcabx y b a b a ac aby x a bF .圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就实例说明三个确保的实施.例1.已知椭圆C: 191622=+y x ,试确定m 的取值范围,使得对于直线 :m x y +=4在椭圆C 上存在不同的两点关于直线 对称.解:椭圆上存在两点A,B 关于直线 m x y +=4对称, 设直线AB 为:n x y +-=41(确保垂直). 设直线AB 与椭圆有两个不同的交点()()2211,,,y x B y x A .0728451916412222=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=n nx x y x n x y ()()072854422>-⨯⨯--=∆n n (确保存在)即：()10,10102-∈⇒<n n ()1545421nn x x =--=+ AB 两点的中点的横坐标为,52221n x x =+纵坐标为n n n 1095241=+⨯- 则点⎪⎭⎫⎝⎛n n 109,52在直线 m x y +=4上,m n n +⨯=524109. (确保平分).107n m -=⇒ 把上式代入(1)中,得：.1010710107<<-m 变式训练（2010年安徽理19）：已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率.21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求21AF F ∠的角平分线所在直线l 的方程；（III ）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b+=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x yc e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式 将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得 ∴椭圆E 的方程为22 1.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知12(2,0),(2,0)F F -，所以直线AF 1的方程为：3(2),3460,4y x x y =+-+=即 直线AF 2的方程为： 2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设(,)P x y l 为上任一点，则|346||2|.5x y x -+=- 若346510,280x y x x y -+=-+-=得（因其斜率为负，舍去）. 所以直线l 的方程为：210.x y --= 解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即（III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++==设的中点为则由于M 在l 上，故00210.x y -+= ①又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与 两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-，并将直线BC 的斜率BC k 和线段BC 的中点，表示代入该表达式中， 得0000110,320.812x y x y -=-=即 ② ①×2—②得202,3x y ==，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. ∴不存在满足题设条件的点B 和C. 解法2：假设存在1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称， 则1,.2BC l BC k ⊥∴=-221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即 则12x x 与是该方程的两个根， 由韦达定理得12,x x m +=于是121213()2,22m y y x x m +=-++= ∴B ，C 的中点坐标为3(,).24m m又线段BC 的中点在直线321,1, 4.4my x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.二 中点弦问题例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；假设，那么动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．假设ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，那么顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，那么m = 。

2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质〔1〕对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

〔2〕范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

〔3〕顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆〔a＞b＞0〕与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A 2〔a，0〕，B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕。

③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

〔4〕离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。

偏微分方程组引言偏微分方程组是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、金融等领域。

本文将介绍偏微分方程组的基本概念和解法，以及其在实际问题中的应用。

一、偏微分方程组的定义和分类偏微分方程组是包含多个未知函数及其偏导数的方程组。

其一般形式可以表示为：F(u1,u2,...,u n;∂u1∂x,∂u2∂x,...,∂u n∂x;∂u1∂y,∂u2∂y,...,∂u n∂y;...;∂n u1∂x n,∂n u2∂x n,...,∂n u n∂x n;...)=0其中u1,u2,...,u n是未知函数，x,y,...是自变量，∂u i∂x ,∂u i∂y,...,∂u i∂x n是偏导数。

常见的偏微分方程组包括椭圆型、双曲型和抛物型方程组。

具体分类和性质如下：1. 椭圆型方程组椭圆型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的。

椭圆型方程组的特点是解的正则性较好，在边界上的条件较容易给出。

常见的椭圆型方程组有拉普拉斯方程、泊松方程等。

2. 双曲型方程组双曲型方程组满足以下条件：在每个点上，存在至少一个特征值的实部是正的，至少一个特征值的实部是负的。

双曲型方程组的特点是解的传播速度有限，存在波动解。

常见的双曲型方程组有波动方程、传热方程等。

3. 抛物型方程组抛物型方程组满足以下条件：在每个点上，所有特征值的实部都是非负的且至少有一个特征值的实部是为零。

抛物型方程组的特点是解的传播速度无穷大，并且存在各种稳定解。

常见的抛物型方程组有热传导方程、扩散方程等。

二、偏微分方程组的解法解偏微分方程组是一个复杂的问题，常用的解法有以下几种：1. 变量分离法变量分离法是一种基本的解偏微分方程组的方法。

通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，然后将方程组代入，并使得每个变量对应的方程都成立。

最终得到的解是原偏微分方程组的解。

2. 特征线法特征线法适用于特殊的偏微分方程组，其中每个方程可以写成特定形式。

该方法的基本思想是将偏微分方程组转化为常微分方程组，并通过求解常微分方程组得到原偏微分方程组的解。

椭圆及其标准方程教学目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程；（2）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力；（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。

教学难点:椭圆标准方程的推导以及椭圆方程的应用教材分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。

它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。

因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。

教学过程一、新课引入2016年9月15日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的天宫二号升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。

这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。

“天宫二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。

在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。

由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。

今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。

那么什么是椭圆呢？二、新课讲解（一）认识椭圆，问题引出:1、对椭圆的感性认识，通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.（天体运行轨道；平面截圆锥等图片）2、对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？（二）动手实验，亲身体验指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征.请三名同学上台画在黑板上.先在画板上点两点F 1、F 2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F 1、F 2两点处。

第三章 3.13.1.1请同学们认真完成练案 [21]A 组·素养自测一、选择题1．(2020·山西太原市高二期末)椭圆x 225＋y 216＝1的焦距为( C )A ．4B ．5C ．6D ．9[解析] 因为椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，所以a 2＝25，b 2＝16，因此c 2＝a 2－b 2＝9，所以c ＝3，所以焦距为2c ＝6．故选C ．2．已知椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点是F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是8，则第三边的长度为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由椭圆的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝6，|BF 1|＋|BF 2|＝6，两式相加得|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝12，因为在△AF 1B 中，有两边之和是8，所以第三边的长度为12－8＝4． 3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为( D ) A ．x 24＋y 22＝1B ．y 24＋x 22＝1C ．y 216＋x 24＝1D ．x 216＋y 24＝1[解析] 解法一：验证排除：将点(4,0)代入验证可排除A 、B 、C ，故选D ． 解法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＝14n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝116n ＝14，故选D ．4．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是( B )A ．2B ．4C ．8D ．32[解析] 设椭圆左焦点F ，右焦点F 1，∵2a ＝10，|MF |＝2，∴|MF 1|＝8，∵N 为MF 中点，O 为FF 1中点，∴|ON |＝12|MF 1|＝4．5．(2020·房山区期末检测)“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件是( A )A ．m ＞n ＞0B ．n ＞m ＞0C ．mn ＞0D ．mn ＜0[解析] 若方程表示椭圆，则m ，n ≠0，则方程等价为x 21m ＋y 21n ＝1，若方程表示焦点在y 轴上椭圆，则等价为1n ＞1m＞0，解得：m ＞n ＞0，故选A ．二、填空题6．若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__．[解析] 由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 2|＝10－|PF 1|＝10－6＝4．7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__x 24＋y 23＝1__．[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．8．(2020·福州市高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为__22__．[解析] 由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋1b2≥2，所以a ≥2，故长轴长的最小值为22，答案为22．三、解答题9．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)ac ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12． 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1．(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1．10．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过B 且与圆A 内切(如图所示)，求圆心P 的轨迹方程．[解析] 设圆P 的半径为r ， 又圆P 过点B ，∴|PB |＝r ，又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10． ∴两圆的圆心距|P A |＝10－r ， 即|P A |＋|PB |＝10(大于|AB |)．∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB |＝6，∴a ＝5，c ＝3．∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16． 即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．B 组·素养提升一、选择题1．椭圆x 29＋y 2m 2＝1(0＜m ＜3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B两点，点B 关于y 轴的对称点为点C ，则四边形AF 1CF 2的周长为( C )A ．6B ．4mC ．12D ．49－m 2[解析] ∵过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点C ， ∴四边形AF 1CF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|CF 1|＋|CF 2|＝4a ． ∵椭圆x 29＋y 2m 2＝1(0＜m ＜3)，∴a ＝3，∴四边形AF 1CF 2的周长为12．故选C ．2．(多选题)若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围可以是( AD )A ．a ＞3B ．a ＜－2C ．－2＜a ＜3D ．－6＜a ＜－2[解析] 由题意得a 2＞a ＋6＞0， 解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选AD ．3．(多选题)直线2x ＋by ＋3＝0过椭圆10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 的值可以为( AB ) A ．－1 B ．1 C ．－12D ．12[解析] 椭圆方程化为标准形式为x 2＋y 210＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b ＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b ＝1．故选AB ．4．(2020·湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△MF 1F 2为等腰三角形，则△MF 1F 2的面积为( D )A ．5 3B ．10 3C ．215D ． 415[解析] 设M (m ，n )，m ，n ＞0，则m ∈(0,6)，n ∈(0，25)， 椭圆C ：x 236＋y 220＝1的a ＝6，b ＝25，c ＝4．设F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得|MF 1|＞|MF 2|，|F 1F 2|＝2c ＝8， 因为|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝12，所以|MF 1|＞6，|MF 2|＜6， △MF 1F 2为等腰三角形，只能|MF 1|＝2c ＝8，则|MF 2|＝4， 由勾股定理得|MF 2|2＝(4－m )2＋n 2＝16， 又m 236＋n 220＝1，联立并消去n 得 m 2－18m ＋45＝0，且m ∈(0,6)，解得m ＝3，则n ＝15． 则△MF 1F 2的面积为12×8×15＝415．故选D ．二、填空题5．已知椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__2__，∠F 1PF 2的大小为__120°__．[解析] 由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2． 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12．故∠F 1PF 2＝120°．6．下列命题是真命题的是__③__．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．[解析] ①2＜2，故点P 的轨迹不存在；②到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；③点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为410＞8，故点P的轨迹为椭圆．故填③．7．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为__15__．[解析]由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3．∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋32＋42＝15，∴|PM|＋|PF1|的最大值为15．三、解答题8．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．[解析]当焦点在x轴上时，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知9a2＋0 b2＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为x29＋y2＝1．当焦点在y轴上时，设其方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知0a2＋9b2＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为y281＋x29＝1．故椭圆的标准方程为y281＋x29＝1或x29＋y2＝1．9．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析]如图所示，连接MA，由题知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，故a＝52，b2＝a2－c2＝254－1＝214．故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1．。

椭圆的标准方程推导椭圆是平面上一个动点F到两个定点A和B的距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。

这个轨迹可以通过数学方法进行描述，其中最常用的方法就是通过椭圆的标准方程来进行推导。

接下来，我们将通过几何推导和代数推导两种方法来推导椭圆的标准方程。

几何推导：首先，我们来看一下椭圆的定义。

如上所述，椭圆是动点到两个定点的距离之和等于常数的轨迹。

设椭圆的两个焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

那么，根据椭圆的定义，动点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

接下来，我们可以利用动点P到两个焦点的距离公式来进行推导。

根据动点到两个焦点的距离公式，我们有PF1 = √(x c)² +y²，PF2 = √(x + c)² + y²。

将这两个距离之和等于2a代入，得到√(x c)² + y² + √(x + c)² + y² = 2a。

接着，我们对上式进行整理，得到√(x c)² + y² = 2a √(x+ c)² + y²。

然后对该式两边进行平方，得到(x c)² + y² = (2a √(x + c)² + y²)²。

再次整理得到(x c)² + y² =(2a)² 2(2a)√(x + c)² + (x + c)² + y²。

最后，我们再次对上式进行整理，得到(x c)² + y² =(2a)² 4a√(x + c)² + (x + c)²。

这就是椭圆的标准方程的几何推导过程。

代数推导：除了几何推导外，我们还可以通过代数方法来推导椭圆的标准方程。

首先，我们可以设定椭圆的焦点为F1(-c, 0)和F2(c, 0)，动点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题.课本上已经给出了相应的差分方程。

而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式.以及对系数进行赋值。

解决完这个问题之后.我在利用matlab 解线性方程组时.又出现“out of memory ”的问题。

因为99*99阶的矩阵太大.超出了分配给matlab 的使用内存。

退而求其次.当n=10.h=1/10或n=70.h=1/70时.我都得出了很好的计算结果。

然而在解线性方程组时.无论是LU 分解法或高斯消去法.还是gauseidel 迭代法.都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y yxxyxye u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e--+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e ====求数值解, 把区域[0,1][0,1]G =?分成121/100,1/100h h ==.n =100 注：老师你给的题F 好像写错了.应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。

二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：举一个例子：当i=2,j=3时.；当i=3,j=3时.。

但是.显然这两个不是同一个数.其大小也不相等。