九上241圆2412垂直于弦直径数学初中教育教育专区

24．1．2 垂直于弦的直径教学目标1、知识目标:(1）充分认识圆的轴对称性。

（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质,掌握垂径定理。

（3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。

2、能力目标：让学生经历“实验—观察—猜想-验证—归纳”的研究过程,培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。

让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。

3、情感目标：通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时培养学生勇于探索的精神。

教学重点垂直于弦的直径的性质及其应用。

教学难点1、垂径定理的证明。

2、垂径定理的题设与结论的区分。

教学辅助多媒体、可折叠的圆形纸板。

教学方法本节课采用的教学方法是“主体探究式”。

整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用,注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。

令学生参与到“实验—-观察—-猜想--验证-—归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理.学生不再是知识的接受者,而是知识的发现者，是学习的主人。

教学过程教师活动学生活动教学环节设计目的情景创设情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长)为37。

4m, 拱高（弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点?从实际出发,充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回顾旧识回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？2）我们学习过的轴对称图形有哪些？(电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画)学生观察一些图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

通过复习,强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案1 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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24。

1。

2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。

【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入(课件出示图片)你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37。

4m，拱高(弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论如图,AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ,垂足为M ．(1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么? （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =,即直径CD 平分弦AB ,并且平分AB 及ADB ． 归纳总结垂径定理＊：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

24.1.2垂直于弦的直径一.内容和内容分析1内容圆的轴对称性和垂径定理2. 内容分析本节内容是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。

所以它在教材中处于非常重要的位置。

“垂径定理”在教材中起着重要的作用，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有广泛的应用。

因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。

二.目标和目标解析1. 目标（1）研究圆的对称性,掌握垂径定理（2）学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题。

2.目标解析学生能理解垂径定理的条件有两个:①一条直线(或线段)过圆心；②这条直线(或线段)垂直于弦，结论有三个:③平分这条弦；④平分这条弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．学生能利用垂径定理，并通过勾股定理完成和半径、弦等有关的简单计算和证明，感受作“垂直于弦的直径”的辅助线的作用．达成目标(2)的标志是：学生知道圆是轴对称图形，并能指出圆的对称轴；学生能从圆的轴对称性的角度进行观察和发现，并能利用叠合法证明垂径定理．三.教学问题诊断分析学生虽然已经学习了轴对称等图形变化，但运用图形变化的观念去发现问题解决问题的意识还不强，因此对于垂径定理的发现和证明时，学生可能不容易想到用轴对称的角度去思考。

此外垂径定理的题设与结论比较复杂，题设的变式比较多样，一些学生不能把握题设的本质，从而造成对定理的理解不深入．基于以上分析，本课的教学难点是：垂径定理的探索及题设与结论的理解．四.教学过程：1复习轴对称和轴对称图形问题1如图A和 A’关于直线L对称需要满足什么条件问题2轴对称图形定义设计意图：为证明圆是轴对称图形作铺垫2探索圆的轴对称性活动一把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？设计意图：直观认识圆的轴对称性活动二已知：如图，在⊙O中，CD是圆的直径求证：圆是轴对称图形师生活动：引导学生选取⊙O上点C,D以外的任意一点A，过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A',垂足为E，设计意图：要学生掌握证明一个图形是轴对称图形的方法3垂径定理问题1：由CD是直径，CD⊥AB能得出那些等量关系师生活动：学生分组讨论，得出结论AE=BE AC=BC AD=BD问题2：请学生用文字语言叙述出来。

24.1.2 垂直于弦的直径※教学目标※【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质.2.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.【过程与方法】1.在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神.【情感态度】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【教学重点】垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．【教学难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．※教学过程※一、情境导入（课件出示图片）你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、探索新知1.圆的轴对称性问题1 将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？（圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.）2.垂径定理及其推论 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM =BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ．归纳总结垂径定理*：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.想一想 （出示课件）判断下列图形，能否使用垂径定理？提问（1） 一条直线满足过圆心和垂直于弦，则可得到什么结论？提问（2） 已知直径AB ，弦CD 且CE =DE ，那么可得到的结论有哪些？结论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧提问（3） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，为什么不是直径?3.利用垂径定理及推论解决实际问题问题3 如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的 圆心为O ，半径为R .经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交与点C ，连接OA .根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高.由题设可知AB =37cm ，CD =7.23cm ，所以113718.522AD AB ==⨯=(cm)，O D O C CD =-=7.23R -.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得222OA AD OD =+，解得27.3R ≈(m).因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.三、巩固练习1.如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，根据圆的轴对称性可得：CE =_______，BC =_______；AC =_______．2.如图，在圆O 中，MN 为直径，若MN ⊥AB ，则_______，_______，_______，若AC =BC ,AB 不是直径，则_______，_______，_______．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是AB 上的一点，OC ⊥AB ，垂足为D 。