求解非线性矩阵方程Xα+A＊X-1A=Q的免逆迭代算法
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《非线性方程迭代》课件
数值计算中的迭代法
在数值计算中，迭代法是一种重要的计算方法 。通过迭代法可以解决许多复杂的数学问题， 例如求解矩阵的逆、求解积分等。
迭代法在数值计算中具有广泛的应Fra bibliotek，可以处 理大规模的计算问题，提高计算效率和精度。
在数值计算中应用迭代法时，需要注意选择合 适的迭代公式和初始值，以确保迭代过程收敛 ，并提高计算结果的精度和稳定性。
步长调整策略
常用的步长调整策略包括基于误差的步长调整、基于残差的步长调 整等，可以根据具体问题选择合适的调整策略。
自适应步长效果
自适应步长控制可以有效避免因步长过大或过小而引起的迭代不收 敛或求解精度低的问题。
多重网格技术
多重网格技术
通过在不同层次的网格上迭代求解，降低计算复杂度，提高求解 效率。
详细描述
优化问题通常涉及到寻找函数的最大值或最 小值，而迭代法是一种常用的求解方法。通 过不断迭代和逼近函数的最优解，可以找到 函数的局部最小值或全局最小值。这种方法 适用于各种类型的优化问题，如线性规划、
非线性规划、整数规划等。
案例二：求解优化问题的迭代法
01
算法步骤
02
1. 选取初始点$x_0$。
收敛条件
迭代公式是否收敛取决于初始值的选择、迭代公式的选择以及非线性方程的性质。收敛条件的研究是确保迭代算 法有效性的关键。
收敛速度
不同的迭代公式有不同的收敛速度，收敛速度的快慢直接影响到算法的效率和精度。
迭代公式的误差分析
误差来源
误差主要来源于迭代公式的近似性和 数值计算的舍入误差。
误差控制
通过对迭代公式的改进和数值计算方 法的优化，可以减小误差，提高迭代 算法的精度。
THANKS
牛顿迭代法求解非线性方程组的解
10 简化牛顿法 简化牛顿法又称平行弦法，其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ),C 0, k 0,1,
(4-7)
从不动点迭代法的角度看，简化牛顿法的迭代函数(x) x Cf (x) ，下面讨论简
化牛顿法的收敛性。
若| '(x) ||1 Cf '(x) | 1 ,即取 0 Cf ' (x) 2 .在根 x* 附近成立，则迭代法
x k 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k1 作为 x* 的新的近似值。 注意到切线方程为
y f (xk ) f '(xk )(x xk )
(4-4)
这样求得的值 x k1 比满足 f (xk ) f '(xk )(x xk ) 0 ，从而就是牛顿公式
x
k 1
| f (xk1) || f (xk ) |
(4-8)
满足此要求的算法称为下山法。
将牛顿法和下山法一起使用时，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，
用牛顿法加快收敛速度。为此，为此将牛顿法的计算结果
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
(4-9)
与前一步的近似值 xk 的适当加权平均作为新的改进值
代法中所遇到的 jacobi 矩阵难求的问题。
关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、 jacobi 矩阵
一、前言 非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来
越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为 得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是 一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍 关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延 伸到方程组的解法。
遗传算法解决非线性规划问题的Matlab程序
遗传算法解决非线性规划问题的Matlab程序首先，让我们来了解一下什么是非线性规划问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题。
与线性规划问题不同，非线性规划问题的求解往往没有通用的解析方法，需要借助数值优化算法来找到最优解或近似最优解。
遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的随机搜索算法。
它模拟了生物进化的过程，通过对种群中个体的选择、交叉和变异操作，逐步优化个体，从而找到问题的最优解。
在解决非线性规划问题时，遗传算法将问题的解编码为染色体，通过适应度函数来评估染色体的优劣，然后通过遗传操作不断进化种群，直到找到满意的解。
接下来，我们开始介绍如何在 Matlab 中实现遗传算法来解决非线性规划问题。
首先，我们需要定义问题的目标函数和约束条件。
假设我们要解决的非线性规划问题是：＼＼begin{align}＆＼min f(x) ＝ x_1^2 ＋ x_2^2 2x_1x_2 ＋ 2x_1 4x_2 ＋ 5\＼＆＼text{st ｝ x_1 ＋ x_2 ＼leq 5\＼＆－2 ＼leq x_1 ＼leq 2\＼＆－3 ＼leq x_2 ＼leq 3＼end{align}＼在 Matlab 中，我们可以定义目标函数如下：｀｀｀matlabfunction f ＝ objective(x)f ＝ x(1)＾2 ＋ x(2)＾2 2x(1)x(2) ＋ 2x(1) 4x(2) ＋ 5; end｀｀｀约束条件可以通过定义一个函数来判断：｀｀｀matlabfunction c, ceq ＝ constraints(x)c ＝；ceq ＝；if x(1) ＋ x(2) ＞ 5c ＝ x(1) ＋ x(2) 5;endend｀｀｀然后，我们需要设置遗传算法的参数。
这些参数包括种群大小、最大迭代次数、交叉概率、变异概率等。
｀｀｀matlabpopSize ＝ 50; ％种群大小maxGen ＝ 100; ％最大迭代次数pc ＝ 08; ％交叉概率pm ＝ 01; ％变异概率｀｀｀接下来，我们需要对个体进行编码。
matlab牛顿迭代法求方程
一、引言在数值计算中，求解非线性方程是一项常见的任务。
牛顿迭代法是一种常用且有效的方法，它通过不断逼近函数的零点来求解方程。
而在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算功能来实现牛顿迭代法，快速求解各种非线性方程。
二、牛顿迭代法原理与公式推导1. 牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种利用函数的导数信息不断逼近零点的方法。
其核心思想是利用当前点的切线与x轴的交点来更新下一次迭代的值，直至逼近方程的根。
2. 公式推导与迭代过程假设要求解方程f(x)=0，在初始值x0附近进行迭代。
根据泰勒展开，对f(x)进行一阶泰勒展开可得：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)令f(x)≈0，则有：x = x0 - f(x0)/f'(x0)将x带入f(x)的表达式中，即得到下一次迭代的值x1：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)重复以上过程，直至达到精度要求或者迭代次数上限。
三、MATLAB中的牛顿迭代法实现1. 编写函数在MATLAB中，我们可以编写一个函数来实现牛顿迭代法。
需要定义原方程f(x)的表达式，然后计算其一阶导数f'(x)的表达式。
按照上述推导的迭代公式，编写循环语句进行迭代计算，直至满足精度要求或者达到最大迭代次数。
2. 调用函数求解方程在编写好牛顿迭代法的函数之后，可以通过在MATLAB命令窗口中调用该函数来求解具体的方程。
传入初始值、精度要求和最大迭代次数等参数，即可得到方程的近似根。
四、牛顿迭代法在工程实践中的应用1. 求解非线性方程在工程领域，很多问题都可以转化为非线性方程的求解问题，比如电路分析、控制系统设计等。
利用牛顿迭代法可以高效地求解这些复杂方程，为工程实践提供了重要的数值计算手段。
2. 优化问题的求解除了求解非线性方程外，牛顿迭代法还可以应用于优化问题的求解。
通过求解目标函数的导数等于0的方程，可以找到函数的极值点，从而解决各种优化问题。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
第三组：非线性方程迭代解法
一：非线性方程的基本迭代方法简单迭代法非线性方程的一般形式f(x)=0 其中f(x)是一元非线性函数。
若存在常数s 使f(s)=0，则称s 是方程的根。
把方程转化为其等价的方程)(x x ϕ=，因而有)(s s ϕ=。
选定s 的初始近似值0x ，用迭代公式)(1k k x x ϕ=+，得到}{k x 收敛于s ，就求出了方程的解。
收敛性：)(s s ϕ=,)(x ϕ'在包含s 的某个开区间内连续。
如果|)(x ϕ'|<1则存在δ>0，0x ∈[s-δ,s+δ]时，由该迭代函数产生的迭代法收敛。
收敛速度：（}{k x 收敛于s ，k e 为s 与k x 的差值绝对值，则c e e r k k k =+∞→1lim，c 是常数，则该迭代是r 阶收敛）Newton 法为了使迭代的收敛速度更快，应尽可能使)(x ϕ在s 处有更多阶的导数等于零。
令)(x ϕ=)()(x f x h x +,)(x h 为待定函数，已知)(s ϕ'=0，推出)(x h =)(1x f '-。
这就得出了牛顿法的迭代形式 )()(1k k k k x f x f x x '-=+，（k=0、1、···） 牛顿法是二阶收敛的迭代方法，但是牛顿法的是局部收敛的，因此要求初值要靠近根。
求解中，对于每一个k 都要计算)(k x f '，而导数的计算比较麻烦，否则会产生很大误差。
割线法 在牛顿法基础上，用11)()(----k k k k x x x f x f 来代替)(k x f '，其中1-x 、0x 预先给定。
得到了割线法的迭代形式 )()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x ，（k=0、1、···） 割线法的收敛速度至少为1.618这样就避免了牛顿法求导数的繁琐程序单点割线法单点割线法就是在割线法的基础上，用))(,(00x f x 代替))(,(11--k k x f x ，得到的迭代形式 )()()(001k k k k k x f x f x f x x x x ---=+，（k=1、2、···） 单点割线法是一阶收敛的方法，它比割线法初值要少取一个点更加容易选取初值二：非线性方程的迭代解法的拓展修正的Chebyshev 法思想：将函数)(x f 在k x 处进行泰勒展开既 +-''+-'+≈!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f ，如果)(x f ≠0，先取线性部分来代替原来函数，既)(x f =)(k x f +))((k k x x x f -'=0，得到k x x -=)()(k k x f x f '-； 再用二次多项式部分代替原函数，既!2)()())(()()(2k k k k k x x x f x x x f x f x f -''+-'+==0，合并这两次的结果得到)()()))((2)()(1(2k k k k k k x f x f x f x f x f x x ''''⋅+-=，令1+=k x x ，得到就得到了新的迭代公式，这就是Chebyshev 方法的思想，该方法的迭代公式具有三阶收敛速度。
第六章 线性与非线性方程组的迭代解法1
1
1
1
证明：记 D 2 d ia g ( a 1 1 , a 2 2 , , a n n ), D D 2 D 2 . J法迭代矩阵:
D
1
(L U ) I D
1
1
A D
1 2
(I D
1 2
1 2
1 2
1
AD
)D
2
1 2
矩阵 D
(L U ) 和 I D
2 2 D A D (2 I D
AD
)D 2 ,
由 2I D
1 2
1 2
AD
对称正定得 2 D A 对称正定。
1
D
(L U ) I D
1
A D
1 2
(I D
1 2
1 2
1
AD
)D
2
充分性 设 是 D 而I D
1 1
1 2
1 2
不妨假设
a kk x k
xk m ax xi
1 i n
，
则由第k个方程得：
j k
a kj x j
j k
a kj x j
j k
a kj x k
a kk
j k
a kj
与 A 严格对角占优矛盾！
A不可约对角占优（反证法）：
假设存在非零向量 x ( x 1 , , x n ) 定义集合：
T
使得 A x 0
m ax xi
1 i n
k : x
1
1
证明：记 D 2 d ia g ( a 1 1 , a 2 2 , , a n n ), D D 2 D 2 . J法迭代矩阵:
D
1
(L U ) I D
1
1
A D
1 2
(I D
1 2
1 2
1 2
1
AD
)D
2
1 2
矩阵 D
(L U ) 和 I D
2 2 D A D (2 I D
AD
)D 2 ,
由 2I D
1 2
1 2
AD
对称正定得 2 D A 对称正定。
1
D
(L U ) I D
1
A D
1 2
(I D
1 2
1 2
1
AD
)D
2
充分性 设 是 D 而I D
1 1
1 2
1 2
不妨假设
a kk x k
xk m ax xi
1 i n
，
则由第k个方程得：
j k
a kj x j
j k
a kj x j
j k
a kj x k
a kk
j k
a kj
与 A 严格对角占优矛盾！
A不可约对角占优（反证法）：
假设存在非零向量 x ( x 1 , , x n ) 定义集合：
T
使得 A x 0
m ax xi
1 i n
k : x
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
非线性方程迭代解法yjs讲解课件
提高稳定性
通过改进算法或者采用适当的数值方法，减少误差累积，提高结果 的稳定性。
加速收 敛
研究更有效的迭代算法，提高求解速度和精度。
改进初始值选择
通过改进初始值选择策略，提高算法的收敛性和求解质量。
05 非线性方程迭代解法的 应用实例
一元非线性方程的求解
迭代法求解
对于一元非线性方程，可以使用迭代 法进行求解。迭代法的基本思想是通 过不断逼近方程的解，逐步修正解的 近似值。常用的迭代法有牛顿迭代法、 二分法等。
改进收敛性
研究更有效的迭代算法，提高收敛速度和精度，减少迭代次数。
混合算法
结合多种算法的优点，开发出更高效、更稳定的迭代算法。
应用领域的拓展
科学计算
将非线性方程迭代解法应用于更广泛的科学计算领域， 如流体动力学、材料科学等。
工程领域
在工程领域中，解决复杂的非线性问题，如结构优化、 控制系统等。
金融领域
收敛速度的估计
分析迭代公式的收敛速度，了解迭代过程需要多少次迭代才能达 到满意的精度。
不收敛情况的处理
当迭代公式不收敛时，需要采取适当的策略进行调整，如改变初 值或迭代函数。
迭代公式的误差估计
01
02
03
误差来源分析
分析迭代过程中产生的误 差来源，如舍入误差、截 断误差等。
误差传播规律
研究误差在迭代过程中的 传播规律，了解误差随迭 代次数的变化情况。
迭代解法的历史与发展
早期发展
迭代解法最早可追溯到牛顿迭代法， 随着计算机技术的发展，迭代解法逐 渐成为数值计算领域的重要分支。
现代发展
随着优化算法、并行计算等技术的进 步，迭代解法在理论和应用方面都取 得了长足的进展，广泛应用于科学计 算、工程技术和金融等领域。
通过改进算法或者采用适当的数值方法，减少误差累积，提高结果 的稳定性。
加速收 敛
研究更有效的迭代算法，提高求解速度和精度。
改进初始值选择
通过改进初始值选择策略，提高算法的收敛性和求解质量。
05 非线性方程迭代解法的 应用实例
一元非线性方程的求解
迭代法求解
对于一元非线性方程，可以使用迭代 法进行求解。迭代法的基本思想是通 过不断逼近方程的解，逐步修正解的 近似值。常用的迭代法有牛顿迭代法、 二分法等。
改进收敛性
研究更有效的迭代算法，提高收敛速度和精度，减少迭代次数。
混合算法
结合多种算法的优点，开发出更高效、更稳定的迭代算法。
应用领域的拓展
科学计算
将非线性方程迭代解法应用于更广泛的科学计算领域， 如流体动力学、材料科学等。
工程领域
在工程领域中，解决复杂的非线性问题，如结构优化、 控制系统等。
金融领域
收敛速度的估计
分析迭代公式的收敛速度，了解迭代过程需要多少次迭代才能达 到满意的精度。
不收敛情况的处理
当迭代公式不收敛时，需要采取适当的策略进行调整，如改变初 值或迭代函数。
迭代公式的误差估计
01
02
03
误差来源分析
分析迭代过程中产生的误 差来源，如舍入误差、截 断误差等。
误差传播规律
研究误差在迭代过程中的 传播规律，了解误差随迭 代次数的变化情况。
迭代解法的历史与发展
早期发展
迭代解法最早可追溯到牛顿迭代法， 随着计算机技术的发展，迭代解法逐 渐成为数值计算领域的重要分支。
现代发展
随着优化算法、并行计算等技术的进 步，迭代解法在理论和应用方面都取 得了长足的进展，广泛应用于科学计 算、工程技术和金融等领域。
解非线性方程组的迭代法
ij
x
(k j
1)
j 1
n
a
ij
x
(k j
)
)
j i1
(i
1,2,..., n )
再将第k次迭代向量的第i个分量xi(k )与~xi(k 1)进行加权平
均，得xi(k 1)，即
x (k 1) i
(1 ) xi(k )
x
( i
k
1
)
x(k) i
(
x
( i
k
1
任选一向量X(0)作为解的初值.
X
(0)
(Leabharlann x(0) 1,x(0) 2
,
x(0) 3
)
代入式(4.1)中得方程组的一次近似.
X (1)
(
x (1) 1
,
x (1) 2
,
x (1) 3
)
把X(1) 再代入到(4.1)中得方程组的二次近似.
X (2)
(
x(2) 1
,
x(2) 2
,
x(2) 3
)
重复这一过程,假设得到了m次近似X(m)。代入到(4.1)中可
0
a23
-U=
0
a1n
a2n
an1n
0
,
an,n1 0
则有AX=DX-LX-UX=b.即DX=b+(L+U)X
从而有DX(m+1)=b+(L+U)X(m).若 aii 0 (i=1,2, ,n)
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
非线性规划问题的求解方法
运行输出：
最优解 1.00012815099165 -0.00000145071779
k= 33
练习题：
1、用外点法求解下列模型
min( x12 2x22 ) s.t. x1 x2 1
2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数 法程序。（考虑要提供哪些参数）
2. 内点法（障碍函数法）
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2,, m
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
a 1, b 1 ，a,b 为常数，通常取 a=b=2。
算法步骤
（1）给定初始点 x(0)，初始罚因子 (1) ， 放大系数 c>1；允许误差 e>0,设置 k=1；
（2）以 x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ，令 x(k)为所求极小点。
lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代次数
end
disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
迭代法解非线性方程
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求解非线性方程的迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ... 迭代公式
xk k 0
f (x) = 0 f (x) 的零点
xk 1 f ( xk ) xk , k 1,2, f ' ( xk )
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求解非线性方程的迭代法
2. 牛顿迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk , k 1,2, f ' ( xk )
称上式为方程f(x)=0的牛顿迭代公式, 简称 牛顿法。 牛顿法具有明显的几何意义， y f ( xk ) f ' ( xk )( x xk ) 是曲线在点(xk, f(xk))处的切线方程。 xk+1就是切线与x轴交点的横坐标， 所以牛顿法就是用切线与x轴交点的横坐标 近似代替曲线与x轴交点的横坐标。 因此牛顿法也称切线法。
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求解非线性方程的迭代法
2. 弦截法的迭代公式
ba x1 a f (a ), f (b) f (a ) xk a xk 1 a f ( x ) f (a ) f (a ), k xk b x b f (b ), k 1 f ( xk ) f ( b ) f ( a ) f ( xk ) 0 f ( a ) f ( xk ) 0
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求解非线性方程的迭代法
3.弦截法的Matlab编程实现 function root=chord_cut(f,a,b,e)
非线性解法
解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
几何非线性有限元方法：1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：式（1）式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。
在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。
将式（1）写成微分形式变形后得：式（2）这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。
2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。
增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：式（3）3、T.L列式与U.L列式的比较T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。
T.L列式与U.L列式的不同点比较内容| T.L列式| U.L列式| 注意点计算单刚的积分域| 在初始构形的体积域内进行| 在变形后的t时刻体积域内进行| U.L列式必须保留节点坐标值精度| 保留了刚度阵中所有线性与非线性项| 忽略了高阶非线性| U.L列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚| 用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变| 用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变| U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理| 在大应变时，非线性本构关系不易引入| 比较容易引入大应变非线性本构关系| U.L方法更适用于混凝土徐变分析从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。
(精品word)不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解
《MATLAB 程序设计实践》课程考核１、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之.（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解”(1).不动点迭代法非线性方程组求解（a）.算法说明：设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组记为:F(x）=0，然后把上述方程组改为便于迭代的等价形式：x=φ（x）,由此就可以构造不动点迭代法的迭代公式：｝满足，则就是φ的不动点,这样就可以求出非线性方程组的解.如果得到的序列{xk在MATLAB中编程实现的非线性方程组的不动点迭代法的函数为:mulStablePoint。
功能:用不动点迭代法求非线性方程组的一个解。
调用格式：[r，n］=mulStablePoint（x0，eps）.其中，x0为初始迭代向量；eps为迭代精度;r为求出的解向量；n为迭代步数。
（b）。
流程图：(c).源程序代码：function [r,n]=mulStablePoint(x0，eps) %不动点迭代法求非线性方程组的一个解%初始迭代向量：x0%迭代精度：eps%解向量：r％迭代步数：nif nargin==1eps=1。
0e-4；endr=myf(x0)；n=1；tol=1；while tol>epsx0=r;r=myf（x0）；％迭代公式tol=norm（r-x0)；％注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;if（n〉100000) ％迭代步数控制disp（’迭代步数太多，可能不收敛!’)；return；endend举例说明：解:首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：function f=myf（x）f(1）=0.5*sin(x(1)）+0。
1＊cos（x（2）*x(1))-x（1);f（2）=0.5*cos（x(1))-0.1＊sin(x（2）)—x(2)；在MATLAB命令窗口中输入：(2)。
非线性方程组计算
在科学与工程计算中，经常遇到求解非线性方程组的问题；非线性方程组在收敛速度及收敛性比线性方程组要差，特别对于非凸的非线性方程组，其求解更是困难。
下面简要介绍非线性方程组的三种解法——牛顿法、拟牛顿法、同伦算法，分析三种解法的适用性，并附Matlab 原程序。
（一）、牛顿迭代法迭代公式为：x k+1=x k-f(x k)/f'(x k);牛顿迭代法是解非线性方程组比较经典的方法，在局部收敛点附近是平方收敛的；但其解依赖于初始解，且迭代每一步都要计算f'(x k)，不仅计算量大而且有时会发生计算困难。
（二）、拟牛顿迭代法拟牛顿法是为了解决求Jacobi矩阵时带来的困难，现已成为解决非线性方程组和最优化问题的最有效方法之一。
其迭代格式为：x(k+1)=x(k)-A k-1F(x(k))A k+1=A k+[(y k-A k s k)(y k-A k s k)T]/[(y k-A k s k)T s k]在一定条件下，计算H的序列是超收敛的，但稳定性较差，有时迭代效果不理想。
（三）、同伦算法同伦算法基本思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，从而得到问题的解。
非线性方程组为：F(x)=0，其解为X*。
构造泛函 G：[0，1]XR n->R nG定义为：G（λ，x）=λ F(x)+(1-λ)[F(x)-F(x(0))]=F(x)+(λ-1)F(x(0))(其中：x（0）为任意给的初值，假定为λ函数（λ=0）)对于λ的方程G（λ，x）=0，当λ=0时，0=G（0，x）=F(x)-F(x(0))；x（0）是方程的解；当λ=1时，0=G（1，x）=F(x)；x*是方程的解，即x(1)=x*基于这个思想我们最后可以得到如下关系式：x'(λ)=-[J(x(λ))]-1F(x(0)) ( 0<=λ<=1,对初始值x(0) )J为雅可比矩阵，由上面的式子，对λ在[0，1]上积分，就可得到x*=x(1)上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。
非线性方程组迭代解法
非线性方程组迭代解法不动点法( unmovepoints.m)%非线性方程组的不动点法function [x,n]=unmovepoints(fun,x0,eps)if nargin<3eps=1e-3;endx1=feval(fun,x0);n=1;while(norm(x1-x0))>=eps x0=x1;x1=feval(fun,x0);n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;Newton 迭代法( newtons.m)% 非线性方程组的Newton 迭代法function [x,n]=newtons(fun1,fun2,x0,eps)if nargin<4eps=1e-3;endx1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0);n=1;while norm(x1-x0)>=epsx0=x1;x1=x0-feval(fun1,x0)/feval(fun2,x0); n=n+1;if n>100000disp(' 无法收敛!');breakendendx=x1;注：方程组的迭代与方程迭代不同之处在于收敛的判断不能用 abs 而应用norm (范数，默认值为向量各元素的平方和的开方；norm(xl-xO)即为向量x1与x0对应元素差的平方和的开方。
在对应的函数程序中应注意向量的运算与数量运算的区别。
)用以上方法求解下列非线性方程组：f 1 X =x 1 - 0.7 sinx ! -0.2cosx 2 =0 f 2 X = x 2 - 0.7 cos% 0.2sinx 2 =0函数：%非线性方程组函数(适用于不动点法) function f=non li nerequsl(x) f(1)=0.7*si n(x(1))+0.2*cos(x (2)); f(2)=0.7*cos(x(1))-0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs2(x) f(1)=x(1)-0.7*si n(x(1))-0.2*cos(x(2)); f(2)=x (2)-0.7*cos(x(1))+0.2*si n(x (2));%非线性方程组函数导数(适用于Newt on 迭代法) function f=non li nerequs3(x) f=[1-0.7*cos(x(1)),0.2*si n(x(2));0.7*si n(x(1)),1+0.2*cos(x(2))];命令：fsolve(@ non li nerequs2,[0.5,0.5])[x,n]=unmo vepo in ts( @non li nerequs1,[0,0],1e-6)[x,n]=n ewt ons(@non li nerequs2, @non li nerequs3,[0,0],1e-6)计算结果：(eps=0.000001)迭代方法X迭代次数n解析解[0.52652262191818 0.50791971903685] - fsolve[0.52652266171295 0.50791973020932] - 不动点法[0.526521300913880.50792028463452] 30 Newton 迭代法[0.526522793690200.50791961189450]16导数为f 2 f 2对多方程则类似。
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组
一、
问题描述
在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问
题。
由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。
牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。
下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。
二、
算法基本思想
牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函
数线性化。
下面我们具体讨论线性化过程：
令：
00
,,2121n
n x x x x
x
f x f x
f x
F （3-1）
则非线性方程组（3-2）
,,
,0
,,,0,,,21212211n
n n n x x x f x x x f x x x f （3-2）
可写为向量形式
x
F （3-3）
0x
F 成为向量函数。
设k n
k k
x
x
x ,,,2
1是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端。
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给出方程 （ １ ） 极值解的迭代算法 ； 文献 一 １ ０ ］ 研究 了Ｓ 和ｆ 都为正整数 ，Ｓ １ ，０ ＜ ， ≤ １ 或０ ＜ Ｓ ≤１ ，， １ 时 方程 （ １ ）的求 解 问题 ． 本文主要研究非线性矩阵方程
收稿 日期 ：２ ０ １ ４ — ０ ２ — ２ ０
基 金 项 目 ：国家 自然科 学基 金 资助项 目 （１ １ １ ７ １ ２ ２ ６） ；曲阜师 范大 学博 士科 研启 动基 金资 助项 目 （ ２ ０ １ ０ ０ １ ０ ２ ）
～ Ａ＝ Ｑ在工程 中有着非常重要的应用，其 中：Ａ，Ｑ为ｎ 维复
矩 阵 ，且 Ｑ 为 ， ２ 维Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ正定 矩 阵．给 出 了当 ≥１ 时 ，求解非 线性矩 阵方 程 ｘ ＋ Ｘ一 Ａ＝
Ｑ最大 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ正定解的免逆迭代算法，并通过数值举例说 明了所给算法的有效性．
第３ ４ 卷 第 ３ 期
２ ０ １ ４经
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３ Ｍａ ｖ ２ ０ １ ４
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
＋Ａ 一 Ａ ＝Ｑ ，ｗ ｈ ｅ ｒ ｅ Ａ ，Ｑ ａ ｒ ｅ ＂× ｃ ｏ ｍ ｐ ｌ ｅ ｘ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｃ ｅ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ Ｑ
关键 词 ：非线 性矩 阵方 程 ；免逆 迭代 算 法 ；最大 解
中图分 类号 ：０ ２ ４ １ ． ６ 文 献标识 码 ：Ａ ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ － ９ ８ ３ １ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ３ ． ０ ０ １
Ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ － ｆ ｒ ｅ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｘ Ａ ＊ Ｘ～ Ａ＝Ｑ
＋ ～ Ａ＝Ｑ （ １ ）
的 Ｈ ｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ正 定解 已有很 多 文献 进行 了研 究． 文献 ｉ １ — ４ 】 研究 了Ｓ ＝１ ，
１ 时方 程 （ １ ）的求解 问题 ；文献
［ ５ — ６ ］ 研究了 Ｓ ＝ｌ ，ｆ ∈ （ ０ ，１ 】 时方 程 （ １ ） 的求 解 问题 ；当 Ｓ ：ｌ 时 ，文献 ［ ７ — ８ 】 分０ ＜ｔ ｌ 和ｆ １ 两种 情 况分别
Ｆ ＡＮ Ｇｕ ａ ｎ ｇ － ｈ ｕ ｉ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ￣ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ，Ｑ ｕ ｆ ｕ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｑ ｕ ｆ ｕ ２ ７ ３ １ ６ ５ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
ｍａ ｘ ｉ ｍａ ｌ Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｅ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｂ ｏ ｖ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｘ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｗｈ ｅ ｎ
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ － ｆ ｒ ｅ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ； ｍａ ｘ ｉ ｍａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ
５月
文 章编 号 ：１ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １（ ２ ０ １ ４）０ ３ － ０ ０ ０ １ — ０ ３
求解非线性矩 阵方程 Ｘ ＋ 木 Ｘ ＝Ｑ的 免逆迭代算法
范广辉
（ 曲阜 师 范大学 数学 科学 学 院 ，山东 曲阜 ２ ７ ３ １ ６ ５ ）
摘要：非线性矩 阵方程 ＋
１ 引言及预备知识
在本文中，Ｊ 表示单位矩阵 ；对于 × ｎ 矩阵 Ａ，Ｏ ＂ ｎ （ Ａ ） 表示 的最小奇异值 ；Ａ 表示矩阵 Ａ的共轭
转置． 设 Ｑ为 ｎ维 Ｈｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ正定矩 阵 ， Ａ为 ｎ 维 非奇 异 复矩 阵 ， ｓ，ｆ 均为 正数 ，对 于非线 Ｉ 生矩 阵方程
≥１ ． Ａｎ ｄ
Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｅ ｉｎｉ ｆ ｔ ｅ， ｈ ａ ｓ ｗｉ ｄｅ ｌ ｙ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄ ｂ ａ ｃ ｋ ｇ ｒ ｏ ｕ ｎｄ ． Ａｎ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ － ｆ ｒ ｅ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｆ ｏ ｒ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｅ
作者简介 ：范广辉 （ １ ９ ７ ９ 一） ，男，山东兖州人，讲师，博士，从事计算数学及计算数学史研究．Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ：ｑ ｕ ｆ ｕ ｆ ｇ ｈ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｗａ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｔ ｏ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈｅ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｃ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ．