中考数学总复习专题课件第12课时反比例函数(2020年最新)

1．下列函数中哪些是y与x的反比例函数?
(1) (5)
y
y
5 x2
(2)
x 1
y 2x (3) y = 3
3
2x
(6) xy 3 (7)
(4) y 3x1
y= k x
(1)(3)(4)(6)
2．若 y m 1 xm2 2 是y关于x的反比例函数，则m=___1__.
分析：m+1≠0 m2 -2=-1
数y2= B）
k x
在同一直角坐标
A x <-1或0<x<3
B -1<x<0或x>3
C -1<x<0
D x>3
3 -1
➢ 模块三 反比例函数k的几何意义
设P(m, n)是双曲线 y k (k 0)上任意一点 , 过P分别作 x轴, x
y轴的垂线, 垂足分别为 A, B,
则(1)S矩形OAPB＝OA• AP m • n mn k
➢ 综合练习
5．(2018 青岛20).（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，
y1），C（6m，y2），其中m＞0． （1）当y1﹣y2=4时，求m的值； （2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三
角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
➢ 反馈练习二
例2、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数
y2
m x
m
（1）关于x的方程kx+b=
x
的解是__x_1_=_-_2__,_x_2_=_1,
的图象，观察图象：
y
（2）y1﹥y2时，x 的取值范围是_-_2_<_x_<_0_或__x_>_1__

b＝32， k′＝ 128， 则 解得 6k′＋b＝800， b＝32，
∴煅烧时的函数表达式为 y＝128x ＋32(0≤x≤6)．
第12讲┃反比例函数及其应用
4800 (2) 当 x＝480 时，y＝ ＝ 10，10－6＝4(min)，∴锻造的操 480 作时间有 4 min.
第12讲┃反比例函数及其应用
核心考点三
相关知识
常见类型
用反比例函数解决实际问题
主要知识列举 1.矩形中，当面积 S 一定时，长 a 与宽 b 的关
S 系：a＝ .2.三角形中，当面积 S 一定时，高 h b 几何问题 2S 与相应的底 a 的关系：h＝ a 当路程 s 一定时，时间 t 是速度 v 的反比例函 行程问题 s 数，即 t＝ v
第11讲┃一次函数及其应用
核心练习
k 5． [2014·邵阳] 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点( －1， 2)， x
-2 则 k＝ ________ ．
图 12 －5
第12讲┃反比例函数及其应用
k 6．[ 2014·娄底] 如图 12－5 所示，M 为反比例函数 y＝ 的 x 图象上的一点，MA 垂直于 y 轴，垂足为 A，△MAO 的面积为 2，则
第12讲┃反比例函数及其应用
(2) 求 k 的值； (3) 当 x＝16 时，大棚内的温度约为多少度？
图 12 －7
第12讲┃反比例函数及其应用
解： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为 18 ℃的时间为 10 小时． k k (2) ∵点 B(12， 18)在双曲线 y＝ 上，∴18＝ ，∴k＝216. x 12 216 (3) 当 x＝16 时， y＝ ＝13.5 ， 16 ∴当 x ＝16 时，大棚内的温度约为 13.5 ℃.

+ ! #!!, ! < !!1 ! !!5 !不能确定 $ % % $ $ $ $ $ $ $ $ !!! !!! $ 第 " 题图 第 % 题图 $ $ % ! "$ 湘潭 ' 题 # 分 如图2 3两点在双曲线 ' 0 $ $ $ 上分别经过 2 3两点向轴作垂线段已知 ? 阴影 $ & $ 0 " 则 ? " / ?% 0 !! $ $ + = #!! !, = $!!! 1 = &!!! 5 = * $ $ # ! "$ 娄底 "* 题 # 分 如图 7 为反比例函数 ' 0 $ 4 $ 的图 象 上 的 一 点 7 2垂 直 于 '轴 垂 足 为 2 $ & $ 的值为!!!!! 2 :的面积为 % 则 4 +7 $ $ $ $ $ $ $ $ !!!! $ !! $ 第 # 题图 第 $ 题图 $ $ $ ! "# 永州 "$ 题 # 分 如图 两个反比例函数 ' 0 $ $ % $ 和' 0 在第一象限内的图象分别是 5 " 和 5 % $ & & $ 设点 9在 5 轴于点 2 9 交 5 则 /& $ " 上 2 % 于点 3 $ : 3的面积为!!!!! +9 $ $ 命题点 $ !反比例函数与一次函数结合 %("$ 年考 $ $ 查 $ 次%("# 年考查 % 次%("% 年考查 % 次 $ " ! "$ 益阳 * 题 $ 分 正比例函数 ' 的图象与 0 *& $ $ * 反比例函数 ' 0 的图象的交点位于 !! $ & $ + =第一象限 , =第二象限 $ $ 1 =第三象限 5 =第一三象限 $ $ % ! "$ 怀化 ' 题 # 分 已知一次函数 ' 的图 0 4 & / # $ 和反比例函数 ' 象如图那么正比例函数 ' 04 & 0 $ $ # $ 在同一坐标系中的图象大致是 !! & $ $ $ $ $ $ $ & / "的 " 0 $ # ! "% 岳阳 * 题 # 分 如图 一次函数 '

������
3.反比例函数 y=5-������ ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值范
������
围是 m>5 .
4.如图,正方形ABOC的边长为2,反比例函数y=
������ ������
的图象经过点A,则
k的值是( D )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
第三章
第12讲 反比例函数及其应用
-4-
解:(1)因为双曲线 y=������������2过点 A(1,1), 所以 k2=xy=1×1=1,y=���1���.
∵AD为OB的中垂线,OD=1,
∴OB=2,即点B的坐标为(2,0),点D坐标为(1,0).
(2)∵直线y=k1x+b过A(1,1),B(2,0),
得
���2���1������1++������������==10, ,解得
∵反比例函数y= 2中,k=2>0,∴此函数图象的两个
������
分支在第一、三象限. ∵0<x1<x2,∴A,B两点在第一象限. ∵在第一象限内y的值随x的增大而减小,∴y1>y2. 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征或用函数的图
象解不等式.
第三章
第12讲 反比例函数及其应用
课前小练 考情分析 知识梳理 例题精讲 随堂练习
第三章
第12讲 反比例函数及其应用
课前小练 考情分析 知识梳理 例题精讲 随堂练习
-6-
知识点1反比例函数的图象与性质
1.反比例函数:形如y=
������ ������
(k为常数,k≠0)的函数,称y是x的反比例函
数.

揭示本质
从函数形式上，我们可以将反比例函 数表示为y=k/x，其中k为常数，且 k≠0。这表明函数的输出y与输入x成 反比关系。
反比例函数的表达形式基本源自式y=k/x，其中k为常数，且k≠0。
变形形式
当k>0时，函数图像位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图 像位于第二、四象限，y随x的增大而增大。
交点与函数图像的关系
01
当两个函数有交点时，交点的横 纵坐标分别对应两个函数在某一 点处的函数值。
02
通过交点，可以观察两个函数在 某一点处的相互关系及其变化趋 势。
利用交点解决实际问题
路程问题
01
在两个物体以不同速度相对运动的问题中，交点的横坐标表示
相遇的时间，纵坐标表示相遇的地点。
工程问题
02
满足奇偶性定义
由于反比例函数满足奇函数的定义 ，即$f( - x) = - f(x)$，因此它是奇 函数。
反比例函数的凹凸性
二阶导数判定
通过求二阶导数判断函数的凹凸 性。如果二阶导数大于0，则函 数是凹函数；如果二阶导数小于 0，则函数是凸函数。对于反比 例函数，可以通过求导再求二阶
导数来判断凹凸性。
在工程进度问题中，交点的横坐标表示完成工程所需的总时间
，纵坐标表示完成工程量。
经济问题
03
在投入产出问题中，交点的横坐标表示投资额，纵坐标表示产
值。
06
CATALOGUE
复习与巩固
反比例函数的概念与性质复习
总结词：掌握基础
详细描述：通过图表和实例，复习反 比例函数的概念和性质，包括定义、 表达式、图像等。
凹函数
通过计算二阶导数发现，反比例 函数是凹函数。这意味着函数图

2．如图 1.12-13，已知动点 A 在反比例函数 y ＝6x(x＞0)的图像上，直线 PQ 与 x 轴、y 轴分别交于 P，Q 两点，过点 A 作 CD∥x 轴，交 y 轴于点 C， 交直线 PQ 于点 D，过点 A 作 EB∥y 轴交 x 轴于点 B，交直线 PQ 于点 E，若 CE∥BD 且 CA∶AE＝1∶ 2，QE∶DP＝1∶9，则阴影部分的面积为__1__0____．
∴OC＝33－aa，同理可得 OD＝33－bb， ∴S△COD＝12·OC·DO＝12·（3－a）9a（b 3－b）＝ 12·9－3a9－ab3b＋ab＝12·－129aabb＋ab＝9.
(3)△AOB 的面积是否存在最大值？若存在，求 出最大面积；若不存在，请说明理由．
解：设 OA＝a，OB＝b，则 AM＝AH＝3－a， BN＝BH＝3－b，
D．5
图 1.12-11
跟踪训练
1．如图 1.12-12，函数 y＝1x(x＞0)和 y＝3x (x＞
0)的图像分别是 l1 和 l2.设点 P 在 l2 上，PA∥y 轴交
l1 于点 A，PB∥x 轴，交 l1 于点 B，△PAB 的面积为
(B )
A．12
B．23
C．13
D．34
图 1.12-12
D．－2＜x＜0 或 x＞4
图1.122
重难点3 反比例函数与几何的综合
【例 3】 (2019·重庆 A)如图 1.12-3，在平面直
角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别在 x 轴、
y 轴上，对角线 BD∥x 轴，反比例函数 y＝kx(k＞0，
x＞0)的图像经过矩形对角线的交点 E.若点 A(2，0)，
B．不变
C．减小

分点 6
a 2＋ 1 错解：∵y＝－ x 是反比例函数，且k＝－(a2＋1)＜0， ∴y随x的增大而增大， ∵－3＜－1＜2, ∴y1＜y2＜y3.
失分点 6
∵y＝－ a 2 ＋ 1 是反比例函数，且k＝－(a2＋1)＜0， x
∴在第二象限内，y随x的增大而增大，且y＞0；在第四象
限内，y随x的增大而增大，且y＜0，∴y2＞y1＞0，y3＜0，
【解析】①根据反比例函数的图象的两个分支 分别位于二、四象限，可得m＜0，故正确；② 在每个分支上y随x的增大而增大，故正确；③ 若点A(－1，a)、点B(2，b)在图象上，结合图 象可知a＞b，故错误；④若点P(x，y)在图象上， 则点P1(－x，－y)也在图象上，故正确．故选B.
第一部分 夯实基础 提分多
第三单元 函数
第12课时 反比例函数及其应用
基础点巧练妙记
基础点 1 反比例函数的图象与性质 k
1．定义：形如y＝①__x ___(k是常数，k≠0)的函数叫做 反比例函数，k叫做比例系数，反比例函数自变量的 取值范围是②_不__为__0_的___一切实数．
2．图象及性质 k的取值范围
x (2)找出满足反比例函数图象上的点P(a，b)；
(3)将P(a，b)代入表达式得k＝ab； (4)确定反比例函数的表达式y＝ a b .
x
2．在具体问题中间根据k的几何意义通过求出相应三 角形或四边形的面积求出k的值，从而求得表达式．
提分必练
8．已知点P(－4，－3)在反比例函数y＝
k
x
上，则k＝____1_2___．
•
提分必练
3．已知反比例函数y＝－ 2 ，下列结论不正确的是( )B x
A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．若x>1，则－2＜y＜0

(1)求y与x之间的函数关系式; (2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,比较(y1-y2)与(y2-y3)的 大小.
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为:y= k,
x
把(3,400)代入y=k 得,400=k,
x
3
解得:k=1 200,
∴y与x之间的函数关系式为y=1 20;0
t
整理得:y=40 800(-3t2+t+5),
∴当t= 1时,y最大,且最大值为207 400元.
6
∴该厂应该选取 小1 时/千克的速度生产,此时最大利润为207 400元.
6
变式.丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售,记汽车行 驶时间为t小时,平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时). 根据经验,v,t的一组对应值如下表:
x
图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 ( C )
A.x1<x2<x3
B.x2<x3<x1
C.x1<x3<x2
D.x3<x1<x2
变式1.(202X·烟台)如图,正比例函数y1=mx,一次函数y2=ax+b和反比例函
数y3=
k x
的图象在同一直角坐标系中,若y3>y1>y2,则自变量x的取值范围是
第12课 反比例函数及其应用
【知识清单】 一、反比例函数解析式的三种情势
k
1.y=___x____(k≠0,k为常数). 2.y=k___x_-_1 __(k≠0,k为常数).
3.xy=___k___(k≠0,k为常数).
二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y= k (k为常数,k≠0)的图象是_双__曲__线__,且关于___原__点____对称.

解：∵双曲线 y= 在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大， ∴m﹣1＜0，
解得：m＜1．故答案为：m＜1．
考点3：反比例函数系数k的几何意义
5．（2016•云南）位于第一象限的点 E 在反比例函数 y= 的图象上，
点 F 在 x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若 EO=EF，△EOF 的面积
7．（ 2016 • 枣 庄 ）如 图 ，在 矩 形 OAB C 中 ，OA=3 ，OC=2 ， F 是 AB 上 的 一 个 动 点 （ F 不 与 A， B 重 合 ）， 过 点 F 的 反 比 例函 数 y= （k＞0）的 图象与 BC 边交 于点 E． （1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式； （2）当 k 为何 值时， △EFA 的面 积最大 ，最大 面积是 多少.
D
)
A. y1 y2
B. y1 y2
C. y1 y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD. y1 y2
解析：反比例函数y＝k
x
(k≠0)的图象关于原点对称，既然x1＝
－x2，那么必有y1＝－y2，所以选D.
4考 质．（点22：01反6比•兰例州函数）的双性曲线 y= 在每个象限内，函数值 y 随 x 的增
大而增大，则 m 的取值范围是m＜1．
曲线 y= 上， 且 AB∥ x 轴， 则△ OAB 的面 积等于
．
解 ：延 长 A B 交 y 轴 于 点 C．S △ OAC = × 5= ，S△ OCB = × 8= 4 ， 则 S△ OAB =S △ OCB ﹣ S△ OAC =4 ﹣ = ． 故 答 案 是 ： ．
考点4：反比例函数的综合题
2. （2015绥化）如图，反比例函数y=
k x

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量， 建模解决该类问题的关键，一是确定两个变量 之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它 们的关系；二是需要(xūyào)结合反比例函数图 象，综合运用方程、不等式等知识来解题．
第三十一页，共31页。
第二十八页，共31页。
反比例函数(hánshù)的应用
【解析】(1)根据图象直接得出(dé chū)保持大棚温度18 ℃的时间为12－ 2＝10(小时)；(2)求k的值利用待定系数法求反比例函数解析式即可；(3) 将x＝16代入函数解析式求出y的值即可．
第二十九页，共31页。
第三十页，共31页。
第二十一页，共31页。
反比例函数与一次函数的联系(liánxì)应用
第二十二页，共31页。
第二十三页，共31页。
第二十四页，共31页。
反比例函数(hánshù)常与一次函数 (hánshù)结合，用待定系数法求出函 数(hánshù)关系式，结合函数(hánshù) 图象解决问题．
第二十五页，共31页。
反比例函数(hánshù)的应用
(1)根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值 为多少？ ②当x＝5时，y＝45，求k的值． (2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于 或等于(děngyú)20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不 能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上 20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能 否驾车去上班？请说明理由．
第十四页，共31页。
第十五页，共31页。
反比例函数y＝中只有一个系数k，利用x，y的 一对对应(duìyìng)值或利用条件பைடு நூலகம்出图象上一 点的坐标，代入就可以转化为关于k的方程．

考点聚焦
归类探究
回归教材
第12课时┃ 反比例函数
3．图12－5中的曲线是反比例函数y＝
n＋7 x
的图象的一
支．
(1)这个反比例函数的图象的另一支位于哪个象限？常数
n的取值范围是什么？
(2)若一次函数y＝－
2 3
x＋
4 3
的图象与反比例函数的图象交
于点A，与x轴交于点B，△AOB的面积为2，求n的值．
垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双
曲线 y＝4x的系数 k，由此即可求出 S1＋S2.
∵A，B 是双曲线 y＝4x上的点，分别经过 A，B 两点向 x 轴、y 轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都
等于|k|＝4， ∴S1＋S2＝4＋4－1×2＝6. 故选 D.
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
考点聚焦
归类探究
回归教材
第12课时┃ 反比例函数
回归教材
确定反比例系数k方法多
教材母题——人教版九下P21T5
在反比例函数y＝
k－1 x
的图象的每一支上，y都随x的增
大而减小，求k的取值范围．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第12课时┃ 反比例函数
解：依题意，得反比例函数的图象在第一、三象限，所以 k－1＞0，∴k＞1.
(2)求一次函数的解析式及m的值； (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和 △PDB的面积相等，求点P的坐标．
考点聚焦
归类探究
图12－4
回归教材
第12课时┃ 反比例函数
解：(1)由图象得一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的 x 的取值范围 是－4＜x＜－1，

B.当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大
2

2
中,得 y=- =-2,∴点(1,-2)在它的图象上,故本
1
C.图象经过点(1,-2)
D.若点 A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且 x1<x2,则 y1<y2
选项正确;D.点 A(x1,y1)、B(x2,y2)都在反比例函
2
数 y=- 的图象上,若 x1<x2<0 或 0<x1<x2,则
两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.
规律:过双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线,一条垂线与坐标轴、原点所
图12-1
1
围成的三角形的面积为常数 |k|.
2
4.拓展:
图12-2
图12-4
图12-3
第四页，共二十八页。
课前双基巩固
考点三
反比例函数的解析( jiě xī)式及应用
利用待定系数法确定反比例函数的解析式:
3
4
反比例函数 y= 在-3<x<-1 时,y 随 x 的

4
增大而减小,即当-3<x<-1 时,-4<y<- .
3
第七页，共二十八页。
课前双基巩固
4.[九下 P16 习题 26.2 第 6 题改编] 密闭容器内有一定质量的二氧
化碳,当容器的体积 V(单位:m3)变化时,气体的密度 ρ(单位:kg/m3)

在同一直角
)
[答案] A
[解析] 由 A,B 中直线的位置,可知 a>0,b>0,
而当 x=-1 时,y=-a+b<0,从而 a-b>0,反比例

2021/12/9
第四页，共二十五页。
考点知识聚焦
3.反比例函数的比例系数k的几何(jǐ hé)意义
k 的几
反比例函数图象上的点(x,y)具有两数之积为常数(xy=k)这一特点,即过双曲线上任意一点向两
何意义 坐标轴作垂线,两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
推导
如图,过双曲线上任一点 P 分别作 x 轴,y 轴的垂线段 PM,PN,所得的矩形 PMON 的面积
[解析] ∵A(-3,4),∴OA= 32 + 42 =5.∵
B,则 k 的值为
四边形 OABC 是菱形,∴

(
)
c
OA=CB=OC=AB=5,则点
B 的横坐标为
-3-5=-8,故点 B 的坐标为(-8,4).将点 B
图 12-6
A.-12
B.-27
C.-32
D.-36
2021/12/9



-8
的坐标代入 y= ,得 4= ,解得 k=-32.故
UNIT THREE
第三单元(dānyuán)
第 12 课时(kèshí) 反比例函数及其应用
2021/12/9
第一页，共二十五页。
函数及其图象
考点知识聚焦
考点(kǎo diǎn)一 反比例函数的概念

定义
形如 y=

(k 为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函数,k 是比例系

图 12-8
5
A.
2
B.3
2021/12/9
15
C.
4
D.5
第十五页，共二十五页。
)

性质 k>0 在每个分支上，y随x的增大而_减__小_____
k<0
图象在第_二__、__四___象限 在每个分支上，y随x的增大而__增__大____
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两
k的意 义
条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数
___|_k_| ___
2021/12/9
第12讲┃ 反比例函数(hánshù)
(2)设药物燃烧结束后函数解析式为y＝
k2 x
(k2≠0)，由题意得8＝
k2 10
，
∴k2＝80，∴此阶段函数解析式为y＝8x0(x≥10)．
(3)当y＜1.6时，得8x0<1.6，∵x＞0，∴1.6x＞80，x＞50. ∴从消毒开始经过50分钟学生才可返回教室.
2021/12/9
第12讲┃ 反比例函数(hánshù)
D．y＝x6－1
3．如果函数y＝x2m－1为反比例函数，则m的值是( B )
A．－1
B．0
C.12
D．1
2021/12/9
第12讲┃ 反比例函数(hánshù)
第三页，共二十二页。
考点(kǎo diǎn)2 反比例函数的图象及其性质
图象
反比例函数y＝kx的图象是双曲线
图象在第__一_、__三___象限
第12讲 反比例函数(hánshù)
2021/12/9
第一页，共二十二页。
┃考点自主(zìzhǔ)梳理与热身反馈 ┃
考点(kǎo diǎn)1 反比例函数的定义
k
反比例函数的定义
形如y＝__x____(k≠0，k是常数) 的函数叫做反比例函数
反比例函数 y＝kx中k的意义
由y＝kx可得k＝xy，所以k的意 义是成反比例的两个对应量的