磁场最小面积的确定方法

有界磁场最小面积全攻略

作者：高爱虎

来源：《中学物理·高中》2013年第12期

带电粒子在磁场中的运动问题，既是高中物理的重点，也是学生学习的难点，同时又是高考的热点.而这类问题中求解有界磁场最小面积的题目更是近年来高考及各类试卷的“新宠儿”.

求解有界磁场的最小面积的题目主要考查了学生对平面几何知识与物理知识的综合运用能力，它能够很好的体现高考对学生“分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力”的考查.其难点在于粒子做部分圆周运动的圆心、半径、射入磁场点、射出磁场点的确定.下面按磁场区域的形状分类解析.

1磁场区域为矩形

例1如图1所示，在直角坐标系xOy第一象限的区域内存在沿y轴正方向的匀强电场.现有一质量为m，电量为e的电子从第一象限的某点A（L，38L）以初速度v0沿x轴的负方向开始运动，经过x轴上的点B（L4，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面向里的矩形匀强磁场区域，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿y轴的正方向运动，不计电子的重力.求：（1）电子经过B点的速度v；（2）该匀强磁场的磁感应强度B的大小和矩形磁场的最小面积S.

小结求解该类问题时，应依据题意确定圆心的位置、圆的半径、射入磁场点、射出磁场点，从而画出粒子在磁场中运动的部分圆弧；让矩形的一边与射入、射出磁场点的连线重合，另一边（运动轨迹小于半圆周）或三边（运动轨迹大于半圆周）与圆弧相切，据此画出能恰好覆盖运动轨迹的矩形即是最小.

2磁场区域为圆形

小结磁场区域为三角形的题目当三角形边长最小时粒子圆周运动的轨迹并不是三角形磁场的内切圆，因此在计算最小边长时要注意等边三角形三边的三条中垂线中只有射入、射出磁场点所在边的中垂线过轨迹圆的圆心.

圆形磁场的最小面积

圆形磁场是一种常见的磁场形态，其产生于一根直流电流通过环形导线时。在物理学和工程学中，我们常常需要计算圆形磁场的面积，以便更好地理解和应用它。

那么，圆形磁场的最小面积是多少呢？答案是：圆形磁场的最小面积是πR，其中R为环形导线的半径。

这个结论可以通过对磁场的物理特性和数学性质进行分析得出。首先，我们知道圆形磁场的磁感应强度在导线周围是均匀的，并且随着距离的增加而逐渐减小。其次，我们可以利用环形导线所产生的磁场的对称性，将其分为若干个小面积，并对每个小面积进行面积积分，最终得到总面积。

通过这些分析和计算，我们可以得出结论：当环形导线的半径为R时，圆形磁场的最小面积为πR。这个结果对于圆形磁场的研究和

应用具有重要意义，可以帮助我们更好地理解和利用圆形磁场的特性。

- 1 -

磁场区域的最小面积问题

考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场范围为树叶形

例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104⨯=m

q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；

⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106

-⨯πs 时间这些离子所在位置

构成的曲线方程；

⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2

mv qvB R

=２分

运动周期22R m

T v qB ππ==610s π-=⨯ ２分 ⑵离子运动时间6

11066

t s T π-=⨯= ２分

根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，

转过的角度均为126

3

π

θπ⨯=

＝ １分

这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan

2

3

y x x θ

==

求磁场区域最小面积的三类问

题

1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0．50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0．50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不

记其重力。

（1）求上述粒子的比荷；（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。2、如图所示，在竖直平面内，

虚线MO与水平线PQ相交于O，

二者夹角θ=30°，在MOP范围

内存在竖直向下的匀强电场，电

场强度为E，MOQ上方的某个区

域有垂直纸面向里的匀强磁场，

磁感应强度为B，O点处在磁场

的边界上，现有一群质量为m、

电量为+q的带电粒子在纸面内

以速度v（0<v≤

B

E

）垂直于MO

从O点射入磁场，所有粒子通过

直线MO时，速度方向均平行于

PQ向左，不计粒子的重力和粒子

间的相互作用力。求：

（1）速度最大的粒子在磁场中

运动的时间；

（2）速度最大的粒子打在水平

线POQ上的位置离O点的距

离；

（3）磁场区域的最小面积。

求磁场区域最小面积的三类问题

1、右图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2．0×10-3

T,在X 轴上距坐标原点L=0．50m 的P 处为离子的入射口，在Y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3．5×104

m/s 的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点L=0．50m 的M 处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。 （1）求上述粒子的比荷；

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y 轴正方向做匀速直线运动，求匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

2、如图所示，在竖直平面内，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角

θ=30°，在MOP 范围内存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E ，MOQ 上方的某个区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，O 点处在磁场的边界上，现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v （0

B

E

）垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力。求：

（

1）速度最大的粒子在磁场中运动的时间；

（2）速度最大的粒子打在水平线POQ 上的位置离O 点的距离； （3）磁场区域的最小面积。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q 的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r②

由①、②求得

B=■③

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得

R=■L④

例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个

矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x 轴重合。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s■。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

在高三物理复习中，带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。其中有一类最小面积的问题，这类问题的规律性很强，本文作一归纳，供大家参考。

已知带电粒子的进、出磁场的方向，带电粒子在磁场中运动，轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置，画出运动轨迹，就可以确定磁场的最小面积。下面我就以几道典型题验证这个思路。

例题1.一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

解：粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，qvB=m■①

据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作角PQO 的对角线，与y轴的交点就是C点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。

由图中几何关系得

L=3r②

由①、②求得

B=■③

图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得

R=■L④

例题2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B ■，E的大小为0.5×10■V/m，B■大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■，磁场的下边界与x轴重合。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s■。

磁场中的“最小面积”问题

河南省信阳高级中学陈庆威2016.12.27

带电粒子在磁场中运动类题目本身就是磁场中的重难点问题，而求粒子在磁场中运动时的“最小面积”问题，又是这类问题中比较典型的难题。很多时候面对这种题目，同学们的大脑都是一片空白，没有思路、没有方法、也没有模型。那么，如何突破这一难题呢？以下是我精心整理的几道相关试题。相信，我们通过该种模型题的训练，能学会举一反三、活学活用、准确把握模型、深刻理解模型，形成自己独立解决该类问题的思维和方法，从而全面提升我们的解题能力。例题1：如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y

轴上的P/点以速度丫射入第一象限所示的区域，入射方向与x 轴正方向成。角.为了使该粒子能从x轴上的P/点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成a角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀

强磁场.若磁场分布为一个圆形区域，求这一匕心一

圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）一一 .：

解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

由牛顿第二定律得："二崂

则粒子在磁场中做圆周的半径：R =竺

qB

由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半

径等于r 的圆上的一段圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、 出射方向的速度相切，如图所示：

则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为 R 的O,点 就是圆周的圆心.粒子在磁场区域中的轨道就是以

0,为圆心、

R 为半径的圆上的圆弧 ef,而e 点和f 点应在所求圆形磁场区 域的边界上，在通过 e 、f 两点的不同的圆周中，最小的一个 是以ef 连线为直径的圆周.

1、如图所示一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域，为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场仅分布在一圆形区域内，试求该圆形区域的最小半径（粒子重力不计）。

1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy 平面上磁场区域的半径R。

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m, B1大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g取10m/s2．

(1)请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速度v；

(2)匀强磁场B2的大小为多大？；

(3)B2磁场区域的最小面积为多少？

3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

一模型界定

带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.

二模型破解

在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.

1.单一粒子的运动

(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径

粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.

(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向

粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.

(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置

当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.

磁场的最小面积

1 .一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆

形区域内。一个质量为m电荷量为q的电带粒子，由原点O开始运动，初速度为v,方向沿x 正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。

30°l y

二

1F

----- f

c-O v x

大小为；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B,磁场的下边界与x轴

重合.一质量n=1 x io"4kg、电荷量c=1 x io"°c的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°

角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B区域.一段时间后，小球经过y轴

上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0,-10) , N点的坐标为(0, 30), 不计粒子重力，g取10m/s2.

(1)请分析判断匀强电场日的方向并求出微粒的运动速度v；

(2)匀强磁场R的大小为多大；

(3)B磁场区域的最小面积为多少

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1, E的大小为x 103V/m, B i

X X X X X

3.—个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正二角形ABC 为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

精心整理

磁场的最小面积

1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xy 平面上，磁场分布在以O 为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 正方向。后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。

2.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为0.5×103V/m,B 1

大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合．一质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10-10C 的带正电微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向60°角从M 点沿直线运动，经P 点即进入处于第一象限内的磁场B 2区域．一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g 取10m/s 2．

(1)请分析判断匀强电场E 1的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2的大小为多大？； (3)B 2磁场区域的最小面积为多少？

y

x

v L

30°

P O

3．一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：

磁场的最小面积

为中心的一个圆平面上，磁场分布在以Oxy1．一匀强磁场，磁场方向垂直于xoy 平面，在xv ，方向沿、电荷量为q 的电带粒子，由原点O 开始运动，初速度为形区域内。一个质量为m ，的距离为L °，P 到O 粒子经过后来，y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30正方向。 。的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B y 30°P

L

x

v O

3 B EE V/m,0.5第四象限内有互相正交的匀强电场×与匀强磁场10，的大小为2.如图所示，1BB ，磁场的下边界0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场大小为

21-10-14yqvxm 轴正方10C 沿与轴重合．一质量10=1×kg 、电荷量的带正电微粒以某一速度=1×与BPM 区域．一段时间后，小球点沿直线运动，经点即进入处于第一象限内的磁场向60°角从2NNyMy 点的坐标为，°角的方向飞出。点的坐标为(0，经过轴上的-10)点并与轴正方向成602g 取

10m/s ．(0，30)，不计粒子重力，vE (1)请分析判断匀强电场的方向并求出微粒的运动速度；1B 匀强磁场(2)的大小为多大？；2

B (3)磁场区域的最小面积为多少？2

边飞入正三角形BCv 垂直于电量的粒子在BC 边上的M 点以速度m,3．一个质量为带+q 边飞出该三角形，可在适当的位置加一个垂点垂直于ACNABC 。为了使该粒子能在AC 边上的的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且磁感应强度为B 直于纸面向里， 不计粒子的重力。试求：

确定磁场最小面积的方法

电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。

一、几何法

例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v

，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x 轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图1所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；

（2）c点到b点的距离。

图1

解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：

Bqv m v R

2

=①

解得R

mv

qB

=0②

过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图2所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：

图2

r

R

=cos30°③

由②③得r

mv

qB =

3

2

所以圆形匀强磁场的最小面积为：

S r m v q B min

==ππ2

20

2

22

34

（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：

s vt ·°sin30=

④ s at ·°cos3012

2

=

⑤ 而a qE m

=

⑥

联立④⑤⑥解得s mv Eq

=430

2

二、参数方法

例2. 在xOy 平面内有许多电子（质量为m 、电荷量为e ），从坐标原点O 不断地以相同的速率v 0沿不同方向射入第一象限，如图3所示。现加一个垂直于xOy 平面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x 轴向x 轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。

磁场最小面积的确定方法

例1一质量为、带电量为q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；

（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；

（3）b点的坐标。

变式训练．在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度v o沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为θ＝30º，OP=L 求：

⑴感应强度的大小和方向；⑵该圆形磁场区域的最小面积。

12.(20分)如图所示,在真空室中平面

直角坐标系的y轴竖直向上,x轴上的P

点与Q点关于坐标原点O对称,PQ间的

距离d=30cm。坐标系所在空间存在一匀

强电场,场强的大小E=1.0N/C。一带电油滴在xOy平面内,从P点与x轴成30°的夹角射出,该油滴将做匀速直线运动,已知油滴的速度v=2.0m/s,所带电荷量q=1.0×10-7C,重力加速度g取10m/s2。

(1)求油滴的质量m。

(2)若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场,使油滴通过Q点,且其运动轨迹关于y轴对称。已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T,求:

①油滴在磁场中运动的时间t。

②圆形磁场区域的最小面积S。

【解析】(1)对带电油滴进行受力分析,根据牛顿运动定律有