高中数学必修4 教案
1.1．1 任意角
教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
（三） 情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：
③角的分类： ④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 ⑵
B 1 y
⑴
O x
45° B 2
O x B 3
y
30°
60o 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边
鸡西市第十九中学学案
过点P 作1PA OP ⊥，垂足为A ，过点作PM x ⊥轴，垂足为M ，
鸡西市第十九中学学案
2014年（）月（）日班级姓名
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
1.已知α是锐角，若sin α＝3
5
，则2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4=________. 2.
1cos 2x x -
cos x x
cos x x + sin π12－3cos π
12
cos )x x -
x x
sin15cos15o o + (两种方法)
【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋b cos x
＝a 2
＋b
2x x ⎛
⎫
⎪⎭
＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)
(其中sin φ＝
b a 2＋b 2，cos φ＝a
a 2＋
b 2
)． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝
a a 2＋
b 2，sin φ＝b
a 2＋
b 2
， 其中φ
(a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．
试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|
2
.
(1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____；
(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.
3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
知识点一 函数的周期性
思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？
答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.
思考2 所有的函数都具有周期性吗？
答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.
思考3 周期函数都有最小正周期吗？
答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性
(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.
知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性
思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.
答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，
目录
第一章 三角函数
1。1。1 任意角 ..........................................................................................1 1。1。2 弧度角 ..........................................................................................5 1。2.1 任意角的三角函数(1） ........................................................................8 1。2。1 任意角的三角函数(2） ........................................................................12 1。2.2 同角三角函数的关系(1） .....................................................................15 1。2.2 同角三角函数的关系（2） .....................................................................17 1。2.3 三角函数的诱导公式(1） .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2） .....................................................................22 1。2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1。3。1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1。3。2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3。2 三角函数的图象和性质（2） (33)
任
意
角
高中数学
1.1.1任意角导学案新人教A版必修4
一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。
二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点
三、知识链接：
1.初中是如何定义角的？
2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？
四、学习过程:
（一）阅读课本1-3页解决下列问题。
问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。
问题2、
问题3、象限角与象限界角
为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。
问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：
（1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o
问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o
角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α
与整数个周角的和。
例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：
精心整理
第一章三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于360︒
角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广
23角之分重点:难点:行了推广.思考小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0
360︒
︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了0
360︒
︒~角的概念，它是如何定义的呢？
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒
”（即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒
的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒
的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).
1.2.2.同角三角函数的基本关系
学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2
30°＋cos 2
30°； (2)sin 2
45°＋cos 2
45°； (3)sin 2
90°＋cos 2
90°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin 2
α＋cos 2
α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝
x .
∴sin 2
α＋cos 2
α＝x 2
＋y 2
＝|OP |2
＝1.
思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α
cos α
.
梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1.
②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π
2，k ∈Z ).
(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2
α＋cos 2
α＝1的变形公式 sin 2
α＝1－cos 2
α；cos 2
α＝1－sin 2
α. ②tan α＝sin α
cos α
的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α
tan α
.
类型一.利用同角三角函数的关系式求值
1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1
角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
思考2
对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3
在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
梳理
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；
③y
x
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝
y
x
(x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.
知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域
思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
梳理三角函数的定义域
知识点三
思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
河北省高碑店市第三中学高中数学 1.2.2《充要条件》导学案 新人教
A 版必修4
一、学习目标
1. 理解充要条件的概念；
2. 掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.
二、学习重难点
命题的真假
三、学习方法
自学指导法
四、学习过程
（一）复习导入
阅读课本P11-P12并回答下列问题
1：什么是充分条件和必要条件?
2：p ：一个四边形是矩形q ：四边形的对角线相等.p 是q 的什么条件?
（二）学习新知
充要条件概念
问题：已知p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2 和3的倍数.那么p 是q 的什么条件?q 又
是p 的什么条件?
新知：如果p q ⇔,那么p 与q 互为
试试：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p 是q 的什么条
件？
（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；
（2）若直线a 与平面α内两条直线垂直，则直线a 与平面α垂直.
（三） 典型例题
例1 下列各题中,哪些p 是q 的充要条件?
(1) p : 0b =,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；
(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >
(3) p : a b > ， q :a c b c +>+
变式：下列形如“若p ，则q ”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？哪些p 是q 的充
要条件?
(1) p : 0b = ,q :函数2()f x ax bx c =++是偶函数；
(2) p : 0,0,x y >> q :0xy >
1．1.1 任意角
[新知初探]
1．任意角
(1)角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶
点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
(3)角的分类：
名称定义图示
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转形成的角
[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
[点睛] 对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；
(3)终边相同的角的表示不唯一．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)－30°是第四象限角．( )
(2)钝角是第二象限的角．( )
(3)终边相同的角一定相等．( )
2．与45°角终边相同的角是( )
A．－45° B．225° C．395° D．－315°
1.3 三角函数的诱导公式（二）
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.
知识点一 诱导公式五
完成下表，并由此总结角α，角π
2－α的三角函数值间的关系.
(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；
(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π
4；
(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π
6.
由此可得 诱导公式五
知识点二 诱导公式六
思考 能否利用已有公式得出π
2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin(－α). 由此可得 诱导公式六
知识点三 诱导公式的推广与规律
1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(3
2π－α)＝－sin α，
sin(32π＋α)＝－cos α，cos(3
2π＋α)＝sin α.
2.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.
公式五～六归纳：π
2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加
π
2）1cos
导学案
两角和与差的正弦、余弦公式
【目标及要求】
1． 掌握两角和与两角差的正弦、余弦公式．
2．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值、证明． 【课前预习案】：
2、 诱导公式
1）sin()cos()tan()παπαπα+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 2）sin()cos()tan()ααα-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ 3）sin()cos()tan()παπαπα-=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
4）sin()2cos()2παπα⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 5） sin()2cos()2
παπα⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 3、同角三角函数基本关系
平方关系（1）_______________ 商数关系（2）_______________ 4、两角差的余弦公式)(βα-C
cos()αβ-=
cos15o
= 【课内探究案】
1、问题一：cos75?o
=设计问题解决方案
2、探究一：探究两角和的余弦公式
思考1：注意到α＋β＝α―(？)，结合)(βα-C ，推导cos(α＋β)。
)cos(βα+=cos(())α-=________________（学生独立完成，组内核对）
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？ 3、 学以致用（一）
求值 cos75= 化简 =+)6
cos(απ
4、探究二：探究两角和与差的正弦公式 思考3：sin()cos(
?)αβ+=
诱导公式)2cos(sin απα-=，则?)2
cos()sin(-=+π
βα。
分别用sin ,cos ,sin ,cos ααββ 表示)sin(βα+。
某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学
案新人教A版必修4
【学习目标】
1.掌握任意角的三角函数的定义。
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
【重点难点】
1. 熟练求值。
2. 理解任意角的三角函数的定义。
【预习指导】
1．阅读教材第11～13页。
2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）
在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .
3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
点的位置对这三个比值有影响吗？
4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。
【合作探究】
1. 例题研讨：
例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4
π
、3
π
、
5
3
π
(讨论求法→试求（学生板演）→订正)
A
B
C
→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.
例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.
（学生试求→订正→小结解法）
2. 任意角的三角函数的定义：
①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?
②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.
③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？
当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？
任何实数是不是都有三角函数值？为什么？
【达标测评】(参考《全优》P7)
1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定
