第一章 1.1.2

1． 集合的表示方法课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法 把集合的所有元素都______出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个__________．于是，集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为____________，它表示集合A 是由集合I 中具有性质p (x )的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法．；一、选择题 1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( ) A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y ) C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合、 3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧ x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3) 4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1}B ．{1} C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0} 5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有( ) A ．－1∈A B ．0∈A ∈A D ．2∈A 6．集合{x |x ＝a |a |＋|b |b －c |c |，a ，b ，c ∈R }的列举法表示应该是( ) — A ．{－3，－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,1,3}D ．{－题 号 1 2 3 4 5 6答 案 ~二、填空题7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝____________.8．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)． (1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}；- (3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}；(5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}；(6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．9．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x －2>6的解的集合；④大于且不大于6的自然数的全体构成的集合．！！11．用描述法表示下列集合：(1)所有正偶数组成的集合；(2)方程x 2＋2＝0的解的集合；(3)不等式4x －6<5的解集；(4)函数y ＝2x ＋3的图象上的点集．…能力提升12．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( ) A ．x 0∈N B ．x 0∉N！ C ．x 0∈N 或x 0∉N D ．不能确定13．对于a ，b ∈N ＋，现规定：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b a 与b 的奇偶性相同a ×b a 与b 的奇偶性不同.集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素。

1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构第1课时程序框图、顺序结构学习目标 1.了解各种程序框及流程线的功能与作用.2.能够读懂简单的程序框图.3.能够用程序框图表示顺序结构的算法.知识点一程序框图思考许多办事机构都有工作流程图，你觉得要向来办事的人员解释工作流程，是用自然语言好，还是用流程图好？答案使用流程图好.因为使用流程图表达更直观准确.梳理(1)程序框图的基本构成其中程序框图中的图框表示各种操作，图框内的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序.(2)常见的程序框、流程线及各自表示的功能图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框)赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.(3)算法的逻辑结构顺序结构、条件结构和循环结构是算法的基本逻辑结构，所有算法都是由这三种基本结构构成的.知识点二顺序结构思考如何理解顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结构？答案顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按照从上到下的顺序进行的.梳理(1)顺序结构的定义由若干个依次执行的步骤组成的.这是任何一个算法都离不开的基本结构.(2)结构形式1.任何一个程序框图必须有起止框.(√)2.任何一个算法都离不开顺序结构.(√)3.对于一个程序框图来说，判断框内的条件是唯一的.(×)类型一程序框的认识和理解例1下列说法正确的是()A.程序框图中的图形符号可以由个人来确定B.也可以用来执行计算语句C.程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框D.用程序框图表达算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直接考点程序框图的概念题点程序框图的结构答案 D解析一个完整的程序框图至少要有起止框和输入、输出框，输入、输出框只能用来输入、输出信息，不能用来执行计算.反思与感悟(1)理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂.(2)起止框用表示，是任何流程不可少的，表明程序的开始或结束.(3)输入、输出框用表示，可用在算法中任何需要输入、输出的位置，需要输入的字母、符号、数据都填在框内.(4)处理框用表示，算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内，另外，对变量进行赋值时，也用到处理框.(5)判断框用表示，是唯一具有超过一个退出点的图形符号.跟踪训练1程序框图中表示判断框的是()A.矩形框B.菱形框C.圆形框D.椭圆形框考点程序框图的概念题点程序框图的功能答案 B解析要画好程序框图，就必须准确了解各图形符号的意义，圆角矩形框为起止框，矩形框为执行框，平行四边形框为输入、输出框，菱形框为判断框，故选B.类型二利用顺序结构表示算法例2已知直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个求直角三角形内切圆面积的算法，并画出对应的程序框图.考点顺序结构题点顺序结构的简单应用解算法步骤如下：第一步，输入直角三角形的直角边长a，b的值.第二步，计算斜边长c＝a2＋b2.第三步，计算直角三角形内切圆半径r＝12(a＋b－c).第四步，计算内切圆面积S＝πr2.第五步，输出S.程序框图如图.反思与感悟在顺序结构中，语句与语句之间、框与框之间是按照从上到下的顺序连接的，中间没有“转弯”，也没有“回头”.跟踪训练2利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形面积，设计出该问题的算法及程序框图.考点顺序结构题点顺序结构的简单应用解算法如下：第一步，a＝2，b＝4，h＝5.第二步，S＝12(a＋b)h.第三步，输出S.程序框图如图.类型三程序框图的应用例3一个算法如图，它的功能是什么？考点顺序结构题点顺序结构的简单应用解其功能是求点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离.反思与感悟程序框图本身就是为直观清晰表达算法而生，故只需弄清各种程序框、流程线的功能，再依次执行一下程序，不难读懂该图所要表达的算法.跟踪训练3写出下列算法的功能：(1)图①中算法的功能是(a>0，b>0)___________________________________________；(2)图②中算法的功能是________________.考点顺序结构题点顺序结构的简单应用答案(1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长(2)求两个实数a，b的和1.下列关于程序框图的说法中正确的是()①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；②程序框图中的每一部分都应有一条从入口到出口的路径通过它； ③程序框图中的循环可以是无尽的循环； ④程序框图中的语句可以有执行不到的. A.①②③ B.②③ C.①④D.①②考点 程序框图的概念 题点 程序框图的功能 答案 D解析 由程序框图的概念知，整个框图只有一个入口，一个出口，程序框图中的每一部分都有可能执行到，不能出现“死循环”，必须在有限步骤内完成.故①②正确，③④错误. 2.程序框图符号“ ”可用于( ) A.输出a ＝10 B.赋值a ＝10 C.判断a ＝10 D.输入a ＝1 答案 B解析 图形符号“ ”是处理框，它的功能是赋值、计算，不是用来输出、判断和输入的，故选B.3.如图所示的程序框图的运行结果是________.考点 顺序结构题点 由顺序结构程序框图求结果 答案 2.5解析 初始值a ＝2，b ＝4， 得S ＝42＋24＝2＋12＝2.5，输出S 的值为2.5.4.如图所示的程序框图，若输出的结果是S ＝7，则输入的A 值为________.考点 顺序结构题点 由顺序结构程序框图求条件 答案 3解析 该程序框图的功能是输入A ，计算2A ＋1的值.由2A ＋1＝7，解得A ＝3. 5.写出求过点P 1(3,5)，P 2(－1,2)的直线斜率的算法，并画出程序框图. 考点 顺序结构题点 顺序结构的简单应用 解 算法如下：第一步，输入x 1＝3，y 1＝5，x 2＝－1，y 2＝2. 第二步，计算k ＝y 1－y 2x 1－x 2.第三步，输出k . 程序框图如图.1.在设计计算机程序时要画出程序运行的程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用程序语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端.2.规范程序框图的表示(1)使用标准的框图符号；(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；(3)除判断框外，其他框图符号只有一个进入点和一个退出点；(4)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.一、选择题1.一个完整的程序框图至少包含()A.终端框和输入、输出框B.终端框和处理框C.终端框和判断框D.终端框、处理框和输入、输出框考点程序框图的概念题点程序框图的结构答案 A解析一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框.对于处理框，由于含有计算功能，所以可不必有.2.能够使算法的步骤表达更直观的是()A.自然语言B.程序框图C.数学语言D.逻辑分析考点程序框图的概念题点程序框图的结构答案 B解析用程序框图表达算法，能使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.3.a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起止框”，d表示“判断框”，以下四个图形依次为()A.abcdB.dcabC.cbadD.bacd考点程序框图的概念题点程序框图的结构答案 C解析根据框图表示的意义逐一判断.4.在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用()A.连接点B.判断框C.流程线D.处理框考点程序框图的概念题点程序框图的定义答案 C解析流程线的作用是连接程序框及体现程序进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是程序进行的方向.而连接点的作用是连接程序框图的两部分.判断框的作用是判断某一条件是否成立.处理框的作用是赋值、计算、数据处理等.故选C.5.关于终端框的说法正确的是()A.表示一个算法的起始和结束，图形符号是B.表示一个算法输入和输出的信息，图形符号是C.表示一个算法的起始和结束，图形符号是D.表示一个算法输入和输出的信息，图形符号是考点程序框图的概念题点 程序框图的结构 答案 C解析 终端框表示一个算法的起始和结束，图形符号是.6.下列是程序框图中的一部分，表示恰当的是( )考点 程序框图的概念 题点 程序框图的功能 答案 A解析 由各图形符号的功能和流程线的意义知选A. 7.如图所示的程序框图表示的算法意义是( )A.边长为3,4,5的直角三角形面积B.边长为3,4,5的直角三角形内切圆面积C.边长为3,4,5的直角三角形外接圆面积D.以3,4,5为弦的圆面积 考点 顺序结构题点 顺序结构的简单应用 答案 B解析 直角三角形内切圆半径r ＝a ＋b －c2，故选B.8.给出如图程序框图，若输出的结果为2，则①处的处理框内应填的是( )A.x ＝2B.b ＝2C.x＝1D.a＝5考点顺序结构题点顺序结构的简单应用答案 C解析∵结果是b＝2，∴2＝a－3，即a＝5.当2x＋3＝5时，得x＝1.9.阅读如图的程序框图，若输入的a，b，c分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是()A.75,21,32B.21,32,75C.32,21,75D.75,32,21考点顺序结构题点由顺序结构程序框图求结果答案 A解析由程序框图可知x＝a，则x的值为21，由“a＝c”知a的值是75，依次得到c的值为32，b的值为21.二、填空题10.根据下面的程序框图所表示的算法，输出的结果是________.考点顺序结构题点由顺序结构程序框图求结果答案 2解析 该算法的第1步分别将X ，Y ，Z 赋于1,2,3三个数，第2步使X 取Y 的值，即X 取值变成2，第3步使Y 取X 的值，即Y 的值也是2，第4步使Z 取Y 的值，即Z 取值也是2，从而第5步输出时，Z 的值是2.11.下面程序框图表示的算法的运行结果是________.考点 顺序结构题点 由顺序结构程序框图求结果答案 6 6 解析 由题意P ＝5＋6＋72＝9，S ＝9×4×3×2＝6 6. 12.下图(1)是计算图(2)所示的阴影部分的面积的程序框图，则图(1)中执行框内应填________.考点 顺序结构题点 由顺序结构程序框图求条件答案 S ＝4－π4a 2 解析 正方形的面积为S 1＝a 2，扇形的面积为S 2＝14πa 2，则阴影部分的面积为S ＝S 1－S 2＝4－π4a 2.因此图中执行框内应填入S ＝4－π4a 2. 三、解答题13.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为a，b，设计一个算法，求该三角形的面积，并画出相应的程序框图.考点顺序结构题点顺序结构的简单应用解算法如下：第一步，输入两直角边的长a，b.第二步，计算S＝12ab.第三步，输出S.程序框图如图.四、探究与拓展14.程序框图如图所示.则该程序框图的功能是________________.考点顺序结构题点顺序结构的简单应用答案交换两个变量x，y的值解析输入x与y的值，把x的值赋于m，则m为x的取值；把y的值赋于x，则x为y的取值；再把m的值赋于y，则完成x与y取值的交换.15.如图所示，图①是计算图②中空白部分面积的一个框图，则“？”处应填________.① ②答案 S ＝π2a 2－a 2 解析 由题图②知S 阴影＝2⎣⎡⎦⎤a 2－π×⎝⎛⎭⎫a 22＝2a 2－πa 22，所以S 空白＝a 2－S 阴影＝a 2－2a 2＋πa 22＝π2a 2－a 2.故“？”处应填S ＝π2a 2－a 2.。

第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。

第2课时 正弦定理和余弦定理学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理及常见变形 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.知识点二 有关三角形的隐含条件 (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， (2)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(3)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .1．当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 2．△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B .( √ ) 3．在△ABC 中，恒有a 2＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )．( √ )4．△ABC 中，若c 2－a 2－b 2>0，则角C 为钝角．( √ )题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c cos B ＝b cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c cos B ＝b cos C ，结合正弦定理， 得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2·23＝23b 2，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c cos B ＝b cos C ，能否使用余弦定理？ 解 由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c cos B ＝b cos C 的几何意义是什么？ 解 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c cos B ＝BD ，b cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等． 反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin B c的值．解 (1)由题意及余弦定理知， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 题型二 判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，试判断三角形的形状．解 方法一 由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径． ∵a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos Acos B，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，b a ＝cos Acos B，由余弦定理，得cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac＝a b ·b 2＋c 2－a2a 2＋c 2－b 2，∴b a ＝a (b 2＋c 2－a 2)b (a 2＋c 2－b 2). a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4， c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)． ∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理． (2)变形要注意等价性，如sin 2A ＝sin 2B ⇏2A ＝2B . c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2) ⇏c 2＝a 2＋b 2.跟踪训练2 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．题型三 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明 例3 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝ . 答案 1解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A 3＝1.求三角形一角的值典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6 答案 B解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入已知等式得2ac ·cos B tan B ＝3ac ， 即sin B ＝32，则B ＝π3或2π3. [素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：①公式要熟，如本例至少应知道cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，tan B ＝sin Bcos B .②观察联想，如看到a 2＋c 2－b 2应联想到a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a 2＋c 2－b 2化为2ac cos B 简单.1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴ac ＝－2ac cos B ，cos B ＝－12，又0°<B <180°， ∴B ＝120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于( ) A.1116 B.79 C.2116 D.2916 答案 A解析 依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.34D.32答案 A解析 ∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ， ∴sin(A ＋C )＝2sin C ， ∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ， 又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14，∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量． 2．对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角． (2)化角为边．一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0. 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ， ∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C ) ＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4， ∴ab ＝43.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin Asin B ＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。

1.1.2空间向量基本定理学习目标核心素养1．理解空间向量基本定理．(重点) 2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．(难点)3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点) 1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．图中的向量AB→，AD→，AA′→是不共面的三个向量，请问向量AC′→与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？1．共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b．思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？[提示]平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．2．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 3．相关概念(1)线性组合：表达式x a ＋y b ＋z c 一般称为向量a ，b ，c 的线性组合或线性表达式．(2)基底：空间中不共面的三个向量a ，b ，c 组成的集合{a ，b ，c }，常称为空间向量的一组基底．(3)基向量：基底{a ，b ，c }中a ，b ，c 都称为基向量．(4)分解式：如果p ＝x a ＋y b ＋z c ，则称x a ＋y b ＋z c 为p 在基底{a ，b ，c }下的分解式．思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？[提示] 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．4．拓展：设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间一个基底．( )(2)若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面．( )(3)若a ，b 是两个不共线的向量，且c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)√ {a ，b ，c }为空间一个基底，则a ，b ，c 不共面，－a 、b 、2c 也不共面，故{－a ，b,2c }也构成空间一个基底．(2)√ 由共面定理知(2)正确．(3)× 由c ＝λa ＋μb 知a ，b ，c 共面，不能构成基底．2．(教材P 16练习A ①改编)对于空间的任意三个向量a ，b,2a －3b ，它们一定是( )A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量A [根据共面向量定理知a ，b,2a －3b 一定共面．]3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A ．AB →，AC →，AD → B ．AB →，AA 1→，AB 1→ C ．D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →D ．AC 1→，A 1C →，CC 1→C [由题意知D 1A 1→，D 1C 1→，D 1D →不共面，可以作为空间向量的一个基底．]向量共线问题【例1】 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ． ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， ∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→) ＝25(AB →＋AD →－AA 1→) ＝25a ＋25b －25c ．∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c ．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， ∴EF →＝25EB →．∴E ，F ，B 三点共线．判断向量共线就是利用已知条件找到实数x ，使a ＝x b 成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a ＝x b ，从而得出a ∥b ，即向量a 与b 共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.[跟进训练]1．如图所示，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？[解] CE →与MN →共线，证明：∵M ，N 分别是AC 、BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形．∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，又MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．共面定理及应用【例2】 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)易知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量的基线又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．判断三个(或三个以上)向量共面的方法(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．[跟进训练]2．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，连接P A ，PB ，PC ，PD ，点E ，F ，G ，H 分别是△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心，分别延长PE ，PF ，PG ，PH ，交对边于M ，N ，Q ，R ，并顺次连接MN ，NQ ，QR ，RM ．应用向量共面定理证明：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] ∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心， ∴M ，N ，Q ，R 为所在边的中点，顺次连接M ，N ，Q ，R ，所得四边形为平行四边形，且有PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →．∵四边形MNQR 为平行四边形， ∴EG →＝PG →－PE →＝23PQ →－23PM →＝23MQ → ＝23(MN →＋MR →)＝23(PN →－PM →)＋23(PR →－PM →) ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PF →－32PE →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫32PH →－32PE →＝EF →＋EH →，∴由共面向量定理得EG →，EF →，EH →共面，所以E ，F ，G ，H 四点共面．基底的判断及应用[探究问题]1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？ [提示] 不唯一，不共面．2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？[提示] 基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．3．用基底表示向量应注意哪些问题？[提示] (1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．【例3】 (1)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．(2)如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，已知AA ′→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，点M ，N 分别是BC ′，B ′C ′的中点，试用基底{a ，b ，c }表示向量AM →，AN →．[思路探究] (1)判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．(2)借助图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a ，b ，c 表示出来．[解] (1)假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面． 则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c ．∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底． (2)AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC ′→＝AB →＋12(BB ′→＋BC →)＝AB →＋12BB ′→＋12(AC →－AB →) ＝b ＋12a ＋12(c －b ) ＝b ＋12a ＋12c －12b ＝12a ＋12b ＋12c ． AN →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′N → ＝AA ′→＋A ′B ′→＋12B ′C ′→ ＝a ＋b ＋12(A ′C ′→－A ′B ′→) ＝a ＋b ＋12(c －b ) ＝a ＋12b ＋12c ．1．(变条件)若把本例3(2)中的AA ′→＝a 改为AC ′→＝a ，其他条件不变，则结果又是什么？[解] AM →＝AB →＋BM → ＝AB →＋12BC ′→ ＝AB →＋12(AC ′→－AB →) ＝b ＋12(a －b ) ＝12a ＋12b ． AN →＝AC ′→＋C ′N → ＝AC ′→＋12C ′B ′→ ＝AC ′→－12B ′C ′→ ＝AC ′→－12(A ′C ′→－A ′B ′→) ＝a －12(c －b ) ＝a ＋12b －12c ．2．(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P 在线段AA ′上，且AP ＝2P A ′”，试用基底{a ，b ，c }表示向量MP →．[解] MP →＝MC ′→＋C ′A ′→＋A ′P → ＝12BC ′→－A ′C ′→－13AA ′→ ＝12(BB ′→＋BC →)－AC →－13AA ′→ ＝12[AA ′→＋(AC →－AB →)]－AC →－13AA ′→＝12(a ＋c －b )－c －13a ＝16a －12b －12c ．用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a ，b ，c }可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a ，b ，c ，不能含有其他形式的向量．提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．1．O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( )A ．OA →，OB →，OC →共线 B ．OA →，OB →共线C ．OB →，OC →共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面D [由OA →，OB →，OC →不能构成基底知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．]2．给出下列命题：①若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可作为空间的基底；②已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面；④已知向量组{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由BA →、BM →、BN→共面且过相同点B ，故A ，B ，M ，N 共面．下面证明①④正确．①假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使d ＝k c ，∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面与条件矛盾．∴d 与a ，b 不共面．同理可证④也是正确的．]3．从空间一点P 引出三条射线P A ，PB ，PC ，在P A ，PB ，PC 上分别取PQ →＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝________．(用a ，b ，c 表示)－23a ＋12b ＋12c [GH →＝PH →－PG →＝12(b ＋c )－23a ．]4．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则2x ＋4y ＋2z ＝________．2 [如图，由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋13⎝⎛⎭⎫AB →＋AC → ＝34OA →＋14 [(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝14OA →＋14OB →＋14OC →，∴x ＝y ＝z ＝14，∴2x ＋4y ＋2z ＝2．]5．如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP →；(2)AM →．[解] 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接AC ，AD 1．(1)AP →＝12(AC →＋AA 1→) ＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c )．(2)AM →＝12(AC →＋AD 1→) ＝12a ＋b ＋12c ．。