高中数学第一章三角函数2角的概念的推广学案北师大版必修4

§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． 同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．答案195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．答案x轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：(1)α、β的终边关于原点对称；(2)α、β的终边关于y轴对称．解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。

三角函数1.2角的概念的推广自主学习一、学习目标（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

二、自学引导角的定义：______________________________________________。

角的分类：________、_________、__________ 。

象限角的定义：____________________________________。

所有与角α终边相同的角的表示方法：___________________。

知识点一象限角例1.判断下列各角是第几象限角.(1)—60°；(2)585°；(3)—950°12’．变式迁移1与—496°终边相同的角是________，它是第________ 象限的角，它们中最小正角是________，最大负角是________。

知识点二终边相同的角例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.变式迁移2若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是________；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α是第二象限角，则180°—α是第________象限角。

课堂小结通过本节学要知道角的分类有正角、负角、零角。

以及象限角的定义是一个角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角，还要重点掌握住终边相同的角的表示方法，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}。

1.2 角概念推广1．角概念角可以看成平面内________绕着______从一个位置______到另一个位置所形成图形．2．角分类(1)按旋转方向可将角分类：(2)按角终边位置分类预习交流1(1)终边与始边重合角一定是零角吗？(2)45°是第______象限角；216°是第__________象限角；－70°是第__________象限角．3．终边一样角表示一般地，所有与角α终边一样角，连同角α在内，可构成一个集合：________________________，即任何一个与角α终边一样角，都可以表示成角α与周角______倍与．注意：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋〞号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边一样角不一定相等，但相等角终边一定一样，终边一样角有无数个，它们相差周角整数倍．预习交流2(1)以下各角中与330°角终边一样角是( )．A．510°B．150°C．－150°D．－390°(2)在－360°到360°范围内，与412°角终边一样角是______．答案：1．一条射线端点旋转2．(1)逆时针顺时针没有作任何旋转(2)原点终边(除端点外)预习交流1：(1)提示：不一定．零角是终边与始边重合角，但终边与始边重合角不一定是零角，如－360°、360°、720°等角终边与始边也重合．(2)一三四3．S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数预习交流2：(1)D (2)52°，－308°1．角概念辨析问题判断以下说法是否正确，并说明理由：(1)集合P＝{钝角}，集合Q＝{第二象限角}，那么有P＝Q；(2)角α与角2α终边不可能一样；(3)假设α是第二象限角，那么2α一定是第四象限角；(4)不相等角其终边位置必不一样．思路分析：解答此题首先要明确角范围不再局限于0°～360°，角度数已经扩大到(－∞，＋∞)，其次要紧扣象限角、终边一样角概念．A＝{锐角}，B＝{α|0°≤α＜90°}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°角}，求A∩B，A∪C，C∩D，A∪D.对推广后角概念理解．(1)紧紧抓住“旋转〞二字，用运动观点来看角．(2)结合实际意义明确角概念经过推广后，角范围不再局限于0°～360°，而是包括正角、负角与零角．(3)正确理解正角、负角与零角概念，既要注意始边位置与旋转量，又要注意旋转方向是逆时针、顺时针，还是没有转动．2．终边一样角及象限角α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边一样，且－720°≤θ＜0°.思路分析：利用终边一样角关系β＝α＋k×360°，k∈Z来解决．将以下各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)形式，并指出是第几象限角．(1)－1 840°；(2)1 690°.终边一样角相差360°整数倍．判定一个角在第几象限，只要找与它终边一样0°～360°范围内角，这个0°～360°范围内角所在象限即为所求．3．区域角表示如下图，写出终边落在阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．思路分析：观察图形，找出边界上角，用不等式形式表示出阴影局部内角集合．如下图，写出终边落在图中阴影局部(实线包括边界，虚线不包括边界)角集合．区域角及其表示方法区域角是指终边落在平面直角坐标系某个区域内角．其写法可分为三步：(1)先按逆时针方向找到区域起始与终止边界；(2)按由小到大分别标出起始与终止边界对应－360°到360°范围内角α与β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}；(3)根据旋转观点把起始、终止边界对应角α、β加上k ·360°(k ∈Z )．特别地，如“活动与探究3”中，假设是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n ×180°(n ∈Z )即可；假设区域包括了x 轴非负半轴，那么可由负角到正角，如图③，两边再加上k ×360°(k ∈Z )．4．α角所在象限，判断角α2终边所在位置 角α是第二象限角，试判断角α2是第几象限角． 角α是第三象限角，试判断角α2是第几象限角．(1)各象限角集合如下角k·360°，k∈Z}第三象限角{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z}第四象限角{α|270°＋k·360°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}答案：活动与探究1：解：(1)不正确．实际上P＝{α|90°＜α＜180°}，应有P Q.(2)不正确．如α＝0°时，α与2α终边一样．(3)不正确．由90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°(k∈Z)知180°＋2k×360°＜2α＜360°＋2k×360°，k∈Z，故2α是第三或第四象限角，也可能终边在y轴非正半轴上．(4)不正确．不相等角其终边位置也可能一样，如30°与390°.迁移与应用：解：A∩B＝{α|0°＜α＜90°}，A∪C＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z}，C∩D＝{α|k×360°＜α＜90°＋k×360°，k∈Z，k≤0}，A∪D＝{α|α＜90°}．活动与探究2：解：(1)－1 910°＝－6×360°＋250°，其中β＝250°，k＝－6，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.迁移与应用：解：(1)－1 840°＝－6×360°＋320°，故－1 840°是第四象限角．(2)1 690°＝4×360°＋250°，故1 690°是第三象限角．活动与探究3：解：(1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边一样角有60°角，与l2终边一样角有310°角．∴图①阴影局部中角集合为S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．(2)由图②知，第一象限内阴影局部中角集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．第三象限内阴影局部中角集合为S 2＝{α|225°＋k ×360°≤α≤270°＋k ×360°，k ∈Z }． ∴所求阴影局部中角集合为S ＝S 1∪S 2＝{α|45°＋2k ×180°≤α≤90°＋2k ×180°，k ∈Z }∪{α|45°＋(2k ＋1)×180°≤α≤90°＋(2k ＋1)×180°，k ∈Z }＝{α|45°＋n ×180°≤α≤90°＋n ×180°，n ∈Z }．(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l 2旋转至l 1，与l 2终边一样角有－30°角，与l 1终边一样角有30°角．∴图③阴影局部中角集合为S ＝{α|－30°＋k ×360°＜α＜30°＋k ×360°，k ∈Z }． 迁移与应用：解：终边落在第二象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°，k ∈Z }，终边落在第四象限内阴影局部中角集合可表示为{x |k ×360°－15°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }，∴终边落在阴影局部角集合可表示为{x |k ×360°＋135°＜x ≤k ×360°＋180°或－15°＋k ×360°≤x ≤k ×360°，k ∈Z }．活动与探究4：解法一：(分类讨论法)∵角α是第二象限角，∴k ×360°＋90°＜α＜k ×360°＋180°，k ∈Z.∵k ×180°＋45°＜α2＜k ×180°＋90°，k ∈Z ， ∴当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ×360°＋45°＜α2＜n ×360°＋90°，即角α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时， n ×360°＋225°＜α2＜n ×360°＋270°， 即角α2是第三象限角．∴角α2终边落在第一或第三象限． 解法二：(几何法)先将各象限二等分，从x 轴非负半轴起，按逆时针方向依次将各区域标上1,2,3,4，标有2区域即为角2α终边所在区域，如下图，故角2α是第一、三象限角．迁移与应用：解法一：(分类讨论法)∵α是第三象限角，∴k ×360°+180°＜α＜k ×360°+270°，k ∈Z ，∴k ×180°+90°＜2α＜k ×180°+135°，k ∈Z.∴当k=2n ，n ∈Z 时，n ×360°+90°＜2α＜n ×360°+135°，即角 2α是第二象限角； 当k =2n +1，n ∈Z 时，n ×360°+270°＜2α＜n ×360°+315°，即角2α是第四象限角． ∴角2α是第二或第四象限角． 解法二：(几何法)仿照“活动与探究4”“解法二〞即可知角 是第二或第四象限角．1．以下命题中正确是( )．A ．三角形内角必是第一、二象限角B ．第一象限角必是锐角C ．不相等角终边一定不一样D ．假设β＝α＋k ·360°(k ∈Z )，那么α与β终边一样2．给出以下四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－615°是第一象限角．其中正确命题有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．与405°角终边一样角是( )．A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·360°－405°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z4．(1)一个30°角，将其终边按逆时针方向旋转三周，那么旋转后角是________．(2)假设时针走过2小时40分，那么分针转过角度是________．5．终边在第一、三象限角平分线上角集合为________；终边在第二、四象限角平分线上角集合为________．答案：1．D 解析：90°角可以是三角形内角，但它不是第一、二象限角，故A 错；390°角是第一象限角，但它不是锐角，故B 错；390°角与30°角不相等，但终边一样，故C 不正确；对于D ，由终边一样角概念可知正确．2．C 解析：①②③正确，④错误．3．C4．(1)1 110° (2)－960° 解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过角度为360°×3＝1 080°.再加上原来角度30°，所以旋转后角是1 110°.(2)∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°. 5．{α|α＝k ×180°＋45°，k ∈Z }{|＝×180°＋135°，∈Z }。

1 周期现象2 角的概念的推广学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按________________形成的角负角按____________________形成的角零角一条射线____________________，称它形成了一个零角知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2 如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4 写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为( )①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④ B．②④C．①② D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考 周而复始，重复出现．梳理 (2)重复知识点二思考1 有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理 (1)一条射线 端点 旋转(2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转知识点三思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理 终边 终边知识点四思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考2 60°＋k ·360°(k ∈Z )．梳理 周角题型探究例1 解 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1 解 设x 分钟后盛水y 升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)， 所以y ＝x 5·160＝32x ，为使水车盛800升的水， 则有32x ≥800，所以x ≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．(2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，①所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角．由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )， 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角． 当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角． 例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练 3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4 解 终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }． 跟踪训练 4 解 终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y ＝33x (x <0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }． 因此，终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝210°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝30°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝30°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }．故终边在直线y ＝33x 上的角的集合是S ＝{α|α＝30°＋n ·180°，n ∈Z }． 当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解 (1)终边落在射线OA 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋210°，k ∈Z }． 终边落在射线OB 上的角的集合是{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k ·360°＋210°≤α≤k ·360°＋300°，k ∈Z }．。

高中数学第一章三角函数1．2 角的概念的推广课堂导学案北师大版必修４(１)编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章三角函数1.2 角的概念的推广课堂导学案北师大版必修4(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.２角的概念的推广课堂导学三点剖析1.任意角和象限角的概念【例１】在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半＂的说法,像这种动作名称表示的角度是多大？思路分析：利用角的定义及正角、负角的概念,“转体三周＂即转过3个360°（或—360°),“两周半”即２.5个３６0°（或—360°)，则问题迎刃而解.解：如果是逆时针转体,则分别是36０°×3=１080°和360°×２.５=900°；若是顺时针转体,则分别为-1 ０80°和-900°.友情提示分清正角是按逆时针转动的角，负角是按顺时针转动的角,是学习角的关键.各个击破类题演练１若将时钟拨慢5分钟,则分针转了_＿____度;时针转了＿_____度。

解析：将时钟拨慢了5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的是正角这时,分针转过的角度是:3６０°12=3０°；时针转过的角度是：30°12=2.5°。

答案：30 ２.５变式提升１时针走过两小时，则分针转过____＿_度.解析：分针按顺时针方向旋转,所以形成的角为负角．为—360°×2=-7２0°．答案:—7202。

§1周期现象§2角的概念的推广学习目标核心素养1.了解现实生活中的周期现象．2．了解任意角的概念，理解象限角的概念．(重点)3．掌握终边相同角的含义及其表示．(难点) 4．会用集合表示象限角．(易错点)1.通过学习周期现象、任意角的概念，象限角的概念，培养数学抽象素养．2．通过终边相同的角的表示及象限角的表示，培养数学运算素养．1．周期现象(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间，这种现象是否会重复出现，假设出现，那么为周期现象；否那么，不是周期现象．思考1：“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．〞这样的现象，具有怎样的特征？[提示]周而复始，重复出现．2．角的概念(1)角的有关概念(2)角的概念的推广类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与零角起始位置OA重合，我们称这样的角为零度角，又称零角思考2：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？[提示]不一定，假设角的终边未作旋转，那么这个角是零角．假设角的终边作了旋转，那么这个角就不是零角．3．象限角的概念(1)前提条件①角的顶点与原点重合．②角的始边与x轴的非负半轴重合．(2)结论角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(3)终边相同的角及其表示所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k×360°，k ∈Z}．如下图：注意以下几点：①k是整数，这个条件不能漏掉．②α是任意角．③k·360°与α之间用“＋〞号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).④终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．思考3：假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？[提示]它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．1．以下变化是周期现象的是()A．地球自转引起的昼夜交替变化B．随机数表中数的排列C．某交通路口每小时通过的车辆数D．某同学每天打的时间A[由周期现象的概念知A为周期现象．]2．以下说法正确的选项是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．相差180°整数倍的角为终边相同的角D．钟表的时针旋转而成的角是负角D[A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．]3．－378°是第________象限角．()A．一B．二C．三D．四D[－378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．]4．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．144°＋(－3)×360°[－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°.]周期现象的判断[例1](1)以下变化中不是周期现象的是()A.“春去春又回〞B.钟表的分针每小时转一圈C.天干地支表示年、月、日的时间顺序D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数(2)水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升．(1)D[由周期现象的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期现象．应选D.](2)解：因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升).1．应用周期现象中“周而复始〞的规律性可以达到“化繁为简〞“化无限为有限〞的目的．2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位〞，就可以把问题转化到一个周期内来解决．1．如下图是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．[解]观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常．角的概念[例2]以下结论：①锐角都是第一象限角；②第二象限角是钝角；③小于180 °的角是钝角、直角或锐角．其中，正确结论的序号为______．①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确；②480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以②不正确；③0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③不正确．]判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．以下说法正确的选项是()A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角B[终边相同的角不一定相等，故A不正确；钝角一定是第二象限角，故B正确；因－330°是第一象限角，所以C不正确；－45°<90°，但它不是锐角，所以D不正确．]象限角的表示[探究问题]1．任意角都是象限角吗？为什么？[提示]不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角．2．象限角的表示．[例3]α为第二象限角，问2α，α2分别为第几象限的角？[思路探究]由角α为第二象限角，可以写出α的X 围：90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，在此基础上可以判断2α，α2的X 围，进而可以判断出它们所在的象限．[解]∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z ). ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z ).∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y 轴的负半轴上的角． 同理，45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°(k ∈Z ).①当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z ). 那么45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(k ∈Z )，此时α2为第一象限角；②当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z ). 那么225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z ).此时α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．1．(变结论)在本例条件下，求角2α的终边的位置． [解]∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z ). ∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z ).∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上． 2．(变条件)假设角α变为第三象限角，那么角α2是第几象限角？[解]如下图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，那么标有“三〞的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路(1)角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的X 围求出nα的X 围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．(2)角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．终边相同的角[探究问题]3．在同一坐标系中作出390°，－330°，30°的角并观察这三个角终边之间的位置关系，角的大小关系．[提示]如下图，三个角终边相同，相差360°的整数倍．4．对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？[提示]所有与角α终边相同的角连同α在内，可以构成一个集合，S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角整数倍的和．[例4]α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[思路探究]利用终边相同的角的关系α＝β＋k·360°，k∈Z.求解．[解](1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ<0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.3.(变条件)假设将例题改为如下图的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解]在0°～360°X围内、阴影部分(包括边界)表示的X围是：150°≤α≤225°，那么满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．4．(变条件)假设将例题改为如下图的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？[解]由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°X围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简捷．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．对角的理解，初中阶段是以“静止〞的眼光看，高中阶段应用“运动〞的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向〞决定角的“正负〞，“旋转量〞决定角的“绝对值大小〞．3．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)某同学每天上学的时间是周期现象．()(2)第三象限角一定比钝角大．()(3)始边相同，终边不同的角一定不相等．()(4)始边相同，终边也相同的角一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．以下现象不是周期现象的是()A.钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化B.游乐场中摩天轮的运行C.抛一枚骰子，向上的数字是奇数D.太阳的东升西落C[A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数〞不是周期现象．]3．下面各组角中，终边相同的是()A.390°，690°B．－330°，750°C.480°，－420°D.3 000°，－840°B[因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，所以－330°与750°终边相同．]4．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．－30°－360°[经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.]word5．在0°～360°X围内，找出与以下各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°X围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°X围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．- 11 - / 11。

§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．答案195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．答案x轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：(1)α、β的终边关于原点对称；(2)α、β的终边关于y轴对称．解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。

角的概念推广 学案本节课我们学习正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.讲解范例：例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)95012'-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ '︒14363⑶。

课堂练习1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？0°～90°的角是锐角吗？总结有关角的集合表示．锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，0°～90°的角：{θ|0°≤θ≤90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}．2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？).课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120°角终边相同的角是( )A.－600°＋k·360°，ｋ∈ＺB.－120°＋k·360°，ｋ∈ＺC.120°＋(2k＋1）·180°，ｋ∈ＺD.660°＋k·360°，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180°B.α＋β＝0°C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z4.与1840°终边相同的最小正角为，与－1840°终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.在直角坐标系中，作出下列各角(1)360° (2)720° (3)1080° (4)1440°8.已知Ａ＝｛锐角｝，B＝｛0°到90°的角｝，C＝｛第一象限角｝，D＝｛小于90°的角｝．求:A,B,C,D9.将下列各角表示为α＋ｋ·360°（ｋ∈Ζ，0°≤α＜360°）的形式，并判断角在第几象限.(1)560°24′（2）－560°24′（3）2903°15′(4)－2903°15′（5）3900°（6）－3900°10.写出终边落在第一象限角的角集合:写出终边落在第二象限角的角集合:写出终边落在第三象限角的角集合:写出终边落在第四象限角的角集合:11.试写出终边落在X轴正半轴的所有角的集合:。

§2 角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。

2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。

难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。

三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。

教法: 类比探究交流法。

四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。

但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。

§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的16，即－60°.答案 (1)－150° 210° (2)－60° 题型二 终边相同的角 【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ×360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k ×360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角， 即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k .可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值． 【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．答案195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析∵－1 692°＝－5×360°＋108°，∴与108°终边相同的最大负角为－252°.答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与 －950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解 与25°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋25°，k ∈Z }． 令k ＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件； 令k ＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件； 令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析∵α、β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)．∴α－β＝k·360°，故α－β终边会落在x轴非负半轴上．答案x轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是第________象限．解析∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y＝x上的角的集合S.解因为直线y＝x是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k ∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋45°，n∈Z}．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式：(1)α、β的终边关于原点对称；(2)α、β的终边关于y轴对称．解(1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k1·360°(k1∈Z)，β＝90°＋θ＋k2·360°(k2∈Z)．两式相加得α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．。

§2 角的概念的推广一、学习目标1．理解引入大于360°角和负角的意义．2．理解并掌握正、负、零角的定义．3．掌握终边相同角的表示法．4．理解象限角的概念、意义及其表示方法．二、重点难点1．理解并掌握正、负、零角的定义．2．掌握终边相同角的表示法．三、知识链接：本节课将在已掌握0°~360°角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．四、问题逻辑：（1）正角、负角、零角概念①一条射线由原来位置，绕着它的端点，按逆时针方向旋转转到形成的角__________，如图中角；把按顺时方向旋转所形成的角_________，如图中的；射线没作任何旋转时，我们认为它这时也形成了一个角，并把这个角_________，与初中所学角概念一样，、，点分别叫该角的始边、终边、角顶点．②如果把角顶点与直角坐标系原点重合，角的始边在轴的正半轴上，这时，角的终边落在第几象限，就称这个角是________，特别地，如果角的终边落在坐标轴上，就说该角不属于任何象限，习惯上称其为_________③我们作出390°，-330°及30°三个角，易知，它们的终边相同。

还可以看出，β=30°+k×360°，的终边也是与30°角终边重合的，而且可以理解，与角终边相同的角，连同30°在内，可以构成一个集合，记作．一般地，我们把所有与角终边相同的角，连同角在内的一切角，记成_____________或写成集合___________________________形式．五、例题分析【例1】在0°~360°间，找出与列列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1）—120°；（2）660°；（3）．练习：（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______．（2）集合中，各角的终边都在（）A．轴正半轴上，B．轴正半轴上，C．【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来：（1）；（2）；（3）．①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．（2）分别写出：轴负半轴上的角的集合；①终边落在②终边落在轴上的角的集合；③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；④终边落在四象限角平分线上的角的集合．【例3】用集合表示：（1）第三象限角的集合．轴右侧的角的集合．（2）终边落在【例4】若是第二象限角时，则，，分别是第几象限的角？练习：1．设，，则相等的角集合为_______________．2．如图，终边落在阴影处（包括边界）的角集合为（）A．B．C．D．【例5】设，，，，那么有（）．B．A．C．（）D．六、课时作业1．在到范围内，找出与下列各角终边相同角，并指出它们是哪个象限角（1）（2）（3）（4）2．写出终边在轴上的角的集合（用～的角表示）3．写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．4．时针走过3小时20分，则分钟所转过的角的度数为______________，时针所转过的角的度数为______________．上的角的集合，并给出集合中介于和之间5．写出终边在直线的角．6．角是～中的一个角，若角与角有相同始边，且又有相同终边，则角．7．若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在_______．8．下列各题中，正确的是（）A．终边和始边都相同的两个角一定相等B．是第二象限的角C．若，则是第一象限角D．相等的两个角终边一定相同9．与终边相同的角可写成（）A．．B．．C．．D．．六、探究活动的终边与轴的正半轴所夹的角为，且终边落在第二象限，又1、已知角，求．2、已知．求，．七、归纳小结：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推行导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的普遍存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的 特征.2.通过实例理解角的概念的推行的必要性，理解任意角的概念，能按照角的终边 旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方式，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1. 潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2. 角能够看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形 成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_____________________ ____________________________为正角；__________________________________ ____为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3. 在直角坐标系中讨论角时，使角的极点与_____重合，角的始边与________ 重合. 角的终边在第几象限，就把那个角叫作________________________.若是终边在座标轴上，就以为那个角不属于任何象限，称那个角为坐标轴上的角.4. 终边相同的角有________个，相等的角终边必然__________，但终边相同的 角不必然__________.5. 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合=S ____________________________________.6. 与490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最小的角是________，它们是第______象限角.【合作探讨】1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1） 120-； （2） 640； （3）'8950 -.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出来.（1） 60； （2） 225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于 90的角是锐角D. 0到90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】 1. 角的推行；2. 象限角的概念；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在座标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. 276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是礼拜二，从今天算起，27天后的那一天是礼拜_____，第50天是礼拜 _______.。