2020年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(一)文

2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+B ．1i -C ．1i +D ．i 1--2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}23．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．2786．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )ABC ．D ．7．已知α 为第二象限角，sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为410．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 112．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）设{}n a 是等比数列 ，其前n 项的和为n S ，且22a =, 2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.18．(12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面，1AB BC ==，12BB =，13BCC π∠=.（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）求点1B 到平面11ACC A 的距离.19．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分.（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率． 20．(12分）已知抛物线22y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．21．(12分）已知()()21x f x ax e x =-+.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++.(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）设A 为椭圆1C ：221424x y +=上任意一点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为210cos 240ρρθ-+=，B 为2C 上任意一点.（1）写出1C 参数方程和2C 普通方程；（2）求AB 最大值和最小值.23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()2f x x a =-+，()4g x x =+，a R ∈. （1）解不等式()()f x g x a <+；（2）任意x ∈R ，2()()f x g x a +>恒成立，求a 的取值范围.2020年高考金榜冲刺卷（一）数学（文）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i 1-+ B ．1i -C ．1i +D ．i 1--【答案】C【解析】因为21i i1=-+,所以其共轭复数是1i +，故选C. 2．已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤{}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q ⋂等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】D【解析】{}{}2|603,2Q x R x x =∈+-==-{}2P Q ∴⋂=.故选D.3．设:0p b a <<，11:q a b<，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0b a <<，则11a b <成立，所以p 是q 的充分条件,若11a b<，则当00b a <<，时成立，不满足0b a <<，所以p 不是q 的必要条件,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A. 4．如图所示的程序框图，运行后输出的结果为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】执行如图程序框图：当n=1，b=1，当n=2，b=2，当n=3，b=4，当n=4，b=16，当n=5则输出b,故选C.5．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ）A ．98B ．158C ．198D ．278【答案】C【解析】当2n ≥时，[]1133(1)n n n n n a S S a n a n --=-=----，整理得1231nn a a -=+，又11131S a a ==-，得11a 2=，21323112a a ∴=+=+，得254a =，321523114a a ∴=+=+，得3198a =，故选C. 6．圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦长为( )A BC ．D ．【答案】C【解析】两圆的方程相减可得，两圆公共弦所在的直线方程为：-+20x y =，圆2240x y +-=的圆心到公共弦的距离为dl 故选C.7．已知α为第二象限角，sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则tan 2α 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．2D ．3-【答案】C【解析】由题意可得：)sin sin cos cos sin sin cos 444210πππααααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 则：1sin cos 5αα+=，据此有：2222222sincoscos sin 2tantan 111222222,55sin cos tan 1222ααααααααα+--+==++， 解得：tan22α=或1tan23α=-，α 为第二象限角，则tan 02α>，综上可得：tan 2α的值为2.故选C. 8．已知1e ，2e 是夹角为60o 的两个单位向量，若21e e +=，2124e e +-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o 【答案】C【解析】试题分析：因为 21e e a +=，2124e e b +-=，所以2212121122()(42)422a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=--⋅+r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r ，而012121cos602e e e e ⋅==u r u u r u r u u r ，所以2211224224123a b e e e e ⋅=--⋅+=--+=-r r u r u r u u r u u r，而12a e e =+===r u r u u r1242b e e =-+===r u r u u r ，所以与的夹角的余弦值为1cos 2a b a bθ→→⋅===-r r ，所以与的夹角为120o ，故选C ．9．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】根据题意有()1cos235cos212cos2222x f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 10．如图所示的正方形123SG G G 中，E F ，分别是12G G ，23G G 的中点，现沿SE ，SF ，EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 重合为点G ，则有（ ）A ． SG ⊥平面 EFGB ．EG ⊥平面SEFC ． GF ⊥平面 SEFD ．SG ⊥平面SEF【答案】A【解析】由题意：SG FG ⊥，SG EG ⊥，FG EG G =I ，FG EG ⊂，平面EFG ,所以SG ⊥平面EFG 正确，D 不正确；又若EG ⊥平面SEF ，则EG ⊥EF ，由平面图形可知显然不成立；同理 GF ⊥平面 SEF 不正确；故选A.11．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D【解析】∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==.∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥-，∴4ab ≤=+(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=.故选D.12．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42【答案】B【解析】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极大值1.而()h x 恒过定点(1,0)-， 两个函数图像如图，要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754a a a -+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ． 【答案】2【解析】因为ln y x x =，所以'ln 1y x =+，所以它在x e =处的切线的斜率ln 12k e =+=.14． 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[2,)+∞【解析】因为函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立，22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立，所以1sin a x ≥，因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x <<⇒<<，所以a 的取值范围是[2,)+∞. 15．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】(),P a b Q 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c =+--，设2c m c n -=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 16．如图，公路MN 和PQ 在P 处交汇，且∠QPN ＝30°，在A 处有一所中学，AP ＝160m ，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间为________s.【答案】24【解析】学校受到噪音影响。

绝密★启用前2020年高考数学(文科)冲刺卷全国卷（一）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1.已知集合{0,1,2,3,4}A =，{|(1)(4)0}B x x x =+-<，则集合A B ⋂中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5 2.若12i z =+，则4i 1zz =-() A.1 B.-1 C.i D.-i3.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为()A.y =B.y =±C.y =D.y =±4.已知3cos sin 8αα⋅=，且ππ42α<<，则cos sin αα-的值是（） A.12- B.12 C.14- D.145.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为()A ．12 B ．13 C ．14 D ．256.已知,,A B C 是圆O 上的三点，若OA OB OC =+，则BAC ∠=()A.60°B.90°C.120°D.150°7.把1x 输入程序框图可得()A.1B.0C.不存在D.18.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为14圆周，则该几何体的体积为()A.16πB.6416π-C.32π643-D.16π643- 9.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是()A.11a b <B.2ab b <C.2ab a -<-D.11a b-<- 10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且以线段12F F 为直径的圆与直线20bx cy bc -+=相切，则C 的离心率为（）A 3B 2C ．12D 3 11.设函数()()()32sin 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，且其图象关于直线0x =对称，则()A ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数 12.若函数2()e x f x mx -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为()A.(1,e)B.1(,1)eC.1(,)e +∞D.(e,)+∞13.已知函数()538f x ax bx cx =+++，且()210f -=，则函数()2f 的值是__________.14.若,x y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则2z x y =-+的最大值为____________.15.已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0n d S ≠，为其前n 项和，若125a a a ，，成等比数列，则8S = .16.已知,,,P A B C 是球O 的球面上的四点，PAPB PC ,,两两垂直，PA PB PC ==，且三棱锥P ABC -的体积为43，则球O 的表面积为__________. 17.在ABC △中，360,7A c a ∠=︒=. (1)求sin C 的值；(2)若7a =，求ABC △的面积.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,,222AD BC AB AD AD AB BC ⊥===，PCD △是正三角形，,PC AC E ⊥是PA 的中点.⊥.（1）证明：AC PD（2）求三棱锥P BDE-的体积.19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量频数10(1).根据表中数据可知，频数y与日需求量x（单位：个）线性相关，求y关于x的线性回归方程；(2).若该店这款新面包每日出炉数设定为24个①.求日需求量为18个时的当日利润；②.求这30天的日均利润.。

普通高等学校2020年招生全国统一考试临考冲刺卷(一)文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． i 为虚数单位，则复数） ABCD【答案】AA ．2．已知集合{}|02A x x =<<，{}210B x x =->，那么A B =I （ ）A ．{}|01x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|10x x -<<D ．{}|12x x -<<【答案】B【解析】{}210B x x =->()()=,11,-∞-+∞U ，所以{}|12A B x x =<<I ，故选B ．3．中人民银行发行了2020中国皮(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18m ，小米同学为了算图中饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投那500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是A ．2486π5mmB ．2243π10mm C ．2243π5mm D ．2243π20mm 【答案】B【解析】由古典概型概率得落在装饰狗的概率为150500，由几何概型概率得落在装饰狗的概率为218π2S ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，所以215050018π2S =⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，243π10S ∴=，选B ．4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 依次成等差数列，且1a =，3b =．则ABC S =△（ ） A ．2 B ．3C ．32D ．2【答案】C【解析】∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴60B =︒，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，得：2c =，∴由正弦定理得：13sin 22ABC S ac B ==△，故选C ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】几何体如图，则体积为332=64⨯，选Ｂ．6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()()2133a f f -≥-，则a 的最大值是（ ）A ．1B ．12C ．14D ．34【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()3f -=()3f ，又由()f x 在区间(),0-∞上单调递增，则()f x 在()0,+∞上递减， 则()()2133a f f -≥-()()2133a f f -⇔≥2133a ⇔﹣≤121233a ⇔≤﹣，则有1212a≤﹣，解可得34a ≤，即a 的最大值是34，故选D ． 7．已知实数x ，y 满足条件3703130 10x y x y x y +-≥+-≤--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为2z x y =+，即2y x z =-+，求截距的最小值，过点()2,1C 时，min 5z =，选C ．8．已知函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象经过点()0,1，则函数()f x （ ）A ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 B ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值 D ．在区间ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上有最小值 【答案】B【解析】由题意，函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到：()2πsin 23g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又函数图象经过点()0,1，所以()01g =，即2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，解得π2π6k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π0ϕ-<<，所以π6ϕ=-，即()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，即ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ， 当1k =时，当ππ,63x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故选B ． 9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今合买好、坏田1顷，价值10000钱．问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设好田为x ，坏田为y ，则100 500300100007x y x y ⎧=+=⎪⎨⎪⎩+，12.5 87.5x y =⎧∴⎨=⎩， A 中12.5x ≠；B 中正确；C 中87.5x =，12.5y =；D 中12.5x ≠，所以选B ．10．函数1ex x y +=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为1e x x y +=，所以'e xxy =-，令'0y >，0x <，令'0y <，0x >，令'0y =，0x =，所以在(),0-∞为增函数，在()0,+∞为减函数，且0x =是函数的极大值点，结合4个函数的图象，选C ．11．已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为（ ） A ．2+3π3B ．23π3-C ．()2+3πD ．2+3π3或23π3- 【答案】D【解析】由题意圆锥底面半径为1r =，球的半径为2,R =如图设1OO x =， 则2222213x R r =-=-=，圆锥的高23h R x =+=+或23h R x =-=-所以，圆锥的体积为()()223π11π123333V Sh +==⨯⨯⨯+=或()()223π11π123333V Sh -==⨯⨯⨯-=．故选D ．12．已知点1F 是抛物线24x y =的焦点，点2F 为抛物线的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线的切线，切点为A ，若点A 恰在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心离为（ ）A 62-B 21C 62+D 21【答案】B【解析】()10,1F ，()20,1F -，200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为12y x '=，2000142x x k x +∴==，204x ∴=，2014x =，以1F ，2F 为焦点的双曲线可设为22221y x a b-=，所以22141a b -=221a b +=，21a ∴=，2121e ∴==-，选B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知()2,1=-a ，()1,0=b ，()1,2=-c ，若a 与m -b c 平行，则m =__________．【答案】-3【解析】已知()2,1=-a ，()1,2m m -=-b c ，若a 与m -b c 平行则143m m -=⇒=-，故答案为：-3．14．已知点()2,0A -，()0,2B 若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为__________． 【答案】2【解析】将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22112x y -++=， 圆心()1,1-，半径2r =，因为()2,0A -，()0,2B ，所以22AB =，要求ABM △面积最小值，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线AB 的距离为22，所以ABM S △的最小值为min 11222222AB d ⋅⋅=⨯⨯=，故答案为2．15．cos85sin 25cos30cos 25︒+︒︒=︒_____________．【答案】2【解析】()cos 6025sin 25cos30cos85sin 25cos30cos 25cos 25︒+︒+︒︒︒+︒︒=︒︒， 133cos 25sin 25sin 251222cos 252︒-︒+︒==︒，故答案为12．16．设函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．给出以下四个命题：①()21f f=；②()f x 是R 上的偶函数；③若12x x ∀∈R ，，则()()()1212f x x f x f x +≤+；④()f x 是周期函数，且最小正周期是1．请写出所有正确命题的序号__________． 【答案】①②④【解析】∵函数()1 0x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩R Z Z ，，，Z 是整数集．∴()()01ff f ==，①正确；由偶函数定义分x 为整数和非整数可知②正确；取11x =-，20.1x =，则()()1201f x x f +==而()()120f x f x +=，不满足，故③不正确；由周期性定义和图象可得最小正周期是1，故④正确．故答案为：①②④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()413n n S a =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，记数列()()111n n b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <． 【答案】（1）()*4nn a n =∈N ；（2）见解析． 【解析】（I ）当1n =时，有()111413a S a ==-，解得14a =．……1分 当n ≥2时，有()11413n n S a --=-，则 ()()11441133n n n n n a S S a a --=-=---，……3分整理得：14n n aa -=，……4分∴数列{}n a 是以4q =为公比，以14a =为首项的等比数列．……5分 ∴()1*444n n n a n -=⨯=∈N ，即数列{}n a 的通项公式为：()*4nn a n =∈N ．……6分（2）由（1）有22log log 42nn n b a n ===，……7分 则()()()()11111=11212122121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭，……8分∴()()11111335572121n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+- 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……10分 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故得证．……12分 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）若从表中3、4月份分别抽取4人和2人，然后再从中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率．参考公式：1221ˆni i i ni i x y nxy bx nx ==-=-∑∑()()()121niii nii x x y y x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 【答案】（1）8.512.5ˆ5y x =-+；（2）49人；（3）715P =． 【解析】（1）由表中数据知，3x =，100y =，……2分∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，……3分ˆ125.ˆ5ay bx =-=，……4分 ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+．……5分 （2）由（1）知，令9x =，则8.591ˆ25.549y=-⨯+=人．……7分 （3）设3月份抽取的4位驾驶员编号分别为1a ，2a ，3a ，4a ，4月份的驾驶员编号分別为1b ，2b ．从这6人中任选两人包含以下基本事件()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b ，共15个基本事件；……10分其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，……11分 ∴所求概率为715P =．……12分 19．如图，已知多面体PEABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=︒，求点P 到平面ACE 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ∥，且12OF PA =， 因为DE PA ∥，且12DE PA =，所以OF DE ∥，且OF DE = 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ∥，即BD EF ∥．……2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ，……4分 因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ，……5分因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）因为60ABC ∠=o ，所以ABC △是等边三角形，所以2AC =． 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥．122PAC S PA AC ∴=⨯⨯=△，……7分因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高，3EF DO BO ===，11232333E PAC PAC P ACE V V S EF --∴==⨯=⨯⨯=△，……9分 DE PA Q ∥PA ⊥平面ABCD ，DE ∴⊥平面ABCD ，DE AD ∴⊥，DE CD ⊥，1DE =Q ，5AE CE ∴==，1=22=22ACE S ∴⨯⨯△，……10分所以点P 到平面ACE 的距离23331233P ACE ACEV h S -===△．……12分20．设O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为255．直线():0l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，5OM MF +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1P ，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221255x y +=；（2）直线l 过定点()0,2． 【解析】（1）设椭圆的右焦点为1F ，则OM 为1AFF △的中位线． ∴112OM AF =，12MF AF =， ∴152AF AF OM MF a ++===，……3分∵255c e a ==，∴25c =，∴5b =， ∴椭圆的方程为：221255x y +=．……5分（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22 1255y kx m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 整理得：()22215105250k x mkx m +++-=．∴0∆>，1221015kmx x k+=-+，212252515m x x k -=+，……7分 ∴()121222215my y k x x m k +=++=+，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 222222222222525105251515k m k k m m k m k m k k --++-+==++， ∵()01P ，，4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，∴()()()11221212121114x y x y x x y y y y -⋅-=+-++=-，，，……8分∴22222252525250151515m k m mk k k--++-+=+++，……10分 整理得：23100m m --=，……11分 解得：2m =或53m =-（舍去）， ∴直线l 过定点()0,2．……12分 21．已知函数()1e xax f x -=． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值． 【答案】（1）(),2-∞递增，在()2,+∞递减；（2）10a -≤<时，()min 1,1f x a =-<-【解析】（1）当1a =x ∈R ，()2exx f x -+∴='，……1分 令()0f x '>，解得：2x <； 令()0f x '<，解得：2x >；()f x ∴在(),2-∞递增，在()2,+∞递减．……4分（2[]0,1x ∈， 令()0f x '=，0a<Q ……5分 ①110a+≤时，即10a -≤<时，()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立， ()f x ∴在[]0,1递增，()()min 01f x f ==-；……8分②当1011a<+<时，即1a <-时，x ，()f x '，()f x 在[]0,1上的情况如下：……11分综上，10a -≤<时，()min 1f x =-，1a <-……12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数，a ∈R ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）10x y a --+=，24y x =；（2）136a =或94． 【解析】（1）1C的参数方程 1x a y =+=+⎧⎪⎨⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，……2分 2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=两边同乘ρ得222cos 4cos 0ρθρθρ+-=即24y x =；……5分（2）将曲线1C的参数方程2 12x a y ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩（t为参数，a ∈R ）代入曲线224C y x =：，得211402t a +-=，……6分由(()2141402a ∆=-⨯->，得0a >，……7分设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得122t t =即122t t =或122t t =-，…8分当122t t =时，()1212122 214t t t t t t a =+==-⎧⎪⎨⎪⎩，解得136a =，……9分当122t t =-时，()1212122 214t t t t t t a =⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得94a =，综上：136a =或94．……10分 23．选修4-5：不等式选讲已知x ∃∈R ，使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值． 【答案】（1）{|1}t T t t ∈=≤；（2）18．【解析】（1……2分则()11f x -≤≤，……4分由于x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，有{|1}t T t t ∈=≤．……5分 （2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号， (7)分再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号． 所以m n +的最小值为6．……10分。

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集为R ，M = {x | f (x ) ≠ 0}，N = {x | g (x ) ≠0}.则集合{x | f（x ）·g （x ）= 0}= （ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．M ∪ND ．M ∩N2．函数f (x ) = | x - 3 | - | x - 1|，x ∈R ，则f （x ） （ ）A ．有最小值0，最大值4B ．有最小值-4，最大值C ．有最小值-4，最大值4D ．没有最小值及最大值3．已知a ＞0，b ＞0，且a + b = 1，若a 2 + b 2≥k ，则k 的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．41D ．814．已知f （cos x ）= cos 2x ，则f (sin 12) = （ ）A ．23B ．-23C ．21D ．-215．双曲线的两条渐近线的夹角为α，则其离心率为 （ ）A ．sec 2αB ．tg 2αC ．tg 2α或ctg 2αD ．sec 2α或csc 2α6．定义在（-∞, +∞）上的函数f （x ）在（-∞，2）上是增函数，且函数f （x +2）为偶函数，则 （ ）A ．f （-1）＜ f （3）B ．f （0）＞ f （3）C ．f （-1）= f （-3）D ．f （2）＜ f （3）7．正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CC 1的中点，则过E 、F 、G 的截面与底面ABCD 所成二面角的正切值是（ ）A ．33B ．22C ．1D ．28．设{a n }是正数组成的等差数列，{b n }是正数组成的等比数列，且a 1= b 1，a 2n +1 = b 2n +1,则有 （ ）A ．a n +1≥b n +1B ．a n +1≤b n +1C ．a n +1＞b n +1D ．a n +1＜b n +19．设集合A = {z | z = i 5k -4，0＜k ≤8且k ∈N}，则A 中所有元素之和为（）A．0 B．1 C．-1 D．4i10．方程121||22=-+-mymx表示焦点y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．1＜m＜2C．m＜-1或1＜m＜2 D．m＜-1或1＜m＜2311．由父母及孩子组成的两个三口之家要分乘两辆小轿车外出游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能单独坐同一辆车，则不同的乘车方法共有（）A．40种B．48种C．60种D．68种12．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y = 3000 + 20x - 0.1x2，其中0＜x＜240，x∈N，若每台产品的售价为25万元，则生产不亏本（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台B．120台C．150台D．180台第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．函数y = θθ2cos 4sin 3-的最大值是____________。

第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}{0,1,2A =，集合{}1,1B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,1- B ．{}1 C ．}{1,0,1,2-D ．{}1,01-，【答案】B 【解析】由题意{1}A B ⋂=． 故选：B ．2．已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为,对应点为，在第四象限，选D.3．已知 1.22,a =0.21,2b -⎛⎫= ⎪⎝⎭5log 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】由题, 55log 2log 51c =<=,且0.20.2212b -⎛⎫= ⎪=⎝⎭, 1.20.202212a >>==.故1c b a <<<. 故选：C4．随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：•/kW h公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日5000 0.125 3802020年1月2日5100 0.126 246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程=剩余电量剩余续航里程平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.6【答案】D【解析】由题意可知：51000.12650000.12517.6⨯-⨯=故该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计值大于12.6.故选：D.5．函数3cos1()xf xx+=的部分图象大致是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】根函数()f x是奇函数，排除D，根据x 取非常小的正实数时()0f x >，排除B ，x π=是满足310cosx +<的一个值，故排除C ，故选：A ．6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( ) A ．531B ．1031C ．9D ．10【答案】B 【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为q ，首项为1a ，前n 项和为n S ，由题意可得5152(1)51q a q S q =⎧⎪-⎨==⎪-⎩，解得12531q a =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以第二天织的布为211031a a q ==. 故选B 7．若1tan 3tan αα+=，则cos4α=（ ） A ．79-B ．19- C ．79D ．19【答案】D 【解析】因为1sin cos 2tan 3tan cos sin sin 2ααααααα+=+==， 所以2sin 23α=，所以21cos 412sin 29αα=-=.故选：D8．设非零向量a r ，b r 满足3a b =v v，1cos ,3a b =r r ，()16a a b ⋅-=r r r ，则b =v （ ）ABC ．2 D【答案】A 【解析】||3||a b =r rQ ，1cos ,3a b 〈〉=r r .2222()9||||8||16a a b a a b b b b ∴⋅-=-⋅=-==r r r r r r r r r ，||2b ∴=r.故选：A9．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内应填（ ）A ．4?K …B ．5?K …C ．6?K …D ．7?K …【答案】C 【解析】当1k =，1s =进入循环，第一次循环后，2k =．4120s =≠， 第二次循环后，3k =．11120s =≠， 第三次循环后，4k =．26120s =≠， 第四次循环后，5k =．57120s =≠， 第五次循环后，6k =．120s =，满足条件， 应跳出循环，故判断框内应填写“6k ≥？”． 故选：C ．10．数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线()222210＞，＞0-=y x a b a b上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．22D ．3【答案】B 【解析】双曲线22221(0y x a b a b-=＞，＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为22可得：22222222c a bca b c a b -=⎧=+=+⎩，解得a ＝1，c ＝3，b ＝2， 所以双曲线的离心率为：e ca==3．故选：B ．11．若ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=A ．10B ．8C ．7D ．4【答案】B 【解析】()()11sin 22sin C A B sin A C -==+,即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+， 即sin cos 3sin cos C A A C =， 由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab+-+-⋅=⋅， 即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==⨯=， 则228c a -=，故选B.12．已知圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（ ）A ．2 B．32C ．7 D ．27【答案】D 【解析】如图,因为,PA PB 与圆C 相切,故,ACAP BC BP ⊥⊥.故ACP BCP ≅V V ,故,AC BC ACP BCP =∠=∠ .所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值, cos ACACP PC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB 取最小值.此时()2202132211PC --==+-.223214122AP ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故142722sin 23322AB AC ACP =⋅∠=⨯=.故选：D第II 卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若曲线f （x ）＝e x cos x ﹣mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为34π，则实数m ＝_____． 【答案】2 【解析】f ′（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）﹣m ．∴3'0114f m tan π=-==-（）． ∴m ＝2． 故答案为：214．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1,故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115. 故答案为:115.15．已知函数()cos 2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.【答案】14【解析】由题意2()cos2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++，令sin x t =，则[1,1]t ∈-，则2219()21248f x t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-， 故14t =时，即11sin 4x =时，()f x 取得最大值； 1t =-时，即2sin 1x =-时，()f x 取得最小值，此时()2322k k Z x ππ=+∈，∴()12111cos co 3s sin 422x x x k x ππ+⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.故答案为：14. 16．已知球O 的球面上有四点S 、A 、B 、C ，其中O 、A 、B 、C 四点共面，ABC V 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC -的体积的最大值为______． 【答案】3 【解析】由题意画出几何体的图形如图，∵平面SAB ⊥平面ABC ，∴点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H 为AB 中点时，SH 最大，棱锥S ABC -的体积最大．ABC ∆Q 是边长为2的正三角形，∴球的半径2233r OC CH ==．在RT SHO ∆中，1122OH OC OS ==30HSO ∴∠=︒，求得cos301SH OS =︒=，∴体积21133213343V Sh ==⨯⨯⨯=．故答案为：33． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含男生55人，求n 的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++【答案】(1) 100n =；(2) 有把握；(3) 169. 【解析】（1）由题意得551000550n =，解得100n =． （2）22⨯列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计7030100()22100452025108.1289 6.63555457030K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关18．已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的、，都有．（Ⅰ）判断是否为等差数列，并证明你的结论； （Ⅱ）若数列满足，设是数列的前项和，证明：．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由对任意的、，都有， 取，，得，而，．当时，，当时该式成立，，即，可得数列为公差为，首项为的等差数列；（Ⅱ）证明：由，可得，即有，，两式相减可得，化简可得，由为自然数，可得，则．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE .（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED ∆面积的最小值是4时，求此时点E 到底面ABCD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（222. 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥. ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥.又PA AC A =I ，∴BD ⊥平面P AC . 又BD ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面P AC .（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面P AC ，OE ⊂平面P AC . ∴BD OE ⊥.∵8BD =，由()min 142BDE S BD OE ∆=⋅⋅=，得min ()1OE =. ∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值1.此时22223122CE OC OE =-=-=作EH PA ∥交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ，如图（2），由223OE CEEHOC⋅==，得点E到底面ABCD的距离223EH=.（1）（2）20．已知函数.（1）若在，上有唯一极大值点，求实数a的取值范围；（2）若，且，证明．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）已知.当时，，在上单调递增，此时在上，不存在极大值点；当时，，在单调递减，又，，故存在唯一使得，单调递增，，单调递减.此时，是函数的唯一极大值点.综上可得；（2）依题..在单调递增，.欲证，等价证，等价证，等价证.令，，，故时，单调递增，单调递增，，得证.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于,M N 两点，且1,MN O =为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2) 设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点,若OA OB ⊥.①求221m k +的值；②求AOB ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）①45，②45. 【解析】(1) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>33c e a ==， 根据椭圆的通径长为221b a= ，结合椭圆中222a b c =+ ，可解得2,1,3a b c ===，故椭圆C 的方程为 2214x y +=.（2）①已知直线AB 的方程为y kx m =+ , 设 ()()1122,,,A x y B x y与椭圆方程联立有2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y,得()222148440k x kmx m +++-= , 所以2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++ ， 因OA OB ⊥ ,所以12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r ，即()()22121210k x x mk x x m ++++= ，所以 ()2222222448101414m k m km k k-+⋅-+=++ .整理得()22541m k =+ , 所以22m +1k 的值为45②设直线OA 的斜率为0k .当00k ≠时,则的方程OA 为0y k x =,OB 的方程为01y x k =- ，联立02214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2120220120414414x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩,同理可求得22022022204444k x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩, 故△AOB的面积为12S x x == .令201(1)k t t+=>，则S == 令()()2299112549124g t t t t t ⎛⎫=-++=--+> ⎪⎝⎭,所以()2544g t <≤ .所以415S ≤< ，当00k =时,可求得S=1,故415S ≤≤,故S 的最小值为45（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线m 的极坐标方程为()03πθρ=≥.设m 与C 相交于点M ，m 与L 相交于点N ，求MN.【答案】（1）2219y x +=；60x y +-=（2）6MN =【解析】（1）已知曲线C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.消去参数α，得2219y x +=，所以曲线C 的普通方程为2219y x +=.直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=.转换为直角坐标方程为60x y +-=.（2）曲线C 的极坐标方程为2222sin cos 19ρθρθ+=.将()03πθρ=≥代入2222sin cos 19ρθρθ+=，解得1ρ， 将()03πθρ=≥代入sin cos 6ρθρθ+=，解得26ρ=.故126MN ρρ=-=.23．已知函数()|||3|f x x a x =-+-.（1）若3a <，且不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值； （2）如果对任意x ∈R ，()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】(1) 1a =-；(2) 7a ≥或1a ≤- 【解析】 (1)若3a <，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，因为不等式()5f x <的解集为37|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以当72x =时，()2345f x x a a =--=-=， 解得：1a =-；(2)①当3a <时，则()()()23,3()33,323,x a x f x x a x a a x x a x a ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥， 解得：1a ≤-；②当3a =时，()|||3|2|3|f x x a x x =-+-=-， 则()f x 的最小值为0，不符合条件，舍去； ③当3a >时，()()()23,()33,323,3x a x a f x x a x a x a x a x ⎧-->⎪=-+-=-≤≤⎨⎪-++<⎩，如果对任意x ∈R ，()4f x ≥即()f x 的最小值为34a -≥， 解得：7a ≥，综上：a 的取值范围7a ≥或1a ≤-。

第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数1iz i-=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 ∵1i z i-=11i +=-1i =--， ∴复数z 的虚部是1-， 故选：B ．2．已知集合{}2230A x x x =--<，{}2log 0B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}12x x << B ．{}02x x <<C ．{}13x x <<D ．{}01x x <<【答案】C 【解析】由题意{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>， 则{}{}{}13113A B x x x x x x ⋂=-<<⋂>=<<. 故选：C.3．某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月收入一月支出）（ ）A ．上半年的平均月收入为45万元B ．月收入的方差大于月支出的方差C ．月收入的中位数为70D ．月结余的众数为30【答案】C 【解析】由图可得，上半年的平均月收入为406030305060456+++++=万元，故A 正确由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故B 正确由图可得，112-月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、90、80 所以月收入的中位数为：6070652+=，故C 错误 由图可得，112-月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30 所以月结余的众数为30，故D 正确 故选：C4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的20段，则中间两段的重量和为（ ） A ．65斤 B ．43斤 C ．32斤 D ．54斤 【答案】C 【解析】把每段重量依次用i a （1,2,,20)i =L 表示，数列{}n a 是等差数列，由题意12341718192042a a a a a a a a +++=⎧⎨+++=⎩，两式相加得12013(42)42a a +=⨯+=，∴101112032a a a a +=+=．故选：C ．5．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 【答案】B 【解析】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+ 故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+， 故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除 故点P 坐标为(1,3)- 故选：B6．如图所示，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23【答案】B 【解析】分析：从A 点开始沿着三角形的边转到D ，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD u u u r 写成BC uuu r的实数倍，从而得到AD u u u r 1344AB AC =+u u u r u u u r ，从而确定出13,44λμ==，最后求得结果.详解：34AD AB BD AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3()4AB AC AB =+-u u u v u u u v u u u v 1344AB AC =+u u ur u u u r ，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选B.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，1M 为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M 、A 、B 在正视图上的对应点分别为1M 、1A 、1B ，在此几何体中，平面α过点M 且与直线AB 垂直.则平面α截该几何体所得截面图形的面积为（ ）A ．62B ．64C 3D 3【答案】A 【解析】如图，原几何体是一个正三棱柱ADE FBG -，M 上AF 中点，取AD 中点N ，连接,,MN NE EM ，连接DF ，由三视图知ADBF 是正方形， DF AB ⊥，又,M N 分别是,AF AD 中点，∴//MN DF ，∴AB MN ⊥，正三棱柱中，BD ⊥平面ADE ，EN ⊂平面ADE ，故EN BD ⊥，又EN AD ⊥，AD BD D =I ，则可得EN ⊥平面ADBF ，AD ⊂平面ADBF ，∴EN AB ⊥， 又MN EN N ⋂=，∴AB ⊥平面MNE ，MNE ∆即为截面α， 同理由EN ⊥平面ADBF 得EN MN ⊥，由三视图得2MN =3EN =162322S ==． 故选：A ．8．已知抛物线C ：28y x =的交点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PF MF =u u u v u u u v，则||MN =（ ） A ．212B ．323C ．10D ．11【答案】B 【解析】抛物线C ：28y x =的焦点为F (2,0)，准线为:2l x =-．如下图．设()()1122,,,,,M x y N x y M N 到准线的距离分别为,M N d d ， 由抛物线的定义可知122,2M N MF d x NF d x ==+==+， 于是124MN MF NF x x =+=++． 作MH ⊥l 于H ， ∵3PF MF =u u u v u u u v，∴22PM MF MH ==， ∴60PMH ∠︒=，根据对称性可得直线AB 的斜率为3∴直线PF的方程为)2y x =-.由)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 整理得2320120x x -+=， ∴12203x x +=． 于是1220324433MN x x =++=+=． 故选B ．9．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】绘制函数()12,021,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，由题意可知，方程230t t a -+=在区间()1,2上有两个不同的实数根， 令()()2312g t t t a t =-+<<，由题意可知：()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，据此可得：924a <<. 即a 的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项.10．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间()0,1内随机取2m 个数，构成m 个数对(),x y ，设x ，y 能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 有n 对，则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为（ ） A ．2m nm+ B ．2m nn+ C ．24m nm+ D ．22m nn+ 【答案】C 【解析】依题有0101x y <<⎧⎨<<⎩，试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1.因为x ，y 能与1构成钝角三角形，由余弦定理的及三角形知识得2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，构成如图阴影部分，其面积为142π-，由几何概型概率计算公式得1421nmπ-=，解得24m nmπ+=. 故选：C11．已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A．⎝B．C．1,)3⎛+∞ ⎝⎭UD．)+∞U【答案】C 【解析】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或225,1c c a a >∴<<ca >∴双曲线C的离心率的取值范围为1,)3⎛+∞ ⎝⎭U .12．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2BAC π∠=，Q 为PA 中点，下列说法中（1）PBA PCA BPC π∠+∠+∠=；（2）记二面角,P BC A Q BC A ----的平面角分别为1212,,2θθθθ>;（3）记,,ABC QBC PBC V VV 的面积分别为220120221,,,4S S S S S S +≤; （4）cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠, 正确说法的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】(1)∵P A ⊥平面ABC ，根据最小角定理可得PBA PBC ∠<∠，PCA PCB ∠<， ∴PBA PCA BPC PBC PCB BPC π∠+∠+∠<∠+∠+∠=，故(1)错；(2)如图,过A 作AM ⊥BC 于M ,因为P A ⊥平面ABC ，所以AP ⊥BC ，又AM AP A =I ，所以BC ⊥平面APM ，所以PM ⊥BC ，则12,PMA QMA θθ=∠=∠， 过M 作∠PMA 的角平分线交P A 于点E ,则1MA AEMP PE=<, ∴点E 在点Q 的下方,故2112θθ>,∴则122θθ<， 故(2)错； (3)如图,012S BC AM =⋅，112S BC QM =⋅,212S BC PM =⋅，∴()222212222021+,44144S S BC PM S BC Q AMM +==⨯⨯，而()()()()2222221111+,+++2+2444MQ MA MP MQ MA MP MA MP MA MP MA MP ===⋅≥u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以2224+MA MQ MP ≥，所以2202124S S S +≤，故(3)正确；(4)在 Rt PBM ∆中，cos BMPBC BP∠=，在Rt QBC ∆中cos BM QBC BQ ∠=，在PBQ ∆中，222cos 2PB BQ PQ PBQ PB BQ+-∠=⋅，2222222cos cos 22BM PB BQ PQ BM PB BQ PQ QBC PBQ BQ PB BQ PB BQ +-+-∴∠⋅∠=⋅=⋅⋅，而22222222PB BQ PQ BQ PB PQ BQ +--=--，又PQB ∠Q 是钝角，所以cos 0PBQ ∠< ，所以222>0PB PQ BQ --，222212PB BQ PQ BQ +-∴>，22222BM PB BQ PQ BMBP BQ BP+-∴⋅>，所以cos cos cos PBC PBQ QBC ∠<∠⋅∠.故(4)正确； 故选：C.第II 卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若实数x ，y 满足约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最小值为__________.【答案】5约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域为：令2x y z +=，即122z y x =-+， 由图可得当直线122zy x =-+过点()3,1时，z 最小，最小值为5故答案为：514．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，11a =，且441S a =-，则公比q =__________. 【答案】2或1- 【解析】易知{}n a 的公比1q ≠，由451S a =-，得()4141111a q a q q-=--，结合11a =整理，得()()4120q q --=.又1q ≠，所以2q =或1q =-.故答案为：2或1-.15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答) 【答案】5040.分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为3214564265144036005040N A A C C A =+=+=.填5040.16．关于函数()cos(2)cos(2)36f x x x ππ=-++，有下列说法：①()y f x =②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =在区间(13,2424ππ)上单调递减；④将函数2y x =的图象向左平移24π个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 由题意可得：()cos(2)cos(2)cos(2)sin(2))3233312f x x x x x x ππππππ=-++-=---=-，故max ()f x =222T πππω===,故②正确； 可得当22212k x k ππππ≤-≤+，函数单调递减，解得132424k x k ππππ+≤≤+， 故③正确；2y x =的图象向左平移24π可得)]()24y x f x π=+≠，故④不正确；故答案为：①②③.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =，求ABC ∆的面积；（2）若25sin 5CAD ∠=，4=AD ，求CD 的长． 【答案】（1）12；（2）13. 【解析】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅ 即251BC 2BC =++⋅ 2BC 2BC 40⇒+-=,解得BC 2=.所以ΔABC 1121S AB BC sin ABC 122222∠=⋅⋅=⨯⨯⨯=. （2）因为025BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以25cos BAC ∠= ，5sin BAC ∠=, πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()2cos BAC sin BAC 2∠∠=- 22551025510⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABCAC 5sin BCA∠∠⋅∴==.222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 551625413=+-⨯⨯⨯= 所以CD 13=.18．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=o ，1tan 2ACB ∠=.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）45° 【解析】（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='o ，而E 为BC 的中点.易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.① ∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C E BE E '=I ，∴EF ⊥平面BEC '. 而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=I ，∴EH ⊥平面ABC '. ∵G H ，分别为AC BC ''，的中点. ∴四边形EHGF 为平行四边形.∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '. ∴平面AFC '⊥平面ABC '.（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()13C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =r，，，设平面AFC '的法向量为()n x y z r，，=，()32AC ='-u u u u v ，，，()201AF =-u u u v ，，， ∴20320x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()32n =r ，，.2cos,2m nm nm n⋅==⋅r rr rr r，由图形观察可知，平面AFC'与平面BEC'所成的二面角的平面角为锐角.∴平面AFC'与平面BEC'所成的二面角大小为45°.19．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>经过点()2,1P，离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作两条互相垂直的弦,PA PB分别与椭圆C交于点,A B，求点P到直线AB距离的最大值. 【答案】（1）22163x y+=（242【解析】（1）由题意，得224112a bca⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合222a b c=+，得26a=，23b=，所以椭圆C的方程为22163x y+=；（2）当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kx m=+，代入椭圆方程，整理得()222124260k x kmx m+++-=，由>0∆得22630k m-+>，设()11,A x y，()22,B x y，则122412kmx xk-+=+，21222612mx xk-=+，因为PA PB⊥，所以1PA PBk k⋅=-，所以121211122y yx x--⋅=---，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入整理得22483210k mk m m ++--=，即()()212310k m k m +-++=， 当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意； 所以2310k m ++=，此时满足>0∆， 则直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以当PM AB ⊥时，点P 到直线AB 的最大距离3d PM ===；当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =，由12x x n ==，12y y =-，代入()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-可得221144y n n -+=-+-，结合221163y n +=可得23n =或2n =（舍去）， 当23n =时，点P 到直线23x =的距离为43，综上，点P 到直线AB . 20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；（3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 【答案】（1）75元（2）见解析，910（3）6 【解析】（1）若某居民用水17吨，则需交费124451775⨯+⨯+⨯=（元）；（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===. 故ξ的分布列是所以()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X 满足3~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是为()10103255k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由()()10110111010101101110103232555532325555k kk k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 化简得11010110102332k k k k C C C C +-⎧≥⎨≥⎩，解得283355k ≤≤. 因为*k ∈N ，所以6k =.21．已知函数2()ln (,)f x x ax bx a b R =--∈.（1）当1a =-时，设1x ，2x 为()f x 的两个不同极值点，证明：()()123ln2f x f x +<--； （2）设1x ，2x 为()f x 的两个不同零点，证明：()12123f x x x x +<+-. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】(1)当1a =-时，2()ln f x x x bx =+-，2121()2(0)x bx f x x b x x x'-+∴=+-=>，12,x x Q 为()f x 的两个不同极值点，12,x x ∴为方程2210x bx -+=的两不等正根，22112221,21bx x bx x ∴=+=+，且由韦达定理1212x x =， ()()()()2212111222ln ln f x f x x x bx x x bx +=+-++- 221212ln 2x x x x =---1212ln 22ln 23x x x x <--=--，()()123ln 2f x f x ∴+<--.（2）要证明()12123f x x x x +<+-，即()()()212121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-，下面分别证明()1212ln 1x x x x +≤+-和()()212122a x x b x x -+-+<-，两式相加即得结论.（i ）()1212ln 1x x x x +≤+-， 令120t x x =+>， 即证ln 10t t -+≤.令函数()ln 1g t t t =-+，则11()1tg t t t-'=-=， ()g t ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，()(1)0g t g ∴≤=.（ii ）再证明()()212122a x x b x x -+-+<-， 即()()212122a x x b x x +++>.12,x x Q 为()f x 的两个不同零点，不妨设120x x <<， 2111ln x ax bx ∴=+①2222ln x ax bx =+②∴①-②可得()()()11212122lnx a x x x x b x x x =+-+-， 两边同时乘以1212x x x x +-，可得()()()()11222121212lnx x x x a x x b x x x x ⋅+=+++-，即()()112221212121ln 1x x x x a x x b x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭+++=-. 令12(0,1)x m x =∈，则()()21212(1)ln 1m m a x x b x x m +⋅+++=-.即证(1)ln 21m mm +⋅>-，即2(1)4ln 211m m m m -<=-++，即证4ln 201m m +-<+. 令函数4()ln 21h m m m =+-+， 则22214(1)()0(1)(1)m m m m m h m '-=-=>++， ()h m ∴在(0,1)单调递增，()(1)0h m h ∴<=.由（i ）（ii ）可得()()()212121212ln 3x x a x x b x x x x +-+-+<+-，()12123f x x x x ∴+<+-.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos {sin x y ϕϕ=+=（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是(sin )ρθθ+=OM ：3πθ=与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ,[0,]2πρθθ=∈；（2）4.【解析】（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以半圆C 的极坐标方程是2cos ,[0,]2πρθθ=∈． （5分）（Ⅱ）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos {3ρθπθ==，解得111{3ρπθ==，12 设22(,)ρθ为点Q的极坐标，则有2222(sin ){3ρθθπθ==解得225{3ρπθ==， 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． （10分）23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 所以1m =. （2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.。

2020年高考数学（文科）模拟冲刺卷（一）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ）A ．(1,0]-B ．[1,2)-C ．[1,2)D ．(1,2]2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数2()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ） A ．32-B ．1-C ．32D ．744．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．345．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π4，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(1,0)-C ．(0,1)-或(1,0)-D ．以上都不对6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n -D ．11()2n -7．已知α为锐角，则32tan tan 2αα+的最小值为（ ）A ．1B ．2 C． D．8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ） A ．若c ⊂平面α，则a α⊥ B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->，若圆22((1)1x y -+-=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3]B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[1,2]10．在区间[0,2]上随机取一个数x，使πsin 2x ≥的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3411．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ，若OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）A．B． C．D．12．已知函数2()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，22(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．212a -<<B ．11a -<<C．a >或a <D．a <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知i 为虚数单位，复数3i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线l 上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线l 的距离为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，E 是BC 的中点，3AC =，AE =2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=．（1）求AB ； （2）求C ．18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：残差图（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =．（1）求证：AB CG ⊥；（2）若ABC △和梯形BCGF的面积都等于G ABE -的体积．20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线相交于点2(3． （1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C 和点B ，D ，且12l l ⊥， 设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．21．（12分）已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a ∈R ．（1）当a e =时，判断()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 是过坐标原点且倾斜角为α的直线，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且点,A B 均异于坐标原点O，AB =，求α的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()f x x =．（1）解关于x 的不等式(2)(1)2f x f x --+<；（2）存在0x ∈R ，使得不等式00(2)()(1)2f x f x a f a -++<--，求实数a 的取值范围．。

绝密★启用前2020年晋通爲等学校招生全国统一考试文科数学冲剌试卷（•）<⅛ «：120分钟满分J50分〉注•事项：1•齐总前・彭生务必将白己的址名、号生巧等填丐亦签题卡和试卷 指定位置h.2.冋答迭择国时•透出毎小题答案后•用锻笔把答題卡上对应題日 的答案标号漆黒•如盂改动•用濛皮≡T⅛>G∙再述徐其他答案採号• I 叫答作选择題时•将衿案书在答迪卡上•丐住本试左上无效.3号诫结車后•将本试住和存并交何•一、迭择題：本題共12小題，毎小題5分•共60分.在每小題饴出 的四个迭项中•只有一项是符合题目姜求的.文集合 Λ=u ∈N ∣ -3<j <l∏B={y ∣ v=r ÷1}∙则人∏<C B B) =()A∙ {2∙3} B{0}C. {0.1}D∙ {—2«— 1*0∙1}2.设复数H=冷.则"1 =()■ /H √26A2 " 2，C. √T3D. √263.如图所示.AAB 「中∙D∙E 分别是线段BC.AB 的中点•则我4•为了研究OO 后求职H 寸考虑的要素•研究人员随机抽取了一定 数量的00后求职者逬行调杳•所得情况统计如F 图所示•则下文科数学 冲剌试卷（一）第1页（共6趺尸A. -2 D⅛--∣-BΓ C.-1 I>Γ--J-TfCB∙ -2 Df ⅛ ^hCD.-3 Df--I-W②公诵風利Mlne4）聲朋体亀ΦbArtr*A.参与JHI充的求馭希总人数町旄为3000H.接受调代的()0话求职者中•选择“棒陪体条”的人数最名C. 接受凋杳的00肓求职幷中•选择-公司福利-的人数最少D. 接受崗査的00后求职旨中•选抒“薪酬休系“的人数可能比选择"培Ull机遇”的多400人5. 已知长方体ABCD-A I B I C I D l的8个顶点都生圆柱Oo r的底面関周上•若Λ(1-5√2.AA1-6.则関柱的体积为( )Λ,63κB,42π C. 21π D. 8心6. 若函象/(χ) = e,j,÷(2M-l)s in x + m<√ + l>为训诵数•则曲线^≡∕(χ)在点(1.∕(∣))处的切线方程为( ) A∙ y= <e+ I)X B. y=(e+ 1 )χ-(e+1)C∙ >∙=ex÷e D. βy=e-r-e7. F图中小正方形的边氏为1・祖实线f⅛岀的是茱圄柱的三视图・侧柱表⅛i卜的点M在的觇图卜的对应点为A •側件表面上的点N在止觇图和俯視圏丄的对应点分别为B.B∖MΨ点B为劣弧&两数Λx>= Asin(2x+y) + 4Λ<)上单调递减•A∙叶考] B∙>f-T]C.[一节・—OD. [γ.y]9.已知椭圆G斗十*≡≡i(α>Q0)的左.右焦点分别为F1.F1. U b第一象限的点M住椭圆「匕•若ZAfFJ)= vZ-WOF1 = 15*.WffJsIC的离心半为( )A 普Kf C,√3-l n.⅛l10•已知长方体ABCD-A1B1C1D1中JB = 4∙BC=3∙若険长方休的表面积为66.W直线Br l与平面ACC I A I所成角的正切值为( )文科敦学冲则试卷(一》第2页(Jt 5页)11.已知角α*的顶点为坠标贩点•始边与*轴的非负半轴∙R 介.A(IMhn).B(∕r,∕n ＞分别是角α*终边上的点•找中mn≠Q.若 LL^±J, W z 2尸 ()Sin a嗨 ＜f+ 4才二＞_少的取值范国为 A.「― 1・—卜 C.(-2∙-l)D.(-2∙-l]二、填空題：本題共4小题，毎小題3分，共20分. 13. IOgI 16+ log 23 I IOgI 144— ______ .=—2a yP6∙2^÷y>0.W z ≈2χ-y 的用大值为J -Λ≤δ∙15•已知BI 「过点<0.0)U6∙-8>∙(6∙0)>iilft 点的直线 /与BIC交TM. V 曲点•若IMNl=√Σ∙则直仪I 的方程为 ____________ 16. MH 为J 响应国凉勺出•实现全Ir 脱贫”・且委决定开发H 城旅游业•首先计 划修建一条从县城到达诫区的公路.已 知且城与槓区通路的中段有一座高山， 需婆條涌一圣陡酒A/人为ΓMy^∣α AD 的艮度，现在平面ABCD 中测鈕相应数!《•其中 A D - 5 √3 . B(-10.C 7＞- 8. «ij AI)^ ______ . 三、解答題：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步费.第17-21題为必考题，每个试JS 考生都必须作答.第22、23雄 为选考题•考生根据更求作答. 17. (*小题满分12分〉记許序为2的数列｛α.｝的炳R 项和为S.. U 2S, = S rψl -2.tt 列他｝满足⅛≡⅛・(I )证阴，数列｛“.｝为零比数列：(Il ＞记数列的前"项和为丁.•若丁.玄20,求实数入的 取值范围.)2co^ B=戸丐YX 「若/(3x+ 1 )＞∕(x) •则实数.r 2・才＜ —2∙18. 《本小题满分12分）已知WfeBS-ABCO 中•底rti AHCI）是菱形.ZAHC=120∖ SA = SD=2・点V足:线段人D的中点・IL SD丄BN•点G亦线段SC上.（I ［求证：SB丄ADI< U）若NSAD=60°.点Vf是线段B（、上靠近「的四等分点• 平而DGM丄T tf∏ ABCD•求二棱傩D-CMG的体积.19. （本小题满分12分）为了比较传统新旳粗食〃的产Ift是杏有力別，研左人员在若ΓH±地上分别种植/传统粮食α与新型粮食$,并收坐统计了&的山产址•所得数据如卜图所示・U知传统粗生α 的产量约为760公斤/亩.< 1）求新型粮伏0的由产Ja在［785.805）的槪率，<∏〉通过计算比较传统報食α与新型粮食0的平均亩产昴间的大小关系$（IIl）现按分整抽样的方法，在种植新熨粮食3的由产貳介于［785.805）的上地中抽取6山••再庄这6应土地中随机抽収2 亩研究粮食的生产是否受到上壤的影响•求抽到的2亩上地新加粮您0的商产就都在IX间［785.795）卜的御率.广20. (本小题満分12分〉巳知抛物线C s√=2^(p>0)的焦点F到准线的/的距离为2•点M,N是抛物线C上的点•且MFN三点共线.(I〉若IMNl = I2・求直线MN的方程；(Il)直线Z l山分别是抛物线C在M・N处的切线，且直线Z I, I Z交点为A.求证:AF丄MF.21. (本小題满分12分)已知西数/(x) = γ —W -J?"----- c∣j∙.(I)若α = 2∙求函数/(工)的单凋区间；(H)若关于的不等式2/(工)+αj^ + (∙τ' +J^)1Π J∙+A≥O恒成立•求证：36—6α÷5≥0.22∙（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程平面直角坐标系χθy中•直线/的参数方程为J r=^Z为j=√6∕.参数）•以坐标原点为极点・才轴的正半轴为极轴建立极坐标系•曲线「的极坐标方程财7严=Sin 0.（I）求曲线（、的参数方程和直线/的极坐标方程：（II）若在线加的极坐标方程为O = ^（Pe R）・设曲线C与直线/的交点为o、M•曲线C与直线加的交点为O、N•求△OMN的面枳.23.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数/（x） = ∣mx+11 + |工一加I +fc r∙（I）若加=2・求不等式/（j-）≥8的僧集：< U）若m>0.关于工的不等A∕<∙r）≥^∙÷2在R上恒成立，求实数加的取值范围•2020佯普通盛等学校招生全国统一考试文科数学模拟试卷(•)C rM βτl（fttt G .Λ-1 .f e NI -J<./ < O-<<∣∙1.2.3hB -<v∣v-2,÷∏-{v∣ y> H •期£』一Iyl τ≤ 门•故4D （CHB）=I-SSWlIN XJ-√÷ S •扳一；G \・衬味Ih 爲⅛I ÷∖ fi ∣∈H.⅛徐ΛJ3.⅛ 2 I •本B中給易由于翼砒・J E、哺* "•府W的花》⅛-<-2.-k<l.l.?.：<! .⅛>⅞S⅛ W 人靑今力斤/令对氏念•块冷约泾耳• h 5祈5*卸— g m誥占i';二'7 JiT二宁故ld = 74'-ς-⅛p^-■Aii6 B.【知识惟摆】I=I整卡友红乂的馍龙•乂一个X⅛⅛j4iφ→ ^=u-∕d<u∙∕÷R?. tfi∣√l= √u r^Λr. «什•建叹為屮冷R1 -20 口旳竹・4方抚巧穴卜比・；・「【命St聿绍】金騎人罟务t ⅛⅛⅛⅛4∙岌我的走令・A 【解IfiI^ADtfi中点M i^r⅛∙∣∙⅛ X .ji⅛ ΓA∕.Λ∕.∖. WflI IM ΓI1I⅛ IK EΛ∕.M> 如K^dhttPΛ≡7>Γ7∙ ½ -上Tfi-Ct丨丄灰・即齐一 -？ Tjt一4jΓΓ∙战述A.X •!.玖丄∙JTΓ>∙≡ -Dt—PTT ^√VΓ>- —2— P*∖I)•伽町•划晁”垢讯眦训的Aft4<⅛ 粮取•排除、搖受峋代旳W町求职府中・选打∙∣ι ⅛L∣Γ)2L rtPsSM V.Hf建Iu⅛吃迥任的oil \；^H⅛ΛΦ 连H M J⅛ 讥叫谒■的人散Ja少∙Il Rh C. Ia ⅛ IΛ.【答題授脈】坏十旣讨图k化刁轨乎同灵・*忙氐巧壬处丛扭自良卩旳亦吠仏电∙W L阿P ★巧卩IjJ的Λ御代A人Rrt «夕・比心汁.0比何們欠4∙ M f J M K冬T・图J勺址人y*询乂掩计用ns.t rM4r］巡迪gH≡≡M I Λj c>nj.k l cf≡l∣.λlt⅛1 忙M >'肿底MI i l怦为√TT. ⅛ M忙f “町休SL ⅛ n z .• 、■(-≡S)-'∙<*i=21-:.Atii「・A Iaif!«?#JSTrfl.∙⅞^ Art «hΛ-【介JS倉囹】3飓人号点的2空河氏阿体・»1. \ 【績析ι%⅛re:•.门-(>-/<(►.cd JeI十O-IIMn (—a-√> —J >• + 1 ；= Jj + ∣1M- 1 *>in ∣→M<√ ÷ u.v>n? w=4∙.*i,f< •>=」"*△"-】>.π ι>≡v-∣i∙ΛWi 吋•“♦)=/ —4~(∙-∙,)・八八=W “・八故门 1 >=I — 1 ・ I刃r!∣i 术UJ 线h F* h V= (V-D / ∙ ⅛ J⅛ Λ.【知识(3《】左已加片僞M京点応的t杆巾KΛX L Z・屮; 叼门一2=八八比八一.门=—八* ∙∣⅞i⅛铃丸芒累余歩.-ttΛ 7ΛftiFHJIT以把.<•験AJtU個•知税他屮•可14计凰八一半)〜"孑)•再“川一丄・匕苓以电蜒■ ■ ■J-ft⅛ħ∕τ f∙J ^4t∕Ai>^z w 中Hn J 令奇弘 H•罡找与侑Jfit的出以%伶朱ArJtH生VMI- 1 -(∙ ⅛∙•讥图1»电人曜金荊足学和的心纫点纥∙G狀幻M廣・-K CfllMlA W 6J∣V IlH卜的男为判门\ 6 Ittlt上的拴卩林M二罕∙m科丹住陀何■:坡H -nJ¾mw到.v In冷讣屮•品知琳存的氏也方√(7x7≡7 -S Λ-Lr T.tt J⅛ IUfWWtt^l⅛⅛rj!≠ι<η心诂张征岛上巧昭壮3 <•】？S lE叶、一般誓仔此如爲展歼•逻而4十掛Sl多中•时冋谒JUX衿隹岛罠址即可J1］ t t.［饰Jft意a∏Q⅛t人号缶询丘三祝阳.空怀化忆体.Kn【篆析"于∙ XW伸∙γ≤y・23“S以予+^X,x≤-< ≤γ^ - A兀"fc∙ Zb ≡ 1I k = J 吋・-P7≤.* ≤-pr ・ IM 为冲•导Ij罟•晋IHjM：・、.∙,∙riI【一鬆芻蔡】八< >≡i∕s4n< J r ------ 、—“・，乜r« / ?ατ -Tτfl5t l f ⅛J 尺G∙r i≡>r⅛去S 辜$ W 号【囱骥進鸟】 = »•«‘•)⅛{∣rT- = » ⅛rM(4S -]>6-f^⅜⅛∙r > I 十 “>G∙—加 <>c->τ +」£ IW ”< tl÷∙^>∕^∙^ ⅛ l⅜l UH) RtW (07 » M ψ.U ∣4ft2V J ：：E 殆 &=、3书 W ⅛ V ?.< ^ViX Φ[ffl⅛KΦ) 书∙ Y *；沖・Y ^rt∙I -O ^ +。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国新课标1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B. {}1,5 C. {}3,5D. {}1,32.若312z i i =++，则z = A.0 B.1 C.2 D. 23. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A.514- B. 512-C.514+ D. 512+4. 设O 为正方形ABCD 的中心，在O, A ,B, C, D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为 A.15 B. 25 C. 12 D. 455. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i y i =（x 1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. x y a be =+D. ln y a b x =+6. 已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 设函数()cos()6f x x πω=+在[]-ππ，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76π C.43π D.32π 8. 设3a log 42=，则-a 4 A.116 B. 19 C. 18 D. 169.执行右面的程序框图，则输出的n = A. 17 B. 19 C. 21D. 2310.设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a += A. 12 B. 24 C. 30 D. 3211. 设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP | =2，则∆12PF F 的面积为A.72 B. 3 C. 52D. 2 12. 已知A ，B ，C 为球O的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆. 若1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2,1,01,2U =--，，{}012A =，，，则U C A =（ ） A ．{}2,1,0--B ．{}2,1--C ．{}01,2，D ．{}1,2 【答案】B【解析】∵集合U ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A ＝{0，1，2}，∴∁U A ＝{﹣2，﹣1}，故选：B ．2．已知复数z ＝i （2＋3i ）（i 为虚数单位），则1z =( ) A ．32i 1313-+ B ．32i 1313-- C ．32i 1313+ D ．32i 1313- 【答案】B【解析】复数z ＝i （2＋3i ）=2i-3,则1z ()()123322323231313i i i i i +===----+. 故答案为B.3．某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素．每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图．帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度（即频数）的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是（ ）．①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①认为态度良好影响他们满意度的客户比例为35.6%18.35%17.25%-=，故错误；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度，故正确；③影响客户满意度的因素是电话接起快速，故正确；④认为工单派发准确影响他们满意度的客户比例为100%98.85% 1.15%-=，故正确.故选：C .4．溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（ ）（参考数据：20.3010lg ≈）A ．1.398B ．1.204C ．1.602D ．2.602 【答案】C【解析】依题意()2 2.5100lg 2.510lg lg lg 40100 2.5pH -=-⨯=-==()lg 410lg4lg102lg2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C5．函数()()1ln 1x x e xf x e -=+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 ()()1ln 1x x e x f x e -=+,其定义域为:(,0)(0,)-∞+∞,又()()()1ln 1ln ()11x x x xe xe xf x f x e e ------===-++, 所以()f x 为奇函数,故排除A,C 选项,又当12x =时,1(1)ln 12()021e f e ⨯=<+, 所以排除D 选项,故选:B.6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m ，镜深0.25m ，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（ ）A ．0.5米B ．1米C ．1.5米D ．2米【答案】B【解析】 若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22x py =集光板端点()1,0.25A ，代入抛物线方程可得24p =，所以抛物线方程24x y =，故焦点坐标是()0,1F .所以容器灶圈应距离集光板顶点1m .故选：B7．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为（ ）A ．2B ．3C ．214D ．8【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图如图：P ABCD -是长方体的一部分， 最长棱长为：22242656214PB =++==．故选：C ．8．已知双曲线C 的实轴长为2，且与椭圆22:1312x y E +=的焦点相同，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．255y x =± B ．52y x =± C ．24y x =± D ．22y x =±【答案】C【解析】椭圆22:1312x y E +=的焦点坐标为(0,3)-，(0,3)，故3c =，可设双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则2229c a b ==+.双曲线C 的实轴长为2， ∴22a =，可得：1a =∴28b =，∴双曲线C 的标准方程为2218x y -=.令2208xy-=，得2y x=±，故双曲线C的渐近线方程为24y x=±故选：C.9．若等差数列{}n a的前n项和为n S，且130S=，3421a a+=，则7S的值为（）．A．21 B．63 C．13 D．84【答案】B【解析】因为130S=，3421a a+=，所以111313602521a da d+⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d=-，118a=，则7171876(3)632S=⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B．10．如图所示，在梯形ABCD中，2Aπ∠=，//AB CD，2AB=，1CD=，2AD=，E，F分别为边CD，BC的中点，则AE AF⋅=（）A．54B．114C．3 D．4【答案】B【解析】在梯形ABCD中,2Aπ∠=,则可建立以A为原点,,AB AD方向为,x y轴正方向的直角坐标系,如下图所示:由题可得(0,0),(2,0),(0,2),(1,2)A B D C , 因此13(,2),(,1)22E F , 所以13(,2),(,1)22AE AF ==, 所以311244AE AF ⋅=+=, 故选:B.11．关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(),-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递减其中所有不正确．．．结论的编号是（ ） A ．①③④B ．②③C ．①④D ．①③【答案】B【解析】 ()2sin sin 2sin cos sin 22222x x x x f x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭. 对于①，因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数()y f x =为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆221x y +=也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为()()()()sin sin f x x x x x f x ππππ+=+-+=---≠，所以函数()y f x =的周期不是π，即②错误；对于③，因为()cos 10f x x '=-≤，所以函数()y f x =单调递减，所以，函数()y f x =在区间(),-∞+∞上至多有1个零点，即③错误；对于④，由③可知，函数()y f x =单调递减，即④正确.综上所述，所有不正确．．．结论的编号是②③. 故选：B.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的分别为a ，b ，c ，且（a +b ）（sinA ﹣sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ，若a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是（ ）A ．1B C ．2 D ．【答案】B【解析】由（a +b ）（sinA ﹣sinB ）＝（c ﹣b ）sinC ，利用正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ，即a 2＝b 2+c 2﹣bc ， 所以由余弦定理可得：cosA 222122b c a bc +-==， 而A ∈（0，π），所以A 3π=；因为a ＝2，所以可得：4＝b 2+c 2﹣bc ≥2bc ﹣bc ＝bc ，即bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，取等号，所以S △ABC 12=bcsinA 12≤⨯4=，即△ABC . 故选：B . 第II 卷 非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为______．【答案】5【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示：目标函数3z x y =+，可化为直线3y x z =-+，当3y x z =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大．此时目标函数取得最大值，又由10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得3x =，4y =-，即()3,4A -， 所以目标函数的最大值为3345z =⨯-=．故答案为：514．过点()1,2M -且倾斜角为135︒的直线l 与圆228x y +=相交的弦长为__________． 30【解析】因为直线l 过点()1,2M -且倾斜角为135︒,所以直线l 的方程为2(1)y x -=-+,即10x y +-=,又圆228x y +=的圆心为(0,0),半径为2,所以圆心(0,0)到直线l 的距离122d -==所以直线l 与圆228x y +=相交的弦长为2222(22)()302-=, 故答案为:30. 15．已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan()4πα+＝_______.【答案】2【解析】∵sin 22cos21αα-=-， ∴22222sin cos 2(cos sin )sin cos 0αααααα--++=，化简得223sin 2sin cos cos 0αααα+-=，两边同时除以2cos α得， 23tan 2tan 10αα+-=，∵α为锐角，∴tan α＞0解得1tan 3α=， ∴11tan tan34tan()2141tan tan 1143παπαπα+++===--⨯. 故答案为：216．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形， 2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为___________.【答案】823π 【解析】根据题意，取AD 中点为F ，连接EF ，取EF 中点为O ，连接PO ，如下所示：因为⊿PAD 为边长为2的等边三角形，故可得PF = 又因为1,2PE EF ==，满足勾股定理， 故可得PE PF ⊥，则⊿EPF 为直角三角形，则11122PO EF BD ==<=若要满足题意，只需满足ABCD 在球大圆上时，点P 在球内部即可，此时球半径最小为3.故答案为：3. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．在数列{}n a 中，前n 项和为()*n S n N ∈，若0na>，数列{}n S 为等比数列，12346,24S S S S +=+=.（1）求n S ；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2nn S =；（2）13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】（1）由数列{}n S 为等比数列234124S S q S S +==+，由0n a >，则0q >，2q，()12116S S S q +=+=，有12S =，则2n n S =.（2）由（1）112a S ==，2n ≥，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩则11,1,211,2,2n n n a n -⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当2n ≥时，121121111111......2222n n n T a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111113121222212n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=- ⎪⎝⎭-，又11112T a ==符合，所以13122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 18.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a b =.（1）求直方图中,a b 的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值，并说明理由. 【答案】（1）0.15a =，0.06b =；4.07（2）35.2万；（3） 5.8x = 【解析】解：（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+0.200.260.040.021a a b ++++++=，又0.4a b =，则0.15a =，0.06b =， 该市居民用水的平均数估计为：0.50.04 1.50.08 2.50.15 3.50.20 4.50.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.50.156.50.067.50.048.50.02 4.07+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.040.080.12+=， 则月均用水量不低于2吨的频率为：10.120.88-=， 所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 400.8835.2⨯=（万）； （3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88， 月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x （吨），56x <<，0.730.15(5)0.85x ∴+-= ，解得 5.8x =，即标准为5.8吨.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，E ，F 分别是AC 和AB 上动点，且AE BF =.（Ⅰ）若E 与C 重合，求证：11B E C F ⊥；（Ⅱ）若1AE EC ==，求点1B 到平面1A EF 的距离. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43【解析】（Ⅰ）证明：当E 与C 重合时，∵AE BF =， ∴F 与A 重合，要证11B E C F ⊥，即要证11B C C A ⊥.∵90BAC ∠=︒，∴11190B AC ∠=︒，即1111B A AC ⊥，又111B A A A ⊥，1111A A AC A ⋂=，∴11B A ⊥平面11A ACC ，∴111B A AC ⊥， 又正方形11A ACC 中，11C A A C ⊥，1111A CA B A =，∴1C A ⊥平面11A B C ，∴11C A B C ⊥，即11B E C F ⊥；（Ⅱ）∵1A A ⊥平面ABC ，∴1190A AE A AF ∠=∠=︒，∵1AE EC ==，∴12A A =，∴11A E A F ==，在Rt EAF 中，EF =∴11322A FE S ==△，1112222A B F S =⨯⨯=△，设点1B 到平面1A EF 的距离为h ，由1111B A EF E A B F V V --=，得1111133A EF A B F h S EA S ⋅⋅=⋅⋅△△，1EA =， ∴43h =，即点1B 到平面1A EF 的距离为43.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B .己知在椭圆C 上存在点Q ，使得四边形OAQB 是平行四边形，求Q 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）Q (1，32)或(﹣1，32)【解析】（1）设焦距为2c ， ∵椭圆C 的离心率为12，∴12c a =①， ∵右焦点到右准线的距离为3，∴23a c c-=②，由①，②解得a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=，（2）当直线l 斜率不存在时，四边形OAQB 不可能平行四边形，故直线l 斜率存在 ∵直线l 过点P (0，1)，设直线l 为：1y kx =+， 设A (1x ，11kx +)，B (2x ，21kx +)，由四边形OAQB 是平行四边形，得Q (12x x +，12()2k x x ++)22134120y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，化简得：22(34)880k x kx ++-=，1222122883482(34)34k x x k k x k x x k ⎧+=-⎪-±⎪+=⇒⎨+⎪=-⎪+⎩，122286()2()23434k k x x k k k ++=⋅-+=++，∴Q (2834k k -+，2634k +)，∵点Q 在椭圆C 上， ∴2222863()4()123434k k k -+=++，解得12k =±，代入Q 的坐标，得Q (1，32)或(﹣1，32).21．已知函数()()sin f x ax x a R =-∈. （1）当12a =时，求函数()f x 在区间[]0,π上的最值； （2）若函数()f x 在R 上是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若不等式()0f x >在区间()0,∞+上恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）函数()f x 的最大值为2π，函数()f x的最小值为6π-（2）1a ≥或1a ≤-；（3）1. 【解析】 （1）当12a =时，()()1sin 2f x x x a R =-∈，()1cos 2f x x '=-，显然02>，则函数()f x 的最大值为()2f ππ=，函数()f x 的最小值为36f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）当函数()f x 在R 上单调递增时，当且仅当()0f x '≥，即()cos 0x a x f '=-≥恒成立，得1a ≥； 当函数()f x 在R 上单调递减时，当且仅当()0f x '≤，即()cos 0x a x f '=-≤恒成立，得1a ≤-；综上，若函数()f x 在R 上是单调函数，实数a 的取值范围为1a ≥或1a ≤-； （3）()cos f x a x =-'，且()00f =， 当0a ≤时，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上()cos 0f x a x '=-<，得()0f x <； 当1a ≥时，在区间()0,∞+上()cos 0x a x f '=-≥，得()0f x >恒成立； 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=，故存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00cos 0f x a x '=-=成立，同时在区间()00,x 上，()0f x '<，()f x 在区间()00,x 上单调递减，()00f =，所以()f x 在区间()00,x 上小于零.综上，不等式()0f x >在区间()0,∞+恒成立时，1a ≥. a ∴的最小值为1.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=. （Ⅰ）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求MON ∠的大小.【答案】（Ⅰ）直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ=+曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=；（Ⅱ）6MON π∠=.【解析】（Ⅰ）由12112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得直线l的普通方程为1x +=又因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l的极坐标方程为(cos )1ρθθ+=+曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，22cos ρρθ∴=，222x y x ∴+=，即曲线C 的直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）设M ，N 的极坐标分别为()11,ρθ，()22,ρθ， 则12MON θθ∠=-，由(cos )12cos ,ρθθρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 消去ρ得2cos (cos )1θθθ+=+，化为cos 22θθ+=sin 26πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭不妨设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即72,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以263ππθ+=，或2263ππθ+=， 即12,12,4πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12412πθπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 所以126MON πθθ∠=-=.23．已知函数()|4||4|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式()3f x x >的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为z ，正实数m ，n 满足2mn m n z --=，求证：2103m n ++. 【答案】（Ⅰ）8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）()3f x x >，即|4||4|3x x x ++->.当4x <-时，不等式可化为443x x x --+->，解得4x <-； 当44x -时，不等式可化为443x x x ++->，解得843x -<； 当4x >时，不等式可化为443x x x ++->，无解. 综上，原不等式的解集为8|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，|4||4||44|8x x x x ++-+-+=，8z ∴=，即28mn m n --=，所以(1)(2)10m n --=，所以(1)(2)32103m n m n +=-+-++，当且仅当1m =，2n =时取“=”， 原不等式得证.。

1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则A B I =（ ） A ．（1，3） B ．（1，4） C ．（2，3） D ．（2，4）【答案】C 【解析】由()()2430130x x x x -+<⇒--<所以13x <<，所以()1,3A =又(){|24}2,4B x x =<<=，所以(2,3)A B ⋂= 故选：C2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-【答案】D 【解析】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.3．已知直线2y kx =+与圆221x y +=有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．k ≥k ≤B ．2k <-C ．k ≥D ．k ≤1【答案】B 【解析】由题直线2y kx =+与圆221x y +=有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，2211d k=≤+，解得：(,3][3,)k ∈-∞-+∞U ，其充分不必要条件所对应的集合为其真子集，四个选项中，2k <-符合题意. 故选：B4．已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为23π，点C 是弧AB 的中点，12OD OB =-u u u r u u ur ，则CD AB ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-【答案】C 【解析】如图，连接CO ，Q 点C 是弧AB 的中点，CO AB ∴⊥，且2OA OB ==，12OD OB =-u u u r u u u r ，23AOB π∠=，()()2111111122432222222CD AB OD OC AB OB AB OB OB OA OA OB OB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅-=⋅-=⨯⨯⨯--⨯=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选：C ．5．函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( ) A ．125216B ．827C ．49D ．14【答案】C 【解析】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个， 由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个， ∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率： p 9642169==． 故选C ． 7．在二项式8(ax+的展开式中，所有项的系数之和记为S ，第r 项的系数记为r P ，若893S P =，则ab的值为（ ） A ．2 B ．4-C ．2或2-D ．2或4-【答案】D 【解析】在8ax⎛+ ⎝中，令x=1,所以8(),S a b =+又其通项公式为818(),r r r r T C ax -+=即388218,r r r r r T C a b x--+=所以8888898,P C a b b -==因此依题有8888()(1)3,a b a b b+=+= 13,2-4.a ab b∴+=±∴=或故选D. 8．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A ．54B ．43C ．32D【答案】B 【解析】双曲线22221x y a b -=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=.所以bc BF b c ===，OB a ==，43a AB ==. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a a AFb a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m）的折线图，则下列说法正确的是（）A．这10天中PM2.5日均值的众数为33B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32C．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差【答案】ABD【解析】由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为3133322+=，中位数小于平均数；前4天的数据波动比后4天的波动大，故前4天的方差大于后4天的方差.故选：ABD10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】 因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD 【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥uu u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g ，12B C =u u u r 2BD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确； 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ， 则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r ，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD12．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，()1x f x e x =+-.若(sin )((2sin ))f x f k x ≥+在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-【答案】CD 【解析】由于已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，当0x ≥时，()1xf x e x =+-，所以当0x ≥时，()f x 为单调递增函数，故()f x 在R 上是单调递增函数.故由(sin )((2sin ))f x f k x ≥+可得()sin 2sin x k x ≥+①在x ∈R 上恒成立. 当1k =时，①化为sin 2sin ,02x x ≥+≥，不成立. 当0k =时，①化为sin 0x ≥，在x ∈R 上不恒成立.当1k =-时，①化为sin 2sin ,sin 1x x x ≥--≥-，在x ∈R 上恒成立. 当2k =-时，①化为4sin 42sin ,sin 3x x x ≥--≥-，在x ∈R 上恒成立. 故选：CD第II 卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线sin x y e x =⋅在点()0,0处的切线方程为______. 【答案】0x y -= 【解析】曲线sin xy e x =⋅，则sin cos x xy e x x e '=⋅+⋅()sin cos x e x x =+则当0x =时，()0sin0cos01k y e ='=+=，所以y x =，即0x y -=， 故答案为：0x y -=. 14．已知,m n 为正数，且直线与直线30nx my +-=互相垂直，则2m n +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 因为直线与直线30nx my +-=互相垂直，因为n-（n-2）m=0,所以2m+n=mn ， 从而有，故答案为9．15．已知圆22280x x y -+-=的圆心是抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，过点F 的直线交该抛物线的准线于点A ，与该抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-u u u r u u u r，则||AB =__________. 【答案】323【解析】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p = 抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-u u u r u u u r，所以:3:1AF FB =又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF == 所以3243AB BF ==. 故答案为：32316．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若P A 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____.【答案】3 5π 【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C V V ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径， 也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB ，所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.35π.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{}n a 中，46a =-，且2a 、3a 、5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）22n a n =-，或6n a =-；（Ⅱ）129988nn T n n -=-+-. 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d .因为2a ，3a ，5a 成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以()()()26626d d d --=---+，即()20d d +=解得0d =或2d =-. 当0d =时，6n a =-.当2d =-时，()4422n a a n d n =+-=-.（Ⅱ）因为公差不为0，由（Ⅰ）知22n a n =-，则22223n n b n -=-+，所以()1102291219nn n n T ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+=-129988n n n --+-. 18．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 4sin 2BA C +=. （1）求tanB ；（2）若1b =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）43（2）(【解析】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=.所以2sin 4sin2sin cos 222B B BB ==， 因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B ≠，所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈， 根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+… 所以()2255a c b +=…，即5a c +…，当且仅当5a c ==时取等号. 又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(1,5⎤⎦.19．如图，在三棱锥A BCD -中，顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，2AB AD ==，2BC BD ==，90CBD ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）求证：AD ⊥平面ABC ； （2）求二面角B AE C --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）13． 【解析】（1）∵顶点A 在底面BCD 上的射影O 在棱BD 上，即AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ∴平面ABD ⊥平面BCD ， ∵90CBD ∠=︒，∴BC BD ⊥，∵平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面ABD ，AD ⊂面ABD ，∴BC AD ⊥，由2AB AD ==，2BD =，得222BD AB AD =+，∴AD AB ⊥，∵AB BC B ⋂=，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面ABC ．（2）连结OE ，分别以OE 、OD 、OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,0O ，()0,0,1A ，()0,1,0B -，()2,1,0C -，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2,1,1AC →=--，()0,1,1AB →=--，()1,0,1AE →=-，.设(),,n x y z →=为平面ABE 的一个法向量，则00n AB y z n AE x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取1x =，得()1,1,1n →=-，..()2,1,1AC →=--，()1,0,1AE →=-，设平面ACE 的法向量(),,m x y z →=，则020m AE x z m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1z =，则()1,1,1m →=，设二面角B AE C --的平面角为θ，则1cos 333m n m n θ⋅===⋅⨯r rr r ．. ∴二面角B AE C --的余弦值为13． 20．已知1A 、2A 分别是离心率22e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=-u u u r u u u u r. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4-，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析 【解析】（1）由题意得()1,0A a -，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=--⋅-=-+=-=-u u u r u u u u r ，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得()221216300k x kx +-+=.由()22(16)120120k k ∆=--+>， 得2152k >，所以1221612k x x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x ----+===+++， 直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x --=-+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x ---++--=+-=-+-=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x -++--==+-+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +-=-=-++，直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x -=-+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，L [100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）． （2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？ 水果达人 非水果达人 合计 男 10 女 30 合计（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．附：参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：【答案】（1）62元 （2）见解析（3）方案二更划算． 【解析】（1）(100.005300.0075500.010700.0125900.0101100.005)20x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯62=． 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． （2）列联表如下：22100(10302040) 4.761 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯,因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． （3）若选方案一：则需付款101210110⨯-=元；若选方案二：设付款X 元，则X 可能取值为84，96，108，120． 33311(84)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 223113(96)228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，213113(108)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭， 30311(120)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()84961081201028888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．因为102110<， 所以选择方案二更划算．22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥， 即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e1e xx x x x ++>+， 所以()()2sin 22e2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22exf x x x <++.。