2014年元月北京市高三数学期末考题-导数

2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合 ， ,则 （ ）A{0} B {0，1} C{0,2} D{0,1,2}2.下列函数中在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A. y=x+1 B.y=（x-1）2 C. y=2-x D. log 0.5（x+1）3. 曲线 （θ为参数）的对称中心（A.在直线y=2x 上B.在直线y= -2x 上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上4.当m=7，n=3时执行如图所示程序框图输出的s 值为（ ） A.7 B.42 C.210D.8405.设{ }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{ }为递增数列”的（ ）A.充分且不必要条件B.必要且不充分C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6.若x ，y 满足 且z=-y-x 的最小值为-4，则k 的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D.A=x|x 2-2x=0{}B=0,1,2{}A∩B {x=-1+cos θy=2+sin θαn αn {x+y-2≥0kx-y+2≥0y ≥012-127.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A （2，0，0）B(2，2，0 ) C(0，2，0) D(1，1， )若 分别表示三棱锥D-ABC 在xOy yOz zOx 坐标平面上正投影图形的面积，则（ ）A. B. C. D.8.有语文数学两个学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种，若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A同学比B 同学成绩好”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的，问满足条件的最多有多少学生（ ）A.2B.3C.4D.5一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数 =10.11.12.13.14.2S 1S2S 3S 1=S 2=S 3S 1=S 3且S 3≠S 2S 1=S 2且S 3≠S 1S 2=S 3且S 1≠S 31+i 1-i ()2已知向量a 、b ，b=（2,1），且λa+b=0，（λ∈R ）则λ=设函数f(x)=Asin(wx+φ)（A ，w ，φ为常数A>0φ>0）且在π6，π2[]上单调，f π2()=f 2π3()= - f π6()，则f （x ）最小正周期PA=AE20（小题13分）。

第1页 2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A B =(A) {0} (B) {0,1} (C) {0,2} (D) {0,1,2} (2) 下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是(A) y (B) 2=(1)y x - (C) 2x y -= (D) 0.5log (1)y x =+(3) 曲线1cos 2sin x y =-+⎧⎨=+⎩θθ ，（θ为参数）的对称中心(A) 在直线2y x =上 (B) 在直线2y x =-上(C) 在直线1y x =-上 (D) 在直线1y x =+上 (4) 当7m =,3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840(5) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递 增数列的(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件(6) 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值是(A) 2 (B) 2- (C) 12 (D) 12-(7) 在空间坐标系O xyz -中，已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 则坐标平面上的正投影图形的面积，则(A) 1S =2S =3S (B) 1S =2S 且31S S ≠ (C) 1S =3S 且32S S ≠ (D) 2S =3S 且13S S ≠(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一颗成绩比B 高，则称 “A 同学比B 同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。

一．基础题组
1.【北京市朝阳区2013届高三下学期综合检测（二）数学试题（理科）】若
12
()d0
x mx x
+=⎰，则
实数m的值为( )
A．
1
3
-B．
2
3
-C．1-D．2-
2.【北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学试题（理科）】1
0(21)d
x x
+=
⎰___________.
3.【北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（理科）】若dx
x
a⎰=202，dx
x
b⎰=203，dx x
c⎰=20sin，则c b a,,从小到大的顺序为.
4.【北京市丰台区2013届高三第二次模拟考试数学试题（理科）】曲线
1
()
f x x
x
=+在
1
2
x=处的
切线方程是______，在x=x0处的切线与直线y x
=和y轴围成三角形的面积为。

5.【北京市海淀区2014届海淀高三上学期期中考试数学试题（理科）】如图，已知点(11,0)A ，直线(111)x t t =-<<与函数1y x =+的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为()f t . （I ）求函数()f t 的解析式；
（II ）求函数()f t 的最大值.。

2014北京高考数学试题及答案word一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 2B. 3C. 4D. 8答案：C2. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,3}答案：B3. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=100，则a_7+a_8=（）A. 18B. 20C. 22D. 24答案：B4. 已知函数y=f(x)的图象关于点(2,3)对称，则函数y=f(4-x)的图象关于点（）对称。

A. (2,3)B. (0,0)C. (4,6)D. (6,0)答案：C5. 已知函数y=x^3-3x+1，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a+b=（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D6. 已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B7. 已知函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递增，若f(2)=3，则f(1)与f(3)的大小关系为（）A. f(1)<f(3)B. f(1)>f(3)C. f(1)=f(3)D. 不能确定答案：A8. 已知函数y=x^2-6x+8，若f(a)=f(b)，且a≠b，则a-b=（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

）9. 已知函数y=x^2-4x+c，若其图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是______。

答案：(-∞,4)∪(4,+∞)10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=24，则a_4+a_5+a_6=______。

x（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．2.设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程；（Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．x（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若函数()f x 的图象上的点都在直线2y =的上方，求a 的取值范围．4.已知函数()(1)ln a f x a x x x =-++，其中R a ∈. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,e](e 2.718)=上的最小值.5.已知函数321()43f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R 且0a ≠.（Ⅰ）求证：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 总有两个不同的公共点；导数第 3 页 共 5 页（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.6．已知函数32()4f x x ax =-+-()a ∈R ，（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值；（Ⅱ）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x ＞，求a 的取值范围.7.已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（Ⅱ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明.8. 已知曲线()x f x ax e =-(0)a >.（Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线；（Ⅱ）若存在实数0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.9. 已知函数22()2ln (0)f x x a x a =->．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[1]e ，上没有零点，求实数a 的取值范围．10. 已知函数()e (1)xf x x =+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；导数第 5 页 共 5 页 （Ⅱ）若对于任意的(,0)x ∈-∞，都有()f x k >，求k 的取值范围.11. 已知函数2()4ln(1).f x ax x a R =--∈（I ）当a=12时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性。

2014年导数试题汇编1. 已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．2. 已知曲线．（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．3. 已知曲线．（Ⅰ）若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；（Ⅱ）对任意实数，曲线总在直线：的上方，求实数的取值范围．4. 已知函数其中．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意，且，都有，求的取值范围．5. 已知函数,.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若对于任意的，都有成立，求的取值范围.6. 已知，函数，.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有.7. 设函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.8. 已知函数，其中为常数，.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数,使的极大值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.9. 已知函数，其中. （Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）当时，试确定函数的单调区间.答案：1. 解：函数的定义域是，．（Ⅰ）（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为． (7)分（Ⅱ）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．…………………………13分2. 解：（Ⅰ）因为，所以切点为（0，—1）．，，所以曲线在点（）处的切线方程为：y=（a—1）x—1．———————————————4分（Ⅱ）（1）当a》0时，令，则．因为在上为减函数，所以在内，在内，所以在内是增函数，在内是减函数，所以的最大值为因为存在使得，所以，所以．（2）当时，《0恒成立，函数在R上单调递减，而，即存在使得，所以．综上所述，的取值范围是（—∞，0）∪[e，+∞）—————————13分3. （Ⅰ），——————2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且．—————4分解得，——————5分（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，———————6分令，——————7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；——————8分②若，，由得，————————9分的情况如下：———————11分所以的最小值为，—————12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是．——————13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，————————6分令，则等价于∀，恒成立，令，则，—————————7分由得，———————9分的情况如下：————————11分所以的最小值为，————————12分实数b的取值范围是．—————————13分4. （Ⅰ）解：由题意，得，其中，…… 2分所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为．……… 4分（Ⅱ）解：先考察函数，的图象，配方得，…… 5分所以函数在上单调递增，在单调递减，且．………… 6分因为对于任意，且，都有成立，所以．……………… 8分以下考察函数，的图象，则，令，解得．…………… 9分随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增，且．… 11分因为对于任意，且，都有成立，所以．……………… 12分因为（即），所以的取值范围为．………………… 13分5. 解：（Ⅰ）函数的定义域为. ………1分因为，………2分令，解得.………3分①当时，随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增. ……………5分②当时，随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递增，在上单调递减. ……………7分（Ⅱ）当时，对于任意的，都有成立，即.所以.设.因为, ……………8分令，解得. ……………9分因为，所以随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递增，在上单调递减. ……………10分所以. ……………11分所以.所以.……………12分所以的取值范围为. ………13分法二：当时，对于任意的，都有成立，即.所以.即. (8)分设.因为,令，解得. ……………9分所以随着变化时，和的变化情况如下：即函数在上单调递减，在上单调递增. ……………10分所以. ……………11分所以.所以.……………12分所以的取值范围为. ………13分6. 解：（Ⅰ）函数的定义域为,，因为，所以，当，或时，；当时，．所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,．……6分（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，．由，可得．所以当时，函数在区间上是增函数，所以，当时，．所以，当时，对于任意的，都有，，所以．当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以，当时，．所以，当时，对于任意的，都有，，所以．综上，对于任意的，都有．……………13分7. 解: （Ⅰ）时, ，，……………1分，的减区间为,增区间. ……………3分（Ⅱ）在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立，……………5分对任意恒成立，令，，……………7分易知在单调递减，.. ……………8分（Ⅲ）设切点为，，切线的斜率，又切线过原点，，存在性：满足方程，所以，是方程的根. ……………11分再证唯一性：设，，在单调递增，且，所以方程有唯一解.综上，切点的横坐标为. ……………13分8. 解：（Ⅰ），，，———1分，———3分则曲线在处的切线方程为.———5分（Ⅱ）的根为，———6分，当时，，在递减，无极值；——8分当时，，在递减，在递增；为的极大值，———10分令，，在上递增，，不存在实数，使的极大值为.———13分9.（Ⅰ）解：函数的定义域为，且. (1)分. ………………3分令，得，当变化时，和的变化情况如下： (5)分故的单调减区间为，；单调增区间为．所以当时，函数有极小值. (6)分（Ⅱ）解：因为，所以，所以函数的定义域为， (7)分求导，得， (8)分令，得，，………………9分当时，，当变化时，和的变化情况如下：故函数的单调减区间为，单调增区间为，．………………11分当时，，因为，（当且仅当时，）所以函数在单调递增. (12)分当时，，当变化时，和的变化情况如下：故函数的单调减区间为，单调增区间为，．综上，当时，的单调减区间为，单调增区间为，；当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为；单调增区间为，．…………13分2014年解析几何试题汇编1. 已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2. 如图，已知椭圆的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，直线：交椭圆于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：点在直线上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得三角形的面积是三角形的倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3. 已知是椭圆上两点，点M的坐标为．（Ⅰ）当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；（Ⅱ）当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形．4. 已知椭圆，直线l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线的方程为，求外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.6. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程.7. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值.8. 已知椭圆的两个焦点分别为和,离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线（）与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时,求面积的最大值.9.设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）如果点是椭圆W的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线AB的方程；（Ⅱ）设为轴上一点，且，直线与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点与点关于轴对称.答案：1. 解：（Ⅰ）由题意得，解得，．所以椭圆的方程是． (4)分（Ⅱ）以线段为直径的圆过轴上的定点．由得．设，则有，．又因为点是椭圆的右顶点，所以点．由题意可知直线的方程为，故点．直线的方程为，故点．若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．又因为，，所以恒成立．又因为，，所以．解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点． (14)分2. 解：（Ⅰ）由题意可知，，于是．所以，椭圆的标准方程为程．——————————————————————3分（Ⅱ）设，，，即．所以，，，，于是．因为，所以在直线上．—————————————————8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍，则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；设点C的坐标为，则．因为，解得．于是，解得，所以．————————————————14分3. （Ⅰ）设，，——————1分因为为等边三角形，所以．—————————2分又点在椭圆上，所以消去，———————3分得到，解得或，———————4分当时，；当时，．——————————5分{说明：若少一种情况扣2分}（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线斜率存在．设直线：，，，中点为，联立消去得，——6分由得到①—————7分所以，，———————8分所以，又如果为等边三角形，则有，————9分所以，即，————10分化简，②————11分由②得，代入①得，化简得，不成立，—————13分{此步化简成或或都给分} 故不能为等边三角形．————————————14分法2：设，则，且，所以，——8分设，同理可得，且———9分因为在上单调所以，有，—————11分因为不关于轴对称，所以．所以，—————13分所以不可能为等边三角形．——————14分4. （Ⅰ）证明：因为直线的方程为，所以与x轴的交点，与轴的交点．…………… 1分则线段的中点，，………………… 3分即外接圆的圆心为，半径为，所以外接圆的方程为．………… 5分（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线的方程为，，，则，，………………… 6分由方程组得，…………… 7分所以，（*）………… 8分由韦达定理，得，．……… 9分由是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合．所以，………………10分解得．………… 11分由是线段的两个三等分点，得．所以，………………… 12分即，解得．………… 13分验证知（*）成立．所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…………… 14分5. 解：（Ⅰ）由条件可知，………2分故所求椭圆方程为. ……4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：. ………5分由可得：……6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.设点，则. ………8分因为直线的方程为：，直线的方程为：，………9分令，可得，，所以点的坐标. ……10分直线的斜率为…………12分所以为定值. ………13分6. 解（Ⅰ）依题意有，．可得，．故椭圆方程为．……………………５分（Ⅱ）直线的方程为．联立方程组消去并整理得．设，．故，．则．设的中点为．可得，．直线的斜率为，又，所以．当△为正三角形时，，可得，解得．即直线的方程为，或．………………13分7. 解：（Ⅰ），椭圆方程为，………2分准圆方程为.…………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得，…………6分所以方程为.……………7分，. ……………8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直. ………10分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直. …………12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值. …………14分8. 解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在轴上，，，，，———2分椭圆的方程为———4分（Ⅱ），消去得直线与椭圆有两个交点，，可得（*）———6分设，，，弦长，———8分中点，设，，，，———11分，时，，——14分（或：.当且仅当时成立，.9. （Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为，……………1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆W上，将代入椭圆W的方程，得点的坐标为. ……3分所以直线（即）的方程为或 (5)分（Ⅱ）证明：设点关于轴的对称点为（在椭圆W上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，.又因为直线与椭圆W的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线.……………7分以下给出证明：由题意，设直线的方程为,,，则.由得，……………9分所以，，. ……………10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为，…………11分设直线，的斜率分别为，，则，…12分因为，………13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称.………14分2014年压轴题试题汇编1. 从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．（Ⅰ）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求证：．2. 从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列．（Ⅰ）写出数列的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．3. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列．（Ⅰ）求：的正交点列；（Ⅱ）判断：是否存在正交点列？并说明理由；（Ⅲ）N，是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论．4. 在数列中，．从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列．例如数列为的一个4项子列．（Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；（Ⅲ）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：．5. 已知数列的各项均为正数，记,,.（Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.6. 设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求证：；（Ⅲ）当时，求证：存在，使得．7. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．（Ⅰ）写出的所有可能值；（Ⅱ）若生成数列满足，求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．8. 已知集合，具有性质：对任意的，至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断集合与是否具有性质；（Ⅱ）求证：①；②；（Ⅲ）当或时集合中的数列是否一定成等差数列?说明理由.9. 在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设，记使得成立的的最大值为.（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值；（Ⅱ）若为等差数列，求出所有可能的数列；（Ⅲ）设，，求的值.（用表示）答案：1. 解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个．所以．………………………… 3分。

2014北京高考数学试题及答案word 2014年北京高考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_3的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 若直线l的斜率为2，且过点(1,3)，则直线l的方程为A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x+5D. y=-2x-34. 已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，圆心C(1,2)到直线l: x+y-3=0的距离为A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√25. 若复数z满足|z|=2，且z的实部为1，则z的虚部为A. √3B. -√3C. √5D. -√56. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. x^2-3x+2D. x^3-3x^2+27. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的数量积为A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，且双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，则双曲线C的离心率为A. √5B. √6C. √7D. √89. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，求前n项和S_n的通项公式为A. S_n=2^n-1B. S_n=2^(n+1)-2C. S_n=2^n-2^(n-1)D. S_n=2^(n+1)-110. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值为A. -1B. 0C. 1D. 3二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(1)的值为_。

12. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n+1=a_n+n，求a_5的值为_。

数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．【分析】直接利用交集的运算得答案．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件．B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件．C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件．D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础．3．【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由＝（2，4），＝（﹣1，1），得：2﹣＝2（2，4）﹣（﹣1，1）＝（4，8）﹣（﹣1，1）＝（5，7）．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．4．【分析】算法的功能是求S＝1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S＝1+2+4＝7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．5．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．6．【分析】可得f（2）＝2＞0，f（4）＝﹣＜0，由零点的判定定理可得．x，【解答】解：∵f（x）＝﹣log2∴f（2）＝2＞0，f（4）＝﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C．【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°，可得PO＝AB＝m，可得m≤6，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB＝90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝AB＝m，故有m≤6，故选：B．【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．8．【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p＝at2+bt+c，可得，解得a＝﹣0.2，b＝1.5，c＝﹣2，∴p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t＝﹣＝3.75．故选：B．【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】化简原式可得∴﹣1+xi＝﹣1+2i，由复数相等的定义可得．【解答】解：∵（x+i）i＝﹣1+2i，∴﹣1+xi＝﹣1+2i，由复数相等可得x＝2故答案为：2【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题．10．【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c＝，a＝1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），∴c＝，a＝1，∴b＝1，∴C的方程为x2﹣y2＝1．故答案为：x2﹣y2＝1．【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC＝，在Rt△BCD中，BD＝，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力．12．【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cos C的值代入求出c的值，由cos C的值求出sin C的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sin A的值．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C＝，C为三角形内角，∴sin C＝＝，∴由正弦定理＝得：sin A＝＝＝．故答案为：2；．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．13．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z ＝x +y 为，由图可知，当直线过C （0，1）时直线在y 轴上的截距最小．此时．故答案为：1．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．【分析】先完成B 的加工，再完成A 的加工即可．【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B 的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A 的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42个工作日．故答案为：42．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和．【解答】解：（1）∵{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，∴3+3d ＝12，解得d ＝3，∴a n ＝3+（n ﹣1）×3＝3n ．设等比数列{b n ﹣a n }的公比为q ，则q 3＝＝＝8，∴q ＝2，∴b n ﹣a n ＝（b 1﹣a 1）qn ﹣1＝2n ﹣1，∴b n ＝3n +2n ﹣1（n ＝1，2，…）．（2）由（1）知b n ＝3n +2n ﹣1（n ＝1，2，…）．∵数列{a n }的前n 项和为n （n +1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×＝2n﹣1，∴数列{b n }的前n 项和为n （n +1）+2n ﹣1．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．16．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x ∈[﹣，﹣]可得2x +∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝3sin（2x +），∴f （x ）的最小正周期T ＝＝π，可知y 0为函数的最大值3，x 0＝；（Ⅱ）∵x ∈[﹣，﹣]，∴2x +∈[﹣，0]，∴当2x +＝0，即x ＝时，f （x ）取最大值0，当2x +＝，即x ＝﹣时，f （x ）取最小值﹣3【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．17．【分析】（1）证明AB ⊥B 1BCC 1，可得平面ABE ⊥B 1BCC 1；（2）证明C 1F ∥平面ABE ，只需证明四边形FGEC 1为平行四边形，可得C 1F ∥EG ；（3）利用V E ﹣ABC ＝S △ABC •AA 1，可求三棱锥E ﹣ABC 的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∴BB 1⊥AB ，∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面B 1BCC 1，∴AB ⊥平面B 1BCC 1，∵AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）证明：取AB 中点G ，连接EG ，FG ，则∵F 是BC 的中点，∴FG ∥AC ，FG ＝AC ，∵E 是A 1C 1的中点，∴FG ∥EC 1，FG ＝EC 1，∴四边形FGEC 1为平行四边形，∴C 1F ∥EG ，∵C 1F ⊄平面ABE ，EG ⊂平面ABE ，∴C 1F ∥平面ABE ；（3）解：∵AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，∴AB ＝，∴V E ﹣ABC ＝S △ABC •AA 1＝×（××1）×2＝．【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E ﹣ABC 的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．18．【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率＝求频率；（Ⅱ）根据小矩形的高＝求a 、b 的值；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12＝90，∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为＝0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a ＝0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b ＝0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02＝7.68（小时），∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率＝小矩形的面积＝小矩形的高×组距＝．19．【分析】（Ⅰ）椭圆C ：x 2+2y 2＝4化为标准方程为，求出a ，c ，即可求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB 长度，再利用基本不等式，求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2+2y 2＝4化为标准方程为，∴a ＝2，b ＝，c ＝，∴椭圆C 的离心率e ＝＝；（Ⅱ）设A （t ，2），B （x 0，y 0），x 0≠0，则∵OA ⊥OB ，∴＝0，∴tx 0+2y 0＝0，∴t ＝﹣，∵，∴|AB |2＝（x 0﹣t ）2+（y 0﹣2）2＝（x 0+）2+（y 0﹣2）2＝x 02+y 02++4＝x 02+++4＝+4（0＜x 02≤4），因为≥4（0＜x 02≤4），当且仅当，即x 02＝4时等号成立，所以|AB |2≥8．∴线段AB 长度的最小值为2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f （﹣2），f （﹣），f （），f （1）的大小即得结论；（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t +3＝0，设g （x ）＝4x 3﹣6x 2+t +3，则“过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y ＝f （x ）相切”，等价于“g （x ）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）＝2x 3﹣3x 得f ′（x ）＝6x 2﹣3，令f ′（x ）＝0得，x ＝﹣或x ＝，∵f （﹣2）＝﹣10，f （﹣）＝，f （）＝﹣，f （1）＝﹣1，∴f （x ）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P （1，t ）的直线与曲线y ＝f （x ）相切于点（x 0，y 0），则y 0＝2﹣3x 0，且切线斜率为k ＝6﹣3，∴切线方程为y ﹣y 0＝（6﹣3）（x ﹣x 0），∴t ﹣y 0＝（6﹣3）（1﹣x 0），即4﹣6+t+3＝0，设g（x）＝4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）＝12x2﹣12x＝12x（x﹣1），∴g（x）与g′（x）变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0﹣0+g（x）↗t+3↘t+1↗∴g（0）＝t+3是g（x）的极大值，g（1）＝t+1是g（x）的极小值．当g（0）＝t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）＝t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）＝t﹣7＜0，g（2）＝t+11＞0，∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y＝f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y＝f（x）相切．【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题．16/16。

北京市海淀区2014届高三下学期期末练习(二模数学 (理科 2014.5本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.sin(150-的值为A .12-B .12 C. D2.已知命题:p “0a ∀>,有e 1a≥成立”,则p ⌝为 A. 0a ∃≤,有e 1a≤成立 B. 0a ∃≤,有e 1a≥成立 C. 0a ∃>,有e 1a<成立 D. 0a ∃>,有e 1a≤成立 3. 执行如图所示的程序框图,若输出的S 为4,则输入的x 应为A.-2B.16C.-2或8D. -2或164. 在极坐标系中,圆θρsin 2=的圆心到极轴的距离为 A .1C.D. 25.已知(,P x y 是不等式组10,30,0x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域内的一点,(1,2A ,O 为坐标原点,则OA OP ⋅的最大值A.2B.3C.5D.66.一观览车的主架示意图如图所示,其中O 为轮轴的中心,距地面32m (即OM 长,巨轮的半径为30m ,AM =2BP =m ,巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M 为吊舱P 的初始位置,经过t 分钟,该吊舱P 距离地面的高度为(h t m ,则(h t =A.ππ30sin(30122t -+B.ππ30sin(3062t -+ C.ππ30sin(3262t -+ D.ππ30sin(62t -7.已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=,则8a 的取值范围是A. (2,4B. (,2-∞C. (2,+∞D.(4,+∞8.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点,点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点,则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 满足不等式20x x -<的x 的取值范围是________.10.已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =,则双曲线的离心率为________.11.已知5(1ax +的展开式中3x 的系数是10,则实数a 的值是12.已知斜三棱柱的三视图如图所示,该斜三棱柱的体积为______.13. 已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线,则1l 与2l 的距离的最大值为_____.14.已知集合{1,2,3,,100}M =,A 是集合M 的非空子集,把集合A 中的各元素之和记作(S A .①满足(8S A =的集合A 的个数为_____;②(S A 的所有不同取值的个数为_____.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分在锐角ABC ∆中,a A =且b .1D D主视图俯视图(Ⅰ求B 的大小;(Ⅱ若3a c =,求c 的值.16.(本小题满分14分如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,AB AC ⊥,1AC AB AA ==,,E F 分别是棱BC ,1A A 的中点,G 为棱1CC 上的一点,且1C F //平面AEG . (Ⅰ求1CG CC 的值;(Ⅱ求证:1EG A C ⊥;(Ⅲ求二面角1A AG E --的余弦值.17.(本小题满分13分某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ,两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,A 车日出车频率0.6,B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下:现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且A ,B 两车出车相互独立. (Ⅰ求该单位在星期一恰好出车一台的概率;(Ⅱ设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求X 的分布列及其数学期望E (X .18.(本小题满分13分已知函数((sin cos ,(0,f x x a x x x π=-+∈.(Ⅰ当π2a =时,求函数(f x 值域; (Ⅱ当π2a >时,求函数(f x 的单调区间.19.(本小题满分14分已知椭圆G,其短轴两端点为(0,1,(0,1A B -. (Ⅰ求椭圆G 的方程;(Ⅱ若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.120.(本小题满分13分对于自然数数组(,,a b c ,如下定义该数组的极差:三个数的最大值与最小值的差.如果(,,a b c 的极差1d ≥,可实施如下操作f :若,,a b c 中最大的数唯一,则把最大数减2,其余两个数各增加1;若,,a b c 中最大的数有两个,则把最大数各减1,第三个数加2,此为一次操作,操作结果记为1(,,f a b c ,其级差为1d .若11d ≥,则继续对1(,,f a b c 实施操作f ,…,实施n 次操作后的结果记为(,,n f a b c ,其极差记为n d .例如:1(1,3,3(3,2,2f =,2(1,3,3(1,3,3f =. (Ⅰ若(,,(1,3,14a b c =,求12,d d 和2014d 的值; (Ⅱ已知(,,a b c 的极差为d 且a b c <<,若1,2,3,n =时,恒有n d d =,求d 的所有可能取值;(Ⅲ若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项,求证:存在n 满足0n d =.数学(理科参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2014年高考数学试题汇编 导数一．选择题1。

（2014大纲）曲线1x y xe -=在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ． 2。

（2014浙江）已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f ( )A.3≤c B 。

63≤<c C 。

96≤<c D. 9>c C3。

（2014陕西)定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ).2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4. （2014湖南）已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A 。

56x π=B 。

712x π= C 。

3x π= D.6x π=5(2014山东）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A ）22（B ）42（C)2（D ）46. (2014新课标II ）设曲线y=a x-ln(x+1)在点（0，0）处的切线方程为y=2x ，则a = A 。

0 B. 1 C 。

2 D. 3 【答案】 D..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(D a f f x a x f x ax x f 故选联立解得且==′=∴+=′∴+= 7. （2014江西）若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰( ）A 。

1- B.13- C 。

13D 。

1 【答案】B 【解析】设()1m f x dx=⎰，则2()2f x x m=+，()111123011()2()2233f x dx x f x dx dx x mx m m =+=+=+=⎰⎰⎰，所以13m =-.8。

1(海淀18)已知关于x 的函数()(0)e xax af x a -=≠ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 取值范围.2(西城18)已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由3(东城18)已知a ∈R ，函数1()ln f x x ax x=++． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()f x 在区间上是单调函数，求a 的取值范围．4(朝阳18)已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．5（石景山18）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅ ，求实数m 的取值范围. 6（丰台18）已知函数，的导函数为.（Ⅰ）当=0时，求的最小值；a ∈R [2,)+∞()()ln f x x a x =-()f x '()f x a ()f x（Ⅱ）设，求函数的单调区间.7（昌平18）已知函数. (Ⅰ)设，求的最小值；（Ⅱ）如何上下平移的图象，使得的图象有公共点且在公共点处切线相同.8（大兴19）已知函数2(2)()m xf x x m -=+. （Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.9（房山18） 已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++，0a >.（Ⅰ）已知函数()f x 在2x =取得极小值，求a 的值; （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间. （Ⅲ）a >14时，存在0x ∈（12，+∞），0()f x <2122a -，求实数的取值范围；、21()+-'()(1)2g x x ax f x a =>-()g x x x g x x f ln 2)(,)(2==()()()h x f x g x =-()h x )(x f )()(x g x f 平移后的图象与a1(海淀18)解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )ex x xa x a x f x ----==，x ∈R . -------2分 当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --. -----------------6分（Ⅱ）(2)'()'()xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------7分因为(1)10F =>, --------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>，解得2e a >-, -----9分 所以此时2e 0a -<<； --------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<, -----------12分所以此时函数()F x 总存在零点. ------------13分 综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.2(西城18)（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． ………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--．……… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：)……… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．…… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，显然0x =为此方程的一个实数解. 所以0x =是函数()g x 的一个零点. …………… 9分当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=. 设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞． 所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ……………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. …………13分 3(东城18)解：（Ⅰ）当0a =时，（0x >）， ． 所以，当时，；当时，． 所以，当时，函数有最小值． ……６分（Ⅱ）．当时，在上恒大于零，即，符合要求． 当时，要使()f x 在区间上是单调函数， 当且仅当时，恒成立．即恒成立． 设， 则32'()x g x x -=，又，所以，即在区间上为增函数， 的最小值为，所以． 综上， a 的取值范围是，或．……………13分4(朝阳18) 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．1()ln f x x x=+22111'()x f x x x x-=-=01x <<'()0f x <1x >'()0f x >1x =(1)1f =222111'()ax x f x a x x x +-=-+=0a ≥12-+x ax [2,)x ∈+∞0)(>'x f 0a <[2,)+∞[2,)x ∈+∞210ax x +-≤21xa x-≤21()x g x x-=[2,)x ∈+∞'()0g x ≥()g x [2,)+∞()g x 1(2)4g =-14a ≤-14a ≤-0a ≥因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤． 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =． 当时，，为减函数； 当21(,)ex ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以在上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e -∞-…… 13分 5（石景山18）解：（Ⅰ）当2a =时，()2xf x e x =-， ()2xf x e '=-， 得(0)1f =，(0)1f '=-，…2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值.……8分因为M P ≠∅ ，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， ……10分 所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增，则min ()(1)1g x g e ==-， …………12分21(0,)ex ∈()0g x '<()g x ()g x ()0,+∞所以(1)m e ∈-∞，+. …………13分6（丰台18）解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为.当=0时，，. ------1分令得. ------2分.------5分 的最小值为.∴---------6分（Ⅱ）∵∴. ---7分 , -------8分,. ------9分（1）当时，在，内；在内.∴ 为递减区间，递增区间. -----11分 (2)当时，在内，；在内，. ∴递减区间，递增区间. -----13分综上所述，当时，单调递增区间为，递减区间为；当时，单调递增区间为，减区间为.---14分7（昌平18）(Ⅰ)，则，…………2分 令解得，…………3分因时，，当时，，…………5分所以当时，达到最小，的最小值为1.………7分（Ⅱ）设上下平移的图象为c 个单位的函数解析式为.(0,)+∞a ()ln f x x x ='()ln 1f x x =+'()0f x =1x e =()f x 11()f e e=-'()ln x a f x x x-=+21()(ln )2x a g x x ax x x-=+-+21'()()ag x x a x x =+-+21()(1)x a x =+-2(1)()(1)x x a x x +=+-10a -<<(0,)a -(1,)+∞'()0g x >(,1)a -'()0g x <(),1a -()()0,,1,a -+∞0a ≥(0,1)'()0g x <()1,+∞'()0g x >()0,1()1,+∞10a -<<()g x ()()0,,1,a -+∞(),1a -0a ≥()g x ()1,+∞()0,1x x x h ln 2)(2-=xx x h 22)(-='0)(='x h 1=x ）1,0(∈x 0)(<'x h ),1(+∞∈x 0)(>'x h 1=x ()h x ()h x )(x f 2()f x x c =+设的公共点为.依题意有： ………10分 解得，即将的图象向下平移1个单位后，两函数图象在公共点（1,0）处有相同的切线. ………13分8（大兴19）( 13分)解：（Ⅰ）当1m =时，2()1=+xf x x . 因为2221'()(1)-+=+x f x x ，所以112'()225==k f .因为12()25=f ， 所以函数()f x 在点11(,())22f 处的切线方程为122540-+=x y . ……6分（Ⅱ）222(2)()(2)2'()()-+--⋅=+m x m m x x f x x m 222(2)()()--=+m x m x m（1）当0=m 时，2()=f x x. 因为22'()=-f x x ， 当'()0<f x 时，0,0<>x x 或.所以函数()f x 的单调减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调增区间. （2）当0<m 时, ()f x的定义域为{≠x x . 当'()0<f x时，<<>x x x 所以函数()f x的单调减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间. （3）当0>m时，22(2)('()()-+-=+m x x f x x m . ① 当02<<m 时，若'()0<f x，则<>x x ，x y c x y ln 22=+=与),(00y x ⎪⎩⎪⎨⎧==+0002022ln 2xx x c x 1,10-==c x )(x f若'()0>f x，则<<x所以函数()f x的单调减区间为(,)-∞+∞，函数()f x的单调增区间为(.② 当2=m 时，()0=f x ，为常数函数，无单调区间. ③ 当2>m 时，若'()0<f x，则<<x '()0>f x，则<>x x ，所以函数()f x的单调减区间为(，函数()f x的单调增区间为(,)-∞+∞.综上所述，当0=m 时，函数()f x 的单调减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调增区间；当0<m 时，函数()f x的单调减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间；当0>m 时，① 当02<<m 时，函数()f x的单调减区间为(,)-∞+∞，函数()f x的单调增区间为(；② 当2=m 时，()0=f x ，为常数函数，无单调区间； ③ 当2>m 时，函数()f x的单调减区间为(，函数()f x的单调增区间为(,)-∞+∞ ………13分9（房山18）（13分）（Ⅰ）函数()f x 的定义域为1(,)2-+∞，且()f x '=x -（1+2a ）+4121a x ++, ……1分因为函数()f x 在2x =取得极小值，所以(2)0,f '= 即(2)f '=2-（1+2a ）+4141a ++=0，. ………2分 解得1a = …………3分经检验：1a =时， 函数()f x 在2x =取得极小值，所以1a = ……4分（Ⅱ）()f x '=x-（1+2a ）+4121a x ++=(21)(1-2)4121x x a x +-+++=()()21221x x a x --+令()f x '=0，则x =12或x =2a ……………6分 i 、当2a >12,即a >14时，所以()f x 的增区间为（-2，2）和（2a ，+∞），减区间为（2，2a ）……7分 ii 、当2a =12,即a =14时，()f x '=()22121x x -+≥0在（12-，+∞）上恒成立，所以()f x 的增区间为（12-，+∞） …………8分 iii 、当0<2a <12,即0<a <14时，所以()f x 的增区间为（-2，2a ）和（2，+∞），减区间为（2a ，2）……9分 综上所述： 0<a <14时，()f x 的增区间为（-12，2a ）和（12，+∞），减区间为（2a ，12） a =14时，()f x 的增区间为（12-，+∞）a >14时，()f x 的增区间为（-12，12）和（2a ，+∞），减区间为（12，2a ）（Ⅲ）由题意，a >14时，存在0x ∈（12，+∞），0()f x <2122a -，即a >14时, ()f x 在（12，+∞）上的最小值小于2122a - …………10分由（Ⅱ）a >14时，()f x 在（12，2a ）上递减，在（2a ，+∞）上递增，()f x 在（12，+∞）上的最小值为(2)f a ， ………11分 所以(2f a <2122a -, 即24122(12)ln(41)2a a a a a +-+++<2122a - …………12分化简得ln(41)1a +<，41a e +<，14e a -<，又a >14，所以1144e a -<<，所求实数的取值范围为11(,).44e - ……13分a。

18．（朝阳区2011本小题共13分）设函数.,)(ln )(2R a a x x x f ∈-+=(I)若a=0，求函数)(x f 在[1，e]上的最小值；(Ⅱ)若函数)(x f 在]2,21[上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； (Ⅲ)求函数)(x f 的极值点． 18．（朝阳区2011本小题共13分）已知函数>-+=a x a xZ x f (2ln )().0(I)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线与直线2+=x y 垂直，求函数)(x f y =的单调区间； (Ⅱ)若对于),0(+∞∈∀x 都有)1(2)(->a x f 成立，试求a 的取值范围；(Ⅲ)记).()()(R b b x x f x g ∈-+=当1=a 时，函数)(x g 在区间].,[1e e -上有两个零点，求实数b的取值范围．18.（朝阳区2012本小题共13分）已知函数a x xx a x f (ln 2)1()(--=).R ∈(I)若a=2，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间； (Ⅲ)设函数,)(xax g -=若至少存在一个],,1[0e x ∈使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围． 18．（朝阳区2012本小题共14分）已知函数=/++=a x x a x a x f （22ln )().0(I)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线-x 02=y 垂直，求实数a 的值； (Ⅱ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ)当)0,(-∞∈a 时，记函数)(x f 的最小值为),(a g 求证：.21)(2e a g ≤ 18.（朝阳区2012本小题共13分）设函数R a x e x f ax∈+=,1)(2(I)当a=l 时，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间． 18.（朝阳区2013本小题共13分）已知函数),0(11)(2=/++=m x mx x f ).()(2R a e x x g ax∈= (I)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)当m>0时，若对任意)()(],2,0[,2121x g x f x x ≥∈恒成立，求a 的取值范围． 18.（朝阳区2013本小题共13分）已知函数x a x a x x f ln )2()(2++-=,22++a 其中.2≤a(I)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若函数)(x f 在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 18.（东城区2011本小题共14分）已知函数x e x x g x x x f ==)(,ln )(⋅-e2 (I)求)(x f 在区间[1，3]上的最小值；(Ⅱ)证明：对任意),,0(,+∞∈n m 都有)()(n g m f ≥成立． 18．（东城区2011本小题共13分）已知函数).(ln )(2R a x a x x f ∈-=(I)若a=2，求证：)(x f 在区间),1(+∞上是增函数； (Ⅱ)求)(x f 在区间[1，e]上的最小值， 18.（东城区2012本小题共13分）已知,R a ∈函数.1ln )(-+=x xa x f(I)当a=l 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； (Ⅱ)求)(x f 在区间（O ，e]上的最小值． 19.（东城区2012本小题共13分）已知函数xx au x f 1ln )1()(++=).1(>-a x(I)试讨论)(x f 在区间(O ，1)上的单调性；(Ⅱ)当],3[+∞∈a 时，曲线)(x f y =上总存在相异两点)),(,()),(,(2211x f x Q x f x P 使得曲线)(x f y =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：⋅>+5621x x 18.（东城区2013本小题共14分）已知函数x e ex x x f ln 3221)(22-+=)0,(0x b 在-处的切线斜率为零．(I)求0x 和b 的值；(Ⅱ)求证：在定义域内0)(≥x f 恒成立； (Ⅲ)若函数xax f x F +=)()(/有最小值m ，且,2e m >求实数a 的取值范围． 18．（东城区2013本小题共14分）已知函数).0(ln )(>+=a xax x f(I)求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)如果),(00y x P 是曲线)(x f y =上的任意一点，若以),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值；(Ⅲ)讨论关于x 的方程212)(2)(3-++=x a bx x x f 的实根情况． 18．（东城区普通高中示范校2012本小题共13分）已知函数：x a x a x x f -+-=ln )1()(.21)(),(2x x xe e x x g R a -+=∈ (I)当],1[e x ∈时，求)(x f 的最小值；(Ⅱ)当a<l 时，若存在],,[21e e x ∈使得对任意的∈2x )()(],0,2[21x g x f <-恒成立，求a 的取值范围．18.（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）设.22131)(23ax x x x f ++-=(I)若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (Ⅱ)当20<<a 时，)(x f 在[l ，4]上的最小值为,316-求)(x f 在该区间上的最大值． 19．（东城区普通高中示范校2013本小题共13分）已知函数22ln )42()(x x ax x x f +-=).0(>a(I)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)对),,1[+∞∈∀x 不等式x x a x ->-ln )42(恒成立，求a 的取值范围． 18.（丰台区2011本小题共13分）已知函数-+-=a ax x x f (ln )(2.)2x(I)若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)求函数].,[)(2a a xE x f y =上的最大值． 18．（丰台区2011本小题共13分）已知函数+++=x ax x x f 232131)()(),0(x f a b ≥为函数)(x f 的导函数．(I)设函数)(x f 的图象与x 轴交点为A ，曲线)(x f y =在A 点处的切线方程是,33-=x y 求a ，b 的值；(Ⅱ)若函数),()(/x f e x g ax⋅=-求函数)(x g 的单调区间．18.（丰台区2012本小题共13分）已知函数++-=x a ax x f )2()(2.ln x(I)当a=l 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若)(x f 在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；(Ⅲ)若对任意<+<+∞∈1121212)(,),,0(,x x f x x x x 222)(x x f +恒成立，求a 的取值范围．18.（丰台区2013本小题共13分）已知函数-+=221ln 2)(ax x x f ).()12(R a x a ∈+（I ）当21-=a 时，求函数],1[)(e E x f =/上的最大值和 最小值； (Ⅱ)若a>0，讨论)(x f 的单调性． 18.（丰台区2013本小题共13分）已知函数2)(,1)(bx x g ax x f =+=.3x + (I)若曲线)()()(x g x f x h -=在点(1，O)处的切线斜率为O ，求a ，b 的值； (Ⅱ)当),,3[+∞∈a 且ab=8时，求函数)()()(x f x g x =ϕ的单调区间，并求函数)(x ϕ在区间[-2，-1]上的 最小值． 18.（海淀区2011本小题共14分）已知函数--=x x ax x f ln )()(2).(212R a x ax ∈+(I)当a=0时，求曲线)(x f y =在(e ，f(e))处的切线方程(e=2.718…)； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间． 18．（海淀区2011本小题共13分）已知函数=-=)(,ln )(x g x a x x f ).(1R a xa ∈+-(I)若a=l ，求函数)(x f 的极值；(Ⅱ)设函数),()()(x g x f x h -=求函数)(x h 的单调区间；(Ⅲ)若区间)718.2](,1[ =⋅e e 上存在一点,0x 使得)()(00x g x f <成立，求a 的取值范围． 18．（海淀区2012本小题共13分）已知函数⋅-=1)(x e x f ax（I ）当a=l 时，求曲线)(x f 在))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间． 19.（海淀区2012本小题共14分）已知函数+--=221)ln()(x a x a x f ).0(<a x(I)求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若),12(ln 21-<<-a 求证：函数)(x f 只有一个零点,0x 且;210+<<+a x a (Ⅲ)当54-=a 时，记函数)(x f 的零点为,0x 若对任意],0[,021x x x ∈且,112=-x x 都有|)()(|12x f x f -m ≥成立，求实数m 的最大值．（本题可参考数据：≈≈≈59ln ,8.049ln ,7.02ln )59.0 18.（海淀区2012本小题共13分）已知函数<-+=-k kx x e x f h )(1()2（).0(I)求f(x)的单调区间．(Ⅱ)是否存在实数k ，使得函数f(x)的极大值等于？23-e 若存在，求出五的值；若不存在，请说明理由． 18.（海淀区2013本小题共13分）已知函数,)(x e x f =点A(a ，O)为一定点，直线)(a t t x =/=分别与函数)(x f 的图象和x 轴交于点M ，N ，记△AMN 的面积为).(t s (I)当a=0时，求函数S(t)的单调区间；(Ⅱ)当a>2时，若],2,0[0∈∃t 使得,)(0e t S ≥求实数a 的取值范围， 18.（石景山区2011本小题共13分）已知函数a x x a x f (ln )21()(2+-=）R ∈(I)当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图象恒在直线y ax 2=下方，求a 的取值范围． 18．（石景山区2012本小题共14分）已知函数.ln 2)(2x a x x f +=-(I)若函数)(x f 的图象在点))2(,2(f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间； (Ⅲ)若函数)(2)(x f xx g +=在区间[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围． 18.（石景山区2013本小题共13分）已知函数.,ln 1)(R a x ax x f ∈--=(I)讨论函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若函数1)(=x x f 在处取得极值，对,0（∈∀x 2)(),-≥∞+bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围．18.（西城区2011本小题共14分）已知函数),0()1()(>-=x e xa x f x 其中e 为自然对数的底数．(I)当a=2时，求曲线)(x f y =在点(1，，(1))处的切线与坐标轴围成的面积；(Ⅱ)若函数)(x f 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为,5e 求a 的值．18.（西城区2011本小题共14分）已知函数,)1()(2xx a x f -=其中.0>a (I)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若直线01=--y x 是曲线)(x f y =的切线，求实数a 的值；(Ⅲ)设),(ln )(2x f x x x x g -=求)(x g 在区间[1，e]上的最大值．（其中e 为自然对数的底数） 18.（西城区2012本小题共13分）已知函数,)(2bx xx f +=其中.R b ∈ (I)求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)设b>0．若],43,41[∈∃x 使,1)(≥x f 求b 的取值范围． 19．（西城区2012本小题共14分）已知函数,112)(22+-+=x a ax x f 其中a .R ∈ (I)当a=l 时，求曲线)(x f y =在原点处的切线方程； (Ⅱ)求)(x f 的单调区间；(Ⅲ)若)(x f 在区间),0[+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围． 18.（西城区2012本小题共13分）已知函数),1.()(++=a xa e x f ax 其中.1-≥a(I)当a=l 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间． 19．（西城区2013本小题共14分）已知函数x a x x x f )2(232)(23-+-=,1+其中R ∈a(I)若a=2，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f ⋅处的切线方程； (Ⅱ)求函数)(x f 在区间[2，3]上的最大值和最小值． 18.（2009年北京本小题共13分）设函数).0()(=/=k xe x f h(I)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅲ)若函数)(x f 在区间(-1，1)内单调递增，求k 的取值范围．18．（2010年北京本小题共13分）已知函数22)1ln()(x k x x x f +-+=).0(≥k(I)当k=2时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； (Ⅱ)求)(x f 的单调区间．18．（（2011年北京本小题共13分）已知函数.)()(2kxe k x xf -=(I)求)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的),,0(+∞∈x 都有,1)(ex f ≤求k 的取值范围． 18.（2012年北京本小题共13分）已知函数)(),0(1)(2x g a ax x f >+=.3bx x +=(I)若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值； (Ⅱ)当b a 42=时，求函数)()(x g x f +的单调区间，并求其在区间]1,(--∞上的最大值．18.（2013年北京本小题满分13分）设L为曲线x xy C ln: 在点(1，O)处的切线．(I)求L的方程；(Ⅱ)证明：除切点(1，O)之外，曲线C在直线L的下方．。

第二单元函数与导数1．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是() A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B2．[2014·山东卷3] 函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】C3．[2014·全国卷5] 函数y＝ln(3x＋1)(x＞－1)的反函数是()A．y＝(1－e x)3(x＞－1) B．y＝(e x－1)3(x＞－1)C．y＝(1－e x)3(x∈R) D．y＝(e x－1)3(x∈R)【答案】D4．[2014·北京卷2] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B5．[2014·湖南卷4] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x【答案】A6．[2014·重庆卷4] 下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 【答案】D7．[2014·广东卷5] 下列函数为奇函数的是()A．2x－12x B．x3sin x C．2cos x＋1 D．x2＋2x【答案】A8．[2014·湖北卷9] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3} C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3} 【答案】D9．[2014·山东卷9] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)【答案】D10．[2014·江西卷10] 在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图像不可能是( )【答案】B 11．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【答案】D12．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 【答案】C12．[2014·湖南卷] 若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2 【答案】C12．[2014·辽宁卷] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 【答案】C13．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 【答案】B14．[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A B C D 【答案】B15．[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D16．[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin y C ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) D.1x 2＋1>1y 2＋1【答案】A17．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x【答案】B 18．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B19．[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ] 【答案】B20．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 【答案】C21. [2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D22．[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1 【答案】D 23．[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c 【答案】B24．[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋23 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3 【答案】D25．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 【答案】C26．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9【答案】C27．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 【答案】A28．[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3} 【答案】D29．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )．若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A30．[2014·北京卷] 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，图1-2记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )图1-2A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 【答案】B31．[2014·陕西卷] 如图1-2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )图1-2A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【答案】A32．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】D33．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1) 【答案】C34．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．【答案】－3235．[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 【答案】516、36．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]37．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．【答案】338．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 【答案】139．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________． 【答案】(－∞，0)40．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【答案】1041．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.【答案】27842．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－22，043．[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 【答案】3244．[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．【答案】5 15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1645．[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫0，1246．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]47．[2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．【答案】248．[2014·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.【答案】249．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)50．[2014·广东卷] 曲线y ＝－5e ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】5x ＋y ＋2＝051．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．【答案】－352．[2014·江西卷] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【答案】(e ，e) [解析] 由题意知，y ′＝ln x ＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x ＋1＝2，得x ＝e ，所以y ＝eln e ＝e ，所以P (e ，e)．53．[2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 【答案】①③④54．[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④55．[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.56．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.57．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.58．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0，故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.59．[2014·全国卷] 函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．(i)若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1时成立．故此时f (x )在R 上是增函数．(ii)由于a ≠0，故当a ＜1时，f ′(x )＝0有两个根；x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a.若0＜a ＜1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数．若a ＜0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )＞0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a ＞0，x ＞0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3＞0，故当a ＞0时，f (x )在区间(1，2)是增函数．当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，0∪(0，＋∞)．60．[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln x ＋mx ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．解：(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x 2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)，设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图所示)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意的b >a >0，f （b ）－f （a ）b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)，∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 由h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， ∴m ≥14⎝⎛⎭⎫对m ＝14，h ′（x ）＝0仅在x ＝12时成立， ∴m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞.61．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．62．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 63．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x . (3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c ，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0， 由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1. 令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c.当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．取x 0＝2ln 2c，则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .64．[2014·江苏卷] 已知函数f 0(x )＝sin xx (x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1)求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 解： (1)由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x x ′＝cos x x －sin xx 2， 于是f 2(x )＝f 1′(x )＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′－⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝ －sin x x －2cos x x 2＋2sin xx3， 所以f 1⎝⎛⎭⎫π2＝－4π2，f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－2π＋16π3. 故2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2＝－1.(2)证明：由已知得，xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf 0′(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin ⎝⎛⎫x ＋π2. 类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)， 3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． (i)当n ＝1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf k －1′(x )＋f k (x )＋xf k ′(x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )，⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2·⎝⎛⎭⎫x ＋k π2′＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2，所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin ⎣⎡⎦⎤x ＋（k ＋1）π2， 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(i)(ii)可知，等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立． 令x ＝π4，可得nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋n π2(n ∈N *)， 所以⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n ⎝⎛⎭⎫π4＝(n ∈N *)．65．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a 1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．66．[2014·山东卷] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知，当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，所以f ′(1)＝12. 又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增．67．[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得，b n ＝2a n ＞0，当n ≥1时，b n ＋1b n＝2a n ＋1－a n ＝2d .故数列{b n }是首项为2a 1，公比为2d 的等比数列．(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b 2n ＝n ·4n .于是，S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ，4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，因此，S n －4S n ＝4＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1＝4n ＋1－43－n ·4n ＋1＝（1－3n ）4n ＋1－43，所以，S n ＝（3n －1）4n ＋1＋49.68．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围．解：(1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a >0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0，1a ；单调递减区间是(－∞，0)，⎝⎛⎭1a ，＋∞. 当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝13a 2. (2)由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0及(1)知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32a 时，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ，＋∞时，f (x )<0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （x ）x ∈（1，＋∞），f （x ）≠0，则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B ，显然0∉B .下面分三种情况讨论：(i)当32a >2，即0<a <34时，由f ⎝⎛⎭⎫32a ＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集． (ii)当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)．由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B ，所以A ⊆B .(iii)当32a <1，即a >32时，有f (1)<0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝⎝⎛⎭⎫1f （1），0，A ＝(－∞，f (2))，所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，32.69．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.70．[2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．71．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解：(1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0， 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图像知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切． 72．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =〔 〕〔A 〕(0,1)〔B 〕(0,1]〔C 〕(1,2)〔D 〕[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 假设3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =〔 〕 〔A 〕4〔B〔C 〕3〔D4．执行如下列图的程序框图，输出的S 值为〔 〕 〔A 〕34 〔B 〕45〔C 〕56〔D 〕12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为〔 〕 〔A 〕1-〔B 〕i -〔C 〕1〔D 〕i5．已知圆22:(1)(1)1C xy 与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是〔 〕6． 假设曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足〔 〕 〔A 〕22a b > 〔B 〕11a b< 〔C 〕0a b <<〔D 〕0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为〔 〕 〔A 〕116-〔B 〕 18-〔C 〕 14-〔D 〕 08. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形〔含三角形〕的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为〔 〕〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕第Ⅱ卷〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，假设向量OA AB ⊥，则实数k =_____．10．假设等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．〔A 〕22y x 〔B 〕112y x 〔C 〕22y x〔D 〕12y x11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧〔左〕视图如下列图， 那么此三棱柱正〔主〕视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. 〔用数字作答〕13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 假设2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . 〔1〕在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； 〔2〕由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值13分〕已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.〔Ⅰ〕假设()f α=[π,π]α∈-，求α的值； 〔Ⅱ〕求函数()()y f x g x =+的单调增区间.侧(左)视图216．〔本小题总分值13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．〔Ⅰ〕假设甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； 〔Ⅱ〕求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；〔Ⅲ〕当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.〔Ⅰ〕求证：AC ⊥平面BDEF ；〔Ⅱ〕求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； 〔Ⅲ〕求二面角H BD C --的大小.18．〔本小题总分值13分〕已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.甲组乙组 890 1a822 F BCEAHD19．〔本小题总分值14分〕已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.〔Ⅰ〕假设抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；〔Ⅱ〕设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．〔本小题总分值13分〕设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数〔如[2.5]2=〕,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . 〔Ⅰ〕假设114,2a q，求n T ； 〔Ⅱ〕假设对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<. 〔Ⅲ〕证明：n n S T 〔1,2,3,n 〕的充分必要条件为1,a q N N .北京市西城区2013 —2014学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．410．125511．12．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为π()sin()(0)3g x xωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． (3)分由()fα=2α=即cos2α=， (4)分所以π22π4kα=±，k∈Z.因为[π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分〔Ⅱ〕解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分〔Ⅱ〕解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由〔Ⅰ〕可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a=时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (6)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A==． (7)分〔Ⅲ〕解：当2a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，..................9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4. (10)分因此2(0)9P X==，2(1)9P X==，1(2)3P X==，1(3)9P X==，1(4)9P X==. (11)分所以随机变量X的分布列为： (12)分所以X的数学期望221115()01234993993E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分17．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD⊥. (1)分因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD， (2)分又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分〔Ⅱ〕解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由 33()22DH =， 得 32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . (9)分〔Ⅲ〕解：由〔Ⅱ〕，得13(,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n (10)分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则01cos ,2ED ED ED⋅⨯<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.〔本小题总分值13分〕〔Ⅰ〕解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分〔Ⅱ〕解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为ex ax -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. (1)分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分〔Ⅱ〕解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=， 由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =- (10)分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以OD 42(,)55D --时等号成立． (13)分由3125y k k =-=-，得15k =，验证知符合题意.所以当k =OD有最小值. (14)分20．〔本小题总分值13分〕 〔Ⅰ〕解：由等比数列{}n a 的14a ，12q， 得14a ，22a ，31a ，且当3n 时，01na . (1)分所以14b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a . (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分〔Ⅱ〕证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. (4)分因为 []nn b a ，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分〔Ⅲ〕证明：〔充分性〕因为1a N ，q N ，所以11nna a q N ，所以 []n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a ，12n n T b b b ，所以 nn S T . ……………… 9分〔必要性〕因为对于任意的n N ，n n S T ， 当1n =时，由1111,a S b T ，得11a b ；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 nb Z ，0n a ，得对一切正整数n 都有na N ， (10)分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 qN ，令pqr，其中,,1p r r N ，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数， 所以必然存在一个整数()k kN ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2ka Z ，这与n a N 〔n N 〕矛盾.所以q *∈N . 因此1a N ，q *∈N . (13)分。

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编28：导数一、选择题1 ．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. 1- 【答案】B2 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为( )A.10x y --=B.10x y ++=C.210x y --=D.210x y ++= 【答案】D3 ．（北京市朝阳区2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数()f x 是定义域为R 的可导函数,且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立.若当1x ≠时,不等式(1)()0x f x '-⋅<成立,设(0.5)a f =,4()3b f =,(3)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b a c >>B.c b a >>C.a b c >>D.b c a >> 【答案】A4 ．（2013北京东城高三二模数学理科）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当(,0)x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<(其中()f x '是()f x 的导函数),若0.30.3(3)(3)a f =⋅,(log 3)(log 3)b f ππ=⋅,3311(log )(log )99c f =⋅,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a b c >> B.c b a >> C.c a b >> D.a c b >> 【答案】 C5 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））已知函数()sin f x x x =,则π()11f ,(1)f -,π3f -（）的大小关系为A.ππ()(1)()311f f f ->->B.ππ(1)()()311f f f ->->C.ππ()(1)()113f f f >->-D.ππ()()(1)311f f f ->>-【答案】 A 二、填空题6 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为_____________【答案】),15[+∞【解析】(1)(1)(1)(1)(1)(1)f p f q f p f q p q p q +-++-+=-+-+,表示点(1,(1))p f p ++与点(1,(1))q f q ++连线的斜率,因为0,1p q <<,所以112p <+<,112q <+<,即函数图象在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1,即'()1f x >在(1,2)内恒成立.由定义域可知1x >-,所以'()211a f x x x =->+,即121ax x >++,所以12)(1)a x x >++（成立.设12)(1)y x x =++（,则22372312()48y x x x =++=++,当12x ≤≤时,函数2372()48y x =++的最大值为15,所以15a ≥,即a的取值范围为),15[+∞.7 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,则切点坐标为_____________,切线方程为_____________.【答案】(1,2),42y x =-【解析】函数的导数为'31y x =+,已知直线43y x =+的斜率4k =,由314x +=,解得切点的横坐标1x =,所以2y =,即切点坐标为(1,2),切线方程为24(1)y x -=-,即42y x =-.8 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）设定义在R 上的函数()x f 是最小正周期为π2的偶函数,()x f '是()x f 的导函数.当[]π,0∈x 时,()10<<x f ;当()π,0∈x 且2π≠x 时,()02<'⎪⎭⎫⎝⎛-x f x π.则函数()x x f y cos -=在[]ππ3,3-上的零点个数为___________. 【答案】 69 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是_______________【答案】6m >或3m <-【解析】函数的导数为2'()32(6)f x x mx m =+++,要使函数()f x 既存在极大值又存在极小值,则'()0f x =有两个不同的根,所以判别式0∆>,即2412(6)0m m ∆=-+>,所以23180m m -->,解得6m >或3m <-.10．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）曲线1()f x x x =+在12x =处的切线方程是______,在x=x 0处的切线与直线y x =和y 轴围成三角形的面积为________. 【答案】 3x+y-4=0, 2;11．（2009高考(北京理)）设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.【答案】1-【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算 的考查.取()2f x x =,如图,采用数形结合法,易得该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为1-. 故应填1-. 三、解答题 12．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综xx x f 2131)(3+-=合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 设（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区 间上的最大值.【答案】解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分 )(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111ax +-=；28112a x ++=∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分 解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分13．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设函数()()()12,03123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; (II)当b a 21-=时,若函数()()x g x f +在区间()0,2-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当121=-=b a 时,求函数()()x g x f +在区间[]3,+t t 上的最大值.【答案】解:(I)()()bx x g a x x f 2,2='-='.因为曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,所以()()11g f =,且()()11g f '=',即1231-+=-b b a ,且b a 21=-, 解得31,31==b a(II)记()()()x g x f x h +=,当b a 21-=时,()a ax x a x x h ---+=232131, ()()()()a x x a x a x x h -+=--+='112,令()0='x h ,得0,121>=-=a x x . 当x 变化时,()()x h x h ,'的变化情况如下表:所以函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,,1,a ;单调递减区间为()a ,1-,故()x h 在区间()1,2--内单调递增,在区间()0,1-内单调递减, 从而函数()x h 在区间()0,2-内恰有两个零点,当且仅当()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-00,01,02h h h 解得310<<a , 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 (III)记()()()x g x f x h +=,当121=-=b a 时,()1313--=x x x h . 由(II)可知,函数()x h 的单调递增区间为()()+∞-∞-,1,1,;单调递减区间为()1,1-.①当13-<+t 时,即4-<t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()()()58331133313233+++=-+-+=+t t t t t t h ; ②当1-<t 且131<+≤-t ,即24-<≤-t 时,()x h 在区间[)1,-t 上单调递增,在区间[]3,1+-t 上单调递减,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()311-=-h ; 当1-<t 且13≥+t ,即12-<≤-t 时,t+3<2且h(2)=h(-1),所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()311-=-h ;③当11<≤-t 时,123>≥+t ,()x h 在区间[)1,t 上单调递减,在区间[]3,1+t 上单调递增,而最大值为()t h 与()3+t h 中的较大者.由()()()()2133++=-+t t t h t h 知,当11<≤-t 时,()()t h t h ≥+3, 所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()58331323+++=+t t t t h ; ④当1≥t 时,()x h 在区间[]3,+t t 上单调递增,所以()x h 在区间[]3,+t t 上的最大值为()58331323+++=+t t t t h 14．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）已知:函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=,其中R a ∈.(Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值;(Ⅱ)求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)解:(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意,令(2)0f '=,解得 13a =.经检验,13a =时,符合题意 (Ⅱ)解:① 当0=a 时,()1xf x x '=+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(- ② 当0a >时,令()0f x '=,得10x =,或211x a=-. 当10<<a 时,()f x 与()f x '的情况如下:所以,()f x 的单调增区间是(0,1)a -;单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. 当1=a 时,)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时,210x -<<,()f x 与()f x '的情况如下:所以,()f x 的单调增区间是(1,0)a -;单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时,)(x f 的单调增区间是(0,)+∞;单调减区间是)0,1(-. 综上,当0a ≤时,)(x f 的增区间是(0,)+∞,减区间是)0,1(-; 当10<<a 时,()f x 的增区间是1(0,1)a -,减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞; 当1=a 时,)(x f 的减区间是),1(+∞-;当1a >时,()f x 的增区间是1(1,0)a -;减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.(Ⅲ)由(Ⅱ)知 0a ≤时,)(x f 在(0,)+∞上单调递增,由0)0(=f ,知不合题意.当10<<a 时,)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-, 由1(1)(0)0f f a->=,知不合题意. 当1≥a 时,)(x f 在(0,)+∞单调递减,可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ,符合题意. 所以,)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时,a 的取值范围是[1,)+∞15．（2013届北京大兴区一模理科）已知函数2()=(1)x af x x ，(1,)x．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)函数()f x 在区间[2,)上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】解：（I ）4(1)(21)()(1)x x a f x x --+-'=-，(1,)x ∈+∞.由()0f x '=，得11x =，或221x a =-.①当211a -≤，即1a ≤时，在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；②当211a ->，即1a >时，在(1,21)a -上，()0f x '>，()f x 单调递增，在(21,)a -+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减。

数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，2}故选：C．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y＝在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y＝2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y＝log0.5故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y＝﹣2x上，故选：B．【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．【分析】算法的功能是求S＝7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝7×6×…×k的值，当m＝7，n＝3时，m﹣n+1＝7﹣3+1＝5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S＝7×6×5＝210．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q＝2＞1，但{a}不是递增数列，充分性不成立．n若a＝﹣1为递增数列，但q＝＞1不成立，即必要性不成立，n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故“q＞1”是“{an故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z＝y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2＝0与x轴的交点在x+y﹣2＝0与x轴的交点的左边，z＝y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2＝0与x轴的交点在x+y﹣2＝0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y＝0，由kx﹣y+2＝0，得x＝，∴B（﹣）．由z＝y﹣x得y＝x+z．由图可知，当直线y ＝x +z 过B （﹣）时直线在y 轴上的截距最小，即z 最小．此时，解得：k ＝﹣．故选：D ．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：设A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），D （1，1，），则各个面上的射影分别为A '，B '，C '，D '，在xOy 坐标平面上的正投影A '（2，0，0），B '（2，2，0），C '（0，2，0），D '（1，1，0），S 1＝．在yOz 坐标平面上的正投影A '（0，0，0），B '（0，2，0），C '（0，2，0），D '（0，1，），S 2＝.在zOx 坐标平面上的正投影A '（2，0，0），B '（2，0，0），C '（0，0，0），D '（0，1，），S 3＝，则S 3＝S 2且S 3≠S 1，故选：D ．【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．【分析】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．【解答】解：用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 得也最多只有一个，得C 最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC ）（BB ）（CA ）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：（）2＝．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．【分析】设＝（x，y）．由于向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），可得，解出即可．【解答】解：设＝（x，y）．∵向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），∴＝λ（x，y）+（2，1）＝（λx+2，λy+1），∴，化为λ2＝5．解得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．【解答】解：与﹣x2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2＝m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m＝，即双曲线方程为﹣x 2＝﹣3，即，对应的渐近线方程为y ＝±2x ，故答案为：，y ＝±2x ．【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．【分析】可得等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0，又a 7+a 10＝a 8+a 9＜0，∴a 9＜0，∴等差数列{a n }的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n }的前8项和最大，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A 、B ，②计算其中A 、B 相邻又满足B 、C 相邻的情况，即将ABC 看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A 、B 相邻又满足A 、C 相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A 与B 相邻，把A 、B 作为一个元素有种方法，而A 、B 可交换位置，所以有2＝48种摆法，又当A 、B 相邻又满足A 、C 相邻，有2＝12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12＝36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A 、B 、C ．14．【分析】由f （）＝f （）求出函数的一条对称轴，结合f （x ）在区间[，]上具有单调性，且f （）＝﹣f （）可得函数的半周期，则周期可求．【解答】解：由f （）＝f （），可知函数f （x ）的一条对称轴为x ＝，则x＝离最近对称轴距离为．又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而＝⇒T＝π．故答案为：π．【点评】本题考查f（x）＝A sin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝，则sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•cos B﹣cos∠ADC•sin B＝×﹣＝．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BC cos B＝82+52﹣2×8×＝49，即AC＝7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P （A ）＝，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P （B ）＝P 1×（1﹣P 2）+P 2×（1﹣P 1）＝；（3）＝（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）＝11.4EX ＝【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA ⊥底面ABCDE ，底面AMDE 为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz ，分别求出A ，B ，C ，E ，P ，F ，及向量BC 的坐标，设平面ABF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），求出一个值，设直线BC 与平面ABF 所成的角为α，运用sinα＝|cos |，求出角α；设H （u ，v ，w ），再设，用λ表示H 的坐标，再由n＝0，求出λ和H 的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH 的长．【解答】（1）证明：在正方形AMDE 中，∵B 是AM 的中点，∴AB ∥DE ，又∵AB ⊄平面PDE ，∴AB ∥平面PDE ，∵AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ，∴AB ∥FG ；（2）解：∵PA ⊥底面ABCDE ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AE ，如图建立空间直角坐标系Axyz ，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （2，1，0），P （0，0，2），E （0，2，0），F （0，1，1），，设平面ABF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则即，令z ＝1，则y ＝﹣1，∴＝（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝||＝，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）＝λ（2，1，﹣2），∴u＝2λ，v＝λ，w＝2﹣2λ，∵是平面ABF的法向量，∴＝0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）＝0，解得λ＝，∴H（），∴PH＝＝2．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．【分析】（1）求出f′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x，判定出在区间∈（0，）上f′（x）＝﹣x sin x＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）＝0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sin x﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sin x﹣bx＜0”构造函数g（x）＝sin x﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．【解答】解：（1）由f（x）＝x cos x﹣sin x得f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ，此在区间∈（0，）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0，所以f （x ）在区间∈[0，]上单调递减，从而f （x ）≤f （0）＝0．（2）当x ＞0时，“＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ，当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x 0）x 0（x 0，）g ′（x ）+﹣g （x ）↑↓因为g （x ）在区间（0，x 0）上是增函数，所以g （x 0）＞g （0）＝0进一步g （x ）＞0对任意x ∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g （x ）＞0对任意x ∈（0，）恒成立，当且仅当c ≥1时，g （x ）＜0对任意x ∈（0，）恒成立，所以若a ＜＜b 对x ∈（0，）上恒成立，则a 的最大值为，b 的最小值为1【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2＝2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．【解答】解：（1）由x 2+2y 2＝4，得椭圆C 的标准方程为．∴a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2﹣b 2＝2．因此a ＝2，c ＝．故椭圆C 的离心率e ＝；（2）直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为（x 0，y 0），（t ，2），其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴，即tx 0+2y 0＝0，解得．当x 0＝t 时，，代入椭圆C 的方程，得．故直线AB 的方程为x ＝，圆心O 到直线AB 的距离d ＝．此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为，即（y 0﹣2）x ﹣（x 0﹣t ）y +2x 0﹣ty 0＝0．圆心O 到直线AB 的距离d ＝．又，t ＝．故＝．此时直线AB 与圆x 2+y 2＝2相切．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．【分析】（Ⅰ）利用T 1（P ）＝a 1+b 1，T k （P ）＝b k +max {T k ﹣1（P ），a 1+a 2+…+a k }（2≤k ≤n ），可求T 1（P ），T 2（P ）的值；（Ⅱ）T 2（P ）＝max {a +b +d ，a +c +d }，T 2（P ′）＝max {c +d +b ，c +a +b }，分类讨论，利用新定义，可比较T 2（P ）和T 2（P ′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）T 1（P ）＝2+5＝7，T 2（P ）＝1+max {T 1（P ），2+4}＝1+max {7，6}＝8；（Ⅱ）T 2（P ）＝max {a +b +d ，a +c +d }，T 2（P ′）＝max {c +d +b ，c +a +b }．当m ＝a 时，T 2（P ′）＝max {c +d +b ，c +a +b }＝c +d +b ，∵a +b +d ≤c +d +b ，且a +c +d ≤c +b +d ，∴T 2（P ）≤T 2（P ′）；当m ＝d 时，T 2（P ′）＝max {c +d +b ，c +a +b }＝c +a +b ，∵a +b +d ≤c +a +b ，且a +c +d ≤c +a +d ，∴T 2（P ）≤T 2（P ′）；∴无论m ＝a 和m ＝d ，T 2（P ）≤T 2（P ′）；（Ⅲ）根据数对序列（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），可得T 1（P ）＝4+6＝10；T 2（P ）＝11+15＝26；T 3（P ）＝31+11＝42；T 4（P ）＝8+42＝50；T 5（P ）＝2+50＝52；逐一检验可得，此数对序列使T 5（P ）最小．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键，属于难题．。