两角和与差公式导学案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一 两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 答案 tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以cos αcos β，便可得到.思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？ 答案 用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到. 梳理名称简记符号公式 使用条件 两角和的正切 T (α＋β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β均不等于k π＋π2(k ∈Z )两角差的正切 T (α－β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β均不等于k π＋π2(k ∈Z )知识点二 两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.类型一 正切公式的正用例1 (1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.(2)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝ .答案 π4解析 因为tan α＝12，tan β＝13，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.因为α，β均为锐角， 所以α＋β∈(0，π)， 所以α＋β＝π4.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角. (2)利用公式T (α＋β)求角的步骤： ①计算待求角的正切值.②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息. ③根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 －43解析 由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－43.类型二 正切公式的逆用 例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ ；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝ .答案 (1)3 (2)－1解析 (1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.反思与感悟 注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现12，1，3这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2 求下列各式的值：(1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝1tan (27°＋33°)＝1tan 60°＝33.类型三 正切公式的变形使用例3 (1)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，求α＋β的值. 解 (1)方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. (2)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4， ∴tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°， ∴α＋β＝60°.反思与感悟 两角和与差的正切公式有两种变形形式： ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3 在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1).① 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －sin A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾.∴由①得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3. 又∵0<C <π，∴C ＝π3.1.若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13B.－13 C.3 D.－3 答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2.已知cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.－17 B.－7 C.17 D.7答案 D解析 由cos α＝－45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝35， 所以tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－341－34＝7. 故选D.3.已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A.1 B.2 C.－2 D.不确定 答案 B解析 (1＋tan A )(1＋tan B ) ＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.4.已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255， ∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.5.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .答案 43解析 由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 2.应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.特别要注意tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α.(3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路. 特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17 B.16 C.57 D.56答案 A解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.2.3tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( ) A.2 B.23 C. 3 D.0答案 C解析 ∵tan(23°＋97°)＝tan 23°＋tan 97°1－tan 23°tan 97°＝tan 120°＝－3，∴tan 23°＋tan 97°＝－3＋3tan 23°tan 97°， ∴原式＝3tan 23°tan 97°－(－3＋3tan 23°tan 97°) ＝ 3.3.已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A.322B.2213 C.1318 D.16答案 A解析 因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形.5.若tan 28°tan 32°＝a ，则tan 28°＋tan 32°等于( ) A.3a B.3(1－a ) C.3(a －1) D.3(a ＋1) 答案 B解析 ∵tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝3，∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－a ).6.设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.－13B.13C.－3D.3答案 B解析 由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2. tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13. 7.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于( ) A.30° B.45° C.120° D.60°答案 D解析 由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. 又∵tan 2B ＝tan A tan C ， ∴tan 3B ＝33， ∴tan B ＝3，∴B ＝60°. 二、填空题8.已知tan α＝12，则tan (π4＋α)－11＋tan (π4＋α)的值是 .答案 129.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝ .答案3解析 原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.10.已知α，β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α，∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1， ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6， ∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD 1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13 ＝17. 12.若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为 . 答案3π4三、解答题13.已知tan ⎝⎛⎭⎫π12＋α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫β－π3＝22，求：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4的值； (2)tan(α＋β)的值. 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋tan ⎝⎛⎭⎫β－π31－tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12tan ⎝⎛⎭⎫β－π3 ＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α＋β－π4tan π4＝－2＋11＋2×1＝22－3. 四、探究与拓展14.如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝ . 答案 －32解析 sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32. 15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值.解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝7＋431－7×43＝－1. 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

【原创】⼈教新课标A版必修4：3.1两⾓和与差的正弦、余弦和正切公式（导学案+教案）导学案两⾓和与差的正弦、余弦公式【⽬标及要求】1．掌握两⾓和与两⾓差的正弦、余弦公式．2．能正确运⽤三⾓公式进⾏简单的三⾓函数式的化简、求值、证明．【课前预习案】：2、诱导公式1）sin()cos()tan()παπαπα+=??+=??+=? 2）sin()cos()tan()ααα-=??-=??-=? 3）sin()cos()tan()παπαπα-=??-=??-=?4）sin()2cos()2παπα?-=-=?? 5） sin()2cos()2παπα?+=+=?? 3、同⾓三⾓函数基本关系平⽅关系（1）_______________ 商数关系（2）_______________ 4、两⾓差的余弦公式)(βα-Ccos()αβ-=c o s 15o= 【课内探究案】1、问题⼀：cos 75?o=设计问题解决⽅案2、探究⼀：探究两⾓和的余弦公式思考1：注意到α＋β＝α―(？)，结合)(βα-C ，推导cos(α＋β)。

)cos(βα+=cos(())α-=________________（学⽣独⽴完成，组内核对）思考2：上述公式就是两⾓和的余弦公式，记作)(βα+C ，该公式有什么特点？如何记忆？ 3、学以致⽤（⼀）求值 cos 75=化简 =+)6c o s (απ诱导公式)2cos(sin απα-=，则?)2cos()sin(-=+πβα。

分别⽤sin ,cos ,sin ,cos ααββ表⽰)sin(βα+。

))(2cos()sin(-=+πβα=))()cos((+=____________________________（学⽣独⽴完成，组内核对）思考4：如何求)sin(βα-？有哪些⽅法可以实现？①()()sin cos()2παβ=-－②sin()sin(())αβα-=+——学⽣讨论交流⽅法（组内讨论，邻近组间交流结果）)sin(βα-=____________________________________思考5：上述公式就是两⾓和与差的正弦公式，分别记作)(βα+S ，)(βα-S ，这两个公式有什么特点？如何记忆？5、学以致⽤（⼆）求值sin 75=化简=-)43sin(απ【理论迁移与技能提升】例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限的⾓，sin()4πα-求、cos(πα+、sin()4πα+的值。

第五章三角函数《5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式。

本节的主要内容是由两角差的余弦公式的推导，运用诱导公式、同角三角函数的基本关系和代数变形，得到其它的和差角公式。

让学生感受数形结合及转化的思想方法。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式教学难点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用。

【教学过程】合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A1P1，AP．若把扇形分别与点A1,P1重合．根据圆《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》导学案【学习目标】1．了解两角差的余弦公式的推导过程．2．掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式．3．会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．4．熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．【重点难点】重点：了解两角差的余弦公式的推导过程．难点：会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等【知识梳理】1两角和与差的余弦公式2 两角和与差的正弦公式3两角和与差的正切公式【学习过程】 问题探究１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k ∈Z ． 如图5.5.1，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点A （１，０），以x 轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A 1（cosα，sinα）， P 1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A 1P 1，AP ．若把扇形OAP,绕着点O 旋转β角，则点A ，P 分别与点A 1,P 1重合．根据圆的旋转对称性可知，AP ̂与A 1P 1̂ 重合，从而， 所以AP ＝A 1P 1 根据两点间的距离公式，得[cos (α−β)−1]2+[s in (α−β)]2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2， 化简得:cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ当α=2kπ＋β （k ∈Z ）时，容易证明上式仍然成立． 所以，对于任意角α，β有cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ （Ｃ（α－β））此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).典例解析例１ 利用公式cos (α−β)证明：（１）cos (π2-α)= sinα ; （２）cos (π-α)= cosα．例２ 已知sinα=45，α∈(π2,π), cosβ=−513，β是第三象限角，求cos (α−β)的值．由公式cos (α−β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 下面以公式cos (α−β)为基础来推导其他公式． 例如，比较cos (α−β)与cos (α+β)，并注意到α＋β与 α−β之间的联系：α+β＝α−（−β）则由公式cos (α−β)， 有cos (α+β)=cos[α−(−β)]＝cosαcos (−β)+sinαsin (−β)=cosαcosβ−sinαsinβ于是得到了两角和的余弦公式，简记作C （α＋β）． cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ． 问题探究上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据Ｃ（α＋β），Ｃ（α－β）及诱导公式五（或六），推导出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin （α＋β），sin （α－β）的公式吗？通过推导，可以得到：s in (α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ，（S （α＋β）） s in (α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ;（S （α－β））你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从Ｃ(α±β)，Ｓ(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan (α+β)，tan (α−β)的公式吗？通过推导，可以得到： tan (α+β)=tan α+tanβ1−tan αtanβT(α+β) tan (α−β)=tan α−tanβ1+tan αtanβT(α−β)和（差）角公式中，α，β都是任意角．如果令α为某些特殊角，就能得到许多有用的公式．你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式公式Ｓ(α＋β)，Ｃ(α＋β)，Ｔ(α＋β)给出了任意角α，β的三角函数值与其和角α＋β的三角函数值之间的关系．为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式．类似地，Ｓ(α－β)，Ｃ(α－β)，Ｔ(α－β)都叫做差角公式． 典例解析例3.已知sinα=−35，α是第四象限角，求sin (π4−α),cos (π4+α),tan (α−π4)的值．由以上解答可以看到，在本题条件下有sin (π4−α)=cos (π4+α)．那么对于任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明?例４ 利用和（差）角公式计算下列各式的值： （１）sin72°cos42°－cos72°sin42°; （ ２ ） cos20°cos70°－ sin20°sin70° ; （ 3 ）1+tan 15°1−tan 15°;【达标检测】1． cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A ．cos 100°B ．sin 100°C ．32D ．12 2.已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210B ．210C ．－25D ．253．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475 D ．－5475 4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.5．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.参考答案： 知识梳理1.cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β2.sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β3.tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β学习过程 典例解析例１证明: (1)cos (π2-α)= cos π2cos α+sin π2sinβsinα=0＋1×sinα=sinα． (2)cos (π-α)== cosπcos α+sinπsinβsinα=(-1)×cosα+o ．＝－ cosα． 例２解：由sinα=45，α∈(π2,π),得cosα=−√1−sinα2=−√1−(45)2=−35 又由cosβ=−513，β是第三象限角，得sinβ=−√1−cosβ2=−√1−(−513)2=−1213．所以cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(−35) ×(−513)+(45) ×(−1213)=−3365 例3.解 ： 由 sinα=−35，α是第四象限角， 得cosα=√1−sinα2=√1−(−35)2=45 所以 tanα=sin αcosα=−3545= - 34于是有sin (π4−α)=sin π4cos α−cos π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;cos (π4+α)=cos π4cos α−sin π4sin α=√22×45−√22×(−35)=7√210;tan (α−π4)=tan α−tanπ41+ tan αtanπ4= tan α−11+ tan α=−34−11+(−34)=−7例 ４ 分析 ： 和 、 差角公式把 α ± β 的三角函数式转化成了 α ， β 的三角函数式 ．如果反过来 ， 从右到左使用公式 ， 就可以将上述三角函数式化简 ． 解 ：（ １ ） 由公式 S （α － β ） ， 得 sin72°cos42°－ cos72°sin42°=Sin(72°－ 42°)=sin30°=12（2） 由公式 C （α +β ） ， 得cos20°cos70°－ sin20°sin70°= cos(20°+70°)=cos90°=0 （3） 由公式 T （α +β ）及tan 45°=1， 得1+tan 15°1−tan 15°=tan 45°+tan 15°tan 45°−tan 15°=tan (45°+15°)=tan 60°=√3三、达标检测1． 【解析】 原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝32. 【答案】 C2.【解析】 因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ． 【答案】 B3．【解析】 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A ．【答案】 A 4．【解析】 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.【答案】 15．【解】 ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.《5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习一基础巩固1．的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知为锐角，为第三象限角，且，，则的值为（ ） A ． B ． C ．D ．3．已知，则为第三象限角，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ． 4．若，，且，均为钝角，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知，则的值为（ ）ABC ．D ．6．计算：______________7．，且是第四象限角，则______. 8．不用计算器，求值：。

两角和与差的正弦余弦正切公式导学案导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学目标：1.理解两角和与差的概念；2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式；3.能够运用两角和与差的公式解决相关问题。

导学思路：1.引入问题：如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？2.引出两角和与差的概念；3.探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式；4.运用公式解决相关问题。

一、引入问题在三角函数中，我们学过单个角的正弦、余弦、正切公式，但如果要计算两个角的正弦、余弦、正切函数值，我们能用到哪些公式呢？请思考并回答。

二、两角和与差的概念1.两角和的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角和。

用符号表示为：A+B。

2.两角差的概念：假设角A和角B是两个角，我们可以定义一个角，使其边分别是角A 和角B的边的延长线，这个角叫做两角差。

用符号表示为：A-B。

三、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.正弦的两角和与差公式：s in(A + B) = sinA · cosB + cosA · sinBsin(A - B) = sinA · cosB - cosA · sinB2.余弦的两角和与差公式：cos(A + B) = cosA · cosB - sinA · sinBcos(A - B) = cosA · cosB + sinA · sinB3.正切的两角和与差公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA · tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA · tanB)四、运用公式解决问题例题1：已知sinA = 1/5，cosB = 3/5，且角A和角B互余，求sin(A + B)和sin(A - B)的值。

3.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方式。

2.通过正式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

3.能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

【学习重点难点】能按照两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习进程】（一）预习指导：1.两角和与差的正、余弦公式cos(α+β)= cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=2.新知tan(α+β)的公式的推导(α+β)≠0tan(α+β)注意：1°必需在概念域范围内利用上述公式tan α，tan β,tan(α+β)只要有一个不存在就不能利用那个公式，只能用诱导公式。

2°注意公式的结构，尤其是符号。

（二）典型例题选讲：例1：已知tan α= ,tan β=-2 求tan(α+β),tan(α-β), α+β的值，其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180° 31例2：求下列各式的值：（1） （2）tan17°+tan28°+tan17°tan28°（3）tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3：已知sin(2α+β)+2sin β=0 求证tan α=3tan(α+β)例4：已知tan θ和tan( -θ)是方程χ2+p χ+q=0的两个根，证明：p-q+1=0.例5：已知tan α=3(1+m),tan(-β)3(tan αtan β+m),又α，β都是钝角，求α+β的值.︒-︒+75tan 175tan 14π【课堂练习】1.若tan A tan B =tan A +tab B +1，则cos(A +B )的值为 .2.在△ABC 中，若0＜tanA ·tabB ＜1则△ABC 必然是 .3.在△ABC 中，tanA+tanB+tanC=33,tan 2B=tanAtanC,则∠B 等于 . 4. = .5.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.【课堂小结】︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 2131)tan(tan tan tan )tan(2βαββαβα+--+。

导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】一、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方式。

二、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培育逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 s in =co s α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：（二）大体概念： 大体概念：1.两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)=sin(α-β)=sin αcos β-sin αcos β（二）、典型例题选讲：例１求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ)⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23例２：已知sin(2α+β)=3sin β,tan α=1,求tan(α-β)的值.例３：已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= 求 的值例４：（１）已知sin(α-β)= ,si n(α+β)= ,求tan α:tan β)的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.已知sin α+sin β= ,求cos α+cos β的范围.3252βαtan tan 312131544π43π4π5343π135224.已知sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 的值.5.已知sin α+sin β= cos α+cos β= 求cos(α-β)6.化简2cos χ-6sin χ解：咱们取得一组有效的公式： （1）sin α±sin α=2sin =2cos .（3）sin α3±cos α=2sin =2cos（4）αsin α+bco s α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)7.化解3cos χχsin -8.求证：co s χ+sin χ=2cos （χ - ）21101βαtan tan 5354 ⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4π9.求证：c os α+3sin α=2sin （ ）.10.已知 ，求函数у=cos （ ）-cos的值域.11.求 的值.【课堂小结】απ+6⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ125︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2。

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈ 以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈． （二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 4442210πππαα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎝⎭⎝ 43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？ 3tan tan 144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象. （1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==； （3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x -=-=-思考：余弦分别等于2和2的. （三）反思总结，当堂检测。

课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1. 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，
2. 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
=-)cos(βα ,
=--)](cos[βα = ,
即=+)cos(βα 【探究新知】
阅读课本129128P P -,并把结果填入下面框中： 温馨提示：仔细观察认识两角和与差正弦公式的特征， 不要混淆
【例题讲解】
例3、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
例4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 72cos 42cos72sin 42- ；（2）cos 20cos70sin 20sin 70- ；
课堂因为你的参与而精彩 课堂因为你的展示而绚丽
【当堂检测】 1. 求值：
= 15sin
= 75cos
= 75sin
= 15tan
2.已知,3tan =α，求)4
tan(π
α+的值
1.课本137页：7-13
2.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛
⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
3.已知3335
0,cos ,sin 4
4
4
5
4
13
ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）班级 姓名一、学习目标：1. 在学习两角差的余弦公式的基础上，能导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系，能用自己的话简洁地概括出公式的特点。

2.能应用公式解决比较简单简单的求值、化简、恒等证明的有关问题。

3. 应用两角和与差的正弦、余弦公式，解决“ααcos sin b a +”型化简问题。

学习重点：两角和与差的正弦、余弦公式的准确运用二、学习过程（一）教材核心知识及推导过程cos()αβ-=cos()αβ+==+)s i n (βαsin()αβ-=自我总结4个公式的特点(二)预习自测：()()._________s i n s i n c o s c o s 1=---ββαββα、 2、计算下列各式的值（1） 42sin 72cos 42cos 72sin -（2） 70sin 20sin 70cos 20cos -（三）自主探究---三角函数的求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值. 分析解答.________3sin ,2,23,51cos 1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则、若变式 总结（四）自主发展1---配凑角求值例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。

求sin()αβ+和sin()αβ- 分析解答变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos2α的值。

总结自主发展2---公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用 例3、计算12cos 12sin3ππ+的值分析解答变式3、教材练习总结公式（当堂检测放于后） 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）班级 姓名学习目标：类比两角和与差的正弦、余弦公式，能推导并掌握两角和与差的正切公式，进一步巩固两角和与差的正弦、余弦公式学习重点：两角和与差的正切公式的准确运用学习过程（一）两角和与差的正弦、余弦公式cos()αβ-= cos()αβ+==+)s i n (βα sin()αβ-=如何以上公式推导tan()αβ+和tan()αβ-？（二）两角和与差的正切公式t a n ()αβ+=t a n ()αβ-= 自我总结以上6个公式的特点(三)预习自测：1、计算下列各式的值35tan 95tan 135tan -95tan 1+）（15tan 115tan 12-+）（ （四）自主探究1---三角函数求值例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα和⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值。