阶跃响应冲激响应和卷积积分

清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。

+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。

例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。

清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。

解f (t ) 分成两段表示。

1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。

补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。

在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。

本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。

§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。

本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。

单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。

若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。

单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。

例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

冲激响应和阶跃响应实验报告一、实验目的本次实验旨在深入理解和掌握线性时不变系统（LTI）的冲激响应和阶跃响应的概念、特性以及求解方法。

通过实际的实验操作和数据测量，观察和分析系统在冲激和阶跃输入信号作用下的输出响应，进一步认识系统的时域特性，为后续的系统分析和设计打下坚实的基础。

二、实验原理（一）冲激响应冲激响应是指线性时不变系统在单位冲激信号δ(t) 作用下的零状态响应，记为 h(t)。

对于连续时间 LTI 系统，其冲激响应满足卷积积分的关系：y(t) ＝ x(t) h(t)其中，x(t) 为输入信号，y(t) 为输出信号。

单位冲激信号δ(t) 的定义为：δ(t) ＝ 0 （t ≠ 0）∫（∞，＋∞）δ(t) dt ＝ 1（二）阶跃响应阶跃响应是指线性时不变系统在单位阶跃信号 u(t) 作用下的零状态响应，记为 g(t)。

单位阶跃信号 u(t) 的定义为：u(t) ＝ 0 （t ＜ 0）u(t) ＝ 1 （t ≥ 0）三、实验设备与软件1、示波器2、函数信号发生器3、实验电路板4、计算机及相关软件四、实验内容与步骤（一）冲激响应的测量1、按照实验电路图搭建实验电路，选择合适的电阻、电容等元件。

2、利用函数信号发生器产生单位冲激信号，并将其输入到实验电路中。

3、使用示波器观察并记录输出信号的波形，测量其幅度、上升时间、下降时间等参数。

（二）阶跃响应的测量1、重新调整实验电路，使其适用于阶跃响应的测量。

2、由函数信号发生器产生单位阶跃信号，并输入到实验电路中。

3、通过示波器观察并记录输出信号的阶跃响应波形，测量其稳态值、上升时间等参数。

五、实验数据与分析（一）冲激响应数据记录了不同实验条件下冲激响应的波形和相关参数，如下表所示：｜实验条件|幅度|上升时间|下降时间|｜｜｜｜｜｜条件 1|＿____|＿____|＿____|｜条件 2|＿____|＿____|＿____|通过对数据的分析，可以发现冲激响应的幅度与电路中的元件参数有关，上升时间和下降时间则反映了系统的响应速度。

实验三系统的冲激响应和阶跃响应分析一、实验目的掌握系统的冲激响应和阶跃响应的概念及其时域求解方法二、原理说明在L TI系统的时域分析中，除了可以利用经典方法求解某些系统的零状态响应外，还可以利用卷积积分求解系统的零状态响应。

这就需要求解系统的单位冲激响应和单位阶跃响应。

单位冲激响应h(t) 定义为系统初始状态为零，系统在冲激函数δ(t)作用下所产生的零状态响应.即h(t)=T[{0},δ(t)]其中T 为系统的变换算子。

而系统在任意激励f(t)作用下所形成的零状态响应Yf(t)=f(t)*h(t).单位冲激响应不仅在此有重要意义，而且对于描述系统的时域特性也有非常重要的意义。

单位阶跃响应g(t)定义为系统初始状态为零且在单位阶跃信号ε(t)作用下产生的零状态响应，即g(t)═ T[{0},ε(t)]。

二阶系统是工程中最常见的系统,在不同阻尼比ξ下，系统的阶跃响应不同。

三、预习要求单位冲激响应及阶跃响应的经典求解方法四、内容和步骤1. 二阶系统的传递函数为：2222)(nn n s s s H ωξωω++= 可用如下程序作出其单位阶跃响应和冲激响应波形曲线.(简单起见令n ω=1).参考程序一、CloseHold onzeta=[0.1 0.2 0.4 0.7 1.0];num=[1];t=0:0.01:12;for k=1:5den1=[1 2*zeta(k) 1];printsys (num,den1,’s’);[y1(:,k),x]=step(num,den1,t);den2=[1 zeta(k) 1];[y2(:,k),x]=impulse(num,den2,t);subplot(2,1,1),plot(t,y1(:,k));hold onsubplot(2,1,2),plot(t,y2(:,k));hold onend2. 自己构造一四阶以上连续系统系统函数,并求其阶跃响应和冲激响应波形.五、报告要求1.调试四1中程序,记录运行结果.2.用解析法求解步骤四1中系统的冲激响应和阶跃响应.3.若步骤四1中给定系统增加一个0 s处零点，系统时域特性有什么变化？4.写出步骤四1程序中各主要部分的功能5.分析系统时域响应波形，得出系统时域参数（上升时间和误差）永磁交流伺服电机位置反馈传感器检测相位与电机磁极相位的对齐方式2008-11-07 来源：internet 浏览：504主流的伺服电机位置反馈元件包括增量式编码器，绝对式编码器，正余弦编码器，旋转变压器等。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量： 2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

⎰∞∞-=t t f E d )(2def3 ① ②4、信号的基本运算1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号00()10t u t t <⎧=⎨>⎩0t =是()u t 的跳变点。

（2）单位冲激信号定义：性质：()1()00t dt t t δδ∞-∞⎧=⎪⎨⎪=≠⎩⎰ t1）取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞-∞∞-∞=-=⎰⎰()()(0)()f t t f t δδ=000()()()()f t t t f t t t δδ-=-2）偶函数 ()()t t δδ=-3）尺度变换 ()1()at t aδδ=4）微积分性质 d ()()d u t t tδ= ()d ()t u t δττ-∞=⎰（3）冲激偶 ()t δ'性质： ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰()d ()tt t t δδ-∞'=⎰()()t t δδ''-=- ()d 0t t δ∞-∞'=⎰（4）斜升函数 ()()()d tr t t t εεττ-∞==⎰（5）门函数 ()()()22G t t t τττεε=+--6、系统的特性 （重点：线性和时不变性的判断） （1）线性1）定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。

说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系。

系统零状态响应（Zero-state response），冲激响应（Impulse response），以及阶跃响应（Step response）是描述系统动态特性的重要概念。

在信号和系统理论中，这些概念被广泛应用于分析和设计各种信号处理系统。

本文将逐步解释并探讨这些概念的定义以及它们之间的联系。

首先，我们来定义系统的零状态响应。

系统零状态响应是指在系统没有输入信号时，系统的输出信号。

零状态表示系统没有任何初始条件，只考虑输入信号对系统的影响。

数学上，系统的零状态响应可以用一个函数h(t) 表示，其中t 表示时间。

零状态响应可以通过系统的传递函数（Transfer Function）和输入信号的傅里叶变换（Fourier Transform）来计算。

其次，我们来定义系统的冲激响应。

冲激响应是指系统对一个冲激信号的输出响应。

冲激信号是一个极窄的脉冲信号，其幅度为1，持续时间非常短。

冲激信号在数学上通常表示为δ(t)，其中t 表示时间。

在频域中，冲激信号的傅里叶变换为常数函数。

系统的冲激响应可以通过将冲激信号输入系统，并观察输出信号来获得。

数学上，冲激响应可以用一个函数g(t) 表示，其中t 表示时间。

最后，我们来定义系统的阶跃响应。

阶跃响应是指系统对一个阶跃信号的输出响应。

阶跃信号是一个不能突变的信号，其幅度在某时刻突变。

在数学上，阶跃信号通常表示为u(t)，其中t 表示时间。

阶跃信号的傅里叶变换为1/(jω) ，其中ω表示频率。

系统的阶跃响应可以通过将阶跃信号输入系统，并观察输出信号来获得。

数学上，阶跃响应可以用一个函数s(t) 表示，其中t 表示时间。

在信号和系统理论中，这些响应函数之间有着密切的联系。

具体而言，冲激响应和阶跃响应可以通过积分和微积分的关系相互转化。

首先，我们来考虑冲激响应和阶跃响应之间的关系。

给定一个系统的冲激响应g(t)，我们可以通过对g(t) 进行积分来获得系统的阶跃响应s(t)。