§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)

=∫
∞ −∞
e [6 e
τ
−2(t −τ )
−1]ε (t −τ ) dτ
yzs (t ) = 0
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0， ， 时 ，
当t > τ ,即τ < t时，ε (t −τ ) = 1
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yzs (t) = ∫
=e
t −∞
−2t
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
0 (a)
∆ 2
∆ 2
0 (b)
∆ 2
t
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任意信号分解
“0”号脉冲高度 号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 宽度为△ 号脉冲高度 宽度为 表示为： 用p(t)表示为：f(0) △ p(t) 表示为 “1”号脉冲高度 △) ,宽度为 号脉冲高度f(△ 宽度为 号脉冲高度 表示为： △，用p(t - △)表示为： 表示为 f(△) △ p(t - △) △
d2 h1(t)
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
h1(t) = C1e−t + C2e−3t ε (t)
(
dt 2
d h1(t) +4 + 3h1(t) = δ (t) dt
)
h1' (0+ ) = 1
h1(0+ ) = 0
f (−∆)
f(t)
f (∆)
ˆ f (t)
…
f(0)
…
-1
− ∆ 2
0 1
0
∆ 2
2
3∆ 2
t
“-1”号脉冲高度 -△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为： - 号脉冲高度 号脉冲高度f(宽度为△ 表示为： 表示为 f ( - △) △ p(t + △)
ˆ f (t) =
n=−∞
∑ f (n∆)∆p(t − n∆)
yzs (t) = ∫
∞ −∞
f (τ )h(t −τ ) dτ = f (t) * h(t)
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用定义计算卷积举例
例：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。 （ ， ， 。 解： yzs(t) = f (t) * h(t)
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h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
激励及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为m次 高阶为 次)
• h(t)解答的形式 解答的形式
时都为零， 由于δ(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的自由项恒等于零， 的形式相同。 的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
δ(t)
δ(t -τ)
由齐次性： 由齐次性： f (τ)δ(t -τ) 由积分性： 由积分性： −∞ f (τ )δ (t −τ ) dτ ∫ ‖ f (t)
∫ −∞ f (τ )h(t −τ ) dτ
‖ yzs(t)
∞
yzs (t) = ∫
∞ −∞
f (τ )h(t −τ ) dτ 卷积积分
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第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
δ (t )
h(t )
T {0}
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2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
d2 h ( t ) = aδ ′ ( t ) + bδ ( t ) + c∆u ( t ) 2 dt d h ( t ) = aδ ( t ) + b∆u ( t ) dt h ( t ) = a∆u ( t )
设
∴ h(0+ ) = 1 , h' (0+ ) = −2 代入h(t)，确定系数 1,C2，得 代入 ，确定系数C
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t ) = dh1(t) 1 + 2h1(t ) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
(
)
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lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
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2 .任意信号作用下的零状态响应 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) d t m−1
+L+ b1
响应及其各 阶导数(最 阶导数 最 高阶为n次 高阶为 次)
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
§2.5 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
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一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]
求特征根
λ2 + 4λ + 3 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = −3
n = 2, m = 1, n > m h(t )中不包含冲激项
带ε(t)
冲激响应
h(t) = (C1e + C2e
−t
−3t
)ε (t)
两种求待定系数方法： 两种求待定系数方法： 求0+法 •求
• 奇异函数项相平衡法
法一：求0+值确定系数
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3. 基本单元的冲激响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t) f (t -T)
T
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t −∞
f (x) d x
(c) 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
(
−t
−3t
1
2
1
2
1
2
将h(t ), h′(t ), h′′(t )代入原方程
(C1 + C2 )δ ′(t) + (3C1 + C2 )δ (t) + 0⋅ ε (t) = δ ′(t) + 2δ (t)
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对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
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二．阶跃响应
g(t)= T [ε(t) ，{0}] 线性时不变系统满足微、 线性时不变系统满足微、积分特性
ε (t) = ∫ δ (t) d t
−∞ t
g(t) = ∫ h(τ ) dτ
−∞
t
d g(t) , h(t) = dt
t
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
∫－∞
t
,对因果系统：
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + r1(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) ] + 6[aδ(t) + r3(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+ (b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t) 利用δ(t) 系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12 系数匹配， 利用 ， （2） ） 所以 h(t) = δ(t) + r3(t) h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （3） ） h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ r1(t) （4） ） 对式(3)从 到 积分得 对式 从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3 对式(4)从 到 积分得 对式 从0-到0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 故 ，
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
∫0
−
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§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
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一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
根据系数平衡， 根据系数平衡，得
1 C1 + C2 = 1 C1 = 2 ⇒ 3C1 + C2 = 2 C2 = 1 2
1 −t h(t) = e + e−3t ε (t) 2
(
)
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解法三：线性时不变性质法
d2 y(t)
求系统 dt 2 解： 设h (t)满足简单方程 1 满足简单方程
n λit h(t) = ∑Ci e ε (t) i=1
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 及其各阶导数； •当n > m时，h(t )不含δ (t )及其各阶导数；
δ •当n = m时，h(t )中应包含 (t )；
δ 及其各阶导数。 •当n < m时，h(t )应包含 (t )及其各阶导数。
1 −t −3t h(t) = (e + e )ε (t) 2
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法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) = C1e−t + C2e−3t ε (t)
(
)
) ( ) = (C + C )δ (t) + (− C e − 3C e )ε (t) h′′(t ) = (C + C )δ ′(t ) + (− C − 3C )δ (t ) + (C e + 9C e )ε (t )