§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)

冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。

它们之间存在着密切的关系，本文将从以下几个方面进行阐述。

一、定义
冲激响应是指系统对于一个冲击信号的响应，通常用h(t)表示。

而阶跃响应则是指系统对于一个单位阶跃信号的响应，通常用g(t)表示。

二、关系
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过积分的方式来表示。

具体来说，如果我们知道了系统的冲激响应h(t)，那么系统的阶跃响应g(t)可以通过对h(t)进行积分得到，即：
g(t) = ∫[0,t]h(τ)dτ
这个公式的意义是，系统对于一个单位阶跃信号的响应可以看作是对于一系列冲击信号的响应之和。

这也是为什么我们可以通过积分的方式来求解阶跃响应的原因。

三、应用
冲激响应和阶跃响应在信号处理中有着广泛的应用。

例如，在数字滤波器设计中，我们通常会先求出系统的冲激响应，然后再通过积分的方式来得到系统的阶跃响应。

这样做的好处是，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和幅频响应等信息，从而更好地设计数字滤波器。

此外，在控制系统中，我们也常常需要求解系统的阶跃响应。

例如，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的稳态误差和响应速度等信息，从而更好地设计控制器。

四、总结
综上所述，冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。

它们之间存在着密切的关系，可以通过积分的方式相互转换。

在实际应用中，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和稳态误差等信息，从而更好地设计数字滤波器和控制系统。

补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。

在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。

本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。

§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。

本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。

单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。

若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。

单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。

例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。

阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。

阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。

本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。

我们来看一下阶跃响应的定义。

阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。

单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。

阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。

接下来，我们来看一下冲激响应的定义。

冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。

单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。

冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。

阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。

事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。

这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。

具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。

假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。

根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。

换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。

这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。

阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。

在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。

阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。

总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。

阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。

通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。

信号与系统电子教案信号与系统西安电子科技大学信号与系统电子教案 2.2 冲激和阶跃响应－概念2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

二、阶跃响应对LTI 系统，当输入为单位阶跃函数时系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。

()t ε(){}()[],0T t g t ε=(){}()[],0T t h t δ=2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

分析：按照定义要求，求解系统的冲激响应，即在下列条件下求系统响应（以h(t)表示）f(t) = δ(t)h(n-1)(0-)=…=h’(0-) = h(0-) = 0例1描述某系统的微分方程为y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

解根据h(t)的定义有h ”(t) + 5h ’(t) + 6h(t) = δ(t)h ’(0-) = h(0-) = 0因方程右端有δ(t)，故利用奇异函数匹配法。

h ”(t)中含δ(t)，h ’(t)含ε(t)，h ’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。

积分得[h ’(0+) -h ’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h ’(0-) = 1⎰+-00)(dt t h a.求初始值h ’(0+)和h(0+)。

()-+∈0,0t对t>0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-2，-3。

系统的冲激响应和阶跃响应的关系(一)
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
1. 冲激响应和阶跃响应的定义
•冲激响应是指系统在输入信号为单位冲激函数时的输出情况。

•阶跃响应是指系统在输入信号为单位阶跃函数时的输出情况。

2. 冲激响应和阶跃响应的关系
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系，即阶跃响应是冲激响应的积分。

•具体而言，阶跃响应是将冲激响应进行积分得到的，即用单位阶跃函数乘以冲激响应，再对得到的积分进行求解。

3. 冲激响应和阶跃响应关系的解释
•当输入信号为冲激函数时，系统对这个冲激函数进行处理后的输出即为冲激响应。

•而当输入信号为阶跃函数时，系统对这个阶跃函数进行处理后得到的输出即为阶跃响应。

•由于阶跃函数是冲激函数的积分形式，所以阶跃响应是冲激响应的积分形式。

4. 结论
•在不同的输入信号形式下，系统的输出表现也会有所不同。

•冲激响应描述了系统对冲激信号的处理情况，而阶跃响应则描述了系统对阶跃信号的处理情况。

•通过对冲激响应进行积分，可以得到对应的阶跃响应。

以上是关于系统的冲激响应和阶跃响应的关系的简要说明。

冲激响应和阶跃响应是信号处理中重要的概念，它们的关系可以帮助我们更好地理解和分析系统的输入输出特性。

阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。

不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。

阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。

你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。

这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。

而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。

想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。

这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。

看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。

这两者之间的关系就像是亲兄弟。

阶跃响应可以说是冲激响应的积累。

想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。

每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。

学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。

有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。

比如说，你设计一个自动驾驶的系统。

它需要在感知到障碍物时快速反应。

这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。

换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。

哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。

在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。

比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。

而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。

换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。

阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。

这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。

可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。

别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。

2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。

可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。

这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。

听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。

也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。

3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。

它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。

阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。

3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。

比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。

通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。

4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。

你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。

通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。

冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。

清华大学电机系电路原理教学组第9章阶跃响应、冲激响应和卷积积分的应用9.1 阶跃函数和冲激函数本章重点9.4 电路在任意激励作用下的零状态响应——卷积积分9.5 电容电压和电感电流的跃变9.2 阶跃响应9.3 冲激响应清华大学电机系电路原理教学组•阶跃响应和冲激响应 本章重点•阶跃函数和冲激函数•卷积积分返回目录•电容电压和电感电流的跃变清华大学电机系电路原理教学组9.1 阶跃函数和冲激函数一、单位阶跃函数（unit step function ）1. 定义tε(t )10()t ε用可描述开关的动作。

+–u C U S ε(t )RCdef0 (0)() 1 (0)t t t ε<⎧=⎨>⎩def S S 0 (0)() (0)t U t U t ε<⎧=⎨>⎩U SS+–u C R C开关在t =0 时闭合清华大学电机系电路原理教学组2. 延迟的单位阶跃函数tε(t-t 0)t 0def0000 ()() 1 ()t t t t t t ε<⎧−=⎨>⎩3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号U SS+–u C RC开关在t =t 0时闭合清华大学电机系电路原理教学组0()()()f t t t t εε=−−t 0t-ε(t -t 0)ε(t )0f (t )1解所示矩形脉冲可分解为阶跃函数和延迟阶跃函数相加。

例1⎩⎨⎧><<<=), 0( 0)0( 1)(00t t t t t t f 1t 0tf (t )0试用阶跃函数表示上图所示的矩形脉冲。

清华大学电机系电路原理教学组()[()(1)](1)f t t t t t εεε=−−+−11t1t1f (t )例2试用阶跃函数表示图示的波形。

解f (t ) 分成两段表示。

1t101t1+(0< t <1)()[()(1)]f t t t t εε=−−(1< t )()(1)f t t ε=−则清华大学电机系电路原理教学组二、单位冲激函数（unit pulse function ）1. 单位脉冲函数1()[()()]p t t t εεΔΔ=−−0lim ()()p t t Δδ→=令1ΔΔ→→∞面积不变Δ1/Δtp (t )0Δ减小，脉冲变窄，面积不变。