高三数学数列极限检测题(一)

数列极限练习题计算数列的极限与相关性质数列极限练习题：计算数列的极限与相关性质数列是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

学习数列的极限与相关性质可以帮助我们更好地理解数列的发展趋势和规律。

在本文中，我们将通过一些练习题来计算数列的极限，并探讨与之相关的性质。

题目一：计算数列极限考虑以下数列：\[a_n = \frac{n+1}{n}\]我们需要计算该数列的极限。

解答：为了计算数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限，我们可以采用极限的定义。

根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为极限项所在的值。

在本题中，当\[n\]趋近于无穷大时，数列的极限为\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n}\]我们可以将该极限进行求解：\[\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1 +\frac{1}{n}\right)\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\frac{1}{n}\]趋近于零。

因此，上式可以化简为：\[\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1\]所以，数列\[a_n = \frac{n+1}{n}\]的极限为1。

题目二：数列极限的性质证明以下性质：若数列\[\{a_n\}\]和数列\[\{b_n\}\]的极限分别为\[A\]和\[B\]，则数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]。

证明：为了证明该性质，我们可以利用极限序列的定义和运算法则。

根据定义，当\[n\]趋近于无穷大时，数列\[\{a_n\}\]和\[\{b_n\}\]分别趋近于\[A\]和\[B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} a_n = A\]\[\lim_{n\to\infty} b_n = B\]我们需要证明数列\[\{a_n + b_n\}\]的极限为\[A + B\]，即：\[\lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = A + B\]根据极限的性质，我们知道当\[n\]趋近于无穷大时，\[\{a_n + b_n\}\]趋近于\[A + B\]，若且仅若\[\{a_n + b_n\} - (A + B)\]趋近于零。

高三数学数列极限试题
1.过点且方向向量为的直线交椭圆于两点，记原点为,
面积为,则_______
【答案】1
【解析】记，，因为，即的极限点为，过且方向向量为的直线方程为，代入椭圆方程，解得直线与椭圆的两交点，而，因此.
【考点】数列的极限.
2.．
【答案】
【解析】．
【考点】数列的极限．
3.．展开式中，二项式系数之和为各项系数之和为则= .
【答案】
【解析】.
4.已知两点O（0,0），Q（,b）,点P
1是线段OQ的中点，点P
2
是线段QP
1
的中点，P
3
是线段
P
1P
2
的中点，┅，是线段的中点，则点的极限位置应是 ( )
A．（,）B．()C．()D．()
【答案】C
【解析】因为点的坐标是，所以点的极限位置应是.
5.… =_______________
【答案】
【解析】
,
所以.
6.如果数列，，，…，，…是首项为，公比为的等比数列，（）,
等于
A．B．C．2D．4
【答案】D
【解析】由题意得，，。

故选
7.计算．
【答案】
【解析】略
8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，则
的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】略
9.若实数满足，则____________．
【答案】3
【解析】略
10.计算：。

【答案】.
【解析】.
【考点】极限的计算.。

高三数学数列专题检测制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一 选择题1．在等差数列{}n a 中，4681012120a a a a a ++++=，那么10122a a -= 〔 〕 A 20 B 22 C 24 D 282．数列{}n a 的首项1a =1， 121n n a a -=+，〔n ≥2〕，那么5a = 〔 〕 A 7 B 15 C 30 D 31 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设53a a =59，那么95ss = 〔 〕 A 1 B -1 C 2 D 124．等比数列{}n a 中，假设2*k k a a +的值〔 〕A必为正数 B 必为非负数 C 必为负数 D 符号不定5．等比数列 {}n a 的前n 项和n S =3n+k ，那么k 的值是 〔 〕A 2B1 C2D-16．在等比数列{}n a 中，1a <0，假设{}n a 是递增数列，那么q 应满足 〔 〕Aq>1 Bq<1C 0<q<1D q<0{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，77a b ≠，那么44a b 和的大小关系是 〔〕A44a b = B 44a b <C44a b >D 不确定8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设m>1，且2110m m m a a a -++-=，2138m s -=，那么m 的值是 〔 〕A38B20C10D99．等差数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n S 、n T ，假设n n S T =231n n +，那么100100a b = 〔〕 A1B23C199299D20030110．为迎接奥运会，决定从03年到07年这5年间更新内所有出租车。

假设每年更新的车辆数比前一年递增10%，那么03年底更新的车辆数为03年车辆总数的 〔 〕A10%B16.4%C16.8% D 20%二 填空题1．各项都是正数的等比数列，342314511,,,______2a a q a a a a a +≠=+成等差数列，则。

数列一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．A ．6B ．7C ．10D ．11（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．A ．nn a )1(1-+= B ．2π)1(sin 22-=n a nC ．π)1cos(1+-=n a nD ．1)1(1--+=n n a（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且*)()1(1221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．A ．365B ．21C ．17D ．10（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公比为31的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，n n a n ++=11，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．A ．9B ．10C ．99D ．100（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n cm a +的值为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等于（ ）．A ．25B ．50C ．100D ．150（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．A ．14B ．16C ．18D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．二、填空题：（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a20a + ＝__________．（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．（15）数列}{n a 中，1)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．三、解答题：（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；（Ⅱ）求数列}1{n S 的前n 项和n T ．（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，2tan 2tan3γα=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，γ 成等差数列．（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设3log )5(122+-=n n a n C ，试问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得3654=a ．（4）nn S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．（5）由已知可求得74=d ，7601=a ．（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(241=+q q a ，而)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．（8）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.2,2,2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．（9）由2110211≤⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得31148=--q q ．故24=q ，11-=q a ．因此)1)(1)(1()1)(1(216216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使1002)1(≤+n n ，*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．二、填空题：（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)3(232n n +．提示：（13）n n S n 1022-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以42为首项，2为公比，共7项的等比数列．（15）927)97(11n a a n n n -⋅=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是)(33*Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．又由5502=k S ，得550222)1(2=⋅-+k k k ．解得k ＝50．（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=n nn n n T n ．（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--.56061)1(,801)1(211qq a q q a nn 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1=n q （舍去）．由81=nq ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=nq 代入801)1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．由此解得21=a ，q ＝3．（20）βγγγγγγγαγαγαtan tan 212tan 12tan2tan 12tan2tan 2tan2tan12tan2tan 2tan243==-=-+=-+=+．且α 、β 、γ 均为锐角，故2π20<+<γα，2π0<<β，于是βγα=+2，即α ，β ，γ 成等差数列．（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(32121q q q a q a 解得⎩⎨⎧==.2,31q a ∴ 123-⋅=n n a ，nn a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22222--=-=-=n n n n C n n ．又*Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，n C 最小，为－12．（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为244332=⨯（万元）．所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元．（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得5)811(33%.+⨯（万元）．而5)811(33%.+⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．数列的极限【教学目标】⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.③掌握求数列极限的一些常用方法.⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.②培养学生分析问题解决问题的能力.⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.【教学课型】复习课【教学过程】（一）数列极限概念的理解.学生课前练习：⑴已知Aann=∞→lim,则在区间()εε+-AA,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）①数列(){}31n-没有极限②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-nn21的极限为0③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶()BA b aB b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －2121<<r B 21->r C 21>r D 1-<r （5）1312lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32知识归纳：1) 数列{}n a 的极限定义：任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作Aa n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②Aa n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落在区间()εε+-A A ,之内.2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .注意：和与积必须是有限的。

高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。

（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。

（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。

由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。

高考数学极限与导数知识点复习卷一、极限（一）数列的极限1、定义：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，那么就称 A 为数列｛an} 的极限，记作limn→∞ an ＝ A 。

2、运算法则：如果limn→∞ an ＝ A ，limn→∞ bn ＝ B ，那么（1）limn→∞ （an ± bn) ＝limn→∞ an ± limn→∞ bn ＝ A ± B ；（2）limn→∞ （an · bn) ＝limn→∞ an · limn→∞ bn ＝ A · B ；（3）limn→∞ （an ／ bn) ＝limn→∞ an ／limn→∞ bn ＝ A ／ B （B ≠ 0 ）。

（二）函数的极限1、当x → x0 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限趋近于 x0 （但x ≠ x0 ）时，如果函数f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→x0 f(x) ＝ A 。

（2）左极限：当 x 从 x0 的左侧（即 x ＜ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的左极限，记作limx→x0- f(x) ＝ A 。

（3）右极限：当 x 从 x0 的右侧（即 x ＞ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的右极限，记作limx→x0+ f(x) ＝ A 。

函数 f(x) 在点 x0 处的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即limx→x0 f(x) 存在⇔ limx→x0- f(x) ＝limx→x0+ f(x) 。

2、当x → ∞ 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→∞ f(x) ＝ A 。

极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。

7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。

8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。

9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。

10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。

12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。

13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。

数列极限题目练习题在高等数学中，数列极限是一个重要的概念，它在解析几何、微积分等数学领域中具有广泛的应用。

通过练习数列极限题目，我们可以加深对该概念的理解，并提高解题能力。

下面，我们将通过一些数列极限练习题，来帮助大家加强对数列极限的掌握。

1. 题目一已知数列 {an} 的通项公式为 an = 3n + 2，求该数列的极限。

解析：根据给定的通项公式，我们可以列出数列的前几项如下：a1 = 3(1) + 2 = 5a2 = 3(2) + 2 = 8a3 = 3(3) + 2 = 11观察数列的前几项可以发现，随着n 的增大，数列的值也逐渐增大，没有特定的取值范围。

因此，我们可以猜测该数列的极限为正无穷大。

证明：对于任意一个正实数 M，我们需要找到一个正整数 N，使得当 n >N 时，有 an > M 成立。

根据数列的通项公式，我们可以推导出如下不等式：3n + 2 > M3n > M - 2n > (M - 2)/3由于M 是一个固定的正实数，而(M - 2)/3 也是一个确定的正实数，所以我们可以取 N = ceil((M - 2)/3)，其中 ceil 表示向上取整。

当 n > N 时，即 n > ceil((M - 2)/3) 时，我们有：3n + 2 > 3 * ceil((M - 2)/3) + 2 >= (M - 2) + 2 = M因此，根据极限的定义，我们可以得出数列 {an} 的极限为正无穷大。

2. 题目二已知数列 {bn} 的通项公式为 bn = (-1)^n * (2n + 1)，求该数列的极限。

解析：根据给定的通项公式，我们可以列出数列的前几项如下：b1 = (-1)^1 * (2(1) + 1) = -3b2 = (-1)^2 * (2(2) + 1) = 5b3 = (-1)^3 * (2(3) + 1) = -7观察数列的前几项可以发现，数列的值在奇数项和偶数项之间交替变换。

数列极限计算练习题数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列有序的数字组成。

而数列极限是指数列随着项数增加，逐渐趋向于某个确定的值。

在数学中，我们经常需要计算数列的极限，这是一个能够帮助我们深入理解数列性质的重要工具。

本文将为您提供一些数列极限计算的练习题，希望可以帮助您提升数列极限计算的能力。

练习一：求极限1. 设数列 $a_n = \frac{n+3}{n+1}$，求 $\lim_{n \to \infty} a_n$。

解析：为了求得该数列的极限，我们可以对数列进行简化，将其化简为一个更容易计算的形式。

通过观察数列，我们可以发现分子和分母的最高次数都为$n$，因此我们可以用$n$去除分子和分母，得到：$a_n = \frac{n+3}{n+1} = \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}$当$n$趋近于无穷大时，分数$\frac{3}{n}$和$\frac{1}{n}$的值都趋近于0，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1+0}{1+0} = 1$因此，数列 $a_n$ 的极限为1。

2. 设数列 $b_n = \frac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} b_n$。

解析：我们可以将分子和分母进行因式分解，得到：$b_n = \frac{(n-1)^2}{n^2+1}$当$n$趋近于无穷大时，$(n-1)^2$和$n^2$的值都趋近于无穷大，因此我们可以将它们忽略不计。

最后，我们得到：$\lim_{n \to \infty} b_n = \frac{\infty}{\infty}$对于这种形式的极限计算，我们可以利用洛必达法则。

洛必达法则可以用于解决形式为$\frac{\infty}{\infty}$的不定型，即分子和分母都趋近于无穷大的情况。

高三数学数列、极限检测题（一）高三数学备课组郭光健姓名 班级 学号一、选择题（６＊９＝５４分）１、数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，{}n a 的通项公式为A.21n a n =-B.2n a n = C.22(1)n n a n += D.22(1)n n a n =-２.设数列{}n a ，cnb naa n +=，其中a 、b 、c 均为正数，则此数列 A 递增 B 递减 C 先增后减 D 先减后增 ３、 等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则n 为 A ．48 B ．49 C ．50 D ．51 ４、 等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（A ） 12 （B ） 24 （C ） 16 （D ） 4５、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n ，则n 为（ ） (A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 ６、已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n ７、1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ） A.7S B.8S C.13S D.15S ８、a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 32nn a a a +⋅⋅⋅++∞→等于 A .2 B .1 C .21 D .31９、已知数列{a n }中，a 1=1，2a n +1=a n (n =1，2，3…)，则这个数列前n 项和的极限是 A .2 B .21 C .3 D .31二、填空题：（４＊５＝２０分）１０、._____)51()1(lim 5250=++-+→xx x x x 1１．若f(x)=1)1(122+--x x x 的极限为1，则x 的变化趋向是______.１２、 数列１＋3q +5q 2+7q 3+9q 4＝ _______.1３、在数列{}n a 中，已知=++++=-=+2032111,420a a a a a a a n n 则，______.三、解答题：（２＊１３＝２６分）1４、 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2nn na b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式。

数列一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．A ．6B ．7C ．10D ．11（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．A ．nn a )1(1-+= B ．2π)1(sin 22-=n a nC ．π)1cos(1+-=n a nD ．1)1(1--+=n n a（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且*)()1(1221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．A ．365B ．21C ．17D ．10（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公比为31的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，n n a n ++=11，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．A ．9B ．10C ．99D ．100（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n cm a +的值为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等于（ ）．A ．25B ．50C ．100D ．150（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．A ．14B ．16C ．18D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．二、填空题：（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a20a + ＝__________．（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．（15）数列}{n a 中，1)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．三、解答题：（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；（Ⅱ）求数列}1{n S 的前n 项和n T ．（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，2tan 2tan3γα=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，γ 成等差数列．（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设3log )5(122+-=n n a n C ，试问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得3654=a ．（4）nn S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．（5）由已知可求得74=d ，7601=a ．（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(241=+q q a ，而)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．（8）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.2,2,2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．（9）由2110211≤⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得31148=--q q ．故24=q ，11-=q a ．因此)1)(1)(1()1)(1(216216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使1002)1(≤+n n ，*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．二、填空题：（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)3(232n n +．提示：（13）n n S n 1022-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以42为首项，2为公比，共7项的等比数列．（15）927)97(11n a a n n n -⋅=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是)(33*Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．又由5502=k S ，得550222)1(2=⋅-+k k k ．解得k ＝50．（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=n nn n n T n ．（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--.56061)1(,801)1(211qq a q q a nn 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1=n q （舍去）．由81=nq ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=nq 代入801)1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．由此解得21=a ，q ＝3．（20）βγγγγγγγαγαγαtan tan 212tan 12tan2tan 12tan2tan 2tan2tan12tan2tan 2tan243==-=-+=-+=+．且α 、β 、γ 均为锐角，故2π20<+<γα，2π0<<β，于是βγα=+2，即α ，β ，γ 成等差数列．（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(32121q q q a q a 解得⎩⎨⎧==.2,31q a ∴ 123-⋅=n n a ，nn a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22222--=-=-=n n n n C n n ．又*Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，n C 最小，为－12．（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为244332=⨯（万元）．所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元．（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得5)811(33%.+⨯（万元）．而5)811(33%.+⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．数列的极限【教学目标】⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.③掌握求数列极限的一些常用方法.⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.②培养学生分析问题解决问题的能力.⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.【教学课型】复习课【教学过程】（一）数列极限概念的理解.学生课前练习：⑴已知Aann=∞→lim,则在区间()εε+-AA,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）①数列(){}31n-没有极限②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-nn21的极限为0③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶()BA b aB b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －2121<<r B 21->r C 21>r D 1-<r （5）1312lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32知识归纳：1) 数列{}n a 的极限定义：任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作Aa n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②Aa n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落在区间()εε+-A A ,之内.2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .注意：和与积必须是有限的。

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

高三数学数列、极限检测题（一）
高三数学备课组郭光健 姓名 班级 学号
1、选择题（６＊９＝５４分）
１、数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为
A. B. C. D.
２.设数列，，其中a、b、c均为正数，则此数列
A　递增 B　递减 C　先增后减 D先减
后增
３、等差数列中，已知，则n为
A．48 B．49 C．50 D．51
４、等差数列中，，那么的值是
（A） 12 （B） 24 （C） 16 （D） 4
５、等差数列的前n项和为，已知，则n为（）
(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15
６、已知,则数列的通项公式( )
A. B. C. D.
７、1. 等差数列的前n项和为，若的值为常数，则下列各数中也是常数的是（）
A. B. C. D.
８、a n是(1+x)n展开式中含x2的项的系数，则等于
.2 B.1 C. D.
９、已知数列{a n}中，a1=1，2a n+1=a n(n=1，2，3…)，则这个数列前n项和的极限是
.2 B. C.3 D.
二、填空题：（４＊５＝２０分）
１０、
1１．若f(x)=的极限为1，则x的变化趋向是______.
１２、数列１＋3q+5q2+7q3+9q4＝ _______.
1３、在数列中，已知______.
三、解答题：（２＊１３＝２６分）
1４、设数列的前n项和为，且，
（1）设，求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式及前n项和的公式。

=2+ka n为数列的前n项和，其中k为不等于1的常数。

n
；（2）若，求k的取值范围.。

高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。

参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。

参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。

参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。

参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。

参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。

数列极限习题及答案数列极限习题及答案数列是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

数列的极限是数学分析中的基本概念之一，它描述了数列随着项数的增加趋向于某个确定的值。

在这篇文章中，我们将讨论一些关于数列极限的习题，并给出相应的答案。

1. 习题一：考虑数列{an}，其中an = 1/n。

求该数列的极限。

解答：要求该数列的极限，我们需要计算当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于的值。

对于这个数列，当n趋向于无穷大时，an的值趋向于0。

因此，该数列的极限为0。

2. 习题二：考虑数列{bn}，其中bn = (-1)^n/n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n为奇数时，bn = -1/n；当n为偶数时，bn = 1/n。

当n趋向于无穷大时，奇数项和偶数项的绝对值都趋向于无穷大。

但是，由于数列中的负号交替出现，所以数列的极限不存在。

3. 习题三：考虑数列{cn}，其中cn = (n+1)/n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，cn的值趋向于1。

因此，该数列的极限为1。

4. 习题四：考虑数列{dn}，其中dn = 2^n/n!。

求该数列的极限。

解答：要求该数列的极限，可以尝试计算数列的前几项并观察规律。

当n取1时，d1 = 2/1 = 2；当n取2时，d2 = 4/2 = 2；当n取3时，d3 = 8/6 = 4/3；当n取4时，d4 = 16/24 = 2/3。

观察可以发现，当n趋向于无穷大时，数列的值趋向于0。

因此，该数列的极限为0。

5. 习题五：考虑数列{en}，其中en = (1+1/n)^n。

求该数列的极限。

解答：对于这个数列，当n趋向于无穷大时，(1+1/n)^n的值趋向于自然对数e 的值。

因此，该数列的极限为e。

通过以上习题的讨论，我们可以看到数列的极限与数列的定义和表达式有着密切的关系。

在计算数列的极限时，我们需要观察数列的规律，并利用数学知识进行推导和计算。

数列极限的概念在数学分析中有着广泛的应用，例如在微积分、实分析等领域中都会涉及到。

卜人入州八九几市潮王学校高考数学第一轮复习数列极限数学归纳法单元测试题 说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，总分值是150分，考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题，一共60分〕一、 选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1、 假设c b a c b a 、、，则，，1226232===构成 A 、等差数列B 、等比数列C 、是等差数列也是等比数列D 、不是等差数列也不是等比数列2、{}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，那么使n a <0的最小的n 值是 A 、5B 、6 C 、7D 、83、一个等比数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，那么前3n 项和为A 、183B 、108C 、75D 、634、某商品降价10％后欲恢复原价，那么应提价A 、10％B 、11％C 、9111％D 、12％ 5、等比数列}{n a 的各项均为正数，公比，，设2193a a P q+=≠Q=75a a ，那么P 与Q 的大小关系是A 、P>QB 、P<QC 、P=QD 、无法确定6、等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，对一切自然数n 都有132+=n n T S n n ，那么55b a 等于32、A B 、149C 、3120D 、1711 7、数列}{n a 的通项公式为=n a 3n-50，那么其前n 项和S n的最小值是A 、-784B 、-392C 、-389D 、-3688、公差不为0的等差数列}{n a 中，632a a a 、、依次成等比数列，那么公比等于A 、21B 、31C 、2D 、3 9、数列 ，，，，，，，，，，4141414131313121211的前100项的和为 A 、14913B 、141113C 、14114D 、14314 10、无穷数列}141{2-n 各项的和等于 A 、1B 、21C 、31D 、2 11、}{n a 是实数构成的等比数列，S n 是其前n 项和，那么数列}{n S 中A 、任一项均不为0B 、必有一项为0C 、至多有有限项为0D 、或者无一项为0，或者无穷多项为012、在数列}{n a 中，n n n n n a n S n a n a n a ∞→-≥-=+=lim )2()1()1(111项和，则是前，，等于A0B1 C 、2D3第二卷〔非选择题，一共90分〕 二、 填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕13、等差数列}{n a 中，1073310a a a a 、、，=成等比数列，那么公差d=_________，公比q=___________。

高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。

记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”； 注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的； （3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。

说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。

换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。

例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n； （3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---； 例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----； （3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---； （4）11,2,4,8,16,...,2,...n -； （5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-； （3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。

高三数学同步检测(六)极限说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分；请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内；第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分；考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题；每小题4分；共40分)1.下列无穷数列中,极限不存在的数列是( ) A.1,21-,41,81-,n 121·)1(+-n ,… B.3,3,3,3,…,3,… C.3,25,37,…,nn 12+,… D.1,0,-1,0,…,2sin πn ,… 分析 本题考查常见数列的极限.解 ∵∞→n lim (-1)n +1·n 21=0,∞→n lim 3=3, ∞→n lim n n 12+=∞→n lim (n12+)=2, ∴A 、B 、C 存在极限.而D 是一摆动数列,不存在极限.答案 D∞→n lim a n =3且∞→n lim b n =-1,那么∞→n lim (a n +b n )2等于( )分析 本题考查数列极限的运算法则,即如果两个数列都有极限,那么它们的和、差、积、商的极限分别等于它们极限的和、差、积、商.解 ∞→n lim (a n +b n )2=∞→n lim (a n 2+2a n b n +b n 2) =∞→n lim a n 2+2∞→n lim a n ·∞→n lim b n +∞→n lim b n 2 =32+2×3×(-1)+(-1)2=4.答案 A⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=2,,2,,2,)(2x a x x x x b x x f 在x =2处连续,则实数a 、b 的值是( ) A.-1,2 B.0,2 C.0,-2 D.0,0分析 本题考查函数的左、右极限与函数极限的关系、函数连续的概念及它们之间的关系.解 f (x )在x =2处连续⇔.4)2(lim )(lim 22===-+→→f x f x x ∵-→2lim x f (x )=-→2lim x (x 2+a )=4+a =4,∴a =0.+→2lim x f (x )=+→2lim x (x +b )=2+b =4,∴b =2. 答案 B4.等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若,132+=n n T S n n 则nn n b a ∞→lim 的值等于( ) B.36 C.32 D.94 分析 本题考查当n →∞n 项和的比值表示出来,即把n n b a 转化成关于n 的多项式. 解法一 设S n =k n ·2n ,T n =kn (3n +1)(k 为非零常数).由a n =S n -S n -1(n ≥2),得a n =2kn 2-2k (n -1)2=4kn -2k ,b n =kn (3n +1)-k (n -1)［3(n -1)+1］=6kn -2k . ∴nn n b a ∞→lim ＝=--∞→k kn k kn n 2624lim .32642624lim ==--∞→n n n 解法二 ∵n n b a =22121121121121----++=++n n n n b b a a b b a a ,2)12(2)12(1212121121----=+⋅-+⋅-=n n n n T S b b n a a n 又∵,132+=n n b S n n ∴.26241)12(3)12(21212--=+--==--n n n n T S b a n n n n ∴.32642624lim lim==--=∞→∞→n n b a n n n n 答案 C,41121lim 22=--+∞→x x kx x 则常数k 的值为( ) B.21 D.-21解析 原式=,21121lim 22k x x x k x =--+∞→ ∵,412=k ∴k =21. 答案 B 6.213lim 21-+-→x x x x 的值为( )分析 本题考查函数在x →x 0x =x 0代入函数解析式,解析式有意义,那么f (x 0)的值就是函数的极限值.解 .3211113213lim 21-=-+-⨯=-+-→x x x x 答案 Bf (x )= 41624--x x 的不连续点是( ) A.x =2 B.x =-2C.x =2和x =-2D.x =4分析 本题考查函数的连续性.一般地,函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；(2))(lim 0x f x x →存在； (3)),()(lim 00x f x f x x =→,即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 解 因函数在x =±2时无定义,所以不连续点是x =±2.答案 C 8])13)(23(11071741411[lim +-+⋯+⋅+⋅+⋅∞→n n n 等于( ) A.41 B.31 C.32 分析 由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.解 ∵),131231(31)13)(23(1+--=+-n n n n )13)(23(11071741411+-+⋯+⋅+⋅+⋅∴n n.13)1311(31)131231101717141411(31+=+-=+--+⋯+-+-+-=n n n n n ∴原式=.3113lim=+∞→n n n 答案 B9.★已知一个数列的通项公式为f (n ),n ∈N*,若7f (n )=f (n -1)(n ≥2)且f (1)=3,则∞→n lim ［f (1)+f (2)+…+f (n )］等于( ) A.27 B.73 27 分析 本题考查当n →∞f (n ),然后求其前n 项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于n 的多项式,再求极限.解 ∵f (1)=3≠0,∴.71)1()(=-n f n f ∴数列为首项为3,公比为71的等比数列. ∴f (n )=3·(71)n -1. 由公比不为1的等比数列的前n 项和公式,得S n =].)71(1[27711])71(1[3n n -=-- ∴.27])71(1[27lim )]()2()1([lim =-=+⋯++∞→∞→n n n n f f f 答案 A10.∞→n lim (2x +1)n =0成立的实数x 的范围是( ) A.x =-2121＜x ＜0 C.-1＜x ＜0 D.-1＜x ≤0分析本题考查数列的一个重要极限,即limn →∞an=0时,有|a|＜1.解 要使∞→n lim (2x +1)n =0,只需|2x +1|＜1,即-1＜2x +1＜1.解得-1＜x ＜0. 答案 C第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题；每小题4分；共16分.把答案填在横线上)11.∞→n lim =+-+⋯++++)1121311(222n n n n . 分析 当n 无限增大时, 1)12(3111213112222+-+⋯++=+-+⋯++++n n n n n n 的分子中含无限多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.解 原式=∞→n lim .11lim 1)12(31222=+=+-+⋯++∞→n n n n n 答案 112.1lim →x =-+-+54222x x x x . 分析 本题考查当x →x 0x =1代入分子、分母中,分式变成“00”型,不能直接求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求极限.解1lim →x =-+-+54222x x x x 1lim →x =-+-+)1)(5()1)(2(x x x x 1lim →x .216352==++x x 答案 21 13.★一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球最多能上升 米.解析 由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,…,上升的高度组成首项为25,公比为54的等比数列,它上升的最大高度S =∞→n lim S n =∞→n lim ).(125541])54(1[25米=--n 答案 12514.∞→n lim =-+-+++11)2(3)2(3n n nn . 分析 本题考查∞→n lim q n =0,|qn →∞时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、分母同时除以底数最大、次数较高的项3n ,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解. 解 .310301)32(23)32(1lim )2(3)2(3lim 11=-+=-⋅--+=-+-+∞→++∞→n n n n n n n n 答案31 三、解答题(本大题共5小题；共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)讨论函数⎩⎨⎧<-->2,)2(2,)(2x x x x x f 在x =2处的左极限、右极限以及在x =2处的极限.分析 本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系..)(lim )(lim )(lim 000a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+-→→→ 对于常见函数,可先画出它的图象,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限. 解 当x →2-时,函数无限接近于0,即.0)(lim 2=-→x f x 3分 当x →2+时,函数无限接近于2,即.2)(lim 2=+→x f x 综上,可知)(lim 2x f x -→≠)(lim 2x f x +→, 6分 ∴函数f (x )在x =2处极限不存在. 8分16.(本小题满分8分)已知数列{a n }中,a n =,)12)(12()2(2+-n n n S n 为其前n 项的和,求n S n n ∞→lim 的值. 分析 由于nS n n ∞→lim 中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式,转化为有限项的极限问题. 而)12)(12()2(2+-=n n n a n 是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.解 分 ３分6.1222)]1211(21[1)]1211215131311(21[1)]121121(1)5131(211)311(211[11,21)121121(1)12)(12(11)2()12)(12()2(22++=+-+=+--+⋯+-+-+=+--++⋯+-++-+=∴⨯+--+=+-+-=+-=n n n n n n n n n n n n S n n n n n n n n n a n n ∴.11212lim lim =++=∞→∞→n n n S n n n 8分 17.(本小题满分8分)如图,已知Rt △ABC 中,∠B =90°,tan C =0.5,AB =1,在△ABC 内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.分析 本题考查等比数列前n 项和的极限.解 设正方形BD 1C 1B 1、D 1D 2C 2B 2、…的边长分别为a 1,a 2,….∵AB =1,tan C =0.5,∴BC =2.由相似三角形的知识可得11211a a -=, ∴a 1=32.同理,可得a 2=32a 1,…,a n =32a n -1. ∴{a n }是以32为首项,以32为公比的等比数列. 3分 设{S n }是第n 个正方形的面积,则S n 是以94为首项, 94为公比的等比数列. 4分 ∴∞→n lim (S 1+S 2+…+S n )=∞→n lim ,54])94(1[lim 54941])94(1[94=-=--∞→n n n 即所有这些正方形面积之和为54. 8分 18.★(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前三项为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,S k =2 550.(1)求a 及k 的值;(2)求∞→n lim )111(21nS S S +⋯++的值. 解 (1)∵a +3a =2×4,∴a =2.∴数列{a n }是首项为2,公差为2的等差数列. 2分 ∵2k +2)1(-k k ×2=2550,∴k =50, 即a 、k 的值分别为2、50. 5分 (2)∵S n =2n +2)1(-n n ×2=n 2+n , ∴分7.111)1(1112+-=+=+=n n n n n n S n ∴.111111312121111121+-=+-+⋯+-+-=+⋯++n n n S S S n ∴.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∞→∞→n S S S n n n 分10 19.★(本小题满分10分)已知,22lim 22n x mx x x =+++-→求m 、n 的值. 分析 本题考查当x →x 0时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求m 、n . 由n x m x x x =+++-→22lim 22可知x 2+mx +2含有x +2这一因式,∴x =-2为方程x 2+mx +2=0的根. ∴m =3,代入进而可求得n .也可由,22lim 22n x mx x x =+++-→得 .22)2(lim 2lim 2222+++⋅+=++-→-→x mx x x mx x x x 解出m ,再求n .解法一 ∵,22lim 22n x mx x x =+++-→ ∴x =-2为方程x 2+mx +2=0的根. ∴m =3. 4分 又,1)1(lim 223lim 222-=+=+++-→-→x x x x x x ∴n =-1. 9分∴m =3,n =-1. 10分,0022lim )2(lim 22)2(lim )2(lim 2222222=⋅=+++⋅+=+++⋅+=++-→-→-→-→n x m x x x x m x x x m x x x x x x 解法二 ∴(-2)2+(-2)m +2=0,m =3.同上可得n =-1.。