高中数学苏教版必修四学案：1.2.2 同角三角函数关系

课堂导学三点剖析1.同角三角函数关系【例1】已知sinθ-cosθ=21,则sin 3θ-cos 3θ=__________________. 思路分析：把sin 3θ-cos 3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.解析 ：∵sinθ-cosθ=21, ∴(sinθ-cosθ)2=41. ∴1-2sinθcosθ=41. ∴sinθ·cosθ=83. ∴sin 3θ-cos 3θ=(sinθ-cosθ)(sin 2θ+sinθ·cosθ+cos 2θ) =21·(1+83)=1611. 答案：1611 温馨提示若已知sinα-cosα与sinα+cosα其中一个条件，求sin 2α·cos 2 α,sin 3α±cos 3α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式【例2】 已知cosα=178-,求sinα及tanα的值. 思路分析：用同角三角函数关系解题.解：∵cosα＜0,且cosα≠-1∴α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角，那么 sinα=1715)178(1cos 122=--=-a . tanα=ααcos sin =1715×(-817)=815-. 如果α是第三象限角，那么 sinα=-1715,tan α=815. 温馨提示(1)要会用公式sin 2α+cos 2α=1的变形sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α.(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.【例3】求证：θθθθθθcos sin 1sin cos 1sin cos 1+=-+++. 思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明. 证法1：左边=θθθθsin cos 1sin cos 1-+++ =)sin cos 1(cos cos sin cos cos 2θθθθθθθ-+++ =)sin cos 1(cos sin 1)sin 1(cos 2θθθθθθ-+-++ =θθθθθθθθcos sin 1)sin cos 1(cos )sin 1)(cos sin 1(+=-+-++=右边. ∴原式成立.思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数，因此可用三角函数定义证明. 证法2：设P （x,y ）是象限角θ终边上一点，|OP|=r ＞0,则由三角函数的定义知： sinθ=ry ,cosθ=r x ,且x 2+y 2=r 2. 所以，左式=r y r x r y r x -+++11 =)()()()()()(222y r x x y r x y r y r x x r y x x y r x x y r x x y r x y r x -+++-=-+++=-+++=-+++ xy r y r x x x y r y r +=-++-+=)())(( =θθcos sin 11+=+rx r y =右式. 故原式成立.思路分析3：考虑到A=B ⇔A-B=0,故此题可采用比较法.证法3：因为θθθθsin cos 1sin cos 1-+++-θθcos sin 1+= )sin cos 1(cos )sin cos 1)(sin 1()sin cos 1(cos θθθθθθθθθ-+-++-++ =0)sin cos 1(cos 1cos sin 22=-+-+θθθθθ,所以θθθθθθcos sin 1sin cos 1sin cos 1+=-+++. 3.关于“1”的变换【例4】 已知tanα=2,求sin 2α-3sinαcosα+1的值.思路分析：主要应用“1”的变换.解：sin 2α-3sinαcosα+1=sin 2α-3sinαcosα+(sin 2α+cos 2α)=2sin 2α-3sinαcosα+cos 2 α1tan 1tan 3tan 2cos sin cos cos sin 3sin 2222222++-=++-=ααααααααα =53121232222=++⨯-⨯. 温馨提示已知tanα的值，求形如asin 2α+bsinαcosα+ccos 2α的值，可将分母1化为1=sin 2α+cos 2α代入，从而转化为关于tanα的表达式后再求值.各个击破类题演练1 已知1tan tan -αα=-1,求值. ααααcos sin cos 3sin +-. 解析：由已知，tan α=21,所以， 351213211tan 3tan cos sin cos 3sin -=+-=+-=+-αααααα 变式提升1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.解：∵sin 2 α+cos 2 α=1,∴sin 2α=1-cos 2α. 又∵ααcos sin =tanα, ∴tan 2α=1cos 1cos cos 1cos sin 22222-=-=ααααα. 于是α2cos 1=1+tan 2α cos 2α=α2tan 11+. 由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而cosα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.,,tan 11,,,tan 1122三象限角为第二当四象限角为第一当αααα sinα=cosαtanα =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.,,tan 1tan ,,,tan 1tan 2222三象限角为第二当四象限角为第一当αααααα 类题演练2已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π)，求 tanθ的值. 解：将已知等式平方，得 2sinθ·cosθ=2524-. ∵sinθ+cosθ=51＞0,∴sinθ＞0,cosθ＜0 ∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0.而（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=2549,于是sinθ-cosθ=57. 和已知等式联立，便可解得 sinθ=54,cosθ=53-,tanθ=43-. 变式提升2 已知f(x)=x x +-11,若α∈(2π,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________. 解：f(cosα)+f (-cosα)=αααααααα2222cos 1)cos 1(cos 1)cos 1(cos 1cos 1cos 1cos 1-++--=-+++- =.|sin |2|sin |2|sin |cos 1|sin |cos 1αααααα==++- 答案：αsin 2 类题演练3 求证：（1）ααααααααsin tan sin tan sin tan sin tan •+=-•; (2)xx x x x x x x sin cos 1)1cos )(sin 1cos (sin cos sin 2+=+--+. 思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.证明：（1）左边=ααααααααααααααsin cos 1)cos 1(sin cos 1cos sin sin sin sin cos sin cos sin 222+=--=-=- =αααααααααsin tan sin tan tan 1sin 1sin cos sin 1•+=+=+=右边.所以,原命题成立.（2）左边=)]1(cos )][sin 1(cos [sin cos sin 2---+x x x x xx =22)1(cos sin cos sin 2--x x xx =1cos 2cos sin cos sin 222-+-x x x xx =x x x x x cos 1sincos 2cos 2cos sin 22-=- =)cos 1)(cos 1()cos 1(sin x x x x +-+ =x xx x x sin cos 1sin )cos 1(sin 2+=+所以，原命题成立.变式提升3已知tan 2α=2tan 2β+1,求证：sin 2β=2sin 2α-1.证明：因为tan 2α=2tan 2β+1, 所以1cos sin 2cos sin 2222+=βββα=βββββ22222cos sin 1cos cos sin 2+=+, 所以ββαα2222sin 1sin 1sin 1sin -+=-.所以sin 2α(1-sin 2β)=(1-sin 2α)(1+sin 2β).所以sin 2β=2sin 2α-1.类题演练4ααcos sin 21+的值为（ ）A.sinα+cosαB.sinα-cosαC.cosα-sinαD.|sinα+cosα| 解析：∵1+2sinαcosα=sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=(sinα+cosα)2∴原式=2)cos (sin αα+=|sinα+cosα|,故选D.答案：D变式提升4若β∈［0,2π),且β2cos 1-+β2sin 1-=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（ ） A.［0,2π) B.［2π,π］ C.［π, 23π］ D.［23π,2π) 解析：∵β2cos 1-+β2sin 1-=ββ22cos sin +=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角（包括x 轴负半轴和y 轴正半轴）. ∵0≤β＜2π,∴β∈［2π,π］. 答案：B。

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1。

2.2 同角三角函数关系错误!教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋错误!，k∈Z。

通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质（正用、逆用、变形用）,对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α,1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±错误!，sinα＝tanαcosα，cosα＝错误!.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋错误!,k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋错误!，k∈Z，变为α∈R.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时,根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用．教学难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值:(1）sin290°＋cos290°;（2)sin230°＋cos230°；(3)错误!;（4）错误!.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课错误!如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1。

同角三角函数关系扬州大学附属中学张卫兵一、教材分析本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第二节内容。

它是任意角的三角函数后继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。

同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。

二、学情分析部分学生数学基础薄弱，但他们思维活跃，求知欲较强；在本节课之前，已经学习了任意角概念的推广、任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数的概念，学生对此有了一定的理解和掌握，并对三角函数在各象限的符号进行了讨论，为本节课的学习打好基础。

三、教学目标1、知识与技能：理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题,培养的运算能力，逻辑推理能力。

2、过程与方法：让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养的动手实践、探索、研究能力。

3、情感态度与价值观：通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养的辩证唯物主义世界观。

四、重点难点教学重点：同角三角函数的基本关系；教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用。

五、教学方法启发式和探究式相结合的教学方法六、教学手段计算机多媒体教学七、教学过程（一）、问题情境问题1、如图1，设是α一个任意角，它的终边与单位圆交于P, ，那么由三角函数的定义可知_____________sin =α；__________cos =α；_________tan =α问题2、图1中的三角函数线是：正弦线______________ ； 余弦线________________；正切线__________________。

设计意图：让学生复习旧知，目的为学生自主学习同角三角函数关系作准备。

（二）、学生活动问题3：完成上表并通过上表，你能归纳出αsin 与αcos ，αsin 、αcos 与 αtan 之间有什么关系吗？设计意图：引导学生用特殊到一般的数学思维来观察猜想、归纳总结公式，从而感知同角三角函数基本关系。

第5课时 §1.2.2 同角三角函数关系（1）【教学目标】一、知识与技能1.掌握同角三角函数的基本关系，已知某角的一个三角函数值，会求其余的各三角函数值。

2.理解并掌握同角三角函数的基本关系及简单变形，并能应用它解决一类三角函数的求值问题，提高学生分析和解决问题的能力。

3.通过学习，认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重难点：正弦、余弦、正切线的概念及利用【教学过程】一、复习引入任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α=． 注意：α的取值范围二、新课：1. 根据这六个三角函数的定义，你能不能通过一些初等运算（加、减、乘、除、乘方等），找出一些同角三角函数之间的关系？2. 公式推导：（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，cos cot sin ααα=．（3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=．说明：①注意 “同角”，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41αα+=等；②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2k k Z πααα⋅=≠∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：cos α=， 22sin 1cos αα=-， sin cos tan ααα=等。

三、例题分析：例1、已知54sin =α，并且α是第二象限角，求αααcot ,tan ,cos 的值。

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1.2.2 同角三角函数关系1．同角三角函数关系 （1)同角三角函数关系设角α的终边与单位圆交于P 点,则点P 的坐标为(cos_α，sin_α)．由此可知sin 2α＋cos 2α＝1,错误!＝tan_α。

(2)同角三角函数关系式成立的条件①当α∈R 时，sin 2α＋cos 2α＝1成立；②当α≠错误!＋k π(k ∈Z ）时,错误!＝tan α成立． 预习交流1怎样理解概念中的“同角"二字？提示：“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立．与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．2．同角三角函数关系式的变形式同角三角函数关系式的变形式有:1－sin 2α＝cos 2α；1－cos 2α＝sin 2α；sin α＝±错误!；cos_α＝±错误!；tan α·cos α＝sin_α；错误!＝cos_α等．预习交流2sin 2α与sin α2相同吗？提示:不同．sin 2α是(sin α）2的简写，读作sin α的平方；而sin α2中,只对角α平方．前者是角α的正弦的平方，后者是角α的平方的正弦，两者截然不同．一、求三角函数值已知cos α＝错误!，求sin α和tan α。

1.2.2 同角三角函数关系1．理解同角三角函数的大体关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝sin αcos α.(重点) 2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理同角三角函数的大体关系阅读教材P16～P17的有关内容，完成下列问题．1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.2．商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．()(3)若sin α＝12，则cos α＝32.()【解析】(1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式sinα2cosα2＝tanα2的条件是⎩⎪⎨⎪⎧cos α2≠0，α2≠π2＋kπ，k∈Z，即α≠π＋2kπ，k∈Z.(3)×.因为α的范围不明，故cos α＝±1－sin2α＝±32.【答案】(1)√(2)×(3)×2．已知α是第二象限角，且cos α＝－13，则tan α＝________. 【解析】∵α是第二象限角，∴sin α＞0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝1－cos2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】－2 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用同角基本关系式求值已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值．【出色点拨】 sin α＝－35――→sin 2α＋cos 2α＝1求cos 2α――→讨论α的所在象限求cos α，tan α【自主解答】 因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角． 由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1625.若是α是第三象限角，那么cos α＜0. 于是cos α＝－1625＝－45，从而tan α＝sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝34.若是α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.同角三角函数的大体关系式揭露了同角三角函数之间的关系，其最大体的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要时必需进行讨论.[再练一题]1．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 【解】 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.三角函数式的化简、求值化简：sin θ1－cosθ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ.【出色点拨】切化弦―→构造完全平方――→开方化简求值【自主解答】原式＝sin θ1－cos θ·sin θcos θ－sin θsin θcos θ＋sin θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ1＋cos θ＝sin θ1－cos θ·(1－cos θ)2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝sin θ1－cos θ·(1－cos θ)21－cos2θ＝sin θ1－cos θ·1－cos θ|sin θ|＝sin θ|sin θ|＝±1.化简三角函数式的常常利用方式：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.[再练一题]2．化简下列各式：(1)tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角．(2)1－2sin α2cos α2＋1＋2sin α2cos α20＜α＜π2. 【导学号：06460009】 【解】 (1)原式＝tan αsin 2α＋cos 2αsin 2α－1＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2 ＝tan α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan α＝－1. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2 ∵0＜α＜π2， ∴0＜α2＜π4. ∴0＜sin α2＜cos α2.∴原式＝cos α2－sin α2＋sin α2＋cos α2＝2cos α2.三角函数式的证明求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.【出色点拨】 从左侧利用“1＝sin 2x ＋cos 2x ”及平方差公式推右边即可． 【自主解答】 ∵(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ， ∴左侧＝(sin x ＋cos x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边．在计算、化简或证明三角恒等式时，常常利用的技能有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技能的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的从头整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用.[再练一题]3．证明下列三角恒等式：(1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α；(2)2sin αcos α(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)＝1＋cos αsin α.【证明】(1)左侧＝sin αcos α·sin αsin αcos α－sin α＝sin2αsin α－sin αcos α＝1－cos2αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α.右边＝1sin α＋1tan α＝1sin α＋cos αsin α＝1＋cos αsin α.∴左侧＝右边，等式恒成立．(2)左侧＝2sin αcos α[sin α＋(cos α－1)][sin α－(cos α－1)]＝2sin αcos αsin2α－(cos α－1)2＝2sin αcos αsin2α－cos2α－1＋2cos α＝2sin αcos α2cos α(1－cos α)＝sin α1－cos α＝sin α(1＋cos α) (1－cos α)(1＋cos α)＝sin α(1＋cos α)sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原等式成立．[探讨共研型]“sin α±cos α”同“sin αcos α” 间的关系【提示】 设sin α±cos α＝m ，则(sin α±cos α)2＝m 2，即1±2sin αcos α＝m 2，所以sin αcos α＝±1－m22.反之也可以，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，开方即可．探讨2 已知sin α＋cos α的值，如何求sin α－cos α或cos α－sin α的值？ 【提示】 设sin α＋cos α＝t ，则1＋2sin αcos α＝t 2， 从而2sin αcos α＝t 2－1 ∴1－2sin αcos α＝2－t 2 从而(sin α－cos α)2＝2－t 2，对上式开方即可得出“sin α－cos α”或“cos α－sin α”的值．(2016·南京高一检测)已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π， 求：(1)sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．【出色点拨】 sin α＋cos α＝15――→平方求sin αcos α――→构造完全平方差公式求(sin α－cos α)2―――――→0＜α＜π求sin α－cos α【自主解答】 (1)∵sin α＋cos α＝15， ∴(sin α＋cos α)2＝125， ∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－12 25.(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝7 5.1．已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方即可．2．已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要按照已知角θ的范围，肯定sin θ±cos θ的正负．[再练一题]4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为________．【解析】∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－3 2.【答案】－32[构建·体系]1．已知α是第二象限的角，sin α＝513，则cos α＝________. 【解析】 cos α<0，故cos α＝－1－sin 2 α＝－1213. 【答案】 －12132．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.【解析】 由sin α＋cos α＝12，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，∴sin αcos α＝－38.【答案】 －383．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.【解析】 ∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2，∴tan α＋1＝4tan α－2，即3tan α＝3，∴tan α＝1. 【答案】 14．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________.【解析】 cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1.【答案】 15．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 【导学号：06460010】【证明】左侧＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sinα)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos2α－sin2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(四)同角三角函数关系(建议历时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________. 【解析】∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin2θ＝45.【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________.【解析】 ∵sin α＝55，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35.【答案】 －35 4．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.【导学号：06460011】 【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴54cos 2α＝1，又α为第二象限角，∴cos α＜0，∴cos α＝－255.【答案】 －2555．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos 2 4＝________.【解析】 1－cos 2 4＝sin 2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4.【答案】 －sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x 等于________． 【解析】 由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin x cos x ＝－cos x sin x －1＝－12. 【答案】 －127．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. 又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】 ∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289169，∴sin α－cos α＝1713.【答案】 1713二、解答题9．已知tan x ＝2，求：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x的值；(2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值．【解】 (1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3. (2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 10．已知tan 2 α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.【证明】 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2βcos 2β＋1， 所以1cos 2α＝2cos 2β，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.[能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________.【解析】 ∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________.【解析】 原式＝(sin 20°－cos 20°)2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°| ＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】 －13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0，∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713，∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m 的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝ ⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ. (3)方程的两根及此时θ的值．【解】 (1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34，代入②得m ＝34.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2 θsin θ－cos θ＋cos 2 θcos θ－sin θ＝sin 2 θ－cos 2 θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。

1．2.2 同角三角函数关系[学习目标] 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．[学问链接]1．任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？答 在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？ 答 MP ＝sin α，OM ＝cos α，AT ＝tan α.3．如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？ 答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合．P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝yr，cos α＝x r ，tan α＝y x. 于是sin 2 α＋cos 2α＝⎝⎛⎭⎫y x 2＋⎝⎛⎭⎫x r 2＝y 2＋x 2r 2＝1，sin αcos α＝yr x r ＝yx＝tan α. 即sin 2 α＋cos 2 α＝1，tan α＝sin αcos α. [预习导引]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )．2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.要点一 利用同角基本关系式求值例1 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解 ∵cos α＝－817<0，∴α是其次或第三象限的角，假如α是其次象限角，那么 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.假如α是第三象限角，同理可得 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.规律方法 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要留意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．另外也要留意“1”的代换，如“1＝sin 2 α＋cos 2α”．本题没有指出α是第几象限的角，则必需由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解． 跟踪演练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2 α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.要点二 三角函数代数式的化简 例2 化简下列各式：(1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°；(2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin α·tan α<0.解 (1)1－2 sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 2 10°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210° ＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin α·tan α<0，则sin α，tan α异号， ∴α是其次、三象限角，∴cos α<0，∴1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝(1－sin α)21－sin 2α＋ (1＋sin α)21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.规律方法 解答这类题目的关键在于公式的机敏运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而削减函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2 α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子，分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，如sin α－cos α2sin α＋cos α可化为tan α－12tan α＋1，再代入求值．②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，如3sin 2α－2cos 2α可写成3sin 2α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α，进一步化为3tan 2α－2tan 2α＋1，再代入求值．跟踪演练2 已知tan α＝3，则 (1)2sin α－3cos α4 sin α－9cos α＝________； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1；(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×32－3×3＋132＋1＝1. 要点三 三角函数恒等式的证明 例3 证明：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明 ∵右边＝tan 2α－sin 2 α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2 α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．规律方法 (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．跟踪演练3 已知2cos 4 θ＋5cos 2 θ－7＝a sin 4 θ＋b sin 2 θ＋c 是恒等式，求a 、b 、c 的值．解 2cos 4 θ＋5cos 2 θ－7＝2－4sin 2 θ＋2sin 4 θ＋5－5sin 2 θ－7＝2sin 4 θ－9sin 2 θ，故a ＝2，b ＝－9，c ＝0.1．化简1－2sin 40°cos 40°＝________. 答案 cos 40°－sin 40° 解析 原式＝sin 2 40°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin40°.2．已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝________.答案24解析 由α是第三象限的角，得到cos α＜0， 又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，则tan α＝sin αcos α＝24. 3．若α是第三象限角，化简1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.∴1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α＝(1＋cos α)21－cos 2α＋(1－cos α)21－cos 2α＝ (1＋cos α)2sin 2α＋(1－cos α)2sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos αsin α＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α＝－1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝－2sin α.4．求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.证明 左边＝sin θcos θ·sin θsin θcos θ－sin θ＝sin 2 θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2 θsin θ(1－cos θ)＝(1－cos θ)·(1＋cos θ)sin θ·(1－cos θ)＝1＋cos θsin θ＝右边． ∴原等式成立．1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 2 2α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要留意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来打算，切不行不加分析，凭想象写公式．3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观看题目的特征，机敏、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的动身点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要把握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，留意方法的机敏运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②削减三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．一、基础达标1．已知α是其次象限角，sin α＝513，则cos α＝________.答案 －1213解析 由于α为其次象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________.答案 －35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α ＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－35.3．已知α是其次象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是其次象限角，∴cos α<0. 又sin 2 α＋cos 2 α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝________________________________________________________________________. 答案 －32解析(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32. 5．化简：sin 2 α＋sin 2 β－sin 2 αsin 2 β＋cos 2 αcos 2 β＝______. 答案 1解析 原式＝sin 2 α＋sin 2 β(1－sin 2 α)＋cos 2 αcos 2 β ＝sin 2 α＋sin 2 βcos 2 α＋cos 2 αcos 2 β ＝sin 2 α＋cos 2 α(sin 2 β＋cos 2 β) ＝sin 2 α＋cos 2 α＝1.6．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________.答案 3或－13解析 由于sin α＋2cos α＝102，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，联立解得⎩⎨⎧sin α＝－1010，cos α＝31010，或⎩⎨⎧sin α＝31010，cos α＝1010.故tan α＝sin αcos α＝－13，或tan α＝3. 7．(1)化简1－sin 2100°； (2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α.解 (1)1－sin 2100°＝cos 2100°＝|cos 100°|＝－cos 100°.(2)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1. 二、力量提升8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. 答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9．已知θ是第三象限角，且sin 4 θ＋cos 4 θ＝59，则sin θcos θ＝________.答案23解析 ∵(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＝sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ， ∴2sin 2 θcos 2 θ＝1－(sin 4 θ＋cos 4 θ)＝1－59＝49，∴sin 2 θcos 2 θ＝29.又θ是第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin θ·cos θ>0，即sin θcos θ＝23.10．已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝________.答案 ±512解析 由于直线l 的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π)． 又由于sin θ＝513，所以cos θ＝±1－(513)2＝±1213，于是直线l 的斜率k ＝sin θcos θ＝±512.11．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值．(1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ. 解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15.12．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明 方法一左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α.∴原式成立． 三、探究与创新13．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．解 由于sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19，所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49.由于0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0. 又由于(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.。

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1。

2.２同角三角函数关系（1)公式的应用2、已知一个三角函数值求出其他三角函数值例1、已知：54sin =α,为第二象限角,求ααtan ,cos 的值。

变式:已知:54sin =α,求ααtan ,cos 的值。

例２ 、已知:512tan =α,求ααcos ,sin 的值.三、学习小结1、同角三角函数的基本关系式2、同角三角函数的基本关系式的应用 3．分类讨论思想,方程思想。

1。

下列关系式正确的序号有 135cos 35sin )1(22=+ 160cos 30sin )2(22=+︒︒1)4(cos )4(sin )3(22=+++ππx x 12cos 2sin )4(22=+ααoo 120sin 1120cos )5(2-=αααtan cos sin )6(=巩固练习: １、已知αcos =-54，且α为第三象限角,sinα=tan α=２、已知si ｎα=-21，求αcos ,t ａn α的值．３、已知ta ｎθ＝2,求s ｉn θ，co ｓθ的值。

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高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

1.2.2 同角三角函数的基本关系式（2）
教学目标：1.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
2.了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

教学重、难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。

教学过程：
（一）复习：
1．同角三角函数的基本关系式。

（1）商数关系：sin tan cos ααα
= （2）平方关系：22sin cos 1αα+=
（二）新课讲解：
例1
例2 ．
例3 2tan α=-，试确定使等式成立的角α的集合。

例4 求证：
cos 1sin 1sin cos x x x x
+=-．
例5 已知1sin cos )2
x x x π-+=<<，求sin ,cos x x ．
课堂小结：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。

教学后记。

1．2.2 同角三角函数关系(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；(2)能正确运用同角三角函数关系进行三角函数式的求值运算；(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明．2．过程与方法回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生养成面对问题勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法．●重点难点重点：同角三角函数之间的基本关系、化简与证明．难点：化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用．(教师用书独具)●教学建议1．同角三角函数的基本关系推导关于同角三角函数的基本关系推导的教学，建议教师引导学生在回顾初中所学知识的基础上利用三角函数的定义和单位圆进行推导，以体现数形结合的思想．2．同角三角函数的基本关系的应用关于求一个角的三角函数值的教学，建议教师在教学中注意以下几点：(1)理解“同角”的含义；(2)已知某角的一个三角函数值，可求它的其余各三角函数值；(3)角α所在象限不定时，对于三角函数值的讨论．3．三角函数式的化简关于三角函数式的化简的教学，建议教师在教学中讲清化简的基本要求：尽量减少角的种数、三角函数的种数、尽量化成同角、同名的三角函数等等，并在教学中及时地予以总结．●教学流程创设问题情境，根据三角函数定义，引导学生导出同角三角函数的基本关系，并推导出同角三角函数关系的简单变形.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握同角三角函数关系在求值中的应用方法.⇒通过例2及其变式训练，解决利用同角三角函数关系在化简中的应用.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用三角函数关系证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.2．能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)同角三角函数的基本关系式在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α， 对于任意角α，以上关系还成立吗？试证明你的结论．【提示】 设P (x ，y )为角α终边上任一点．①∵x 2＋y 2＝r 2，且sin α＝yr，cos α＝x r，∴sin 2α＋cos 2α＝1.②当α≠k π＋π2(k ∈Z)时，sin αcos α＝y r ÷x r ＝y r ×r x ＝yx＝tanα.(1)平方关系：sin 2α＋cos 2_α＝1.(2)商数关系：tan α＝sinαcos α(α≠k π＋π2，k ∈Z).求值问题(1)已知cos α＝－5，求sin α，tan α的值．(2)已知tan α＝－13，求下列各式的值．①2sin α－cos αsin α＋2cos α；②3sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α. 【思路探究】 (1)先由cos α的符号判断α所在的象限，然后分别由平方关系和商数关系求sin α，tan α的值．(2)利用同角三角函数的基本关系式tan α＝sin αcos α，将所求代数式转化为关于tan α的代数式，再将tan α的值代入即可．【自主解答】 (1)∵cos α＝－35＜0，∴α是第二、三象限角．若α是第二象限，则sin α＝1－cos 2α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43；若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝43.(2)①2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2sin αcos α－cos αcos αsin αcos α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝－5353＝－1.②3sin2α＋2sin αcos α－cos2α＝3sin2α＋2sin αcos α－cos2αsin2α＋cos2α＝3sin2αcos2α＋2sin αcos αcos2α－cos2αcos2αsin2αcos2α＋cos2αcos2α＝3tan2α＋2tan α－1tanα＋1＝－132＋－13－1－132＋1＝－65.1．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号由角α所在象限来决定；若不能确定时要进行分类讨论．2．解决齐次式时，分子分母同除以某一量，其式子可以转化为关于tan α的式子，然后求值．将本例(1)中“cos α＝－35”改为“cos α＝35”，又如何求sin α，tan α的值呢？【解】∵cos α＝35＞0，∴α是第一、四象限角．若α是第一象限角，则sin α＝1－cos2α＝1－352＝45，tan α＝sin αcos α＝43；若α是第四象限角，则sin α＝－1－cos2α＝－1－352＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43.(1)(1＋tan2α)cos2α；(2)sin θ1－sin2θ＋1－cos2θcos θ.【思路探究】 (1)的关键是“切化弦”；(2)利用平方关系去掉根号．【自主解答】(1)原式＝(1＋sin2αcos2α)cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.(2)由题意得cos θ≠0，所以，原式＝sin θ2θ＋cos2θ－sin2θ＋2θ＋cos2θ－cos2θcos θ＝sin θ|cos θ|＋|sin θ|cos θ＝错误!(k ∈Z)．1．利用同角的基本关系进行化简时常用的技巧是“sin 2 α＋cos 2α＝1”的变形：如把常数“1”换成“sin 2 α＋cos 2 α”；以及(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α等，另外在化简过程中应注意函数名间的关系，如果有切有弦常把切化成弦来处理．2．对于含有三角函数的二次根式化简问题，常把被开方数配成完全平方式，然后借助角的范围开方化简．若给出的范围不明确，对函数值产生影响时，应注意讨论．若sin α·tan α＜0，化简1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α.【解】 ∵sin α·tan α＜0，∴sin α，tan α异号， ∴α是第二或第三象限角，∴cos α＜0.∴1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝－sin α21－sin 2α＋＋sin α21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.求证：(1)sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋tan θ)＝sin θ＋cos θ；(2)1＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1. 【思路探究】 (1)证明恒等式的原则是由繁到简，所以在该题中从左到右进行论证．因为右端无切函数，所以在变形、化简过程中应将切借助于商数关系化弦．(2)由于等式两边的结构均较复杂，可考虑分别将等式左、右两边化简，利用“同一法”证明．【自主解答】 (1)左式＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(cos θ＋sin 2θcos θ)＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右式．(2)左边＝1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α＝α＋cos α2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝α＋cos αα＋cos α＋1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α.右边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－α＋cos α2αsin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α. ∴原等式成立．证明三角恒等式，实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子通过巧妙变形后消除差异，实现联通，使其左右两侧相等，为了达到这个目的，我们经常采用以下的策略和方法：(1)左推右(或右推左)法：从一边开始，证明它等于另一边； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)等价转化法：变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．求证：tan α＋sin αtan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α.【证明】 法一 左边＝sin αcos α＋sin αsin αcos αsin α＝sin α＋cosαsin 2α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α－cos α＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin 2αcos αsin α－sin αcos αcos α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法二 右边＝sin αcos αsin αsin αcos α－sin α＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α1－cos α＝＋cos αα－cos α＋cosα＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝sin α＋sin αcos αcos αsin αsin αcos α＝tan α＋sin αtan αsin α＝左边， ∴原等式成立.利用同角三角函数的关系时忽视角的范围致误已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【错解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，可得sin αcos α＝－49，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－49)＝179，∴sin α－cos α＝±173. 【错因分析】 在求得sin αcos α＝－49后没有结合0＜α＜π对α的范围进一步确定，从而导致sin α－cos α出现两个值的错误．【防范措施】 利用平方关系由sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值求sin θcos θ的值时，注意要充分利用sin θcos θ的符号及题中的条件，判断出角θ的范围．【正解】 ∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，可得sin αcos α＝－49.∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，① ∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0，②又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.准确认识同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．(2)在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.1．α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝________.【解析】 α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝－1－cos 2α＝－513. 【答案】 －5132．下列说法中可能成立的有________．①sin α＝1且cos α＝12；②sin α＝0且cos α＝－1； ③tan α＝1且cos α＝－1；④tan α＝－sin αcos α(α是第二象限角)．【解析】 对于①，显然不满足sin 2α＋cos 2α＝1，故①不成立；对于②，由sin α＝0且cos α＝－1，得α＝2k π＋π(k ∈Z)，故②成立；对于③，若tan α＝1且cos α＝－1，则sin α＝tan αcos α＝－1，显然不满足sin 2α＋cos 2α＝1，故③不成立；对于④，无论α是第几象限角，只要α≠k π＋π2(k ∈Z)，总有tan α＝sin αcos α，故④不成立．【答案】 ②3．已知sin α＝2cos α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________.【解析】 ∵sin α＝2cos α， ∴tan α＝2， ∴sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16. 【答案】 －164．求证：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin 2αtan α.【证明】 左边＝(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α，右边＝1＋2sin 2αtan α＝1＋2sin 2α·cos αsin α＝1＋2sin αcos α，∴左边＝右边，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin 2αtan α.一、填空题 1．化简 1－cos2π8＝________. 【解析】1－cos2π8＝|sin π8|＝sin π8. 【答案】 sin π82．(2013·泰安高一检测)若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝________.【解析】 由已知，θ在第三象限，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－－452＝－35.【答案】 －353．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值是________． 【解析】 sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×(55)2－1＝－35.【答案】 －354．(2013·连云港高一检测)已知tan α＝5，则sin α－2cos αcos α＋sin α＝________.【解析】 ∵tan α＝5，∴sin αcos α＝5，∴sin α＝5cos α，∴sin α－2cos αcos α＋sin α＝5cos α－2cos αcos α＋5cos α＝12. 【答案】 125．化简sin 4α＋cos 4α＋2sin 2α·cos 2α＝________.【解析】 sin 4α＋cos 4α＋2sin 2α·cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)2＝1. 【答案】 16．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.【解析】 由sin α＋cos α＝12，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cosα＝14，∴sin αcos α＝－38.【答案】 －387．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的集合是________．【解析】 1－cos α1＋cos α＝－cos α21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，即sin α＜0，故2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z.【答案】 {α|2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z}8．已知cos α＝tan α，则sin α＝________.【解析】 利用同角三角函数关系式求解．因为cos α＝tan α，所以cos α＝sin αcos α，即sin α＝cos 2α≥0，可得sin α＝1－sin 2α，即sin 2α＋sin α－1＝0，解得sin α＝－1±52，舍去负值，得sin α＝5－12.【答案】 5－12二、解答题9．若cos α＝－35且tan α＞0，求tan α·cos 3α1－sin α的值．【解】 tan α·cos 3α1－sin α＝sin αcos α·cos 3α1－sin α＝sin α·cos 2α1－sin α＝sin α－sin 2α1－sin α＝sin α－sin α＋sin α1－sin α＝sin α(1＋sin α)．由tan α＝sin αcos α＞0，cos α＝－35＜0，∴sin α＜0.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴原式＝sin α(1＋sin α)＝－45·(1－45)＝－425.10．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos xtan 2x －1. 【解】 原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos xsin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x x ＋cosx sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 11．证明：1－tan 2x 1＋tan 2x＝cos 2x －sin 2x .【证明】 左边＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝1－sin 2x cos 2x 1＋sin 2x cos 2x ＝cos 2x 2x －sin 2x cos 2x 2x ＋sin 2x＝cos 2x －sin 2x ＝右边． 原式得证.(教师用书独具)已知关于x 的方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实数根分别是sin θ，cos θ，求|sin θ－cos θ|的值．【思路探究】 根据根与系数的关系可求出sin θ＋cos θ，sin θcos θ的值，再利用平方关系求得k 的值，最后求出|sin θ－cos θ|的值．【自主解答】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 2－k ＋，sin θ＋cos θ＝－34k ，sin θ·cos θ＝2k ＋18，∴sin 2θ＋cos 2θ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝916k 2－2k ＋14＝1， ∴9k 2－8k －20＝0，∴k ＝2或k ＝－109.当k ＝2时，Δ＜0，不符合题意，舍去．当k ＝－109时，Δ＞0，∴k ＝－109，此时sin θ＋cos θ＝56，∴|sin θ－cos θ|2＋(sin θ＋cos θ)2＝2(sin 2θ＋cos 2θ)＝2，∴|sin θ－cos θ|2＝2－2536＝4736，∴|sin θ－cos θ|＝476.1．解决本题易忽视“Δ＞0”这一隐含条件．2．要学会利用方程的思想解三角函数题，对于sin α±cos α，sin αcosα这三个式子，已知其中一个式子的值，可求其余两式的值．求值时不要忘记讨论符号．已知sin α，cos α是关于x 的二次方程2x 2＋(2＋1)x ＋m ＝0的两根，求2tan α·cos α－sin α1－tan 2α的值． 【解】 2tan α·cos α－sin α1－tan 2α＝2sin αcos α·cos α－sin α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos α＋sin α. 由根与系数的关系可得sin α＋cos α＝－2＋12， ∴sin α·cos α＝α＋cos α2－12＝－2＋122－12＝22－18. 故原式＝22－14－2＋12＝32－52.。

1．2.2 同角三角函数关系1.理解同角三角函数的两种基本关系．2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．同角三角函数的基本关系式1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意角α，sin 24α＋cos 24α＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立．( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (4)sin 2α与sin α2所表达的意义相同．( )解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 24α＋cos 24α＝1都成立，所以正确．(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α2没意义，故sinα2cosα2＝tanα2不成立，所以错误．(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2β≠1，故此说法是错误的．(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( )A ．45B ．－45C ．－17D ．35答案：B3．化简：(1＋tan 2 α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C4．已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝________．解析：原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.答案：12已知一个三角函数值求其他三角函数值已知cos α＝－35，求sin α，tan α的值．【解】 因为cos α<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． 所以当α为第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－43.当α为第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝ －45，tan α＝sin αcos α＝43.已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．1.(1)已知α是第二象限角，且tan α＝－724，则cos α＝________．(2)已知sin θ＝a (a ≠0)，且tan θ>0，求cos θ、tan θ. 解：(1)因为α是第二象限角， 故sin α＞0，cos α＜0， 又tan α＝－724，所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.故填－2425.(2)因为tan θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a ≠±1. ①若θ在第一象限，sin θ＝a ＞0，且a ≠1时， cos θ＝1－sin 2θ＝1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝a1－a2. ②若θ在第三象限，sin θ＝a ＜0，且a ≠－1时， cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－a 2. 所以tan θ＝sin θcos θ＝－a1－a2. 利用同角三角函数关系化简化简下列各式： (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°； (2)1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α，其中sin αtan α＜0.【解】 (1)1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. (2)由于sin αtan α＜0，则sin α，tan α异号， 所以α是第二、三象限角，所以cos α＜0.所以1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.(1)三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低． ②使式中的项数尽量少． ③使三角函数的种类尽量少． ④使式中的分母尽量不含有三角函数． ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.2.化简：1－sin 4x －cos 4x1－sin 6x －cos 6x.解：原式＝1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x cos 2x ]1－（sin 2x ＋cos 2x ）（sin 4x ＋cos 4x －sin 2x cos 2x ） ＝1－1＋2sin 2x cos 2x1－[（sin 2x ＋cos 2x ）2－3sin 2x cos 2x ] ＝2sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x ＝23. 利用同角三角函数关系式证明求证：(1)1＋tan 2α＝1cos 2α；(2)sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. 【证明】 证明：(1)因为1＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， 所以原式成立．(2)法一：由sin α≠0知，cos α≠－1， 所以1＋cos α≠0.于是左边＝sin α（1＋cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝sin α（1＋cos α）1－cos 2α＝sin α（1＋cos α）sin 2α＝1＋cos αsin α＝右边． 所以原式成立．法二：因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝1－cos 2α， 即sin 2α＝(1－cos α)(1＋cos α)． 因为1－cos α≠0，sin α≠0， 所以sin α1－cos α＝1＋cos αsin α.证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．3.(1)求证：1－2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1－tan x1＋tan x. (2)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：(1)左边＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2xcos 2x －sin 2x＝tan 2x －2tan x ＋11－tan 2x＝（tan x －1）2（1－tan x ）（1＋tan x ）＝1－tan x1＋tan x ＝右边． 所以原式成立．(2)因为右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α ＝左边， 所以原等式成立．1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan 90°＝sin 90°cos 90°不成立．3．注意公式的变形，如sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝cos αtan α，cosα＝sin αtan α等． 4．在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．已知sin α＋cos α＝13，其中0＜α＜π，求sin α－cos α的值．【解】 因为sin α＋cos α＝13，所以(sin α＋cos α)2＝19，可得：sin α·cos α＝－49.因为0＜α＜π，且sin α·cos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＞0， 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.(1)在处得到sin α·cos α＜0，为判断sin α，cos α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin α－cos α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin α－cos α＝±173，则是解答本题的又一易失分点． (2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．1．已知sin α＝23，tan α＝255，则cos α＝( )A ．13 B ．53 C ．73D ．55解析：选B ．因为tan α＝sin αcos α，所以cos α＝sin αtan α＝23255＝53.2．化简：⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ．⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin α. 3．已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．解析：因为θ为第四象限角， 所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.答案：－434．已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，所以cos α＝－35，sin α＝－45.[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73 B ．75 C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1， 所以cos 2θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角． 当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55， 此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎪⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tanα＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310. 答案：－310 8．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________． 解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1. 答案：－19．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x sin 2xcos 2x－1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值：(1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35. [B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( ) A ．153 B ．－153 C ．53 D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，15，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15，P 4⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cosθ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34.又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34， 所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12. 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。

高中数学 同角三角函数关系互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.同角三角函数基本关系在下图所示的单位圆中，∠POM=α,∴OM =cosα,MP =sinα，在Rt△PMO 中，OM 2+MP 2=1，即cosα2+sin 2α=1,tanα=x y =ααcos sin .2.由基本关系推导出的其他关系式教材上只给出两个公式，即sin 2α+cos 2α=1,tanα=ααcos sin . 根据三角函数的定义，还可以推导出一些关系式. 由三角函数定义知， sinα＝r y ,cosα＝r x ,tanα＝xy,cscα＝y r ,secα＝x r ,cotα＝xy,∴sinα·cscα＝ry·y r =1, cosα·secα＝r x ·xr=1, cotα＝ααsin cos ==ry r xy x .将sin 2α+cos 2α=1的两边都同时除以cos 2α,得到 1+tan 2α=sec 2α.将sin 2α+cos 2α=1两边都除以sin 2α，又可得到1+cot 2α＝csc 2α. 连同教材上两个公式，共计八个公式，可归纳为三组： 倒数关系：sinα·cscα=1 cosα·secα=1 tanα·cotα=1 商数关系：tanα＝ααcos sin cotα＝ααsin cos 平方关系：sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2α应用同角三角函数关系式，可以解决这样的问题，已知六个三角函数中的任一个可求其他五个，另外为化简 证明提供了方便. 活学巧用【例1】已知cosα=178-,求sinα、tanα的值. 解析：∵cosα＜0,且cosα≠-1, ∴α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sinα=,1715)178(1cos 122=--=-α tanα=ααcos sin =1715×(817-)=-815. 如果α是第三象限角,那么sinα=-1715,tanα=815. 答案：sinα=±1715,tanα=±815.【例2】 已知sinα-cosα=55-,180°＜α＜270°,求tanα的值. 解析:要求tanα,需求出sinα,cosα,因此先要对sinα-cosα=55-进行变形. ∵sinα-cosα=55-①∴(sinα-cosα)2=(55-)2. ∴sin 2α-2sinαcosα+cos 2α=51,∴2sinαcosα=1-51=54. 又（sinα+cosα）2=sin 2α+2sinαcosα+cos 2α＝1+5954=.∵180°＜α＜270°,∴sinα＜0,cosα＜0,sinα+cosα＜0, ∴sinα+cosα=553-②解①②组成的方程组得sinα＝552-,cosα=55-，∴tanα=ααcos sin =2.【例3】化简θθθθ4466cos sin 1cos sin 1----. 解析:灵活运用同角三角函数关系式，把“1”与sin 2θ+cos 2θ代换.原式=θθθθθθθθ44226622cos sin cos sin cos sin cos sin --+--+ =)cos 1(cos )sin 1(sin )cos 1(cos )sin 1(sin 22224242θθθθθθθθ-+--+- =θθθθθθθθθθ2222222222sin cos cos sin )cos 1)(cos 1(cos )sin 1)(sin 1(sin +-++-+ =θθθθθθθθθθ2222222222sin cos cos sin )cos 1(sin cos )sin 1(cos sin ++++ =.23cos sin 2)cos 1sin 1(cos sin 222222=•+++•θθθθθθ。

1.2.2同角三角函数的关系（1）【学习目标】1、 掌握同角三角函数的两个大体关系式2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值3、 对于同角三角函数来讲，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值【重点难点】同角三角函数的两个大体关系式和应用【自主学习】一、数学建构：同角三角函数的两个大体关系式：_____________________________________ __________________________________二、课前预习： 一、),0(,54cos παα∈=，则tan α的值等于 二、化简：=ααtan cos【典型例题】例1、 已知21sin =α，而且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值变：已知21sin =α，求ααtan ,cos 的值例二、已知512tan =α，求ααcos ,sin 的值．解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于ααcos ,sin 和αtan 的“知一求二”问题的解题方式吗？例二、化简（1）21sin 440-． （2）12sin 40cos40-．（3）1sin 1tan 2-αα（α是第二象限角） （4）ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+-+-+【课堂练习】一、已知4cos 5α=-，求αsin 和αtan 的值2、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．3、若θ为二象限角，且2cos 2sin 212sin 2cosθθθθ-=-，那么2θ是第几象限角。

【课堂小结】。

1．2.2 同角三角函数关系已知sin α－cos α＝－55，180°＜α＜270°，你能求出tan α的值吗？你能化简sin θ－cos θtan θ－1吗？…… 为此，我们有必要研究同角三角函数的关系．1．同角三角函数的平方关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．2．同角三角函数的商数关系是________________，使此式成立的角α的范围是________________．3．同角三角函数关系式是根据________________推导的． 4．sin 2α＋cos 2α＝1的变形有__________、__________． 5．tan α＝sin αcos α的变形有__________、__________．6．“1”的代换式有：1＝___________________________＝ ________________________________．7．知道角α的某一三角函数值求另外两三角函数值时，如果角α所在象限指定则结果只有________组解，如果角α所在象限没有指定，一般应有________组解．8．1＋tan 2θ＝____________________，θ的取值范围是______________________． 答案：1．sin 2α＋cos 2α＝1 (－∞，＋∞) 2．tan α＝sin αcos α ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠kπ＋π2，k ∈Z3．三角函数定义4．sin 2α＝1－cos 2α cos 2α＝1－sin 2α 5．tan αcos α＝sin α cos α＝sin αtan α6．sin 2α＋cos 2α tan 45° 7．一 二 8.1cos 2θ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ≠kπ＋π2，k ∈Z同角三角函数关系平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． 商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠kπ＋π2，k ∈Z . 这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个三角函数(在使得函数有意义的前提下)关系都成立．同角三角函数关系的应用1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．2．利用同角关系可以进行三角函数式的化简．化简要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．3．证明三角恒等式． 基本原则：由繁到简．常用方法：左→右；右→左；左↔右．基础巩固1．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4α可化为( C ) A ．sin α－sin 2α B ．sin αcos α C ．－sin αcos α D ．sin 2α－sin α2．若f(sin x)＝2cos x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A.3＋1 B ．1－ 3 C ．1＋3或1－ 3 D ．2解析：由sin x ＝12求出cos x ，然后再代入函数关系式．答案：C3．已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝________．答案：－24．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 答案：D5．下列各式中与1－2sin 2cos 2相等的是( ) A ．sin 2－cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2＋cos 2 D ．－sin 2－cos 2解析：“1”的代换，1＝sin 22＋cos 22，同时要注意sin 2＞0，cos 2＜0. 答案：A6．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.∴tan α＝sin αcos α＝2. 答案：27．cos α＝3sin α，0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( ) A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：所求式子可化成sin α·cos αsin 2α＋cos 2α(齐次分式)，分子、分母同除以cos 2α.答案：B8．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α的值为( )A ．1B ．－1 C.34 D ．－43解析：分子、分母同除以co s α. 答案：A9．sin 2x ＋sin 2y －sin 2xsin 2y ＋cos 2xcos 2y ＝________． 解析：sin 2x ＋sin 2y －sin 2xsin 2y ＋cos 2xcos 2y ＝sin 2x ＋sin 2y(1－sin 2x)＋cos 2xcos 2y ＝sin 2x ＋sin 2ycos 2x ＋cos 2xcos 2y ＝sin 2x ＋cos 2x(sin 2y ＋cos 2y) ＝sin 2x ＋cos 2x ＝1. 答案：1能力升级10．A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 是________三角形．解析：∵sin A ＋cos A ＝23，∴sin Acos A ＝－518＜0.∴A 为钝角．答案：钝角11．设a 为常数，且a>1，0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos 2x ＋2asin x －1的最大值为________． 解析：f(x)＝1－sin 2x ＋2asin x －1＝－(sin x －a)2＋a 2. ∵a>1，0≤x≤2π，∴当x ＝π2时，f(x)max ＝2a －1. 答案：2a －112．已知tan α＝m ，α是第二象限角，则sin α的值等于( ) A.1＋m 21＋m 2 B ．－1＋m 21＋m 2C ．±m 1＋m 21＋m 2D ．－m 1＋m 21＋m 2解析：由tan α＝m ，得1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α＝1＋m 2.∴cos 2α＝11＋m 2.∴cos α＝－11＋m 2.故sin α＝tan α·cos α＝m·⎝ ⎛⎭⎪⎫－11＋m 2＝－m 1＋m 2 . 答案：D13．如果sin θ＋cos θ＝－15(0＜θ＜π)，则tan θ的值为( )A ．－43 B.43 C ．±43 D ．－34解析：sin θ＋cos θ＝－15，平方得sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125.故2sin θcos θ＝－2425＜0.∴θ为钝角，1－2sin θcos θ＝4925.∴(sin θ－cos θ)2＝4925，sin θ－cos θ＝75(－75舍去)．由⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝－15，sin θ－cos θ＝75⇒⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ＝－45，∴tan θ＝－34.答案：D14．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？解析：假设存在，设直角三角形两个锐角为α，β，则sin α，sin β是方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．∵α＋β＝90°，∴sin β＝cos α.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧sin α＋cos α＝－3k4， ①sin α·cos α＝2k ＋18， ②①2－2×②，整理得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109.当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ＝144－160<0，所以原方程无解，k ＝2舍去．将k ＝－109代入②，得sin α·cos α＝s in α·sin β＝－1172，∴sin α，sin β异号，应有sin α<0或sin β<0.实际上sin α>0，sin β>0，∴k ＝－109不满足题意，∴k 值不存在．1．2.3 三角函数的诱导公式设0°≤α≤90°，对于任意一个0°到360°的角β，以下四种情形中有且仅有一种成立． β＝⎩⎪⎨⎪⎧α，当β∈[0°，90°]，180°－α，当β∈[90°，180°]，180°＋α，当β∈[180°，270°]，360°－α，当β∈[270°，360°].思考：180°－α，180°＋α，360°－α的三角函数值与α的三角函数值有怎样的关系呢？1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式． 2．掌握诱导公式二至公式六及其应用．1．设α为任意角，角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，则角－α的终边与单位圆的交点P 1的坐标是________，角π－α的终边与单位圆的交点P 2的坐标是________，角π＋α的终边与单位圆的交点P 3的坐标是________．2．诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝______，cos(2kπ＋α)＝________，tan(2kπ＋α)＝________，k ∈Z.3．诱导公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________． 4．诱导公式三：sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________． 5．诱导公式四：sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________． 6．利用诱导公式求任意角的三角函数值，步骤如下： 任意角的三角函数――→ 利用0°～360°的角的三角函数――→ 利用锐角三角函数――→查表求值(特殊角取特殊值)7．△ABC 中，sin(A ＋B)＝__________，cos(A ＋B)＝________，tan(A ＋B)＝________． 8．α与π2－α的终边关于直线________对称．9．诱导公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝____________，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________． 10．诱导公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝____________，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________． 11．六组诱导公式可以概括成________，________．12．学习诱导公式的目的之一是把求任意角的三角函数值转化为求____________________． 13．在△ABC 中，sin A ＋B 2＝__________，cos A ＋B2＝________． 诱导公式诱导公式如下表所示：1．运用诱导公式化简、求值的前提条件是熟记上述诱导公式．上述诱导公式可概括为一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”．也就是诱导公式左边的角可统一写成k·π2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时，公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变(即左边为正弦则右边为余弦，左边为余弦则右边为正弦)，当k 为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k·π2±α为第几象限，以及左边的三角函数在该象限的符号即为公式右边的符号．2．利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化小，化到锐角就行了”．用诱导公式求三角函数式的值已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．分析：从被求式和已知式的角度看，关键是寻求到75°＋α与105°－α之间的关系，我们发现(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，这样有关系式105°－α＝180°－(75°＋α)，就可以用诱导公式了．解析：cos(105°－α)＝cos ＝－cos(75°＋α)＝－13.sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin ＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13＞0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角，则有sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α） ＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.方法指导：(1)解答本题的关键是发现105°－α与75°＋α之间的关系，即(105°－α)＋(75°＋α)＝180°.这为应用诱导公式化简本题找到入手之处．(2)使用平方关系，出现开方运算时，需由角所在象限来确定根号前的“±”号．而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题．(3)已知一个角的某个三角函数值，求这个角的其他三角函数值．若给定具体数值，但未指定角α所在象限，就需要进行分类讨论．变式训练1．设f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f(2 013)＝－1，则f(2 014)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 利用诱导公式化简三角函数化简：sin ⎝⎛⎭⎫kπ＋23πcos ⎝⎛⎭⎫kπ－π6(k ∈Z)． 分析：分k 为奇数和偶数进行讨论． 解析：(1)当k ＝2n(n ∈Z)时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2nπ＋23π·cos ⎝⎛⎭⎫2nπ－π6 ＝sin 23πcos π6＝sin π3cos π6＝32×32＝34.(2)当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2nπ＋π＋2π3cos ⎝⎛⎭⎫2nπ＋π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3⎝⎛⎭⎫－cos π6 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32 ＝34. 综合(1)(2)式可知，原式＝34.◎规律总结：归纳到一般有：sin(kπ＋α)＝(－1)k sin α(k ∈Z)，cos(kπ－α)＝(－1)k cos α(k ∈Z)． 思考：sin(kπ－α)＝？cos(k π－α)＝？sin ⎝⎛⎭⎫kπ2±α＝？cos ⎝⎛⎭⎫kπ2±α＝？以上均有k ∈Z. 变式训练2．化简：sin （2π－α）cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫112π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α.。

第 5 课时：§1.2.2 同角的三角函数关系【三维目标】：一、知识与技能1. 掌握同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα，αααtan cos sin =，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

掌握恒等式证明的一般方法.2. 培养运用数形结合的思想解决有关求值问题；培养学生思维的灵活性及思维的深化；3. 灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力二、过程与方法1.由圆的几何性质出发，利用三角函数线，探究同一个角的不同三角函数之间的关系；2.学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；3.利用同角三角函数关系式化简三角函数式；4.利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等。

5.通过例题讲解，总结方法；通过做练习，巩固所学知识. 三、情感、态度与价值观1. 通过对同角三角函数的基本关系式的学习，认识事物间存在的内在联系，揭示事物间的普遍联系规律，培养辨证唯物主义思想。

2.使学生面对问题养成勤于思考的习惯；3.训练学生对三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法 【教学重点与难点】：重点：三角函数基本关系式1cos sin 22=+αα，αααtan cos sin =的推导及其应用；难点：由一个三角函数值求出其他三角函数值，有时结果不惟一，需要讨论；在证明恒等式时，选择适当的推理途径；关键：掌握三角函数在各象限的符号，是解决难点的关键； 【学法与教学用具】：1.学法：利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等 2.教学模式：启发、诱导发现教学.3.教学用具：圆规、三角板、多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1．任意角的三角函数定义：设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：sin y r α=，cos x r α=，tan yxα= 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果53sin =A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 提示课题：与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化． 二、研探新知【探究】：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?法一（利用三角函数线）：如图，以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1于角α的正切.法二（理论证明，采用定义）：αααππαααααtan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222==⨯=÷=∈+≠=+∴===+xy x rr y r x r y Z k k r x r y r y x 时，当且故有 22sin cos 1αα+= （公式1） sin tan cos ααα=（公式2）【说明】：①关系式是对于同角而言的.，而“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=α+α，2tan 2cos2sinα=αα；σ2sin 读作“σsin 的平方”，它与2σ的正弦不同 ②上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立；③据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。