《线性代数》 练习题
一、选择题
1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）
A 、|A
B |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+
C 、22))((B A B A B A -=-+
D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定
3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________
4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.
5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )
(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题
6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A
6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2
2022
12020-⎛⎫
⎪--- ⎪ ⎪-⎝
⎭
2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭22
线性代数课后习题答案全)习题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y
y
x y x +++. 解 （1）=---3
811411
02811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-
=416824-++-=4-
（2）=b
a c a c
b c
b a cc
c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=
（3）=2
221
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=
（4）y
x y x x y x y y
x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为
第1章 矩阵 习 题
1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵：
(1)⎩⎨⎧==01
1y x x ； (2)
⎩⎨
⎧+=-=ϕϕϕ
ϕcos sin sin cos 1
1y x y y x x
2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.
3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=150421321
B ，求3AB -2A 和A T B .
4. 计算
(1) 2
210013112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
(2) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1)1,,(2
1
22212
11211y x c b b b a a b a a y x
5. 已知两个线性变换3213
32123
11542322y
y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪
⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,
并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .
当f (x )=x 2
-5x +3，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=3312A 时，求f (A ).
7. 举出反例说明下列命题是错误的.
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性代数习题一
说明：本卷中，A -1
表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT
表示向量α的
转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设行列式11
121321
222331
3233a a a a a a a a a =2，则1112
13
31323321312232
2333
333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3
D ．6
2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1
B ．E -A
C ．E +A
D ．
E -A -1
3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）
A ．⎛⎫
⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1
⎛⎫
⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫
⎪⎝⎭
A B 不可逆 C ．⎛⎫
⎪
⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭
B A
D ．⎛⎫
⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫
⎪⎝
⎭
A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是
（ ）
A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关
线性代数试题（完整试题与详细答案）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．行列式
1
1
1
101111011110
------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
2．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．
3
4 D ．2
3．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B A
D ．11--A B
4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1
*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----d c b a
B ．⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--a c b d
C ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--a c
b d D ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a
5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量
D ．s ααα,,,21 全是零向量
6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）
A ．n r =)(A
B ．m r =)(A
C ．n r <)(A
D ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A
E - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．
初等矩阵的为（ ）
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)
k n -2
! （D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n
4．=0
001001001001
000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 2
5。 =0
001100000100100( ).
（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 2
6．在函数1
00
323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).
(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211
==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-
8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D.
1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…
《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【1】填空题 （1） 二阶行列式
2a ab b
b
=___________。
（2） 二阶行列式
cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b a
a bi
+-=___________。
（4） 三阶行列式x
y z
z
x y y
z
x =___________。
（5） 三阶行列式
a b
c c a b c a b
b
c a
+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2
a b -；4.3
3
3
3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题
（1）若行列式12
5
1
3225x
-=0，则x=（）。
A -3；
B -2；
C 2；
D 3。
（2）若行列式11
1
1011x x x
=，则x=（）。
A -1
， B 0
， C 1
， D 2
，
（3）三阶行列式2
31503
2012985
2
3
-=（）。
A -70；
B -63；
C 70；
D 82。
（4）行列式
0000
0000a b
a b b a b
a
=()。
A 44
a b -；B ()
2
2
2a b
-；C 44b a -；D 44
a b 。
（5）n 阶行列式
0100002
000
1
00
n n -=（）。
A 0；
B n ！；
C （-1）·n ！；
D ()
1
1!n n +-•。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明
33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z
x y bz ax bx ay by az
第一部分 专项同步练习
第一章 行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)
k n -2
! (D)k n n --2)1(
3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.
(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n
4．
=0
00100100
1001
000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
5.
=0
00110000
0100
100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6．在函数1
3232
111
12)(x x x
x
x f ----=
中3x 项的系数是( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2
1
33
32
31
232221
131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32
3133
31
2221232112
111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
（0343）《线性代数》网上作业题及答案1：第一次作业
2：第二次作业
3：第三次作业
4：第四次作业
5：第五次作业
1：[论述题]行列式部分主观题
参考答案：主观题答案
2：[单选题]8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于
A:5
B:-10
C:-15
参考答案：C主观题答案
3：[单选题]7.行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：
A:29
B:-29
C:0
参考答案：B主观题答案
4：[单选题]6.排列3721456的逆序数是：
A:6
B:7
C:8
参考答案：C主观题答案
5：[单选题]5.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：
A:k=3
B:k=1
C:k=3或k=1
参考答案：C主观题答案
6：[单选题]3.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：
A:4
B:2
C:5
参考答案：C主观题答案
7：[单选题]4.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：
A:9
B:-1
C:1
参考答案：B主观题答案
8：[单选题]2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：
A:-11
B:7
C:3
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题
1.设行列式a a
a a
1112
2122
=m，
a a
a a
1311
2321
=n，则行列式
a a a
a a a
111213
212223
+
+
等于（）
A. m+n
B. -(m+n)
C. n-m
D. m-n
2.设矩阵A=
100
020
003
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，则A-1等于（）
A.
1
3
00
1
2
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
B.
100
1
2
00
1
3
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
C.
1
3
00
010
00
1
2
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
D.
1
2
00
1
3
001
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪
⎪
⎪
，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α
线性代数习题册答案
第一章 行列式 练习 一 班级 学号
1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ （3421）= 5 ; （2）τ （135642）= 6 ;
（3）τ （13⋯ （2n-1）（2n ） ⋯42） = 2+4+6+ ⋯ +（2 n-2）= n （n-1）. 2．由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i= 8 、 j= 3 3．在四阶行列式中，项 a 12a 23a 34a 41 的符号为 负 .
= － 3 ＋ 3 +2= (2 )( 1)2
1 2 2
1） 2 1 2 = － 1
＋
2 2 1
5．计算下列行列式：
－ 8）＋（－ 8 ）－（－ 4 ）
或 －（－ 4）―（－ 4） = － 5
1
1 2） 1
1
1 1
3
＋1＋ 1－（－ ）－（－ ）―（－ ）
00 4． 0 4
21
练习
班级学号
3
1．已知 3阶行列式det(a ij ) =1，则行列式det( a ij )= －1 . ( 1)3 1
1
1 1 1 2．
2
3
4 = 2
4 9 16
1 a b c
(1) a 1 b c a b 1 c
x y x y (2) y x y x
x y x y 1 0 110 0
r1 r,r
r3
0 1 1c3 c1 0 1 1
a b 1c a b 1c
11
1 a b c
b1c
0 1 2
1 0 3
,
则A41 A42
1 1 0
2 5 4
1
1
3．已知 D=
1 1
用 1， 1，1，1 替换第4 行
4．计算下列行列
2 1 5 1 1
3 0 6
0 2 1 2
1 4 7 6
第一章行列式
§1 行列式的概念
1．填空
(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列
的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含
152332445166
a a a a a a的项的符号为，含
324314516625
a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值
(1)
11
2223
3233
00 0
a
a a
a a
解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为
，所以行列式的值为。
(2)
1
2,12
1,21,11, 12,1
000
00
n
n n
n n n n n n n n n nn
a
a a
a a a
a a a a
-
----
-
解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排
列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2
多，则此行列式为0，为什么？
5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？
线代机考
1,下列矩阵中，可逆矩阵式（）
a b c d 4个矩阵，计算如下
>> a=[1 2 3;2 3 4;1 2 3] %示例矩阵为1 2 3
2 3 4
1 2 3
a =
1 2 3
2 3 4
1 2 3
>> det(a) %ans=0的矩阵不可逆
ans =
2，已知四阶行列式D中第1列的元素分别为1，-5,5，-9，
它们对应的余子式分别为-9,2，-6，-6则行列式D=（）
解：
这个用笔算1*（-9）+5*2-5*6-9*6=-83
答案：-83
本来都是+号，每项前乘以（-1）的i+j次方。得到上式
第三题，题太长了，不抄了，解法如下。
解：
将4个向量组按原顺序变成一个矩阵，将选项带入X，求det（行列式值），结果为0则为答案。
>> a=[2 4 -2 -6;1 -3 4 7;-4 1 -4 -6;4 3 3 0]
a =
2 4 -2 -6
1 -3 4 7
-4 1 -4 -6
4 3 3 0
>> det(a)
ans =
-20
>> a=[2 4 -2 -6;1 -3 4 7;-4 1 -4 -3;4 3 3 0]
a =
2 4 -2 -6
1 -3 4 7
-4 1 -4 -3
4 3 3 0
>> det(a)
ans =
40
>> a=[2 4 -2 -6;1 -3 4 7;-4 1 -4 -4;4 3 3 0]
a =
2 4 -2 -6
1 -3 4 7
-4 1 -4 -4
4 3 3 0
>> det(a)
ans =
20
