数值线性代数第三次上机作业

习 题 3-1

1．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．

解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ2

32-= 所以)0,2

7

,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-

=γ。 3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：

（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；

（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；

（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α

（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-

从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧==211

21x x

所以β能由21,αα线性表示，表示式为212

1

ααβ+=。 （2）设332211αααβx x x ++=，

数值分析上机作业（一）

一、算法的设计方案

1、幂法求解λ1、λ501

幂法主要用于计算矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量，即对于

|λ1|≥|λ2|≥.....≥|λn|可以采用幂法直接求出λ1，但在本题中λ1≤λ2≤……≤λ501，我们无法判断按模最大的特征值。但是由矩阵A的特征值条件可知|λ1|和|λ501|之间必然有一个是最大的，通过对矩阵A使用幂法迭代一定次数后得到满足精度ε=10−12的特征值λ0，然后在对矩阵A做如下的平移：

B=A-λ0I

由线性代数(A-PI)x=(λ-p)x可得矩阵B的特征值为：λ1-λ0、λ2-λ0…….λ501-λ0。对B矩阵采用幂法求出B矩阵按模最大的特征值为λ∗=λ501-λ0，所以λ501=λ∗+λ0，比较λ0与λ501的大小，若λ0>λ501则λ1=λ501，λ501=λ0；若λ0

求矩阵M按模最大的特征值λ的具体算法如下：

任取非零向量u0∈R n

ηk−1=u T(k−1)∗u k−1

y k−1=u k−1η

k−1

u k=Ay k−1

βk=y T

k−1u k

(k=1,2,3……)

当|βk−βk−1|

|βk|

≤ε=10−12时，迭终终止，并且令λ1=βk

2、反幂法计算λs和λik

由已知条件可知λs是矩阵A 按模最小的特征值，可以应用反幂法直接求解出λs。

使用带偏移量的反幂法求解λik，其中偏移量为μk=λ1+kλ501−λ1

40

(k=1,2,3…39)，构造矩阵C=A-μk I，矩阵C的特征值为λik−μk，对矩阵C使用反幂法求得按模

最小特征值λ0，则有λik=1

- 1 -

第三章上机习题

用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的

通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：

（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+c

y=at 2

，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2

中的数据；

（3）在房产估价的线性模型

111122110x a x a x a x y ++++=

中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。 （表3.3和表3.4见课本P99-100）

解 分析：

（1）计算一个Householder 变换H ： 由于T

T

vv I ww

I H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。

其中)/(2,||||12v v e x x v T

=-=β。 在实际计算中，

为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令2

12

2

21||||)(-x x x x v n +++=

；

为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(22

1

v v v T

=β

为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解：

利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥⨯,转化为上三角矩阵A H H

北京航空航天大学2020届研究生

《数值分析》实验作业

第九题

院系：xx学院

学号：

姓名：

2020年11月

Q9:方程组A.4

一、 算法设计方案

（一）总体思路

1.题目要求∑∑===

k i k

j s r rs

y x c

y x p 00

),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。

),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。

2.),(*

*

j i y x f 与1使用相同方法求得，),(*

*

j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(*

*

j i y x 求得。

1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得

对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。再将

),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。

2.乘积型最小二乘曲面拟合

2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j j

k y y y y G 0000

数表矩阵如下：

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U

第四章上机习题

1考虑两点边值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧==<<=+.1)1(,0)0(10 ,22y y a a dx dy dx y d ε 容易知道它的精确解为

ax e e a

y x +---=--)1(111εε

为了把微分方程离散化，把[0,1]区间n 等分，令h=1/n ，

1,,1,-==n i ih x i

得到差分方程

,21211a h

y y h y y y i i i i i =-++-++-ε

简化为 ,)2()(211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε

从而离散化后得到的线性方程组的系数矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=)2()2()2()2(h h h h h h h A εεεεεεεεεε 对,100,2/1,1===n a ε分别用Jacobi 迭代法，G-S 迭代法和SOR 迭代法求线性方程组的解，要求有4位有效数字，然后比较与精确解得误差。 对,0001.0,01.0,1.0===εεε考虑同样的问题。

解 （1）给出算法：

为解b Ax =，令U L D A --=，其中][ij a A =，),,,(2211nn a a a diag D = ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-00001

,21323121

n n n n a a a a a a L

，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-0000,122311312 n n n n a a a a a a U 利用Jacobi 迭代法，G-S 迭代法，SOR 迭代法解线性方程组，均可以下步骤求解： step1给定初始向量x0=(0,0,...,0)，最大迭代次数N ，精度要求c ，令k=1 step2令x=B*x0+g

第三章 习题与答案 习题 A

1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1

,3)T T T

=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 2.从以下方程中求向量α

1233()2()5()-++=+αααααα，

其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1

,1,1).T

T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，

1232104651112

632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα

故12

34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

α,即(1,2,3,4)T =α.

3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα

4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.

证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有

12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠

而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.

第三章 线性方程组一、温习巩固

1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-++=--+=-++0

51050

3630

24321

43214321x x x x x x x x x x x x

解： 化系数矩阵为行最简式

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A

因此原方程同解于⎩

⎨

⎧=+-=0234

21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+=+-=-+8

31110

232

2421321321x x x x x x x x

解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A

因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝

⎛

--=-=

31,0,35,3)2(31αβγ

4. 求向

量组

,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的

秩和一个极大线性无关组。

1、设A ,B 为n 阶方阵，则AB A B =⋅. ( ) 参考答案：正确

2、行列式如果互换任意两行，则行列式的值不变. ( )

参考答案：错误

3、行列式中如果有两列元素对应成比例，则此行列式等于零. ( )

参考答案：正确

4行列式123

1112223331454

=--. ( )

参考答案：错误

3202245,471011A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则

7282491A B -⎛⎫

+= ⎪-⎝⎭

参考答案：正确

6、若,,A B C 为矩阵，则有()()A B C B C A

+=+

参考答案：错误

7、若,A B 为n 阶矩阵，则有222

()2A B A AB B +=++

参考答案：错误

8、A 为任一n 阶方阵，且满足320A A E +-=，则122A A E -=+，

参考答案：正确

9、若25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有

22308X ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

参考答案：错误

10、对n 维向量组1,,m αα, 若有不全为零的常数1,,m k k , 使得

011=++m m k k αα ， 称向量组1,,m αα线性相关 （）

参考答案：正确

11、向量组12,,,,m ααα()2m ≥线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示 （）

参考答案：错误

12、向量组123,,ααα线性无关, 则向量组112βαα=+, 223βαα=+, 331βαα=+也线性无关

参考答案：正确

13、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1011β列向量, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112β, ⎪⎪⎪⎭

线性方程组部分填空题

1．设齐次线性方程组A x=0的系数阵A的秩为r，当r= n 时，则A x=0 只有零解；当A x=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为n-1 .

2．设η1，η2为方程组A x=b的两个解，则 η1－η2或η2－η1是其导出方程组的解。

3．设α0是线性方程组A x=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组A x=b的任意一个解β可表示为β=α0+z .

4．若n元线性方程组A x=b有解，R（A）=r，则当r=n时，有惟一

解；当,r＜n时，有无穷多解。

5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组A x=0有非零解的充要条件是

（A）＜n .

6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是 |A|不等于0

7 线性方程组Ax=b有解的充要条件是 r(Ab)=r(A)。

8．设是线性方程组A x=b的一个特解，是其导出组的基础解系，则线性方程组A x=b的全部解可以表示为=

1．求线性方程组

的通解.

通解为：x=k1

2．求齐次线性方程组

的一个基础解系.

基础解系为v1=

3．求非齐次线性方程组的通解

同解方程组为

，通解为

4 求方程组的通解

化为同解方程组

通解为

5．已知线性方程组

（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；

（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。

（1）r（Ab）=r（A）=4

（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1。

一、 问答题

1、什么是近似值x * 有效数字？

若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。它可表示为

X=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1),其中a i (i=1,2,…,n)是0到9中的一个

数字，a 1≠0,m 为整数，且︱x －x *︱≠2

1

×10m-n+1

2、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行 数值运算算法设计过程中主要注意什么？ （1）简化计算过程，减少运算次数； （2）避免两个相近的数相减；

（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值； （4）防止大数“吃掉”小数的现象；

（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。

3、写出“n 阶阵A 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）

(1)|A|不为零

(2)n 阶矩阵A 的列或行向量组线性无关 (3)矩阵A 为满秩矩阵

(4)n 阶矩阵A 与n 阶可逆矩阵B 等价

4、迭代法的基本思想是什么？

就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。。。,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。

5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？

（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关 （2）系数矩阵的行列式的值很小

（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元

（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。

数值线性代数实验

大报告

指导老师：赵国忠

姓名：1108300001 刘帅

1108300004 王敏

1108300032 郭蒙

一、实验名称：16题P75上机习题

二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务

三、实验内容与要求：

P75上机习题

先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程

序完成下面两个计算任务：

（1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。

（2） 设A n = 1

1...111...

..........

...

1-1 (01)

-- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A

n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧

x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。

四、 实验原理：

（1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for

循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。

（2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n

，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。

五、 实验过程：

(1)程序：

clear

for n=5:20

for i=1:n

for j=1:n

a(i,j)=1/(i+j-1);

（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞数条件数

（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------=111

1

111110110

01

，先随机地选取n R x ∈，并计算出x A b n =；然

后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧

x 。试对n 从5到30估计计算解∧

x 的精度，并且与真实相对误差作比较。

解（1）分析：利用for 使n 从5循环到20，利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ；先将算

法2.5.1编制成通用的子程序，利用算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =，对T

A B -=求解，

得到∞

-1

A

的一个估计值v v =~

；再利用inf),(A norm 得到∞A ；则条件数

inf),(1

A norm v A A K *==∞∞

-。

另，矩阵A 的∞数条件数可由inf),(A cond 直接算出，两者可进行比较。

程序为

1 算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =

function v=opt(B)

k=1;

n=length(B);

x=1./n*ones(n,1); while k==1 w=B*x;

v=sign(w); z=B'*v;

if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; else

x=zeros(n,1);

[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end

2 问题（1）求解 ex2_1

for n=5:20

A=hilb(n);

B=inv(A.');

4.求f(x)=sin x 在[0,π/2]上的最佳一次逼近多项式。

解：设P 1(x)=a 0+a 1x 是f(x) 的最佳一次逼近多项式，则P 1(x)在[0,π/2]上有三个交错点， 满足0<=x 1<x 2<x 3<=π/2。

由于 [f(x)- P 1(x)]’’=(cos x-a 1)’= -sin x 在[0,π/2]上小于0，定号， 故(cos x-a 1)’在[0,π/2]上单调递减，且仅有一个驻点。

故f(x)- P 1(x)在[0,π/2]上只有一个偏差点x 2，满足[f(x)- P 1(x)]’|x=x2 =cos x 2-a 1=0 (1)。 另外两个偏差点x 1=0 ，x 3=π/2 .

于是sin 0-a 0 =sin π/2-a 0-π/2a 1 (2)， sin x 2 –a 0-a 1x 2= -( sin 0-a 0) (3) 由（1）（2）（3）式得：a 1=2/π x 2=arccos 2/π=0.88 a 0=-1.18 所以P 1= -1.18+2/π x 。

6.求f(x)=2x 4+3x 3-x 2+1在[-1,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：设f(x)的三次最佳一致逼近多项式为P 3(x)，

由切比雪夫多项式的极性可得 1/2[f(x)- P 3(x)]=1/8T 4(x)=1/8(8x 4-8x 2+1)

所以P 3(x)=f(x)-1/4(8x 4-8x 2+1)= 2x 4+3x 3-x 2+1-2x 4+2x 2-1/4 =3x 3+x 2+3/4

数值计算方法上机题目1

1、实验1. 病态问题

实验目的：

算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：

考虑一个高次的代数多项式

∏=-=

---=20

1

)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1）

显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动

0)(19

=+x

x p ε (E1-2)

其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19

x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：

为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数

u ＝roots （a ）

其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为

121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程

0...1121=++++-n n n n a x a x a x a

的全部根，而函数

b=poly(v)

的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数.