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哈工大运筹学课件整数规划

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运筹学课件第五章整数规划

运筹学课件第五章整数规划

第五章整数规划、学习目的与要求1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;2、掌握求解0―― 1规划问题的隐枚举法；3、掌握求解指派问题的匈牙利法。

二、课时9学时第一节整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。

例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。

松弛问题(slack problem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。

若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。

一、整数线性规划数学模型的一般形式nmax(或min) z 八c j x jj a"nZ a ij X j <(或=,或X)b i (i =1,2,…,m)j =1s.t.」X j X0( j =1,2，…,n)X-X2,…,x n中部分或全部取整数I整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。

有时，也称为全整数规划。

2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。

3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。

二、整数规划的例子例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。

按规定，服务员连续工作8h (即四个时段为一班)。

现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？解：设在第时段开始上班的服务员的人数为。

问题的数学模式略。

运筹学课件第五章 整数规划

运筹学课件第五章 整数规划

第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数

max c x Ax b s .t . x 0

1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)

运筹学第五章 整数规划ppt课件

运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1

s
.t
.

n j 1
aij x j

bi

x
j

0且
为
整
数
，
j

1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500

第八章 运筹学课件整数规划

第八章 运筹学课件整数规划
n
例2、某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地 点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是 a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建
设费用为fi (i=1.2…m),又有n个地点B1,B2, … Bn 需
要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工
厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地
设： xij 表示从工厂运往销地的运量(i=1.2…m、 j=1.2…n), 1 在Ai建厂 又设 Yi＝ （i=1.2…m） 0 不在Ai建厂 m 模型： min Z cij xij f i yi
i 1
n xij ai yi (i 1.2 m) j 1 m xij b j (j 1.2 n) i 1 x 0, y 0 或 1 (i 1.2 m、j 1.2 n) i ij
个（后继）问题的松弛问题( LP1)
和( LP2) 。
4、修改上、下界（定界）：
按照以下两点规则进行： ⑴.在各分枝问题中，找出目标函数
值最大者作为新的上界；
⑵.从已符合整数条件的分枝中，找 出目标函数值最大者作为新的下界。
5、比较与剪枝 ：
各分枝的目标函数值中，若有小于
Z 者，则剪掉此枝，表明此子问题已经 探清，不必再分枝了;否则继续分枝。
x1
Z(2) ＝－56/3≈－18.7 ∵Z2 < Z1＝－16 ∴原问题有比 （－16）更小的最优解，但 x2 不是整数，故利用 3 ≥ 10/3≥4 加入条件。
加入条件： x2≤3, x2≥4
有下式：
min Z x1 5 x2 min Z x1 5 x2 x1 x2 2 x1 x2 2 5 x 6 x 30 5 x 6 x 30 2 2 1 1 4 4 x1 x1 ( IP4) ( IP3) 2 x1 2 x1 4 3 x2 x2 x , x 0且为整数 x , x 0且为整数 1 2 1 2

运筹学课件：第5章 整数线性规划-第3节

运筹学课件：第5章 整数线性规划-第3节
第3节 割平面解法
• 整数线性规划问题的可行域是整数点集，割 平面解法的思路是：首先不考虑变量是整数 这一条件，仍然是用解线性规划的方法去解 整数线性规划问题，若得到非整数的最优解 ，然后增加能割去非整数解的线性约束条件( 或称为割平面)使得由原可行域中切割掉一部 分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉 任何整数可行解。
• 直观地表示在图5-7中。但从解题过程来看， 这一步是不必要的。
图5-7
现把求一个切割方程的步骤归纳为：
(1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的 一个基变量，由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
k
(5 4)
其中i∈Q(Q指构成基变量号码的集合) k∈K(K指构成非基变量号码的集合)
⑥
• 3x1+x2 +x4=4
⑦
不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
初始计算表 最终计算表
表5-2
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
cj-zj
1
x1
1
x2
cj-zj
11 0
0
b
x1 x2
x3
x4
1 -1 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
4
31
0
1
0
11
0
0
3/4 1 0 -1/4 1/4
7/4 0 1 3/4 1/4
-5/2 0 0 -1/2 -1/2
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带 有分数的最优解的可行域中分数部分割去， 再求最优解。就可以得到整数的最优解。

最优化理论_第3章_整数规划

最优化理论_第3章_整数规划

引例
某厂拟用火车装运甲、乙两种货物集装箱，每箱 的体积、重量、可获利润以及装运所受限制如下：
货物集装箱 体积(米3) 重量(百斤) 利润(百元)
甲 乙
托运限制
5 4
24
2 5
13
20 10
问两种货物各装运多少箱，可使获得利润最大？
返回
设甲、乙两种货物装运箱数分别为x1和x2。显然，x1、 x2 都要求为整数,于是可建立整数规划模型如下：
i 1
x1 x2 x3 2 x4 x5 1 x6 x7 1 7 bi xi B i 2， 7 xi 1 或 0 i 1，
在整数规划中，如果变量xi仅取0或1，这时变量xi称 为0—1变量，这时的整数规划称为0—1型整数规划。
继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为 止。
例题演示

例 求解问题A
min z = -10x1-20x2 5x1+8x2≤60 x1≤8 x2≤4 x1，x2≥0 x1，x2整数

问题A对应的松弛问题B
min z = -10x1-20x2 5x1+8x2≤60 x1≤8 x2≤4 x1，x2≥0


4.定界： 修改最优值的上下界
修改上界 z ， 每求出一次符合整数条件的可行 解时，都要考虑修改上界 z ，选择迄今为止最 好的整数可行解所对应的目标函数值作为上 界 z ，在分枝定界法的求解过程中，上界 z 是 不断减小的。
修改下界 z ，每求解完一对分枝，都要考虑修 改下界 z ， 挑选下界 z 的值应是迄今为止在所 有未被分枝的问题的目标函数值最小的一个， 在分枝定界法的求解过程中， 下界 z 是不断增 加的。

运筹与决策PPT：整数规划

运筹与决策PPT：整数规划

案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)

运筹学-整数规划 (一)(名校讲义)

运筹学-整数规划 (一)(名校讲义)

5 8
§4 隐枚举法 （9）
从表2-2中看出，经过改进的过滤隐枚举法只需计算16次 即可。 过滤隐枚举法简单实用，但在变量数很大时，计算量仍 很大。为此，下面将介绍另一种方法，即分枝隐枚举法。
§4 隐枚举法 （10）
三、0 1规划求解法之二（分枝隐枚举法） 基本思路：把原0 1规划问题化成标准形（分枝隐枚举 法的标准形），然后从可能获得最佳目标函数的组合进 行检查（不一定可行），直到找出可行解为止。为了清 楚，下面将结合例题阐述其步骤。 1．[例2-8] 已知0 1整数规划模型为
[解]
2x1+x2=8 最优解 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图2-1 x1
§3 分枝定界法 （3）
2）因为x1、x2当前均为非整数，故不满足整数要求，任 选1个进取分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2个子 集： x1≤[10/3]=3及x1≥[10/3]+1=4 3)x1≤3时 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x2
8 7 6 5 4 3 2 1 x1 = 4 2x1+x2=8 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 图2-3
§3 分枝定界法 （7）
5）节点④，令x2≤[3/2]=1 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x1+2x2≥6
x1≤3 x2≤1 x1、x2≥0，且为整数。 用图解法，知该子集无解，读者可以自己作。
§4 隐枚举法 （1）
隐枚举法适于求解一种特殊的整数规划——01规划。
一、举例说明01规划的现实来源 [例2-6]投资场所的选定（相互排斥计划）。某部门拟在 东、西、南三区建立门市部，可选用的位置共7个，设 为Ai (i=1,2,…,7)。根据计划安排有下述规定： 在东区，由3个候选点A1，A2，A3中至多选2个；

工学运筹学整数规划

工学运筹学整数规划
划的可行解是一个有限集，将这个集内 的每一个点对应的目标函数值都一一计 算出来，然后从中找出最优者，则为整 数规划的最优解。
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
例3：用完全枚举法求解下述整数规划 问题。
max z =x1+4x2 -2x1+3x2≤3 x1+2x2≤8 x1，x2≥0 x1，x2整数
整数规划的松弛问题 不考虑整数条件，由余下的目标函数和
约束条件构成的规划问题。若松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划 为整数线性规划。
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
整数线性规划的数学模型
n
max(或 min)z c j x j j 1


n
aij x j
(或 ，或 )bi，i 1，2， ，m
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
三、整数规划的解法
例2：某宝石加工厂最近新到6粒大小、质量等级相似 的钻石毛料，管理层有两种选择，一是切磨成一般 的皇冠形，每粒可获利2.5千元；一是切磨成虽然 较难切磨但当前市场较流行的心形，每粒可获利4 千元。若切磨成皇冠形则每粒需要5个工作日，若 切磨成心形则每粒需要9个工作日，由于工厂切工 师傅较忙，最多只有45个工作日来做这批工作。另 外，由于毛料自身形状的关系，其中只有4粒毛料 可以切磨成皇冠形，而6粒毛料中任何一粒都可以 切磨成心形。那么，管理层应如何决策才能使这批 钻石获利最大？
第五章 整数规划
Integer Programming
第五章 整数规划
第1节 整数规划的数学模型及解的特点 第2节 分支定界法 第3节 0-1型整数规划 第4节 指派问题
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
一、整数规划的含义 要求一部分或全部决策变量必须取整数

第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt

第5章整数规划第1,2节 运筹学ppt

X(0) (b1,b2 , ,br, ,bm,0, ,0)T
目标函数Z 最 (0.其 ) 优b 中 i(值 i1,为 2, ,m)不全为
2、定界：
记( IP )的目标函数最优值为Z* ,以Z(0) 作为Z* 的上界，
记为 ＝ZZ(0) 。再用观察法找出一个整数可行解 X′，
并以其相应的目标函数值 Z′作为Z* 的下界，记为Z＝ Z′,
无 B6可: 行解
z5 308
2
1
B5
01234567
分支定界的全过程：
x1 4
B : x1 4 .81 x 2 1 .82
z0,z 356
z 0 356
x1 5
B1 : x1 4.00 x2 2.10 z1 349
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
z 0 z 349
——混合整数规划（Mixed Interger Programming,MIP） 全部决策变量取0或1的规划问题:
——0-1规划（Binary Interger Programming,BIP） 整数规划中不考虑整数条件所对应的规划问题:
——该整数规划的松弛问题
整数线性规划一般形式：
n
max(min) z c j x j j 1
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
x1 , x 2 0
max Z x1 x 2
14
x1 6x
9x2 1 3x
2
51 1
(1) (2)
x1 , x 2 0
用图解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有Z = 29/6
x2
⑴
3 2

运筹学--整数规划 ppt课件

运筹学--整数规划 ppt课件

三、投资问题
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末
回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第 二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％， 但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%， 但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，此项投资金额不限。
= 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D =
1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D =
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以 保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 -
200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
一、投资场所的选择
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售
门市部，拟议中有10个位置 Aj ( j＝1，2，3，…，10)可供 选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规

运筹学课件第四节0—1型整数规划

运筹学课件第四节0—1型整数规划
T (1,1,...,1) T , 选择（ A1,...An） ( x1 ,...x n ) T : T (1,1,...,0 ) T , 选择（ A1,...A n）
例：固定费用问题 有三种产品被用于生产三种产品，资源量、产品单件费用、 资源消耗量以及生产产品的固定费用。要求制定一个生产计 划，总收益最大。
,先加工某种产品 0 yj （ j 1 ,2 ,3 ,4 ） 1 ，先加工另外产品 机床1:x11+a11≤x21+My1 ; x21+a21≤x11+M(1-y1) 机床2:x22+a22≤x32+My2 ; x32+a32≤x22+M(1-y2) 机床3:x13+a13≤x33 +My3 ; x33+a33≤x13+M(1-y3) 机床4:x14+a14≤x24 +My4 ; x24+a24≤x14+M(1-y4) 当y1=0,表示机床1先加工产品1,后加工产品2;当y1=1,表示机床1先 加工产品2,后加工产品1.
4 求解： 7 C 6 6 6
8
7
9 17 9 12 7 14 9 12
15 12 14 10 8 7 6 10 10 6
第一步 造0 各行各列减其最小元素
0 0 0 0 0
4 3 2 10 3 1 3 6 8 6
11 7 2 0 4
第四节
0—1型整数规划
一、0-1变量及其应用 某些特殊问题，只做是非选择，故变量设置简化为0或1， 1代表选择，0代表不选择。
选取某个特定方案 1, 当决策选取方案 x 0 , 当决策不选取方案 问题含有较多的要素， 每项要素有 2 种选择，用 0 1变量描述。 有限要素 E1, E 2 ,...E n , 每项 E j 有两种选择 A j , A j 1, E j 选择 A j xj 0 , E j 选择 A j

运筹学课件第四节0-1型整数规划

运筹学课件第四节0-1型整数规划
运筹学课件第四节0-1型整数 规划
目录
CONTENTS
• 0-1型整数规划概述 • 0-1型整数规划的数学模型 • 0-1型整数规划的求解算法 • 0-1型整数规划的案例分析 • 0-1型整数规划的软件实现
01 0-1型整数规划概述
CHAPTER
定义与特点
定义
0-1型整数规划是一种特殊的整数规 划，其中决策变量只能取0或1。
解决方案通常采用动态规划或混合整数线性规 划方法，通过迭代和优化算法来找到最优解。
05 0-1型整数规划的软件实现
CHAPTER
Excel求解工具
适用范围
适用于简单的0-1型整数规划问题。
优点
操作简单，易学易用，适合初学者。
使用方法
利用Excel的Solver插件，设置目标函数、 约束条件和决策变量，进行求解。
其他约束
除了资源和需求约束外，还可能 存在其他类型的约束，如数量约 束、时间约束等，这些约束条件 都对决策变量的取值范围进行了 限制。
决策变量
离散变量 0-1型整数规划中的决策变量通常 是离散的，只能取0或1两个值。 这些决策变量代表了不同的策略 或选择。
最优解 最优解是指在所有可行解中使目 标函数达到最优值的决策变量的 取值组合。
缺点
对于大规模问题求解能力有限，可能存在精 度问题。
Python求解库
适用范围
适用于各种规模的0-1型整数规 划问题。
使用方法
利用Python的优化库，如PuLP 或CVXPY，编写目标函数和约束 条件，进行求解。
优点
功能强大，可处理大规模问题 ，精度高。
缺点
需要一定的编程基础，学习成 本较高。
MATLAB求解工具

运筹学整数规划PPT课件

运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。

运筹学-4-整数规划ppt课件

运筹学-4-整数规划ppt课件

.
8
第四章 整数规划 0-1规划
解：设xi
1 0
带第 i件物品
不带第 i件物品 数学模型：
Z表示所带物品的总价值
m
Z ci 带第i件
ci xi
i 1
m
携带物品的总重量 bi x i
i 1
m
max Z ci xi
m i1
s.t
i1
bi xi
b
xi 0,1，
i 1, 2, m
i1
1, 2,..., m
i1
s.t. xij bj j 1, 2 , n
i1
xij
0
,
yi 0,1
混合型整数规划
.
11
第四章 整数规划
例 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再 建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有 B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需 求地的单位物资运费cij，见下表：
.
10
第四章 整数规划
解：设 xij表示A 工 i运厂 往B 商 j的店 运量
m
n
则总运费为
c ij x ij
i1 j 1
数学模型：
mn
m
设yi
1 0
则总建厂费为
在第 i个地点建m厂in Z
不在第 i个地点建厂 n
m
fi yi
j1 m
xij
i1
j
ai
1
yi
cij xij
i
fi yi
1 若 建 工 厂 yi 0 若 不 建 工 厂(i3,4)
再设xij为由Ai运往Bj的物资数量，单位为千吨；z表示总费用， 单位万元。

运筹学课件 第5章：整数规划

运筹学课件 第5章：整数规划

依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2

运筹学第三章 整数规划PPT课件

运筹学第三章 整数规划PPT课件

（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25

第05章 整数规划 《运筹学》PPT课件

第05章 整数规划 《运筹学》PPT课件

︰︰ ︰
︰
xm+1 λ1 a1m+1 ︰
… … …[j0aim1xλa,1m2mjfm],++i+jjmj njf
…
im j
…1 …m
xn λn a1n
︰
︰
解
zb-1zb00i0 fi0
︰0 fi0 1
xi 0 … 1 … 0 aim+1
… aim+j
… ain
bi0
︰︰ ︰
︰︰
︰
︰
︰
非基
符号[*]表示不超过“*”的最大整数，f(*)表 示“*”的非负真分数。
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题 L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的最优解
X
不是整数解
0
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 其中bi0是分数
即x1,xi ,xm是基变量，xm1,, xn是非基变量
设L0的最优解 X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0 ,bi0是分数
L0的最优单纯形表：
x1 … xi … xm xm+1 … xm+j … xn
解
检 0 … 0 … 0 λ1
… λm+j … λn
z-z0
x1 1 … 0 … 0 a1m+1 … a1m+j … a1n
个旅行包里。
物 品
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
体 积 200 350 500 430 320 120 700 420 250 100
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2006/08
--3--
x2 4 2
2006/08
可编辑ppt
2x1+x2=9
(3.25, 2.5)
2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
--4--
x2 4 2
2006/08
可编辑ppt
2x1+x2=9
(2.5, 3) (3.5, 2)
2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
--5--
设 xj=
1 0
--- 选择开采第j个构造 ---不选择开采第j个构造
10
max z=Σj=c1 jxj
-----年总收益
10
∑j=1ajxj b
----投资额限制
xj＝0或1 (j=1,2,---,10)
2006/08
--10--
2. 表示选择性约束
可编辑ppt
例2：上述例题中，如果在开采中需用电力，解决的方案或由电网 供电或由自备的柴油机发电。已知第j个构造开采时每天耗电量为dj度， 电网每天供电量限制为f 度。当使用自备柴油机发电时，每度电平均耗 油0.3公斤，而柴油供应量限额为每天p公斤。试在模型中表示出该限制 条件。
② 令所有变量xj=0，计算边界目标函数值z，检查是否满足所有约 束条件，若满足，即为最优解；否则，分枝计算。
③ 分枝：按变量次序依次令各变量取“1”和“0”值，计算边界值， 然后 检查是否满足所有约束，若满足，转下步；否则继续分枝。
④ 剪枝：在得到一个可行解后，分枝过程中要进行剪枝工作。 (a) 对可行解，保留边界值最小的一枝zmin，其余全剪掉； (b) >zmin分枝，剪掉； (c) 能判断出为无可行解的分枝，剪掉； (d) 非上述情况，继续分枝。
采用电网供电：
∑j=1djxj f +(1－y1)M
10
采用自备柴油机发电： ∑0.3djxj p +(1－y2)M
j=1
y1+y2=1
y1, y2 =0或1
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--11--
3. 表示条件性约束
可编辑ppt
例3：若在开采时还需满足下述条件：
（a）若开采8号，则必须同时开采6号； （b）若开采5号，则不许开采3号； （c） 2 号和4号至少开采一个； （d） 8 号与7号必须同时开采； （e） 1号、4号、6号、9号开采时不能超过两
或为：
f(xj) = kjyj+cjxj xjyjM yjxjM xj0, yj=0或1
2006/08
--15--
可编辑ppt
三、隐枚举法
步骤：
① 化标准形(隐枚举法)：1) 目标函数极小化 2) 约束条件化成 3) 使目标函数系数皆为非负, 若xj系数为负值, 则令xj=1-xj 4) 使目标函数按变量系数由小→大顺序排列，约束条件变 量排列的顺序要与之对应。
积、重量、可获利润及托运时所受的限制如下表所示， 问如何托运能使总收益最大？
货物 甲
体积(米3/箱) 重量(吨/箱) 利润(千元/箱)
2
2
3
乙
3
1
2
托运限制
14 米3
9吨
2006/08
--2--
建模：
可编辑ppt
解：设 托运甲货物x1箱，乙货物x2箱
Max z=3 x1 +2 x2 st . 2 x1+3 x214 2 x1 + x29 x10，x20，且为整数
2006/08
--8--
可编辑ppt
4.2 0-1规划问题及模型
一、0-1规划问题的概念 • 在整数规划问题中，若变量取值为0或者1，则为0-1 规划问题。
• 0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。
2006/08
--9--
二、0-1变量的应用
可编辑ppt
1、表示选择性决策
例1：某油田在10个有油气构造处要选择若干个钻探 采油，设第j个构造开采时需投资aj元，投产后预计年收益 为cj元，若该油田投资的总限额为b元，问：应选择哪几 个构造开采最为有利？
个，试表示上述约束条件。
2006/08
--12--
可编辑ppt
（a）当x8=1 当x8=0
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
∴ x8 x6
（b）当x5 =1 当x5 =0
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
∴ x5 + x3 1
（c） x2 + x4 1 （d） x8 = x7 （e） x1 + x4 + x6 + x9 2
x2 4 2
2006/08
可编辑ppt
2x1+x2=9
(2.5, 3) (3, 2)
(4, 1)
2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
--6--
分枝定界法:
可编辑ppt
L0：z0=14.75 x1=3.25，x2=2.5
L1：z1=14.5 x1=3.5，x2=2
L2：z2=13.5 x1=2.5，x2=3
L3：z3=13 x1=3，x2=2
L4：z4=14 x1=4，x2=1
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--7--
可编辑ppt
LINDO软件及EXCEL求解： LINDO程序软件：同求解LP模型时的输入及编辑修改过 程，在使用‘ GO ’命令求解之前，对整数变量给予说明。 命令格式：GIN <变量名>。
EXCEL求解：
第4章
可编辑ppt
整数规划
Integer Programming 整数规划
All Integer Programming 全整数规划
Mixed Programming 混合整数规划
2006/08
--1--
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4.1 一般整数规划问题的特点及分枝定界法
一、引例 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体
M——充分大正数
--14--
可编辑ppt
5. 分段函数线性表示
设有 f(xj)=
Kj+cjxj 当xj>0
将min f (xj) 表示成
0
当xj=0， 线性函数。
设 yj= 1
0
则
当xj>0 当xj=0
Min f(xj) = kjyj+cjxj st. xjyjM xj0, yj=0或1
M—非常大的正常数
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--16--
可编辑ppt
例：求解下述 0-1规划问题：
Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 st. 3x1+3x2+x3+2x4+3x5 4 5x1+3x2- 2x3 - x4+ x5 4 xj=0或1 (j=1,2,3,4,5)
2006/08
--13--
可编辑ppt
4. 两组条件满足其中一组
若x1 4，则x21，否则(x14)，则x2 3。
设 yi=
1 第 i 组条件起作用 0 第 i 组条件不起作用
i=1,2
则
2006/08
x1 4＋(1-y1) M x2 1－(1-y1) M x1 4－(1-y2) M x2 3＋(1-y2) M y1＋y2=1 y1，y2=0或1

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