直线的倾斜角和斜率(教学设计)

直线的倾斜角和斜率教学设计教学设计：直线的倾斜角和斜率一、教学目标：1.知识目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，能够计算直线的斜率。

2.能力目标：能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣和积极参与数学学习的态度。

二、教学内容：1.直线的倾斜角和斜率的概念介绍。

2.直线的斜率的计算方法。

3.直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。

三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）让学生观察一些直线的图片，引导学生思考直线的特征和性质。

然后提出问题：“如何刻画直线的倾斜程度？”进一步引导学生思考斜率的概念。

2.概念讲解（10分钟）介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并进行示例说明。

通过几个具体图例，让学生理解倾斜角和斜率的计算方法。

3.斜率计算练习（15分钟）在黑板上给出几组直线的坐标，让学生自行计算斜率。

然后互相交流答案，老师给予必要的指导和讲解。

4.斜率的性质探究（10分钟）在黑板上给出不同的两条直线，让学生分别计算斜率并进行比较，引导学生发现两条平行线的斜率相等，两条垂直线的斜率的乘积为-15.应用实例探讨（20分钟）以实际问题为例，引导学生应用倾斜角和斜率的概念计算问题。

例如，计算两个点之间的坡度、判断两个线段的交叉情况等。

6.巩固练习（15分钟）提供一些练习题，要求学生计算直线的斜率，并在给出的坐标系中绘制这些直线。

让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固对倾斜角和斜率的理解和计算能力。

7.拓展应用（15分钟）让学生从生活实际中寻找更多的与斜率相关的问题，并用倾斜角和斜率的概念解决这些问题。

鼓励学生讨论和分享解决思路，加深对知识的理解和应用能力。

8.知识总结（5分钟）让学生自主总结直线的倾斜角和斜率的关系，并展示自己的总结。

教师进行点评和补充说明。

四、课堂训练：借助数字资源软件或练习册等材料，布置适量的作业题目，巩固学生对直线的倾斜角和斜率的理解和应用。

五、教学反思：本教学设计通过多种方式引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念，并加以实际问题的应用，既注重了学生的思维能力培养，又培养了学生对数学的兴趣和动手能力。

《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。

本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。

1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。

用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。

例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。

2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。

斜率越大，直线的倾斜程度越大。

- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。

斜率越小，直线的倾斜程度越大。

- 当斜率为0时，直线是水平的。

- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。

通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。

3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。

对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。

倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。

- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。

- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。

- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。

4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。

实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。

计算直线的斜率和倾斜角。

通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。

2.5等比数列的前n项和（第一课时）教案一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。

这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。

其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。

之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。

通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析目标定位：1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率.3、掌握过两点的直线的斜率公式.目标解析：1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X轴为基准，直线与X 轴相交时，X轴正方向与直线向上的方向的角；理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角，会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式k= 1212x x y y --（21x x ≠）。

三、问题诊断与分析1、对于倾斜角概念：根据倾斜角的定义说清楚“基准”与“直线方向”学生是容易掌握的，对于“是不是所有的直线都有倾斜角”这个问题绝大部分同学都能够理解。

而对于倾斜角的范围有些同学容易在180这里产生误解。

2、对于斜率，学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来，当倾斜角为90及0时可以特殊认识，当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析，突出转化思想的同时，引导学生认识P83页的脚注，使学生对所有直线的斜率情况有全面的认识。

《直线的倾斜角与斜率》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 掌握用斜截式表示直线斜率的方法。

3. 能够根据直线的倾斜角或斜率画出直线。

4. 培养观察、思考、分析和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：倾斜角和斜率的概念以及应用。

2. 教学难点：根据直线的倾斜角或斜率画出直线，理解并掌握用斜截式表示直线斜率的方法。

三、教学准备1. 准备教学PPT和相关教学图片。

2. 准备黑板和粉笔，以便在黑板上进行绘图和讲解。

3. 准备练习题和试卷，以便学生进行练习和测试。

4. 提醒学生带好笔记本和笔，以便记录课堂内容和思考。

四、教学过程：（一）导入新课1. 复习提问：上节课我们学习了哪些知识？请举例说明直线的倾斜角和斜率的概念。

2. 引出课题：直线的倾斜角与斜率（二）讲授新课1. 倾斜角的概念(1) 提问：什么是直线的倾斜度？(2) 引导学生回忆生活中有关倾斜的实例，如：旗杆的倾斜程度等。

(3) 结合实例讲解倾斜角的定义，强调定义中的三个要素。

(4) 讲解倾斜角的取值范围，通过课件或图形讲解各种情况的倾斜角。

(5) 提问：如何描述直线的方向？引出倾斜角的正切值的概念。

2. 斜率的概念(1) 提问：如果已知一个直角的倾斜角，能否求出这条直线的斜率？(2) 引导学生思考并总结斜率的定义。

(3) 讲解斜率的计算公式，强调斜率是倾斜角的正切值。

(4) 提问：如何表示一条直线与x轴垂直？如何求这类直线的斜率？(5) 通过课件或图形讲解斜率的意义。

3. 倾斜角与斜率的关系(1) 提问：一条直线的倾斜角与斜率之间有什么关系？(2) 引导学生思考并总结两者之间的关系式。

(3) 通过课件或图形讲解特殊直线的倾斜角与斜率的关系。

（三）课堂练习1. 完成教材中的相关练习题。

2. 学生自主选择题目进行练习，教师巡视指导。

3. 挑选几名学生上台演示自己的解题过程，并讲解自己的解题思路。

4. 教师对典型错误进行点评，强调易错点。

直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.掌握求直线的倾斜角和斜率的方法；3.能够应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

二、教学重点1.直线的倾斜角和斜率的概念；2.求直线的倾斜角和斜率的方法。

三、教学难点1.直线的倾斜角和斜率的关系；2.应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。

四、教学内容1. 直线的倾斜角和斜率的概念直线的倾斜角是指直线与水平线之间的夹角，用α表示。

直线的斜率是指直线的倾斜程度，用k表示。

2. 求直线的倾斜角和斜率的方法（1）已知直线的解析式设直线的解析式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k。

直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。

（2）已知直线上两点坐标设直线上两点坐标为(x1,y1)和(x2,y2)。

直线的倾斜角可以用斜率k求得，即tanα=k=(y2-y1)/(x2-x1)。

直线的斜率可以用解析式求得，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。

3. 应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题（1）求两条直线的夹角设两条直线的斜率分别为k1和k2，则两条直线的夹角为α=|tan⁡(k2-k1)/(1+k1k2)|。

（2）求直线的方程已知直线上一点坐标为(x1,y1)和直线的斜率为k，则直线的解析式为y-y1=k(x-x1)。

（3）求直线与坐标轴的交点设直线与x轴的交点坐标为(x,0)，则x=-b/k。

设直线与y轴的交点坐标为(0,b)，则b=y1-kx1。

五、教学方法1.讲解法：通过讲解直线的倾斜角和斜率的概念、求解直线的倾斜角和斜率的方法以及应用直线的倾斜角和斜率解决实际问题的步骤，让学生掌握相关知识点。

2.案例分析法：通过实际案例，让学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的实际应用能力。

3.互动探究法：通过让学生自己探究直线的倾斜角和斜率的关系，提高学生的自主学习能力。

六、教学评价1.课堂练习：通过课堂练习，检查学生对直线的倾斜角和斜率的掌握程度。

《直线的倾斜角与斜率》教学设计第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率（第1课时）教学目标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.3.经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握直线的倾斜角与斜率的关系.教学重点斜率的概念、用代数方法刻画直线斜率的过程、直线的倾斜角与斜率的关系.教学难点对斜率概念的理解、直线斜率与他的倾斜角的关系教学方法启发、引导、探究教学手段多媒体课件辅助教学（几何画板绘制的图形）教学用具三角板教学设计引入新课我们知道在直角坐标系中，点是用有序实数对表示的，那么在直角坐标系中，直线怎样表示？如直线，它的本质是二元一次方程，它与直线的交点如何求？（联列方程组，解得方程组的解写成有序实数对，即坐标的形式，即为它们的交点）.那么，我们把这种建立在直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线（或直线），通过方程研究曲线的性质，通过方程组的解研究几何图形间的位置关系的方法叫做用代数方法研究几何问题——解析几何.而我们在初中几何中，所用的方法大都是以公理为基础，直接依据图形的中点、直线等研究图形的性质，这属于欧式几何的范畴.设计意图：回顾初中所学内容，引出本章主题，指出从本章开始将学习用解析法（代数法）解决几何问题.从本章起，我们就来学习用坐标法研究几何问题，首先我们从最简单的几何对象——直线开始.(板书课题第三章直线与方程)推进新课在初中学习直线时，知道两点确定一条直线，这两点实际上确定的是该直线的位置（图1）.图1问题1：一点能确定一条直线的位置吗？已知直线经过点，直线的位置能够确定吗（图2）？图2师生互动：学生回答，教师示范.问题2：过一点可以做无数条直线…，它们都经过点（组成一个直线束），这些直线的区别在哪里？师生互动：学生思考回答，教师点拨.问题3：容易看出它们的倾斜程度不同，那么怎样描述直线的倾斜程度呢？（用一个角度）设计意图：回忆初中相关知识，直接引出本节内容板书课题： 3.1.1 倾斜角一、倾斜角1. 定义：直线向上的方向与轴正向所夹的角叫直线的倾斜角(注：直线在轴上方的射线方向叫做向上的方向，直线在轴下方的射线方向叫做向下的方向).2. 倾斜角的范围问题4：找出图2中直线的倾斜角，观察各自角度的范围.师生互动：学生观察、思考后回答，教师点拨.观察得到，说明倾斜角可为锐角，也可为钝角.问题5：观察图3中直线与轴的位置关系图3师生互动：学生观察、思考、回答，教师点拨.(1) 直线与轴平行，或将向下平移至与轴重合，此时直线与轴不成角，所以规定：直线与轴平行或重合时，倾斜角.(2) 直线与轴垂直，倾斜角.学生活动：学生归纳倾斜角的范围综上，得倾斜角的范围：.设计意图：由学生自己观察、思考、并发现倾斜角的取值范围问题6：平面直角坐标系中，每一条直线是否都有一个确定的倾斜角？且倾斜程度相同的直线，倾斜角有什么关系？倾斜程度不同的直线倾斜角又如何？图4学生活动：观察图4，思考回答.（平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线倾斜角相同，它们是一组平行线；倾斜程度不同直线倾斜角不同.）问题7：已知直线的倾斜角，能否确定其位置？（不能）问题8：已知一点不能确定直线的位置，已知直线的倾斜角也不能确定直线的位置，那么把这两个因素结合起来，即已知直线过的一点和直线的倾斜角，能否确定该直线的位置？（能，且唯一确定一条直线）设计意图：使学生自己归纳得出确定一条直线的几何要素所以，在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：直线经过的一点和直线的倾斜角.课堂练习1：做出过点且倾斜角为的直线.师生互动：学生自己动手画图，教师巡视，必要时个别辅导.问题9：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，讨论斜面时，常遇到“坡度”（倾斜程度）问题，即如图建立平面直角坐标系，是所在直线的倾斜角，在△中，教师活动：引导学生把“坡度”这一同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入“斜率”（在本节标题中添写“与斜率”）.设计意图：使学生联系生活实际得到刻画直线倾斜程度的另一个量：斜率二、斜率1. 定义：直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率.即问题10：倾斜角时，是否存在？师生互动：学生观察，教师演示，以教室墙角为例，说明当时，不存在.设计意图：使学生发现并不是任何一条直线都有斜率，倾斜角为900的直线没有斜率这样得到直线斜率的完整概念：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切值交做这条直线的斜率.直线的斜率通常用表示，即（）课堂练习：P86练习1学生活动：给适当的时间让学生先做后答.难点突破一：对斜率的理解是本节的难点之一，学生认为倾斜角就可以刻画直线的倾斜程度，而且对每条直线的倾斜角是唯一的，二斜率却不这样，另外，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难，教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。

“直线的倾斜角和斜率”教学设计
教学目标：
1. 理解直线的斜率的概念。

2. 掌握求直线斜率的方法。

3. 理解直线的倾斜角的概念。

4. 掌握求直线倾斜角的方法。

教学重点：
1. 直线的倾斜角与斜率的关系。

2. 如何将斜率转化为倾斜角。

教学准备：
1. 教师准备PPT、板书等教学辅助资料。

2. 学生需要准备纸笔。

教学过程：
步骤1：引入
教师用PPT或板书展示两条不同斜率的直线，问学生如何判断哪条直线的斜率更陡峭？
教师引导学生思考，通过根据两条直线的斜率大小来确定其陡峭程度。

步骤2：讲授直线的斜率
1. 定义：
教师引导学生理解直线的斜率的概念，即直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。

2. 公式：
教师让学生根据两点坐标来计算斜率，同时通过练习题巩固斜率的计算方法。

3. 性质：
教师讲述斜率的以下性质：
a. 斜率为正数时，直线向右上方倾斜；
c. 斜率为0时，直线与x轴平行；
d. 斜率不存在时，直线垂直于x轴。

3. 与斜率的关系：
教师讲述倾斜角与斜率的关系，即斜率为k时，其对应的倾斜角为arctan k。

步骤4：练习题
教师通过练习题巩固学生对斜率和倾斜角的掌握。

步骤5：归纳总结
教师引导学生归纳总结直线的斜率和倾斜角的概念及计算方法。

步骤6：作业布置
教师布置相关作业，让学生巩固所学知识。

教学评估：
教师通过练习题和课堂讨论等方式对学生的学习情况进行评估。

2.1直线的倾斜角与斜率第一课时：倾斜角与斜率教学设计教学目标：1．初步了解直线的倾斜角和斜率的概念．2．初步掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率．3．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，经历几何问题代数化的过程，经历从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合和化归转化思想．教学重点：理解直线的倾斜角和斜率概念，初步掌握过两点的直线斜率的计算公式教学难点：直线的倾斜角、斜率概念的形成，两点斜率公式的建构。

教学过程：新课引入：在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用一种新的方法——坐标法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础.本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.探究新知：我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？自主学习：阅读课本51-52页探究上方问题1确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?教师讲解：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.问题2如何表示直线的方向?教师讲解：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？我们看到，这些直线相对于x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与x 轴所成的角不同. 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．新知：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角问题3 当直线l 与x 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向． 探究： (1)已知直线l 经过点O (0，0)，P (√3，1)，α与点O ，P 的坐标有什么关系? (2)类似地，如果直线l 经过点P 1(－1，1)，P 2(√2，0)，α与点P 1，P 2的坐标又有什么关系?对于问题（1），如图，向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√3，1），且直线OP 的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有tan α=√3=√33． 对于问题（2），如图，P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−√2,1−0)=(−1−√2,1)．平移向量P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 的坐标为(−1−√2,1)，且直线OP 的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有tan α=−1−√2=1−√2．1)0)一般地，如图，当向量21P P 的方向向上时，),(121221y y x x P P --=．平移向量21P P 到OP ，则点P 的坐标为，且直线OP 的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tan α=．同样，当向量12P P 的方向向上时，如图，),(212112y y x x P P --=，也有tan α==．新知：直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的坐标有如下关系：tan α=y 2−y 1x 2−x 1.我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope ），斜率常用小写字母k 表示，即k =tan α.日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=铅直高度水平宽度．问题3 当直线的倾斜角由0o 逐渐增大到180o 时，其斜率如何变化？为什么? 当倾斜角α满足0o ≤α<90o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大; 当倾斜角α=90o ，斜率不存在;当倾斜角α满足90o <α<180o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大.由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o 的直线相对于x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．由tan α=y 2−y1x 2−x 1及k =tan α知，k = y 2−y1x 2−x 1.2121（，）--x x y y 2121y y x x --1212y y x x --2121y y x x --问题4 直线的方向向量与斜率k 有什么关系？我们知道，直线P 1P 2上的向量21P P 及与它平行的向量都是直线的方向向量. 直线P 1P 2的方向向量21P P 的坐标为2121（，）--x x y y ， 当直线P 1P 2与x 轴不垂直时，12≠x x . 此时向量21121P P x x -也是直线P 1P 2的方向向量，且它的坐标为2121211（，）,---x x y y x x 即21211y y x x --（，）=（1，）,k 其中k 是直线P 1P 2的斜率．因此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则=y k x. 例1、 如图，已知A (3，2)，B (－4，1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB =1243---=17； 直线BC 的斜率k BC =1104----（）=24-=-12；直线CA 的斜率k CA =2-(-1)30-=33=1．由k AB >0及k CA >0可知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0可知，直线BC 的倾斜角为钝角． 随堂练习：1.已知坐标平面内三点A(－1,1)、B(1,1)、C(2，3＋1)． 求直线AB 、BC 的斜率和倾斜角；2.若A(1,0)，B(－3，m)，直线AB 的斜率为－12，则m ＝( ) A ．－8 B ．－2 C ．2D ．8CBAxyO3、若直线过点(1,3)，(4,3＋3)，则此直线的倾斜角是 ( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π34、已知点M(0，b)与点N(－3，1)连成直线的倾斜角为120°，则b ＝_______． 课堂小结本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线. 并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.知识点回顾：（1）倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°.（2）k=tan α k=y 2−y 1x 2−x 1.（3）若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则=yk x. 作业：课本55页练习。

直线的倾斜角与斜率教案直线的倾斜角与斜率教案一、教学目标：1. 知识目标：了解直线的倾斜角和斜率的概念；2. 能力目标：能够计算直线的倾斜角和斜率；3. 情感目标：培养学生对数学知识的兴趣和自信心。

二、教学重难点：1. 重点：直线的倾斜角和斜率的概念；2. 难点：直线的斜率的计算方式。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）：通过给学生出示两条不同斜率的直线，让学生观察并思考，引导学生讨论直线的倾斜角和斜率的关系，激发学生学习的兴趣。

2. 了解直线的倾斜角和斜率（10分钟）：通过简单直观的图形，引导学生理解直线的倾斜角和斜率的概念。

并且给出直线的斜率公式：k = tanθ，其中k为直线的斜率，θ为直线的倾斜角。

3. 计算直线的倾斜角和斜率（25分钟）：（1）通过给出两个点的坐标，引导学生计算直线的斜率的计算方法：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)；（2）通过给出直线方程，引导学生计算直线的倾斜角的计算方法：θ = arctank。

4. 练习与巩固（15分钟）：让学生进行相关的计算练习，巩固和加深对直线的倾斜角和斜率的理解。

通过多种情况的练习，让学生熟练掌握计算直线斜率和倾斜角的方法。

5. 拓展（10分钟）：通过给学生展示各种曲线的斜率和倾斜角的计算方法，引导学生思考如何计算曲线的斜率和倾斜角。

通过观察各种曲线的特点，引导学生发现曲线斜率和倾斜角的规律。

6. 总结（5分钟）：对刚才的学习内容进行总结，帮助学生回顾和巩固所学知识。

引导学生思考直线斜率和倾斜角的重要性以及实际应用。

四、教学反思：本节课通过以具体的图形为例，引导学生理解直线倾斜角和斜率的概念，通过具体的计算方法，让学生能够实际计算直线的斜率和倾斜角。

同时，通过拓展的内容引导学生思考更加复杂形状的曲线的斜率和倾斜角的计算方法，培养学生的综合应用能力。

针对学生的不同水平，提供了多种练习，巩固学生对知识的掌握，创设了有利于学生自主思考和交流的氛围。

《直线的倾斜角与斜率》教学设计
教学目标：
1. 理解直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

2. 掌握通过两点确定直线的斜率的方法。

3. 掌握通过直线的斜率计算直线的倾斜角的方法。

教学内容：
1. 直线的斜率的定义和计算方法。

2. 直线的斜率与倾斜角之间的关系。

教学步骤：
Step 1：导入新知识
教师通过提问启发学生思考，引导他们回顾直线的定义和斜率的概念。

Step 2：讲解直线的斜率与计算方法
教师通过示意图，介绍斜率的定义和计算方法，同时解释如何通过两点确定直线的斜率。

Step 3：举例计算直线的斜率
教师给出一些具体的例子，引导学生运用斜率的计算方法求解直线的斜率。

Step 4：讲解直线的倾斜角
教师通过示意图，讲解直线的倾斜角的定义和计算方法，解释斜率与倾斜角之间的关系。

Step 5：举例计算直线的倾斜角
教师给出一些具体的例子，引导学生运用斜率和倾斜角的计算方法求解直线的倾斜角。

Step 6：练习与讨论
教师出一些相关的练习题，让学生在课堂上完成，然后进行答案的讨论。

Step 7：总结与拓展
教师总结本节课的内容，重点强调直线的斜率和倾斜角的计算方法和关系。

同时鼓励学生进一步探索和应用这一知识点。

Step 8：作业布置
教师布置相关的作业，要求学生在家里进一步巩固和运用直线的斜率和倾斜角的计算方法。

Step 9：课堂回顾
下节课开始时，教师对本节课的内容进行回顾，解答学生在作业中遇到的问题。

同时提醒学生复习前面学过的知识点，做好准备。

§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。

“万事开头难”, “好的开始是成功的一半”, 解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现, 因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念, 还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度, 倾斜角用几何位置关系刻画, 斜率从数量关系刻画, 二者的联系桥梁是正切函数值, 并且可以用直线上两个点的坐标表示。

建立斜率公式的过程, 体现了坐标法的基本思想: 把几何问题代数化, 通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。

倾斜角是几何概念, 它主要起过渡作用, 是联系新旧知识的纽带, 研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念, 不仅其建立过程很好地体现了解析法, 而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用, 这是因为在直角坐标系下, 确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率, 其他形式都可以化归到这两个条件上来。

综上, 从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑, 斜率概念是本课时的核心概念。

（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用随着后续内容的学习, 我们逐渐发现, 一点和倾斜程度确定直线的很多应用: 直线的方向向量、直线的参数方程等等。

另外, 从加强知识内容的联系性, 从不同角度看待同一数学内容的角度看, 如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型, 那么从变化的角度看, 直线是线性的, 它描述的是均匀变化, 是最简单的变化之一。

即直线在某个区间上的平均变化率, 与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的, 都等于这条直线的斜率。

一切不均匀的变化或者非线性的变化, 在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。

这也是为什么用线性的研究非线性的, 以直代曲, 用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。

教学准备1. 教学目标知识与技能(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.(3) 理解直线的斜率的存在性.(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2. 教学重点/难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.3. 教学用具投影仪等.4. 标签数学，直线与方程教学过程（一）直线的倾斜角的概念我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗?如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α= 0°.问:倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图,直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三)直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示:直线P1P2的四种情况,并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°,直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当 y1=y2时,斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB,BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线,图略)分析:已知两点坐标, 而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;而当k= tanα<0时, 倾斜角α是钝角;而当k= tanα>0时, 倾斜角α是锐角;而当k= tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解:直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1,-1, 2, 及-3的直线a,b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以 x = y可令x= 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习:P86 1. 2. 3. 4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(七)课后作业:P89 习题3.1 1. 3.课堂小结(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.课后习题课后作业:P89 习题3.1 1. 3.板书。

《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标（一）知识与技能1、理解直线的倾斜角和斜率的定义，掌握倾斜角与斜率的关系；2、掌握过两点的直线的斜率公式和应用。

（二）过程与方法1、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，体验用代数方法刻画直线倾斜程度的过程，以提高学生分析、比较、概括，化归的数学能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

2、、通过对直线斜率公式的分类讨论帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，（三）情感、态度与价值观1、通过对倾斜角等概念的导入让学生体会到数学知识的产生来源于实际问题的需要，从而进一步端正学习态度，激发学习数学的兴趣。

2、在教学过程中对学生装进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索，勇于创新的科学精神。

二、教学重点直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式。

三、教学难点对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

四、教学方法发启式教学法、自主研讨法五、教学用具利用多媒体辅助教学六、教学过程（一）情境引入，提出问题播放视频，通过中国著名的水利工程——三峡大坝，引入迎水坡与背水坡的坡度知识，抽出大坝某处的横断面（梯形）的两条腰，提出问题“腰所在直线的位置怎样确定，如何定量地研究它们的倾斜程度，引入坐标法。

（二）知识探索，分析理解问题 在直角坐标系中如何确定该两条线段所在直线的位置呢？ 答：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：（1）两点确定一条直线；（2）已知直线上的一个点和这条直线的方向。

通过方法二导出250角和1500角分别就是直线l 1和l 2的倾斜角，引出直线倾斜角的定义。

（三）师生互动，抽象概括 1、直线的倾斜角定义在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,把 x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角,叫做直线l 的倾斜角.通常倾斜角用α表示.规定:当直线l 和x 轴平行时它的倾斜角为00 动画演示倾斜角的变化过程（见课件）由此推导在直角坐标系中，直线绕直线与x 轴交点旋转，它对x 轴正方向有四种情形。

直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标1.理解直线的斜率和倾斜角的概念及其在几何问题中的意义。

2.掌握计算直线斜率和倾斜角的方法。

3.能够应用直线斜率和倾斜角解决几何问题。

二、教学内容1.直线斜率的定义和计算方法。

2.直线倾斜角的定义和计算方法。

3.直线斜率和倾斜角在几何问题中的应用。

三、教学过程一、引入活动（15分钟）1.师生对话引入：教师可以与学生进行对话，通过问题引导学生思考直线斜率和倾斜角的概念。

教师：同学们，你们都知道直线吧？直线在几何学中很重要，我们今天要学习直线的一个重要特征，那就是斜率和倾斜角。

那你们知道直线的斜率和倾斜角在几何问题中有什么作用呢？学生：斜率和倾斜角可以帮助我们描述直线的倾斜程度和方向，可以用来计算两点之间的斜率和倾斜角以及解决几何问题。

教师：对的，直线的斜率和倾斜角可以帮助我们更好地理解直线的性质和特征，也可以应用到实际问题中。

接下来，我们就来具体学习一下直线的斜率和倾斜角。

二、讲解直线斜率的概念和计算方法（20分钟）1.定义斜率：斜率指直线上两点之间纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值。

斜率=(y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。

2.示例讲解：教师通过示意图和具体计算进行示例讲解。

示例：已知直线上有两个点A(2,3)和B(5,7)，求直线AB的斜率。

计算过程：斜率=(7-3)/(5-2)=4/3解释：直线AB的斜率为4/3，表示直线从点A到点B的上升程度（纵坐标增加的量）每增加3个单位，水平坐标（横坐标）增加4个单位。

3.学生练习：学生进行类似的计算练习，教师随机抽查学生的答案。

三、讲解直线倾斜角的概念和计算方法（20分钟）1.定义倾斜角：倾斜角指直线与坐标轴正方向之间的夹角。

2.计算倾斜角：可以利用直线的斜率来计算直线的倾斜角。

倾斜角 = arctan (斜率)注：这里的arctan是反正切函数，可以使用计算器或数学软件进行计算。

直线的倾斜角和斜率(教案)一、内容和内容解析内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。

内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。

直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。

本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。

本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。

课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。

斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。

课本借助“坡度”引出斜率概念。

定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。

“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教学重点：斜率概念及公式。

二．目标和目标解析目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析：1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。

结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。

2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。

3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。

4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解“坐标法”。

三．教学问题诊断分析1．两点确定一条直线是学生知道的。

但如何认识直角坐标系这一“参照系”下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。

所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。

直线的倾斜角与斜率-优秀教案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线的倾斜角与斜率教学设计一、教材的地位与作用直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的起点。

有着开启全章的作用。

学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标法”与数形结合思想方法。

用坐标法研究平面上最简单的图形—直线，对数学2中平面解析几何初步内容起到了关键的作用二、学情分析对象是重点中学的普通班的高一同学，比较比较活泼，求知欲强，而且已具备了直角坐标系、平面向量的知识，都具备了情感保证和认知基础。

三、教学目标知识与技能目标：理解解直线的倾斜角与斜率的概念；掌握两点斜率公式及应用利用斜率和倾斜角从数和形两方面来刻画直线相对于x轴的倾斜程度，过程与方法目标：理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解坐标法的基本步骤，感受解析几何的思想方法初步感悟数形结合的数学思想，提高抽象概括能力;情感与价值观目标：通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育让学生参与到直线斜率公式的推导过程中，使学生享受获取知识成功后的喜悦；通过计算机辅助教学，展现动态数学，使学生体会数形结合的美感；三、教学重难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，以及过两点的直线的斜率公式；教学难点：斜率公式的推导；四、教学问题诊断平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。

“倾斜角与斜率”教学设计（第一课时）一、教材分析本节课是人教A版必修2的第三章的第一节内容.第三章是解析几何，解析几何就是将几何问题转化为代数问题，通过代数运算来研究几何图形的性质及位置关系，即用数来言形，体现了数形结合的重要数学思想.在本章中，学生将在平面直角坐标系中建立直线的代数方程.运用代数方法研究直线、直线之间的位置关系、两条直线的交点坐标、点到直线距离，以及与此相关的一些应用.初步形成代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想.本课时涉及到两个概念，倾斜角和斜率，突出正切函数值是二者联系的关键桥梁.本课不仅使学生建构倾斜角，斜率的概念,掌握斜率的计算公式,而且还应适当渗透解析几何的基本思想和方法:坐标法、数形结合思想、联系的观点、解析几何发展史等.二、教学目标:知识与技能：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法.2.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.过程与方法：1.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.2.通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.情感态度与价值观：1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法，培养学生联系、对应转化等辩证思维.2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度．教学重点：斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程.教学难点： 1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系.2.运用两点坐标计算直线的斜率.3. 体会解析几何研究问题的基本思想和方法;经历几何(倾料角)问题代数(料率)化的过程,会求给出倾斜角或给出所经过的两点坐标的直线的斜率.三、教法分析教法：直观演示法，引导发现教学法等.学法：学生动手操作，练习法.教学手段：师生互动，小组讨论.四、教学工具多媒体、几何画板、优课电子白板交互系统.教学过程一、创设情境引入新课1、三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到证明方法.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE 是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.2、借助多媒体播放神舟九号飞行视频，以及与天宫一号实施自动交会对接，（这是中国实施的首次载人空间交会对接）.问: 科学家是如何预测飞船的飞行轨迹的?监测飞船实质是对飞船运行轨迹进行代数化处理，再借助计算机对运行轨迹进行精确计算．数学是真正的幕后英雄.通过真实的、学生感兴趣的情境与事例，让学生真切地感受到解析几何的意义与价值，激发学生探究的兴趣与欲望．本章解析几何主要是探讨如何用代数的思想来解决几何问题.让同学简单叙述：解析几何的发展史，世纪法国数学家笛卡儿和费马共同创立的．解析几何的创立是数学发展史上一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期．解析几何由此成为近代数学的基础之一．课后请同学们重新阅读本章的章引言以及阅读材料.本课时我们将研究解析几何中最基础的知识———直线的倾斜角和斜率，二、授新课探究：解析几何主要是对几何图形代数化处理，如何对几何图形( 多媒体显示)进行数量化、代数化处理? ……..回顾旧知（是否有过相关的经验和经历?）数轴上的点与实数一一对应;坐标系中的点可以用坐标有序数对表示：它们之间是一一对应;探究：如何确定一条直线呢？（两点确定一条直线）；探究：平面坐标系中，又该如何呢？一点能确定一条直线吗？（几何画板展示）若不能这些过同一点的直线有哪些不同点?请同学们动手操作,先独立思考,后相互讨论.学生在讨论的基础上观察教师借助几何画板软件动态演示,过点P的直线有无数条,他们的不同之处在于“倾斜程度”不同或“方向”不同.让学生明白直线倾斜度需要有参照对象,探究：怎样在平面直角坐标系中刻画直线的方向呢? ( 让学生作适当的讨论) 能否用一个适当的角来刻画? 如果能，这个角是怎样的角?让学生从坐标轴的“基准”作用出发思考问题，做出选择，初步养成利用坐标系解决问题的习惯.把选择的权利还给学生,既尊重学生的主体性,又培养学生的优化意识和责任感.有了x轴作为参照对象,（学生认为有四个角或两个角）探究：你更愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度?在三角函数中，回忆任意角的定义，（以x的正半轴为始边，逆时针旋转）.表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可，当然用最小的正角．让学生亲历直线倾斜角的直观定义过程.从而得到直线倾斜角的概念.探究：请在下图中坐标系中画出这些直线倾斜角, 并用自己语言说说倾斜角定义.坐标系是由原点重合的两条相互垂直的数轴构成的.数轴有方向,所以在上述选择时要注意发挥这个方向的作用.倾斜角定义：当直线与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.探究：分别说出下面三条直线的倾斜角度数：y x =；y x =-；2y =规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.探究：根据倾斜角的定义, 能否写出倾斜角α的取值范围.( 辅助一组用几何画板制作的直线转动过程中倾料角的变化的动画. )预设回答: [)0,απ∈直线平行于x 轴时,为什么不把它的倾斜角定义为π呢?实际上这是为了简单,便于计算.这样,倾斜角的取值范围是[)0,π.对定义加深理解分析：探究：每条直线都有唯一一个确定的倾斜角α吗？（是的）探究: 倾斜程度相同的直线其倾斜角α是否相等？（相等）倾斜程度不同的直线, 其倾斜角α是否不相等？（不相等）探究: 确定一条直线位置的几何要素是什么？正如一个点不能确定一条直线一样,已知直线的倾斜角α,也不能确定一条直线的位置.但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可以惟一确定一条直线.确定一条直线几何要素：两点或一个定点及它的倾斜角，两者缺一不可.生活在大黄山，我们都有过爬山，爬坡的体验，会遇到坡陡问题.思考：在生活中，还有没有别的表示倾斜程度的量呢？倾斜角从几何方面反映了直线的倾斜程度，能否找一个能从代数方面反映直线倾斜程度的量呢？==升高量对边坡度（比）前进量邻边这里的“坡度比”实际就是“倾斜角α的正切值”.斜率的定义：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示： k =tan α及时练习：当直线的倾斜角分别为如下时，求直线的斜率：（1）030α=；（2）045α=；（3）0120α=；（4）0135α=；（5）090α=；（6）00α=.探究:平面直角坐标系中任何一条直线都有斜率吗?当倾斜角为900时,直线的斜率不存在.因此，并不是每一条直线都有斜率.多媒体展示作为倾斜角α的直线斜率 （正切函数图象） 变化规律的函数图象.用几何画板展示锐角斜率为正,钝角斜率为负.加强定义理解：练一练：下列关于直线的倾斜角和斜率关系的说法中，正确的有（ ）.（1） 任意直线都有倾斜角，也都有斜率（2） 直线的倾斜角越大，它的斜率也越大（3） 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0 或 π（4） 两直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等（5） 直线斜率的范围是 （-∞，+∞）（6） 一定点和一个倾斜角可以唯一确定一条直线斜率的意义:平面内倾斜角不是2π的直线都有斜率,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,进而斜率相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不等,进而斜率不等.斜率大于0的直线的倾斜角为锐角,并且斜率越大倾斜角越大;斜率小于0的直线的倾斜角为钝角,并且斜率越小倾斜角越小.思考：因为两点可以确定一条直线，如何用直线上两点1122(,),(,)12P x y P x y 的坐标来表示“升高量”与“前进量”？让我们一起探究用直线上两点坐标1122(,),(,)12P x y P x y 来计算直线的斜率呢？探究：引导学生，利用==y x∆=∆升高量纵坐标增量坡度（比）前进量横坐标增量，先探究倾斜角为锐角和钝角时2121y y x x --与斜率k 值的关系. （数学实验）几何画板动态演示：给定两点,12P P ，改变直线的倾斜程度，一方面计算2121y y x x --，另一方面计算倾斜角的正切值，可以发现，不论α是锐角还是钝角，可以清楚的显示2121y y x x --与斜率k 的值总相等. 探究：当直线与x 轴平行或重合时， 2121y y k x x -=-该式是否也成立？ （数学实验）几何画板动态演示：实验验证上式是成立的.探究：当直线与y 轴平行或重合时，上式还成立吗？实验验证此时斜率是不存在的.探究：，直线l 的倾斜角确定后，改变,12P P 的顺序，k 的值是否也跟着变化？（数学实验）几何画板动态演示：当直线l 的倾斜角确定后，k 的值与点,12P P 的顺序无关.下面用代数进行证明：1.当直线的倾斜角α为锐角时：22112112QP y y tan =tan QP P QP x x α-∠==- 改变,12P P 的顺序:112212122121QP y y y y tan =tan QP P QP x x x x α--∠===-- 2.当直线的倾斜角α为钝角时： 2212111221()tan ,tan QP y y y y tan =tan ,tan =QP x x x x απθθθα---=-==∴-- 改变,12P P 的顺序：2121y y tan =x x α-- 3. 当直线与x 轴平行或重合时：21212100y y tan =tan0x x x x α-===-- 4. 当直线与y 轴平行或重合时：tan =tan2πα 不存在应用理解,精致概念 例l ：(教材85页例l)已知A(3,2)，B(一4,l)，C(0,一l),求直线AB ，BC ，CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. （几何画板展示）解：直线AB 的斜率121437AB k -==--； 直线BC 的斜率1110(4)2BC k --==---； 直线CA 的斜率12103CA k --==-； 由0AB k >及0CA k >，直线AB 与直线CA 的倾斜角均为锐角；由0BC k <知，直线BC 的倾斜角为钝角.设计意图:巩固本课时所学的基本知识，并体验斜率与倾斜角之间的关系.例2：(教材85页例2)在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1，一1和2及-3的直线,,1234l l l l 及.分析：引导学生根据已知条件分析解决方法, 确定一条直线可以是一点一角,也可以是两点. 对于1k = 和1k =-,倾斜角是比较容易求得的, 但对于2k =和3k =-,显然无法简单求出倾斜角.因为已知直线过原点, 所以只要再找出一个角或另外一点直线就确定了.但在推导斜率公式时, 学生已经知道, 斜率的值与直线上的两点位置无关, 因此,由已知直线的斜率画直线时, 可以再找一个特殊点, 比如可以使其横坐标等于1 , 就会给计算带来很大的方便.解：设111(,)A x y 是直线1l 上的一点，根据斜率公式有，11010y x -=-，即11x y =， 设11x =，则11y =，于是1A 的坐标是(1,1).过原点及1(1,1)A 的直线即为1l ，同理,234l l l 及.提升训练1. 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转450，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为 045α+或0135α- .分析：当000135α≤<时，1l 的倾斜角为045α+；当00135180α≤<时，1l 的倾斜角为0135α-；2.若直线的斜率满足k <<α的范围是 .分析：可以利用正切图像：2[0,)(,)63πππ . 3.已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 . 分析：PN k k ≥或PM k k ≤变式1：已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与射线MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .变式2：已知(2,3),(3,2)M N ---，直线l 过点(1,1)P ，且与射线NM 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .设计意图:通过逆向思维,再找出位于直线上的一点使其满足已知斜率,而画直线的过程是数形结合的过程,有利于进一步理解直线的斜率公式(料率与直线上点的位置无关),也为以后点斜式方程教学埋下伏笔.此例是教材的一大亮点. 探究：教材中的两个例子是以坐标系为背景，从正、逆两个方向分析两种确定直线的条件，把形转化成数，把数转化成形. 两个例题既是知识探究过程的延伸和深化，又引导学生体验数形之间是怎样通过坐标法进行转化的，是怎样用代数方法研究几何图形的. 教学反思：本节课主要学习了倾斜角与斜率两个概念，倾斜角的本质是刻画直线朝向的几何量，斜率的本质是刻画直线朝向的代数量，倾斜角与斜率通过正切函数联系在一起，也使直线的几何直观与代数精细刻画联系在一起，而建立这种联系的大背景是建立平面直角坐标系.。