NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式

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Gauss型求积公式-第5章

5.2 Gauss型求积公式
形如
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0 n
插值型求积公式的代数精度至少为
n。
x0 x0
x1 x1
x0 x0
x1 x1
两点的求积公式为： 1 f ( x) dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) 若限制等距节点，则 1、x0 , x1固定，A0 , A1 变量 2、确定 A0 , A1 需两个方程
x0 , x1 ,, xn 是Gauss点 x0 , x1 ,, xn 是Gauss点
n 1 ( x) 是正交多项式。
x , x ,, x
0 1
n
是正交多项式的根。
证明：必要性
I ( f ) ( x) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) Ak f ( xk )
n n 2
n 1 ( xk ) 1 ( x ) ( x xk ) f ( xk ) n 1 k
2
n 1 ( x) ( x xk ) f ( xk ) 1 ( xk )( x xk ) k 0 n

1
1
f ( x) dx
1 1 f f 3 3
对于任意区间 a, b 上权函数 x 1 的Gauss型求积公式，只需作变量替换：
x
则有
x a, b t 1, 1 ，这样
ab ba t 2 2
n 1 ( xk ) f ( xk ), k 0,1,..., n H 2 n 1 ( xk ) f ( xk ), H 2
的2n+1次Hermite插值多项式，即（P110 例5）

数值分析(高斯求积公式)

2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R

数值分析课件_高斯求积公式

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n

2

a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a

b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n

N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:

b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明：必要性设
p( x ) H n

高斯(Gauss)求积公式

数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式）
为正交多项式序列，设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列具有如下性质：具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是次多项式。 2）正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ）正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3）由性质）及(4)式，有式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a

Gauss型积分公式

Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。

数值分析-高斯求积分

p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公式的代数精度
去掉求积节点为等分节点的限制条件，会有什么结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明：必要性：若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为

Gauss型积分公式

G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。

gauss型求积公式系数和

高斯（Gauss）求积公式的系数和确定方法如下：确定节点：首先确定求积公式所使用的节点，这些节点通常选择为高斯点。

构造高斯型求积公式：根据所选的节点，构造高斯型求积公式。

高斯型求积公式的一般形式为：∫f(x)dx≈∑(A*f(x_i))，其中A是求积系数，x_i是高斯点。

确定求积系数：通过求解线性方程组来确定求积系数。

具体地，根据高斯型求积公式的构造原理，可以建立一个线性方程组，该方程组由节点处的函数值和高斯型求积公式中的求积系数组成。

解这个线性方程组可以得到求积系数。

验证求积公式的精度：通过数值试验来验证求积公式的精度。

例如，可以选择一些已知的函数进行测试，比较使用高斯型求积公式计算的结果与真实值之间的误差。

Gauss型积分公式

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。

由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。

数值分析课程课件 Gauss求积公式

4.5.2 常用Gauss求积公式
1.Gauss—Legendre求积公式
第三章数值积分与数值微分
不失一般性，可取a＝-1，b＝1而考察区间[-1，1]
上的高斯公式
1
n
(x) f (x)dx
1
Ak f (xk ).
k 0
在区间[-1，1]上取权函数 x 1, 那么相应的正交多项式为Legendre多项式。以Legendre多项式的零点为 Gauss点的求积公式为
和 x0 , x1 ,使所得公式的代数精度m>1(最高为n-1=3)。即求
积公式(4.5.2)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立，只要 A0 , A1 和 x0 , x1 满足方程组
A0 A1 2

A0 x0

A1 x1
0

A0
x
2 0

A1 x12
得
A0 A1 1
代入（*）得：
1
3
3
f (x)dx f ( ) f ( )
1
3
3
易验证，这是代数精度为m=3的插值型求积公式。
第三章数值积分与数值微分
由上例可知，在节点数目固定为n 的条件下，可以通过
适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使机
械求积公式
b
a
f
1
1
f
xdx

A0
f
0
令它对f(x)=1准确成立。即可得出 A0 2 。这样构造出的一点Gauss-Legendre公式是中矩形公式。
再取
P2
(
x)

1 2

Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和方法

Gauss型（Gaussianquadrature）求积公式和⽅法⽬录0、Gauss型积分通⽤形式1、Gauss–Legendre quadrature勒让德2、Gauss–Laguerre quadrature拉盖尔——积分区间[0，inf]3、Chebyshev–Gauss quadrature切⽐雪夫0、Gauss型积分通⽤形式The integration problem can be expressed in a slightly more general way by introducing a positive weight functionω into the integrand（被积函数）, and allowing an interval other than（除了，不同于） [−1, 1]. That is, the problem is to calculatefor some choices of a, b, and ω. For a = −1, b = 1, and ω(x) = 1, the problem is the same as that considered above（勒让德问题）. Other choices lead to other integration rules. Some of these are tabulated（列表） below.1、Gauss–Legendre quadrature勒让德——积分区间[-1，1]The most common domain of integration for such a rule is taken as [−1, 1], so the rule is stated aswhich is exact for polynomials of degree 2n − 1 or less. This exact rule is known as the Gauss-Legendre quadrature rule. The quadrature rule will only be an accurate approximation to the integral above if f(x) is well-approximated by a polynomial of degree 2n − 1 or less on [−1, 1]. The Gauss-Legendre quadrature rule is not typically used for integrable functions with endpoint singularities.（端点奇点）（1）基本概念注：P0没有根（与x轴⽆交点），P1有1个根（与x轴有⼀个交点），P2有2个根（与x轴有两个交点），。

高斯求积公式.ppt

Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos
(2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x
2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为

Gauss型数值求积公式正交多项式及其零点数值微分方法数值积分与

外推:
~ U ij (4u2i , 2 j U ij ) / 3
高斯-赛德尔迭代法结合外推技术实验 n 10 20 外推
error
iteratives
0.0028
152
7.1115e-004
706
6.5304e-006
16/16
2 x ( x1 x 2 ) ( x) l0 2h 2
2 x ( x0 x 2 ) ( x) l1 h2
2 x ( x0 x1 ) ( x) l2 2h 2
12/16
1 f ( x0 ) 2h [3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x 2 )] 1 [ f ( x0 ) f ( x 2 )] f ( x1 ) 2h f ( x ) 1 [ f ( x ) 4 f ( x ) 3 f ( x )] 2 0 1 2 2h
b
t∈[-1, 1]
ba 1 ba ba a f ( x )dx 2 1 f ( 2 t 2 )dt b ba ba ba ba ba a f ( x)dx 2 [ f ( 2 3 2 ) f ( 2 3 2 )]
3/16
定义如果求积结点x0, x1,· · · · · · ,xn,使插值型求积公式
1
1
得Gauss点插值公式:
1
1 1 x0 , x1 3 3 x x0 x1 x f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) x1 x0 x1 x0
x x0 2 x0 1 x1 x0 dx x1 x0 1
1
x1 x 2 x1 1 x1 x0 dx x1 x0 1

NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式

这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分.
数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx，试利用n 1的两点Gauss Legendre
1 0
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1和A0 , A1 使

1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
该积分的准确值

1
1
x 1.5dx 2.399529
数值分析
数值分析
一般区间的Gauss - Legendre 求积公式
如果积分区间是[a,b]，用线性变换 ba ab x t 2 2 将积分区间从[a,b]变成[-1,1],由定积分的换元积分法有

b
a
ba 1 ba ab f ( x )dx 1 f ( 2 t 2 )dt 2
A0 + A1 + …… + An =∫a 1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2
......
b
x0 rA0 + x1 rA1+ …… +xn rAn =∫a xr dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
数值分析
b
数值分析
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式例：选择系数与节点，使求积公式（1）

1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析

Gauss型求积公式

gauss型求积公式gauss求积公式高斯型求积公式插值型求积公式试构造高斯型求积公式构造高斯型求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式辛普森求积公式求积公式
Gauss型求积公式
由前面的讨论已经知道，以a=x0<x1<…<xn=b为节点的N-C求积公式的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式.
故有

b
a
n1 ( x )P ( x )dx Ak n1 ( xk )P ( xk ) 0
k 0
n
充分性：
设a n1 ( x) P( x)dx 0 对于任意次数不超过 n 1 ( x)除f(x)的商为p(x),余 2n+1的多项式 f ( x), 设项为q(x)。
三点Gauss-Legendre求积公式为：
5 8 5 1 f ( x)dx 9 f ( 0.6) 9 f (0) 9 f ( 0.6)A
1
实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意区间上的Gauss-Legendre求积公式。事实上，作变换
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
Gauss型求积公式的构造方法 (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式 pn(x) . (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (3)计算积分系数

4高斯求积公式

1

截断误差为 R
2 (2 n ) f ( ), (1,1). 2n 2 (2n)!

高斯积分的优点：少节点，高精度。
高斯型求积公式, 使用较少的节点, 可得到高精度的结果. 1 例如，计算积分 I dx . 1 x 0
它的精确值(八位有效数字)为 I = 0.693 147 18。使用节点数为129的复化辛普生公式计算，得 I 0.693 146 70。
适当的选取n+1个节点和插值系数，插值型求积公式的代数精度可以达到2n+1.
定义如果求积结点x0, x1,· · · · · · ,xn,使插值型求积公式

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk ), 其中Ak lk ( x )dx 1
1
n
k 0
的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点.
a
b
是Gauss型求积公式，则它的求积系数 Ai 满足
(1) (2) Ai 0,
n i 0 i
i 0， 1, 2,
b a
,n ;
A
( x)dx .
证明略。
例2 试构造形如

1
1
x f ( x)dx Ai f ( xi )
2 i 1
n
的Gauss型求积公式。解利用正交化方法已求出在区间[-1，1]上带权
求插值型求积公式

1
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
使其代数精度为3,取 f(x)=1, x, x2, x3
A0 A1 2 A x A x 0 0 0 1 1 2 2 2 A0 x 0 A1 x1 3 3 3 A x A x 1 1 0 0 0

Gauss型积分公式解读

摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。

这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。

已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。

若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式L n(x)=12n n!d ndx n(x2−1)n,x∈[−1,1],n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。

由于(x2−1)n是2n次多项式，所以L n(x)是n次多项式，其最高次幂的系数A n与多项式1 2n n!d ndx n(x(2n))=12n n!2n(2n−1)(2n−2)⋯(n+1)x n的系数相同。

也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式L n(x)是在[−1,1]上带ρ(x)=1的n次正交多项式，而且(L m,L n)=∫L m(x)L n(x)dx1−1={0, m≠n22n+1, m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式L n(x)的零点，相应的Gauss型积分公式为∫f(x)dx 1−1≈∑A k f(x k) nk=1此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

Gauss型积分公式

R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx

b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!

b
a
w ( b)
(2) Gauss-Laguerre求积公式
区间[-1,1]上权函数W(x)=1的Gauss型求积公式,称
为Gauss-Legendre求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .
(a b) (b a)t ba 1 ab ba t )dt ( x ) 1 f ( 由 a f ( x)dx 2 2 2 2
a
b
称为权函数定义两个可积函数的内积为：
( f , g ) W ( x) f ( x) g ( x)dx
a
b
两个函数正交，就是指这两个函数的内积为0
以n阶正交多项式的n个零点为积分点的数值积分公式
Gauss点
证明：
Gauss积分，记为Gn(f)
有2n－1阶的代数精度
E ( f ) I ( f ) I n ( f ) f [ x1 , x2 ,, xn , x]n ( x)W ( x)dx
2
3 x 1 2 1 4 xx 5 1 x dx 1 x dx
2 2
1 x dx
1
4
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为
x1
3 5
, x2
3 5
,
积分系数为
x x2 1 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。

下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。

高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。

2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。

节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。

权重则反映了在积分计算中节点的重要性。

3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。

4.使用勒让德多项式进行重写。

勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。

即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。

6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。

积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。

7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。

一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。

需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。

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3 3 x1 , x2 3 3
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) Pi ( x ) P j ( x )dx 0, ( i j )
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
n
定义：若求积公式

b
a
( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 对一切
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.
左

b a
( x ) g ( x )dx 0，
右
A
k 0
n
k
g( xk ) 0
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。证毕.
数值分析
数值分析
定义: 使求积公式

b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
0.888888889 f (0) 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例 : 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积公式计算积分 x 1.5dx 1 解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1

1
1
x 1.5dx
0.555556( 0.725403 2.274596) 0.888889 1.5 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 1 x 1.5dx 3 ( 0.5 4 1.5 2.5) 2.395742
i0 i i
b n a i0 b ( x )l i ( x )dx f ( xi ) a i 0 n
n
代入积分式

b
a
( x ) f ( x )dx ( x )( l i ( x ) f ( x i ))dx
因此，求积系数为
b a
Ai ( x )li ( x )dx
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式例：选择系数与节点，使求积公式（1）

1 1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
(1)
成为Gauss公式。解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让其成为等式，得 c1 c 2 1, 求解得： c1 + c2=2 c1 x1+ c2 x2=0 c1 x12+ c2 x22 =2/3 c1 x13+ c2 x23 =0 所求Gauss公式为： 1 3 3 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
为Gauss型求积公式。解：先作变量代换 1 1 1 1 x (a b ) (b a )t (1 t ), dx dt 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 于是 f ( x )dx f ( (1 t ))dt F ( t )dt 1 0 2 1 2 2 1 由两点Gauss Legendre求积公式 F (t )dt F (0.577) F (0.577) 1 得 1 1 1 1 1 1 1 1 0 f ( x)dx 2 1 f ( 2 (1 t ))dt 2 f ( 2 (1 0.577)) 2 f ( 2 (1 0.577))
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ), Ak
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n i k
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是次数≤n的多项式。
数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx，试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使

1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )
( x 0 ( x ), 0 ( x )) 1 ( 0 ( x ), 0 ( x ))
(1 x 2 ) dx 1 2 2 同理求出 2 (x) x 5 2 2 2 ( x )的零点为 x 0 , x1 5 5

1
1 1
(1 x 2 ) xdx
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(xxn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有

b
a
( x) f ( x)dx ( x)q( x)Pn1 ( x)dx ( x)r( x)dx
a a
数值分析
b
b
数值分析
பைடு நூலகம்
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有

b a
b
a
( x )r ( x )dx Ak r ( xk ) Ak f ( xk ) (4)
数值分析
数值分析
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
1. 以 n 1次正交多项式的零点 x 0 , x1 , x n作为积分点 (高斯点）， 2 .用高斯点 x 0 , x 1 , x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
f ( x)
l ( x) f ( x )
这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分.
数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx，试利用n 1的两点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1和A0 , A1 使

1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
数值分析
数值分析
定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式

b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
的代数精度最高为2n+1次。证明：取特殊情形 ( x ) 1, 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2 ...... b r r r r x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a x dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕

1 1 1
( 1 x 2 ) dx A 0 A1
2
2 1 (1 x ) xdx A 0 ( 4 5 ) A1 ( 联立解出 A 0 A 1 3 得到两点高斯求积公式为
1 2
2 ) 5
4 2 2 1 (1 x ) f ( x )dx 3 f ( 5 ) f ( 5 ) 数值分析
0
数值分析
数值分析
以 2 ( x )的零点 x 0
2
5 5 两点高斯公式 n 1, 应有 3次代数精度，求积公式形如
, x1
2
作为高斯点。

1
1

NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式

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Gauss型求积公式-第5章

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