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高斯求积公式

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4。4高斯型求积公式

4。4高斯型求积公式

=
A
1
=1
于是得到求积公式
华长生制作
∫
1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度， 它有 次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地， 一般地，考虑带权求积公式
I =
∫
1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于
∫
b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
华长生制作
10
定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立，若取 朗日插值基函数，有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时，三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0

数值分析(18)Gauss积分

数值分析(18)Gauss积分

n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义6-4:使求积公式a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0

1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析

第07章 03-高斯型求积公式

第07章 03-高斯型求积公式

第七章
§7.7 数值微分
数值积分与微分
泰勒公式是建立数值微分的工具之一，设 h x1 x0 ，
根据泰勒公式可得：
f x0 h f x0 f x0 O h h h h f x0 f x0 2 2 f x0 O h2 h
1 t
0
1
t
2
dt 。
解：(1)首项系数为1的三次勒让德多项式为：
3 2 d x 1 3! 3 3 3 x x x 3 6! dx 5 3 3 , x1 0, x2 取其零点 x0 作为高斯点 5 5 3
第七章
§7.6 高斯求积公式
N
（充分性得证）
第七章
§7.6 高斯求积公式
数值积分与微分
定理7.6 表明，若能够找到满足
N+1次多项式 N 1 x ，则积分公式的高斯点就确定了， 从而确定了一个高斯型求积公式。为此，引入勒让德 (Legendre)多项式。 定义：一个仅以区间[-1, 1]上的高斯点 xi i 0 为零点的
j 0
N
关于高斯求积公式的误差有如下结论：高斯积分公式 的误差是可控的，稳定性比其他积分方法好。特别当
f x 在[-1, 1] 上连续时，高斯型求积公式必收敛。
第七章
数值积分与微分
总结
1 梯形求积公式和辛普生求积公式是低精度的方法，但对 于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的 效果。复化梯形公式和辛普生求积公式，精度较高，计 算较简，使用非常广泛。 2 龙贝格求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似 程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此， 对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3 Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时， 前面计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦， 但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分， 则是其他方法所不能比的。

高斯求积公式

高斯求积公式

定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))

数值分析课件高斯求积公式

数值分析课件高斯求积公式

1
1
1 f ( x)dx A0 f (
求 A0 , A：1
3 ) A1 f (
) 3
令 f ( x) ，1,代x入公式精确成立，得到： A0 A1 1
或
1
1
A0 1 l0 ( x)dx 1, A1 1 l1( x)dx 1
两点Gauss-Legendre求积公式
3次代数精度
1
1
1
一、 Gauss积分问题的提法
n
积分公式的一般形式： In ( f ) Ak f ( xk ) k0
➢为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:
①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选
取，求积公式的代数精度最高能达到多少？2n 1
②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？
n 个1求积节点， n个求1 积系数，共 个2n未知2量，需要
f p max f p axb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。
证明：由Weierstrass定理知 对 0
存在m次多项式 p( x满)足
下证 N , 当 n 时N
f
p 2
b
( x)dx
a
b
n
f ( x)( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
b
n
f ( x)( x)dx
➢ Gauss-Chebyshev求积公式
(x)
1
n
f ( x)( x)dx
1
Ak f ( xk )
k0
1 1 x2
其中求积节点
多项式的零点
xk
n [a, b] 是n+1次Chebyshev
k0

数值分析(高斯求积公式)

数值分析(高斯求积公式)
2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R

高斯求积公式

(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为

高斯求积公式范文

高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。

它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。

高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。

要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。

勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。

其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。

高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。

假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。

具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。

然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。

接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。

对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。

首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。

勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。

然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。

通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。

利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。

具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。

1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。

2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。

下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。

高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。

2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。

节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。

权重则反映了在积分计算中节点的重要性。

3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。

4.使用勒让德多项式进行重写。

勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。

即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。

6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。

积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。

7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。

一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。

需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。

高斯(Gauss)求积公式


数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
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x xj xi xj
ji
高斯求积公式具有较高的代数精度((2n+1)阶）, 并且是数值稳定的.
三、几种常见的高斯求积公式
1.高斯-勒让德求积公式
取( x) 1,积分区间为[1,1]上的高斯求积公式
称为高斯－勒让德公式。
1
f ( x)dx
1
n
i f ( xi )
i0
xi 勒让德多项式的零点
式 Ln( x)，
由插值原理，可用插值多项式Ln( x)作为 f ( x)的近似，由于多项式求导较为简单，
f (k ) ( x) L(nk ) ( x) (k 1,2, , n) 这 样 建 立 的 数 值 微 分 公式 称 为 插 值 型 数 值 微分公式。
应当指出，即使 f (x) 与 Ln( x)处处相差不多， f ( x) 与 Ln ( x) 在某些点仍然可能出入很大.
f
( x0 )
+
1
f
( x1 )
令f ( x) 1, x, x 2 , x 3 使上式成立，得非线性方程组
0＋1＝2
0
x0
+ 1 x1
0
0
x
2 0
0
x03
+ 1 x12 + 1 x13
2
3 0
0 1
1 1
x0
3 3
x1
3 3
由此得两点公式
1
f ( x)dx f (
3)+ f(
以高斯点 xk (k 0,1, , n)为零点的 n+1次多项式，
pn+1( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
称为勒让德(Legendre)多项式。
余项
R(
f
)
22n+3 ((n + 1) !)4 ((2n + 2) !)3 (2n +
3)
f (2n+2) ( ),
(0 1)
3)中心差商数值微分公式(中点公式）
f ( x0 )
f ( x0 + h) f ( x0 h) 2h
余项：h2 6
f ( x0 + h)
(1 1)
从余项看,步长 h 越小计算结果越准确,
从舍入误差看,步长 h 越小,两接近数直接相
减会造成有效数字的严重损失.
如何选择合适的步长呢?
选择合适的步长通常采用事后误差估计方法.
h
G(h)
,G( ) 2
分别为步长取
h, h 2
时的差商
微分公式,对给定的精度 ,
若 G(h) G( h )
2 h
合适的步长就是 .
2
例1 （P182 例6.19）
二、插值型数值微分
设已知 f x 在节点 xk (k 0,1,L , n)
的函数值，利用所给定数据作 n 次插值多项
二、高斯求积公式
1.高斯点的特点 【定理5】
对于插值型求积公式，其节点是高斯节点
n
n+1( x) ( x x j )与任意次数不超过n
j0
的多项式p( x)都带权正交，即：
b
(n+1, p) a ( x)n+1( x) p( x)dx 0
2. 高斯求积公式的余项
如果f ( x)的(2n + 2)阶导数在[a, b]上连续，则 高斯求积公式的余项
一般的，我们只用它求取某个节点 xk 上
的导数值，这时我们才有某种意义下比较准确的 余项公式来保证导数值的精度.
带余项的插值型数值微分公式为
f ( xi ) Ln ( xi ) +
f (n+1) ( )
(n + 1)!
n +1
(
x
i
)
i 0,1, ,n
三点微分公式：
f
( x0 )
1 [ 2h
例如,若在区间[-1,1]上, p(x)=1
(1)建立一点积分公式
1 1
f
(
x)dx
0
f
(
x0
)
令f ( x) 1, x使上式成立，得非线性方程组
0 x0＝0 20
x00
2 0
代数精度为1 阶
由此得 1 1
f
( x)dx
2
f
(0)
——中矩形公式
(2)建立两点积分公式
1 1
f
( x)dx
0
f
( x2 ) +
4
f
( x1 )
3
f
( x0 )]
f ( x1 )
1[ 2h
f ( x2 )
f ( x0 )]
f ( x2 )
1 2h [3 f ( x2 ) 4 f ( x1 ) +
f ( x0 )]
例2 （P 185 例6.21）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 作业
P 196 10 13 16
如果精度要求不高，可以用差商作为导数的近 似值从而获得一种简单的数值微分方法．
如果所用的差商分别为向前、向后以及中心 差商，就可分别建立如下的三种数值微分法
1)向 前 差 商 数 值 微 分 公 式
f ( x0 )
f ( x0 + h) h
f ( x0 )
由泰勒展开式
f ( x0 + h)
f ( x0 ) + hf ( x0 ) +
h2 2!
f ( x0 + h)
余项：
h 2
f ( x0
+ h)
(0 1)
2)向后差商数值微分公式
f ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 h) h
由泰勒展开式
f ( x0 h)
f ( x0 ) hf ( x0 ) +
h2 2!
f ( x0 h)
余项：h 2
f
( x0
h)
§6.4 高斯求积公式
一、高斯求积的基本思想
可否放弃等距节点的限制，构造出稳定性好、 精确度高且又收敛的求积公式．
对 于 数 值 求 积 公 式b ( x) f ( x)dx a
n
i f ( xi )
i0
可 以 利 用 代 数 精 度 尽 量高 的 方 法 确 定 出i , xi，
但 此 时 需 求 解 一 个 非 线性 方 程 组 。
3)
1
3
3
插值型求积公式，代数精度为3 阶
一 般 情 形 ， 令f ( x) 1, x, , x 可 2n+1 得 非 线 性 方 程 组
n
i xij
i0
0, j 1,3, ,2n + 1 2 , j 0,2,4, ,2n j+1
这 个 方 程 组 求 解 比 较 困难 。
问题 有没有其他的途径来建立稳定性好、精确 度高且又收敛的求积公式?
0
2.高斯-切比雪夫求积公式
取 ( x) 1 ,积 分 区 间 为[1,1]上 的 高 斯
1 x2 求 积 公 式 称 为 高 斯 － 切比 雪 夫 公 式 。
1 1
1 1
x2
f ( x)dx
n
i f ( xi )
i0
xi
cos 2i + 1
2(n + 1)
是切比雪夫多项式
Tn+1( x) cos[(n + 1)arccos x] 零点,
b
n
R( f ) ( x) f ( x)dx a
i f ( xi )
i0
f (2n+2) ( )
(2n + 2)!
b a
(
x
)n2+1
(
x
)dx
3.高斯求积公式的稳定性
【定理6】
高斯求积公式的求积系 数 i 都是正的，则是稳定的 ，
且有
i
b
a
(
x
)li2
(
x
)dx
其中
li(x)
n j0
f (2n+2) ( ),
(0,+)
(2n + 2) !
P175 表6-7列出了 n:1-5 时高斯-拉盖尔 求积公式的求积节点和系数.
例3 用n=3时的高斯-拉盖尔求积公式计算
+ e10x cos x并dx估计误差. 0
4.高斯-埃尔米特求积公式
取 ( x) ex2 ,积分区间为(,+)上的高斯
【定理4】 带权( x)的插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
的 代数 精度 最 高不 超 过(2n + 1)阶 。
【定义】
如果插值型求积公式
b
n
( x) f ( x)dx
a
i f ( xi )
i0
具 有(2n + 1)阶代 数精度 ，则
称 其 节 点xi为 高 斯 节 点 ， 相 应 的求 积公式 称为高 斯型求积 公式。
i
n+
. 1
余项
R(
f
)
22n+1(2n + 2) !
f
(2n+2) ( ),
(1,1)
3.高斯-拉盖尔求积公式
取( x) ex ,积分区间为[0,+)上的高斯
求积公式称为高斯－拉盖尔公式。
即
+ e x f ( x)dx
0
n
i f ( xi )