高中数学人教版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.3函数的最大(小)值与导数

►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区分与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，y min＝0.1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17 D．9，－19解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝43或x＝2，∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫43＝427，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋3x在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4 B．5。

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时测试（1）1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.2.函数y=的最大值为( )A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以y max=.3.f(x)=x3-12x+8在上的最大值为M,最小值为m,则M-m= .【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:324.函数f(x)=的最大值为.【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.进一步分析,最大值为f(1)=.方法二:f(x)==≤,当且仅当=时,即x=1时,等号成立,故f(x)max=.答案:5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在上的最大值.【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - 0 f(x) -40+a ↗极大值a ↘-8+a 所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取到最大值3.课时测试（2）一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值和最小值分别是( )A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y′=0,得x=2或x=-1(舍).因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以y max=5,y min=-15.【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为( )A.2B.e2C.D.e【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-x ln2>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是( )A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f′(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,所以f′(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在上的最小值.【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在上为增函数,在上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5分,共15分)6.当x∈时,函数f(x)=的值域为.【解析】f′(x)==,令f′(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)当x∈时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;而f(-1)=e,f(1)=,所以f(x)的最大值为f(-1)=e.所以f(x)的值域为.答案:7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x∈)的最大值是,最小值是. 【解析】因为f′(x)==,令f′(x)=0,得x=1或x=-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以f(x)在上的最大值为2,最小值为-2.答案:2 -28.若函数f(x)=(a>0)在时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f′(x)=e x(sinx+cosx)=e x sin.f′(x)≥0,所以sin≥0,所以2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)由(1)知当x∈时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f(π)=0,f=,所以f(x)max=f=,f(x)min=f(0)=f(π)=0.10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( )A.1B.C.D.【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.【补偿训练】函数f(x)=e x(sinx+cosx),x∈的值域为.【解析】当0≤x≤1时,f′(x)=e x(sinx+cosx)+e x(cosx-sinx)=e x cosx>0,所以f(x)在上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为.答案:2.(2016·武汉高二检测)当x∈时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.当x=0时,3≥0恒成立,a∈R.当0<x≤1时,a≥.设h(x)=,则h′(x)==.因为x∈(0,1],所以h′(x)>0,h(x)递增,所以h(x)max=h(1)=-6,所以a≥-6.当-2≤x<0时,a≤.易知h(x)=在4.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=4+2f′(2),所以f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.又因为在闭区间上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以⊆,且f(m)≤f(0)=15,所以4≤m≤8.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.(1)求方程f(x)=2的根.(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2⇒=0⇒2x=1⇒x=0.(2)由题意得22x+≥m-6恒成立,令t=2x+,则由2x>0可得t≥2=2,此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤=t+恒成立,因为t≥2时t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,2a>2,当x<2时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;当2<x<2a时,f′(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数. (2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.由假设知即解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6).课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值、最小值分别是( )A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以y max=12,y min=-8.2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.【补偿训练】函数f(x)=e x-x在区间上的最大值是( )A.1+B.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f′(x)=e x-1.令f′(x)=0,得x=0.当x∈时,f′(x)≤0;当x∈时,f′(x)≥0.所以f(x)在上递减,在上递增.又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,所以f(-1)<f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( )A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】选A.因为f(x)=2x-cosx,所以f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.4.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为( )A.2B.3C.D.2+【解析】选 B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在上的最大值为,则m等于( ) A.0 B.1 C.2 D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x(x∈)的值域为________.【解析】f′(x)=-+1=,所以在上f′(x)>0恒成立,即f(x)在上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.答案:7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.【解析】因为f′(x)=3x2-3,所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)<f(3),所以f(x)max=f(3)=18-a=m,所以m-n=18-a-(-2-a)=20.答案:208.函数f(x)=e x(sinx+cosx)在区间上的值域为________.【解析】因为x∈,所以f′(x)=e x cosx≥0,所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值.【解析】f′(x)=+=.由f′(x)=0,得x=1.所以在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x 1 (1,2) 2 f′(x) - 0 +单调f(x) 1-ln2极小值0 单调递增↗-+ln2递减↘因为f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e3>16,所以f>f(2)>0.所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在(t>0)上的最小值.【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.由于t>0,所以t+2>.①当0<t<<t+2时,即0<t<时,则在x∈上,f(x)递减;在x∈上,f (x)递增,f(x)min=f=-.②当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.综上所述,当0<t<时,f(x)min=-;当t≥时,f(x)min=tlnt.10.(2015·广州高二检测)已知函数f(x)=2ax-x2-3lnx,其中a∈R,为常数.(1)若f(x)在x∈上的最大值.【解析】f′(x)=2a-3x-=.(1)由题意知f′(x)≤0对x∈时f′(x)≥0,原函数递增,x∈时,f′(x)≤0,原函数递减;所以最大值为f(3)=-3ln3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在上的最大值为,则a等于( )A.-B.C.-D.-或-【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1<a<2时,f(x)在上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=,解得a=-或a=-(舍去).2.已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南京高二检测)函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为________.【解析】f′(x)=-1=,令f′(x)>0得0<x<1,令f′(x)<0得x<0(舍)或x>1,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.答案:-14.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)=+2lnx,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围. 【解析】由f(x)=+2lnx,得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0,故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.答案:上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f′(x)=6x2-12x+6,所以f′(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间上的最小值.f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f′(x) + 0 - 0 +f(x) 0 单调极大值单调极小值单调4a3递增↗3a-1 递减↘a2(3-a) 递增↗比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)=当a<-1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f′(x) - 0 +f(x) 0单调递减↘极小值3a-1单调递增↗-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为g(a)=。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B.π2－1C ．πD ．π＋1 考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] C[[解析]] y ′＝1－cos x ≥0，故y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递增，所以当x ＝π时，y max ＝π.2．函数y ＝ln x x的最大值为( ) A ．10B ．e －1C ．e 2D ．e考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] B[[解析]] 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝y |x ＝e ＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点 利用导数求函数的最值题点 抽象函数的最值[[答案]] A[[解析]] 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是() A ．m ≥32 B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] A[[解析]] ∵f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立，即3m －272≥－9，∴m ≥32.5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数[[答案]] C[[解析]] 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (a )，即－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 6．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 考点 函数最值的应用题点 最值存在性问题[[答案]] D[[解析]] 由题意得函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导函数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点，且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且3－6b >0，∴0<b <12，故选D. 7．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] A[[解析]] 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，则f (x )min ＝f (－3)＝－19，f (x )max ＝f (－1)＝f (2)＝1，由题意知|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|－19－1|＝20，∴t ≥20，故t min ＝20.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22考点 函数最值的应用题点 距离的最值问题[[答案]] D[[解析]] 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)，则y ′＝2t －1t＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋22⎝⎛⎭⎫t －22t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎫0，22内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝⎛⎭⎫22，＋∞内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 二、填空题9．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] 2 －2[[解析]] f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， 得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.10．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数[[答案]] 3－1[[解析]] f ′(x )＝(x 2＋a )－x ·2x (x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2＝(a －x )(a ＋x )(x 2＋a )2， 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，由f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，得a ＝3－1； 若a >1，即a >1时，f (x )在[1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，a ＝34(舍去)． 故a ＝3－1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根[[答案]] (－∞，2ln2－2][[解析]] f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )<0，x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )min ＝f (ln2)＝2－2ln2＋a .由题意知，2－2ln2＋a ≤0，可得a ≤2ln2－2.三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值．考点 含参数的函数最值问题题点 含参数的函数求最值解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，∵当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当且仅当x ＝1时取等号)， ∴a ≤3，即实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)． 当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，即当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立． 考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝ln x ＋1x， 所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)因为g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－4x ＋1，直线l ：x ＋y ＋2k －1＝0，当x ∈[－3,3]时，直线l 恒在函数f (x )图象的下方，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－34B ．k <－34C ．k <92D ．k >92考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] D[[解析]] 命题等价于当x ∈[－3,3]时，⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2－4x ＋1－(－x －2k ＋1)>0恒成立， 即k >－16x 3＋12x 2＋32x . 设g (x )＝－16x 3＋12x 2＋32x ，则 g ′(x )＝－12x 2＋x ＋32＝12(3－x )(1＋x )． 由g ′(x )>0，得－1<x <3；由g ′(x )<0，得－3<x <－1.∴g (x )在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值，又g (－3)＝92，g (3)＝92，∴y max ＝92，∴k >92. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； ③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a 的值为 e.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

3.3.3函数的最大(小)值与导数1.最值与导数有什么关系？导思2．如何利用导数求连续函数的最值？1.函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(1)在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，反之成立吗？(2)函数的极值与最值有什么区别？提示：(1)反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值．(2)①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]端点的函数值f(a)，f(b).(3)比较各极值以及f(a)，f(b)的值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数的最值一定在区间端点处取得吗？提示：不一定，当函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数时，函数最值在区间端点取得，否则，函数最值不一定在区间端点取得．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值．(×)提示：函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．(×)提示：闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．(×)提示：若函数在其定义域上有最值，则不一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值.(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值. (√)提示：若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.2．关于函数f(x)＝x3＋x，下列说法正确的是()A．没有最小值，有最大值B.有最小值，没有最大值C.有最小值，有最大值D.没有最小值，也没有最大值【解析】选D.依题意f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R上递增，没有最小值，也没有最大值．3．(教材二次开发：练习改编)若函数f(x)＝13x3－x2定义在[－1，1]上，则函数的最小值是________；最大值是________．【解析】由题得f′(x)＝x2－2x，令f′(x)＝x2－2x＝0得x＝2(舍去)或0，因为f(－1)＝－43，f(0)＝0，f(1)＝－2 3，所以函数的最小值是－43，最大值为0.答案：－430类型一求函数的最值(数学运算)【典例】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1 B．1，－17C.3，－17 D．9，－19【思路导引】求导，求极值，求区间端点的函数值，通过比较求函数的最值．【解析】选C.因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，所以函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，且f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，所以f(x)在区间[－3，0]上的最大值为3，最小值为－17.求函数最值的四个步骤第一步，求函数f(x)的定义域．第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步，列出关于x ，f(x)，f′(x)的变化表．第四步，求极值、端点值，确定最值．警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．1．函数f(x)＝ln x －x 在⎝⎛⎦⎤0，e 上的最大值为( )A.－1B ．1－e C.－e D ．0【解析】选A.f′(x)＝1x －1＝1－x x ，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x≤e ，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤1，e 上单调递减，所以当x ＝1时，函数f(x)取极大值，这个极大值也是函数f(x)在⎝⎛⎦⎤0，e上的最大值，所以f(x)max ＝f ()1 ＝－1.2．(2021·乐山模拟)已知函数f(x)＝3x 3－9x ＋5.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－3，3 上的最大值和最小值． 【解析】(1)f′(x)＝9x 2－9＝9(x ＋1)(x －1)，x ∈R ，令f′(x)<0，得－1<x<1，所以f(x)的减区间为⎝⎛⎭⎫－1，1 . (2)由(1)，令f′(x)>0，得x<－1或x>1知：x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－1 ，f(x)为增函数，x ∈⎣⎡⎦⎤－1，1 ，f(x)为减函数，x ∈⎣⎡⎦⎤1，3 ，f(x)为增函数．f ⎝⎛⎭⎫－3 ＝－49，f ⎝⎛⎭⎫－1 ＝11，f(1)＝－1，f(3)＝59.所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－3，3 上的最大值为59，最小值为－49.【补偿训练】1.函数f(x)＝3x －x 3(－ 3 ≤x≤3)的最大值为( )A ．18B ．2C ．0D ．－18【解析】选B.f′(x)＝3－3x 2，令f′(x)＝0，得x ＝±1，－ 3 ≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0，1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x ＝－1处取极小值，在x ＝1处取极大值． 因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－ 3 )＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max ＝2，f(x)min ＝－18.2．已知函数f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为( )A.－37 B．－29 C．－5 D．－11【解析】选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.类型二含参数的最值问题(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x)＝ax－1e x.当a<0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．x 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1a 1+1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，1 1 f'(x)- 0 + f(x) 递减 极小值 递增②所以f(x)min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＝11+aa e . 综上,-1≤a<0时,f(x)min =-1,a<-1时,f(x)min =11+a ae .注意书写的规范性:①字母的不同取值影响到最值的求解,要对字母进行讨论;②讨论x,f'(x),f(x)的变化情况时,要注意列表.题后反思 利用导数求函数的最值,求导是关键,但要对字母的取值分类讨论.1．含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2．已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．已知函数f(x)＝ln x －ax(a ∈R ).(1)求函数f(x)的单调区间．(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．【解析】(1)f′(x)＝1x －a(x ＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x －a ＞0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).②当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f′(x)＝1－ax x ＞0；当x>1a 时，f′(x)＝1－ax x ＜0，故函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ， 单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ . (2)①当1a ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②当1a ≥2，即0<a≤12 时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当1<1a <2，即12 <a<1时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，2 上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a.所以当12 <a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a ；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.类型三 与函数最值有关的综合问题(数学抽象、逻辑推理) 与零点有关的综合问题【典例】已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，求a 的取值范围．【思维导引】求导，判断函数单调性，结合图象求解．【解析】函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g′(x)＝2－e x ，易知函数g(x)＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x －e x 的值域为 (－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a≤2ln 2－2即可．所以实数a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2].若将本例条件改为“函数f(x)＝e x －2x ＋a 有两个零点”结果如何？ 【解析】由典例知函数g(x)＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，函数值由－∞增大到2ln 2－2，在(ln 2，＋∞)上递减，函数值由2ln 2－2递减到－∞，函数f(x)＝e x －2x ＋a 有两个零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有两个实数根，即函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有两个交点，所以所求实数a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2).有关恒成立问题【典例】(2021·玉林高二检测)已知函数f(x)＝x 33 －a ＋12 x 2＋ax ＋1(a ∈R ).(1)若x ＝2是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)当a<2时，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，⎪⎪⎪⎪f ()x 1－f ()x 2 ≤23 恒成立，求a 的取值范围． 【思路导引】(1)由解析式得到导函数f′(x)，结合x ＝2是函数f(x)的一个极值点，f′()2 ＝0即可求a 的值；(2)由题设分析知，在x ∈⎣⎡⎦⎤0，2 内有f(x)max －f(x)min ≤23 ，结合已知a<2，讨论a≤0，0<a<1，a ＝1，1<a<2时a 的具体范围，然后求并集即可．【解析】(1)由函数解析式知：f′(x)＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1 x ＋a ，由题意，得f′()2 ＝4－2⎝⎛⎭⎫a ＋1 ＋a ＝0，故a ＝2.经检验，a ＝2满足题意．(2)由已知，当a<2时，要使∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，|f(x 1)－f(x 2)|≤23 ，只需x ∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，f(x)max －f(x)min ≤23 .f′(x)＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1 x ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －1 ⎝⎛⎭⎫x －a .①当a≤0时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1，2 上单调递增．所以f(x)min ＝f(1)＝56 ＋a 2 ，而f ()0 ＝1，f ()2 ＝53 ，故f(x)max ＝53 .所以f(x)max －f(x)min ＝53 －56 －a 2 ≤23 ，解得a≥13 (舍去).②当0<a<1时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a ，1 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1，2 上单调递增．由于f ()2 －f ()0 ＝23 ，所以只需⎩⎨⎧f （a ）≤f ()2f （1）≥f ()0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2－4a ＋4≥0a ≥13，所以13 ≤a<1.③当a ＝1时，f′(x)＝⎝⎛⎭⎫x －1 2≥0，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，2 上单调递增， 所以f(x)max －f(x)min ＝f ()2 －f ()0 ＝23 ，满足题意．④当1<a<2时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤1，a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤a ，2 上单调递增．由于f ()2 －f ()0 ＝23 ，所以只需⎩⎨⎧f （1）≤f ()2f （a ）≥f ()0 ，即⎩⎨⎧a ≤53a≤3，所以1<a≤53 .综上，知：a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 .1．已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程注意要检验；2．函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值问题，可转化为最值间的距离小于该定值，(1)当x ＝x 0有极值则f′(x 0)＝0，即可得有关参数的方程；(2)∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤a ，b ，⎪⎪⎪⎪f ()x 1－f ()x 2 ≤c 恒成立转化为x ∈⎣⎡⎦⎤a ，b ，f(x)max－f(x)min ≤c.3．分离参数求解不等式恒成立问题1．已知函数f(x)＝ax 2 ＋2ln x ，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2a x 3 ＋2x ＝2（x 2－a ）x 3. 由f′(x)<0得0<x< a ，由f′(x)>0得x> a ，所以f(x)在(0，a )上单调递减，在( a ，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝f( a )＝1＋2lna ＝1＋ln a.由f(x)≥2恒成立可得f(x)min ≥2，即1＋ln a≥2，所以a≥e. 答案：[e ，＋∞)2．已知函数f(x)＝13 x 3＋1－a 2 x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0. (1)求函数f(x)的单调区间．(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】(1)f′(x)＝x 2＋(1－a)x －a ＝(x ＋1)(x －a).由f′(x)＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：↗↘↗故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a).(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＜0，f （－1）＞0，f （0）＜0，解得0＜a ＜13 .所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 . 3．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－4.(1)若f(x)在x ＝43 处取得极值，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的方程f(x)＝m 在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ，由题意得f′⎝ ⎛⎭⎪⎫43 ＝0，解得a ＝2，经检验满足条件．(2)由(1)知f(x)＝－x 3＋2x 2－4， 则f′(x)＝－3x 2＋4x ，令f′(x)＝0，则x ＝0，x ＝43 (舍去)，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 f′(x) － 0 ＋ f(x)－1↘－4↗－3因为关于x 的方程f(x)＝m 在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，所以－4＜m≤－3，所以实数m 的取值范围是(－4，－3].1．函数f(x)＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为( )A ．2B ．π6 ＋ 3 C ．π3 ＋1D ．π3 ＋ 3【解析】选B.f(x)＝x ＋2cos x ⇒f′(x)＝1－2sin x ， 当f′(x)>0时，有1－2sin x>0⇒sin x<12 ，又因为x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 ，因此当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0时，有1－2sin x<0⇒sin x>12 ，又因为x ∈[0，π]，所以x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 ，因此当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，函数f(x)单调递减，因此x ＝π6 是函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的极大值点，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝π6 ＋2cos π6 ＝π6 ＋2×32 ＝π6 ＋ 3 ，而f ()0 ＝0＋2cos 0＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝π2 ＋2cos π2 ＝π2 ， 因为π6 ＋ 3 >2>π2 ，所以f(x)＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为π6 ＋ 3 .2．函数f(x)＝(1－x)e x 有( ) A ．最大值为1B ．最小值为1C ．最大值为eD ．最小值为e【解析】选A.f′(x)＝－e x ＋(1－x)e x ＝－xe x ，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)有最大值为f(0)＝1.3．(教材二次开发：例题改编)函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2在⎣⎡⎦⎤－4，2 上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】选C.因为函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2，所以f′(x)＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f′(x)>0，函数为增函数；当x ∈(－3，0)时，f′(x)<0，函数为减函数；由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2在区间[－4，2]上的最大值和最小值分别为50，－2. 4．函数f(x)＝x 3－12 x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1，2]，都有f(x)＜m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x 2－x －2，令f′(x)＝0，得x ＝－23 或x ＝1.可求得f(x)max＝f(2)＝7.所以对于任意x ∈[－1，2]，f(x)＜m 恒成立时，m ＞7. 答案：m ＞75．设函数f(x)＝x 2＋1－ln x ， (1)求f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)＝f(x)－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的最小值．【解析】(1)定义域为⎝⎛⎭⎫0，＋∞ ，f′(x)＝2x －1x ， 由f′(x)>0得x>22 ，所以f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ ；(2)g(x)＝x 2＋1－ln x －x ，g′(x)＝2x －1x －1＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1⎝⎛⎭⎫x －1x ，由g′(x)>0得x>1，所以g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 上单调递减，在(1，2)上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.关闭Word 文档返回原板块。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x e x ′＝e x－x e x(e x )2＝1－xe x ， 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(1,2]时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )的最大值为f (1)＝1e .答案：B2．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37. 答案：A3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值． 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．－1 D ．0 解析：∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6， ∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20， ∴c ＝4. 答案：B5．函数f (x )＝－x 3＋3x 在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1,2) C ．(－1,2]D ．(1,4)解析：f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (x )令－x 3＋3x ＝－2，即x 3－3x －2＝0，(x ＋1)2(x －2)＝0， ∴x ＝－1或x ＝2.∵f (x )在区间(a 2－12，a )上有最小值，∴a 2－12＜－1＜a ≤2， 解得－1＜a ≤2. 答案：C6．函数y ＝ln xx 的最大值为________．解析：函数的定义域为x ＞0.y ′＝1－ln x x 2，令y ′＝0得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，当x ＞e 时，f ′(x )＜0，∴y 最大＝ln e e ＝1e .答案：1e7．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝x 2e x 的值域是________．解析：f ′(x )＝2x e x －x 2(e x )′(e x )2＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x .令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)，又f (0)＝0，f (－1)＝e ，f (1)＝1e ，故f (x )在(－1≤x ≤1)的值域为[0，e]．答案：[0，e]8．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0,1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈(0,1]，f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3.则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g (12)＝4，它也是最大值，所以a ≥4. 答案：[4，＋∞)9．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解析：(1)f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为 f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间， 即f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－19，＋∞. (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2，所以f ′(x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减， 在(x 1，x 2)上单调递增． 当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4， 所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)， 又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.10．已知f (x )＝ln x －x ＋a ，x ∈(0,2]． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，∴x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当1<x ≤2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．∴f (x )的单调增区间为(0,1)，f (x )的单调减区间为(1,2]． (2)由(1)知x ＝1时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝a －1. ∵f (x )<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立， ∴a －1<a 2－3，解得a >2或a <－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[B 组 能力提升]1．设函数f n (x )＝n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f n (x )在[0,1]上的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．1－22＋nD ．4(n n ＋2)n ＋2解析：因为f n ′(x )＝2xn 2(1－x )n －n 3x 2(1－x )n －1 ＝n 2x (1－x )n －1[2(1－x )－nx ]， 令f n ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝22＋n， 易知f n (x )在x ＝22＋n 时取得最大值，最大值为f n (22＋n )＝n 2(22＋n )2(1－22＋n )n ＝4(n 2＋n)n ＋2. 答案：D2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B. 答案：B3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x >0，x >0得x >1，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >0，得0<x <1. ∴f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：124．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析：|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 答案：225．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝1x －a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.(2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，∴f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a .∴当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .6．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间Ⅰ＝{x |f (x )＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值． 解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间I ＝(0，a 1＋a 2)，区间I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2(a ＞0)．令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故 当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3＜1， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2，即I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k 2.。

1．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的________；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．K 知识参考答案：1．连续不断2．极值K —重点 利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K —难点 函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题 K —易错 求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值． 【答案】见解析．【解析】由2()e 1xf x ax bx =---，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-．因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--． 当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增． 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； 当e2a ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在区间[0,1]上单调递减． 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--； 当1e22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈． 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增． 于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--． 综上所述，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1gb =-； 当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--； 当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g ab =--．【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．已知函数1()ln ,f x a x a x=+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当1[,1]2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】（1）见解析；（2）2ln 2a =． 【解析】（1）2211()a ax f x x x x-'=-+=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为(0,)+∞； 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为1(0,)a．【名师点睛】本题中的参数a 对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a 进行分类讨论．恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．若函数21e (2)xf x k x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．1(,)e +∞ B ．(0,)+∞ C ．1[,)e+∞D ．[0,)+∞【答案】C【解析】因为21e (2)xf x k x =-，所以()e x 'x x f k =-． 因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以e 0()xx k f x '=-≥在(0,)+∞上恒成立，即e x x k ≥在(0,)+∞上恒成立．令()e x x g x =，则()1exxg x -='， 所以当01x <<时，0()g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，0()g x '<，()g x 单调递减，所以max 1()1e )(g x g ==，所以1e k ≥． 故实数k 的取值范围是1[,)e+∞．故选C ．已知函数()e xf x x =-．（1）求()f x 的极小值；（2）对(0,),()x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为1；（2）(,e 1)-∞-．【解析】（1）'()e 1xf x =-，令'()0f x =，得0x =．当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：则()f x 的极小值为(0)1f =．（2）当0x >时，e 1xa x->恒成立．令e ()1,0x g x x x =->，则2e (1)'()x x g x x-=，令'()0g x =，得1x =． 当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：则min ()(1)e 1g x g ==-，故实数a 的取值范围是(,e 1)-∞-．【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()a f x ≥或()a f x ≤的形式，然后利用导数求出函数()f x 的最值，则由max ()a f x ≥或min ()a f x ≤即可求出参数a 的取值范围．因未验根而致误已知3223()f x ax bx a x =+++在1x =-时有极值0，求常数a ，b 的值．【错解】因为()f x 在1x =-时有极值0且2()36f x x ax b '=++，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩． 【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证1x =-两侧函数的单调性而导致产生增根．【正解】因为()f x 在1x =-时有极值0，且2()36f x x ax b '=++．所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩． 当1a =，3b =时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥， 所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去．当2a =，9b =时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'．当3()x ∈∞--，时，()f x 为增函数； 当3()1x ∈--，时，()f x 为减函数； 当1()x ∈-+∞，时，()f x 为增函数． 所以()f x 在1x =-时取得极小值， 因此2a =，9b =．【名师点睛】可导函数在0x x =处的导数为0是该函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0f x '=求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是 A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值4．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是 A ．12，－8B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－165．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则其导函数()f 'x 是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数6．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为 A ．-5B ．-11C ．-29D ．-377．若函数323()12f x x x =-+，则 A ．最大值为1，最小值为12B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为12，无最大值D ．既无最大值也无最小值8．函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是________________． 9．函数ln xy x=的最大值为________________． 10．函数2()(1)f x x x =-在[0，1]上的最大值为________________． 11．函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为________________．12．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x13．已知函数()ln (1)f x a x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求实数a 的取值范围．14．函数.)(223m x a ax x x f +-+=（1）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知函数3()31f x x x =--，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是 A ．20 B ．18 C ．3D ．016．函数32231(0)()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是A ．1[ln 2,)2+∞ B ．1[0,ln 2]2 C ．(,0)-∞D ．1(,ln 2]2-∞17．已知32()6f k x x x =-+在[1，5]上有最小值为0，则()f x 在[1，5]上的最大值为________________． 18．已知2()(1),()e x f x x m g x x =--+=，若12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是________________．19．已知函数2e (1)x f x x =--，若()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围为________________．20．已知函数()g x 的导函数e ()x g x '=，且()0)1e (g g ='，其中e 为自然对数的底数．若存在[0,)x ∈+∞，m 的取值范围为________________． 21．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -．（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值．22．已知函数()ln (,0)f x ax a x x =-∈>R ．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上的最小值．23．已知函数(2)ln ()1f x x x ax =--+．（1）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若存在正数0x ，使得001()ln f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．24．（2017新课标全国III ）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1 25．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数，则的最小值是________________． 26．（2018江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________________．27．（2017新课标全国III 文节选）已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++，当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．28．（2017北京文）已知函数()e cos xf x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2017新课标全国I 文）已知函数2e e ()()x xf x a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．30．（2017新课标全国II ）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．31．（2018新课标全国Ⅱ）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．1．【答案】D【解析】由极值与最值的概念可知应选D ． 2．【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值， 又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．故选A ． 3．【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵x ∈(－1，1)，∴f ′(x )<0，即函数在(－1，1)上是递减的， ∴函数f (x )在区间(－1，1)上既无最大值，也无最小值．故选D ． 4．【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8．∴y max ＝12，y min ＝－8．故选A ． 5．【答案】D6．【答案】D【解析】令2()6126(2)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或2x =，当20x -≤<时，()0f 'x >，当02x <<时，()0f 'x <，所以最大值在0x =处取得，即(30)f m ==，又()37(2)52,f f -=-=-，所以最小值为37-．故选D ． 7．【答案】D【解析】2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，得0x <或1x >，令()0f x '<，得01x <<，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以在0x =时，函数()f x 取得极大值1，在1x =时，函数()f x 取得极小值12，但是函数()f x 在(,)-∞+∞上，既无最大值也无最小值，故选D ．8．【答案】1【解析】()e 1xf x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()e xf x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=． 9．【答案】1e【解析】2ln 1xxy -='，当0e x <<时，0>'y ，当e x >时，0<'y ， 所以当e x =时，取得最大值，max e1ex y y===． 10．【答案】2311．【答案】6-【解析】4232()25,()444(1)f x x x f x x x x x '=--∴=-=-，令()0f x '=，得1x =-或0x =或1x =．列表如下：x 1-(1,0)-0 (0，1) 1 (1，2) 2 ()f x ' 0+ 0-+ ()f x6- 增5- 减6-增3由表可知，函数的最小值为6-． 12．【答案】（1）11,2a b ==（2）最大值为12-． 【解析】（1）由题可得()2af x bx x'=-．由函数()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切，可得(1)01(1)2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得21()ln 2f x x x =-，其定义域为(0,)+∞，所以211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在1[,1)e 上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以()f x 在1[,e]e上的最大值为1(1)2f =-．13．【答案】（1）见解析；（2）(0,1)．（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值； 当0a >时，()f x 在1x a =处取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． 因此，1()22ln 10f a a a a>-⇔+-<．令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上是增函数，(1)0g =，于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此实数a 的取值范围是(0,1)． 14．【答案】（1）(,3){0}(3,)-∞-+∞；（2）(,87]-∞-．【解析】（1）由题意知，22()32f x x ax a '=+-，当0=a 时，()0f 'x ≥恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；当0≠a 时，因为0)0(<'f ，所以(1)0(1)0f f '<⎧⎨'-<⎩，解得3>a 或3-<a ．综上，实数a 的取值范围为(,3){0}(3,)-∞-+∞．15．【答案】A【解析】2()333(1)(1)x f 'x x x =-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．(3)19f -=-，(12)f =，(1)1f -=，(31)f =-，可知12|()()|f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20．故选A ． 16．【答案】D【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=．欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a 的值必须小于或等于2，即2e 2a ≤，解得1(,ln 2]2a ∈-∞，故选D ． 17．【答案】27【解析】令2()3123(4)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或4x =，当14x ≤<时，()0f 'x <，当45x <≤时，()0f 'x >，所以()f x 在4x =处取得最小值，即()3204f k =-+=，所以32k =，又(21)7f =，(5)7f =，所以函数()f x 在[1，5]上的最大值为27．18．【答案】1[,)e-+∞【解析】易知2()(1)f x x m =--+的最大值为m ，()e e e (1)xxxg x x x '=+=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 减函数，当1x >-时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()g x 的最小值为1(1)e g -=-．12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，只需1e m ≥-．故实数m 的取值范围是1[,)e-+∞． 19．【答案】(,e 2]-∞-【解析】()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立．令()()f x x x ϕ=，0x >，则22(1)1()()(e )()x x x f x x x 'x x f x'ϕ----==，（8分） 易知当(0,)x ∈+∞时，e 10x x -->恒成立，令0()'x ϕ>，得1x >；令0()'x ϕ<，得01x <<，所以函数()x ϕ的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，所以min 1e 2()()x ϕϕ==-，所以min e ()2k x ϕ≤=-，故实数k 的取值范围为(,e 2]-∞-．20．【答案】(,3)-∞21．【答案】（1）1a =，12b =-；（2）4-．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+．由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩．（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-．令()0f x '=，得122,2x x =-=．当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数．由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-． 由题设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-， 因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-．22．【答案】（1）单调递增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞；（2）当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-．（2）由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x-+'=-=， 令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1x a>， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减．①当11a≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1，2]上是减函数， ∴()f x 的最小值是()l 2n 22f a =-．②当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1，2]上是增函数，∴()f x 的最小值是()1f a =-．③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a 是减函数．又21()()ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时，ln 20,a ->最小值是()1f a =-； 当ln 21a ≤<时，最小值为()l 2n 22f a =-．综上，当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-． 23．【答案】（1）(,1]-∞-；（2）[0,)+∞．（2）不等式001()ln f x x ≤-即0000(2)ln 11ln x x ax x --+≤-，即000ln ln a x x x ≥-， 令ln ln ()xg x x x=-，由题意可得min ()x a g ≥， 易得221ln 1l 1)n (x x xg x x x x --+=-='，令1(n )l x x x h -+=，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，又11110(ln )h -+==，所以当01x <<时，()0h x <；当1x >时，()0h x >， 所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 故函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()()ln 11ln 110x g g ==-=，所以0a ≥． 故实数a 的取值范围为[0,)+∞．24．【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足2112(e e)x x x x a --+-=-+， 设11e e ()eee ex x x x g x --+=+=+，则2(1)1e 1()e x x g x ---'=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为(1)2g =．设2()2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 与函数()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =．故选C ． 25．【答案】【名师点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 26．【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，27．【答案】证明见解析．【思路分析】证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a≤--，而)21()(max a f x f -=，所以需证11ln 1022a a-++≤，设ln ()1g x x x =-+，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证．28．【答案】（1）1y =；（2）最大值为1；最小值为π2-． 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()(000)y f f x '-=-中即可；（2）设()()h f 'x x =，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为(00)h =，从而可以知道()()0h f 'x x =<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值．【解析】（1）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=． 又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（2）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减． 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<， 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 29．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]-．【分析】（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．30．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立．（2）由（1）知 2()ln x x f x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2(e )0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()'x f h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-．由0(0,1)x ∈可得01()4f x <，因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点， 由1e (0,1)-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=，所以220e ()2f x --<<．31．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值．（2）设函数2()1e xh x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。

§1.3.3 函数的最大（小）值与导数一、教学内容分析1.在教材中的位置：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1》人教A版，第三章、第三节“导数在研究函数中的应用”2.学习的主要工具：基本初等函数的识图能力与函数的极值与导数知识。

3.学习本节课的主要目的：本节内容是在学生学习完导数基本概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识，强调在应用中进一步理解导数，并为以后“生活中的优化问题”打好基础。

4.本节课在教材中的地位：函数的最值是基本初等函数的重要性质，是历年高考的热点问题，也是解决实际问题，如成本最低，产量最高，效益最大等的重要工具。

学好本节内容对学生的可持续发展具有重要意义，可进一步完善学生知识结构，培养学生应用数学的意识。

二、学情分析学生已经在高一阶段必修一的学习中，学习了函数基础知识，并初步具备应用函数单调性求最值的基础，但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函数性质，还不熟练，应用导数在思维上有很大的局限性。

三、课堂设计思想培养学生学会学习、学会探究、学会合作是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

而问题驱动，问题引导，主动观察，主动发现又是帮助学生学会学习的重要好手段。

本节教学，将遵循这个原则而进行设计，让学生领会到知识的产生过程。

四、教学目标1．知识和技能目标（1）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数)(x f 必有最大值和最小值的充分条件。

（2）掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的方法和步骤。

2．过程和方法目标（1）问题驱动，自主探究，合作交流。

（2）培养学生在生活中学习数学的方法。

3．情感和价值目标（1）通过观察认识到事物的表象与本质的区别与联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． （4）通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

3．3.3函数的最大(小)值与导数[教材研读]，思考以下问题预习课本P96～98如图为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象1．由图找出f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的取值位置．2．根据图象找出在闭区间[a，b]上，函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系．[要点梳理]1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数y＝f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值．()2．函数的最小值至多有一个，但函数的极小值可能有多个．()3．若函数在开区间只有一个极大值，则该极大值就是最大值．()[答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 利用导数求最值 思考：最值与极值的联系与区别？提示：最值是函数在整个定义域上的最大最小值，而极值是局部最大最小值．求下列各函数的最值：(1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－3，3]； (2)f (x )＝x 2－54x (x <0)．[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值，再比较大小． [解] (1)f ′(x )＝3－3x 2＝3(1－x )(1＋x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2，令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；(2)若f (x )的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．[跟踪训练]已知函数f (x )＝1－x x ＋ln x ，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值和最小值．[解] 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝1－x x ＋ln x ＝1x －1＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，当x ＝1时，f (x )取得极小值，也是最小值，且f (1)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 12＝1－ln2，f (2)＝－12＋ln2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12ln e 316>0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln2，最小值为f (1)＝0.题型二 含参数的函数最值问题 思考：怎样求解析式中的参数？提示：利用极值与导数的关系，即在某点有极值，则在某点的导数为0.已知k 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x ＋k )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若x ＝－1是函数f (x )的极值点，求f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．[思路导引] 因为在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝0，则求出参数k .[解] (1)∵f (x )＝x 3＋kx 2－4x －4k ，∴f ′(x )＝3x 2＋2kx －4. (2)由f ′(－1)＝0，得k ＝－12.∴f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4. 由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－2)＝0，f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (2)＝0，∴f (x )在区间[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[跟踪训练]若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，求a，b的值．[解]f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.①若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.②若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3， ∴a ＝－2.综上：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.题型三 与函数最值有关的恒成立问题 思考：有关恒成立问题怎样解决？提示：与恒成立有关的问题，就是转化为求最值问题．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)．(1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围．[思路导引]恒成立问题，即y＝h(t)＋2t，若t∈(0,2)的最大值小于m，所以恒成立问题即求函数的最值问题．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1或t＝－1(不符合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．一般地，λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min . [跟踪训练]设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 所以f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x∈(2,3)时，f′(x)>0.所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.所以当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.1．连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值是f (x )有极大值的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为在[a ，b ]有最大值时函数可以是单调函数，所以有最大值不一定有极大值，反之亦不成立，所以选D.[答案] D2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[解析] 因为f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，当x ＝－2时，f ′(x )＝0，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－2时，f (x )有极大值即最大值，所以选A.[答案] A3．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值[解析] 由极值与最值的定义知选D. [答案] D4．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.174D ．22＋12[解析] 由f ′(x )＝1x－1x 2＝＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3.[答案] B5．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3]的值域为__________．[解析] f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )>0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32.故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1346．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值__________，极小值__________．[解析] f ′(x )＝x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2，且(－∞，－1)和(2，＋∞)时f ′(x )>0，在(－1,2)，f ′(x )<0，所以f (－1)＝76是极大值，f (2)＝－103是极小值．[答案] 76 －1037．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得： f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a 3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x＝0时，函数有最大值2.。

3．3．3 函数的最大(小)值与导数双基达标 （限时20分钟）1．函数y ＝x (1－x 2)在[0，1]上的最大值为( )． A.29 3 B.29 2 C.49 2 D.38解析 y ′＝1－3x 2＝0，∴x ＝±33.当0<x <33时，y ′>0；当33<x <1时，y ′<0.所以当x ＝33时，y 极大值＝293；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0.所以当x ＝33时，y max ＝29 3. 答案 A2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )． A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B. 答案 B3．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )．A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－2b3a ，所以b ＝0，故选A. 答案 A4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 答案 π6＋ 35．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________．解析 f ′(x )＝cos x －sin x ＝0，即tan x ＝1， x ＝k π＋π4，(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，当－π2＜x ＜π4时，f ′(x )＞0；当π4＜x ＜π2时，f ′(x )＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4是极大值．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴函数最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1.答案2 －16．求函数f (x )＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值． 解 f ′(x )＝5x 4＋20x 3＋15x 2＝5x 2(x ＋3)(x ＋1)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－1或x ＝－3(舍)， 列表：x －1 (－1，0)0 (0，4)4f ′(x ) 0 ＋0 ＋f (x )12 625又f (0)∴函数y ＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1，4]上的最大值为2 625，最小值为0.综合提高 （限时25分钟）7．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )．A．－173B．－103C．－4 D．－643解析y′＝x2＋2x－3(x∈[0，2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，y min＝－173，故选A.答案 A8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()．A．－37 B．－29 C．－5 D．－11解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案 A9．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________．解析∵y′＝4（x2＋1）－2x·4x（x2＋1）2＝－4x2＋4（x2＋1）2，令y′＝0可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.答案2－210．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－52＋a＝－12.答案－1 211．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1，3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1，2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0.可得4a ＋3b ＋4＝0. ②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，代入3x －y ＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23. 当x ∈[－3，－2)，⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1时f ′(x )>0，函数是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23时f ′(x )<0，函数是减函数，∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13. 在x ＝23处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527.。

3.3.3　函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升一、基础巩固1.函数y=x-sin x ,x ∈[π2,π]的最大值是( )A.π-1B .π2‒1C.πD.π+1y'=1-cos x ,x ∈≥0.[π2,π],∴y '∴y=x-sin x .在[π2,π]上是增函数∴当x=π时,y max =π.2.函数f (x )=4x-x 4在x ∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是( )A.f (1)与f (-1)B.f (1)与f (2)C.f (-1)与f (2)D.f (2)与f (-1)(x )=4-4x 3,由f'(x )>0,得x<1;由f'(x )<0,得x>1.所以f (x )=4x-x 4在x=1时取极大值f (1)=3.而f (-1)=-5,f (2)=-8,所以f (x )=4x-x 4在[-1,2]上的最大值为f (1),最小值为f (2).3.函数y=x 3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是( )A.1B.5C.12D.-153x 2-3,令y'=0,得3x 2-3=0,解得x=1或x=-1.∵当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0.∴y 极小值=y|x=1=1,y 极大值=y|x=-1=5,而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min =-15.4.已知函数f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.-11f'(x )=6x 2-12x=6x (x-2)=0,解得x=0或x=2.因为f (0)=m ,f (2)=m-8,f (-2)=m-40,所以f (x )max =m=3,f (x )min =f (-2)=m-40=3-40=-37.5.设函数f (x )=ax 3+3bx (a ,b 为实数,a<0,b>0),当x ∈[0,1]时,有f (x )∈[0,1],则b 的最大值是( )A .12B.24C.32D.3+146.函数f (x )=x ex 在[0,4]上的最小值是___________________.(x )f'(x )>0,得x<1.=1-xe x ,由∴f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.∵f (0)=0,f (4)=4e 4,∴f (x )在[0,4]上的最小值为0.7.若函数f (x )=13x 3‒x 在(a ,10‒a 2)内有最小值,则实数a 的取值范围为_________________.f (x )f'(x )=x 2-1.=13x 3‒x ,所以由f'(x )>0,得x>1或x<-1;由f'(x )<0,得-1<x<1.所以x=1是函数的极小值点.因为函数f (x )在开区间内有最小值,所以1∈(a ,10-a 2),即a<1<10-a 2,解得-3<a<1.-3,1)8.已知函数f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是 =a x 2+2ln x ,当a >0时,f (x ).f (x )x ,得f'(x )=ax 2+2ln =2(x 2-a )x 3,f (x )的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x )=0,得x=)或x 又函数‒a (舍去=a .当0<x ,f'(x )<0;<a 时当x ,f'(x )>0,故x f (x )的极小值点,也是最小值点,且f >a 时=a 是函数(a )=ln a+1.要使f (x )≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a ≥e .+∞)9.已知函数f (x )=x 3-3x 2-9x+k ,对任意x ∈[-4,4],都有f (x )≥0成立,求实数k 的取值范围.(x )=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x )=0,得x=3或x=-1.∵f (-4)=k-76,f (3)=k-27,f (-1)=k+5,f (4)=k-20.∴f (x )min =k-76.由k-76≥0,得k ≥76.∴k 的取值范围是[76,+∞).10.设f (x )=ln x ,g (x )=f (x )+f'(x ).(1)求g (x )的单调区间和最小值.(2)若g (a )-g (x )<1a 对任意x >0恒成立,求a 的取值范围.由题设知f'(x )g (x )=ln x =1x ,则+1x (x >0).所以g'(x )g'(x )=0得x=1.=x -1x 2,令当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,故g (x )的单调递减区间是(0,1);当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,故g (x )的单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g (x )在(0,+∞)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g (1)=1.(2)由(1)知g (x )的最小值为1,所以g (a )-g (x )x>0恒成立可转化为g (a )-1<1a 对任意<ln a<1,从而得0<a<e .1a ,即故实数a 的取值范围为(0,e).二、能力提升1.函数f (x )=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A.12,-15B.-4,-15C.12,-4D.5,-15(x )=6x 2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f'(x )=0,得x=-1或x=2.因为f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4,所以f (2)<f (3)<f (0).所以f (x )max =f (0)=5,f (x )min =f (2)=-15.2.已知a ≤1-x x +ln x 对任意x ∈[12,2]恒成立,则a 的最大值是( )A.0 B.1C.2D.3f (x )x ,则f'(x )f'(x )=0,解得x=1.当x ∈=1-xx +ln =-x +x -1x 2+1x =x -1x 2.令[12,1),f'(x )<0,故函数f (x );当x ∈(1,2]时,f'(x )>0,故函数f (x )在(1,2]上单时在[12,1)内单调递减调递增,∴f (x )min =f (1)=0,∴a ≤0,即a 的最大值为0.3.若函数f (x )=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围是( )A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D .(0,12)(x )=3x 2-3a=3(x 2-a ).若a ≤0,则f'(x )>0,即f (x )在(0,1)内单调递增,f (x )无最小值.若a>0,由f'(x )>0,得x f (x )在(0,.>a ,则,a )内单调递减在[a ,+∞)内单调递增≥1,则f (x )在(0,1)内单调递减,f (x )无最小值.若a 0<a<1.此时,f (x )在(0,,当x 故a <1,即,a )内单调递减在(a ,1)内单调递增=a 时,f (x )取最小值.4.设直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小值时t 的值为( )A.1B .12C.52D.22,由图可以看出|MN|=y=t 2-ln t (t>0).y'=2t ‒1t =2t 2-1t =2(t +2)(t -2)t .当0<t ,y'<0,可知y ;<22时在(0,22)内单调递减当t ,y'>0,可知y .故当t ,|MN|有最小值.>22时在(22,+∞)内单调递增=22时5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是 .★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:x-2056f(x)3-2-23①函数f(x)在(0,3)内是增函数;②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;④若∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是 .7.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.f'(x)=(x-k+1)e x.由f'(x)>0,得x>k-1.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.∵f (1)=-3-c ,即b-c=-3-c ,∴b=-3.又f'(x )=4ax 3ln x+ax 3+4bx 3=x 3(4a ln x+a+4b ),由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.(2)由(1)知,f'(x )=48x 3·ln x (x>0).由f'(x )>0,得x>1.∴f (x )在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(3)由(2)知f (x )在x=1处取最小值-3-c ,要使f (x )≥-2c 2恒成立,只需-3-c ≥-2c 2,即2c 2-c-3≥0,解得c ≥c ≤-1.32或故c 的取值范围是(-∞,-1]∪[32,+∞).。

高中数学人教A版选修1-1第三章《3.3.3函数的最大（小）值与导数》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识和技能目标
(1)弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别,理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。

(2)掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的方法和步骤,会利用导数求函数在[a,b]上的最值。

2.过程和方法目标
结合学生的知识,理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。

3.情感和价值目标
通过教学活动,培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养。

2学情分析
函数的最值是基本初等函数的重要性质,是历年高考的热点问题,是在学生学习完导数基本
概念与基本初等函数求导公式后的应用性知识,培养学生应用数学的意识。

强调在应用中进一步理解导数,也是解决实际问题:如成本最低,产量最高,效益最大等的重要工具,为以后内容“生活中的优化问题”打好基础。

学生已经在高一阶段必修一的学习中,学习了函数基础知识,并初步具备应用函数单调性求最值的基础,但是对于运用刚刚学习的导数工具研究函
数性质,还不熟练,应用导数在思维上有很大的局限性。

3重点难点
重点:求闭区间上连续可导的函数的最值的求解,理解确定函数最值的方法,并联系函数单调性的应用。

难点:求函数的最值的方法的提炼,同时让有余力的学生了解函数的最值与极值的区别与联系。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动。

3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、基础过关1.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A.f (2)，f (3)B.f (3)，f (5)C.f (2)，f (5)D.f (5)，f (3)2.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A.－2B.0C.2D.4 3.函数y ＝ln xx 的最大值为( )A.e －1 B.e C.e 2D.103 4.函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值－2C.有最大值2，最小值－2D.无最值5.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A.－32B.12C.－12D.12或－326.函数f (x )＝x e x 的最小值为________.7.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________. 二、能力提升8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A.1B.12C.52D.229.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.10.已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值.11.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围. 12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行. (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ] (t >0)内的最大值和最小值. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.答案1.B2.C3.A4.C5.C6.－1e7.[－4，－2] 8.D 9.(－∞，2ln 2－2]10.解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 11.解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根.∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围. 12.解(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0f ′(1)＝－3 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).f′(x)与↗由f(x)＝f因此根据f(x)图象，当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.13.解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：↘所以f(x)).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。

第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D. 答案：D2．函数f (x )＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1B ．eC ．e 2D ．10解析：令f ′(x )＝1－ln xx 2＝0(x >0)，解得x ＝e.当x >e 时，f ′(x )<0；当0<x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )极大值＝f (e)＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以f (x )max ＝e －1.答案：A3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．不存在D ．0解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1. 所以f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12.答案：A4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．(－1，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：因为f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又因为x ∈(0，1)，所以 0＜a ＜1. 答案：B5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )解析：令u (x )＝f (x )－g (x )， 则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0， 所以 u (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以 u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )． 答案：A 二、填空题6．函数f(x)＝ln x－x在(0，e)上的最大值为________．解析：f′(x)＝1x－1＝1－xx(x>0)，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x<0(舍去)或x>1，所以f(x)在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.答案：－17．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：328．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析：f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.因为f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，所以f(x)max＝a＝2.所以f(x)min＝－52＋a＝－12.答案：－1 2三、解答题9．已知函数f(x)＝ax2＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．解：由f(x)＝ax2＋2ln x，得f′(x)＝2（x2－a）x3.又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0<x<a 时，f′(x)<0；当x>a时，f′(x)>0.故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.所以实数a的取值范围是[e，＋∞)．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.(1)若a＝0，证明：当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0；(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.(1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，f′(x)＝ln(1＋x)－x1＋x.设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－x1＋x，则g′(x)＝x（1＋x）2.当－1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时，g′(x)>0，故当x>－1时，g(x)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0.所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增．又f(0)＝0，故当－1<x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0.(2)解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x>0＝f(0)，这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．(ⅱ)若a<0，设函数h (x )＝f （x ）2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax 2.由于当|x |<min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2（2＋x ＋ax 2）－2x （1＋2ax ）（2＋x ＋ax 2）2＝x 2（a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1）（x ＋1）（ax 2＋x ＋2）2.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a ，且|x |<min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，h ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |<min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3（x －24）（x ＋1）（x 2－6x －12）2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.B 级 能力提升1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2（t ＋22）（t －22）t.当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减；当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值．答案：D2．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，所以当x ＝1e 时f (x )取得最小值－1e.(2)依题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞]上恒成立， 即不等式a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞]恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以g (x )的最小值是g (1)＝1. 因此a ≤g (x )min ＝g (1)＝1， 故a 的取值范围为(－∞，1]．3．设函数f (x )＝x －x 2＋3ln x ．证明：f (x )≤2x －2. 证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－32(舍去)．当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0， 当x ＞1时，g ′(x )＜0.所以 g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以 g (x )max ＝g (1)＝0， 所以 f (x )－(2x －2)≤0. 所以 f (x )≤2x －2.。

新编人教版精品教学资料第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案：A3．函数f(x)＝12x2－ln x的最小值为( )A.12B．1 C．不存在 D．0解析：f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x>0，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.所以f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝12－ln 1＝12.答案：A4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．(－1，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：因为f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又因为x ∈(0，1)，所以 0＜a ＜1.答案：B5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a ) 解析：令u (x )＝f (x )－g (x )，则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0，所以 u (x )在[a ，b ]上为减函数，所以 u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．答案：A二、填空题6．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为________． 解析：f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x （x ＋1）2，所以在[1，3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1，3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32.答案：328．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.因为f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ， f (1)＝－12＋a ，所以 f (x )max ＝a ＝2.所以 f (x )min ＝－52＋a ＝－12. 答案：－12三、解答题9．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R，t >0)．(1)若f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R，t >0)，所以当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：所以对t ∈(0，max h (t )<－2t －m 对t ∈(0，2)恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0，2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，所以m >1.故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在区间[－2，2]上的最小值． 解：(1)因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为在(－1，3)上f ′(x )＞0，所以 f (x )在[－1，2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，且f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以 f (2)＞f (－2)．所以 f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，所以 a ＝－2.所以 f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.所以 f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f (x )最小值为－7.B 级 能力提升1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝ 2（t ＋22）（t －22）t. 当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 答案：D2．若函数f (x )＝ax 3＋x 在实数集上有极值，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝ax3＋x，所以f′(x)＝3ax2＋1，当a≥0时，f′(x)＝3ax2＋1>0在实数集上恒成立，此时函数f(x)＝ax3＋x在实数集上不存在极值．当a<0时，令f′(x)＝3ax2＋1＝0，得x＝± －13a ，由f′(x)<0得x<－－13a或x> －13a；由f′(x)>0得－－13a<x< －13a，此时函数f(x)＝ax3＋x在实数集上存在极值．综上可知，a的取值范围为a<0. 答案：a<03．设函数f(x)＝x－x2＋3ln x．证明：f(x)≤2x－2.证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x则g′(x)＝－1－2x＋3x ＝－（x－1）（2x＋3）x.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－32(舍去)．当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝0，所以f(x)－(2x－2)≤0.所以f(x)≤2x－2.。