关于大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的； 则它必定存在反函数：y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加 ；若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少 ；若fx 1＜fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加 ；若fx 1＞fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性：Df 关于原点对称 偶函数：f-x=fx 奇函数：f-x=-fx3.函数的周期性：周期函数：fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |fx|≤M , x ∈a,b ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c , c 为常数2.幂函数： y=x n , n 为实数3.指数函数： y=a x , a ＞0、a ≠14.对数函数： y=log a x ,a ＞0、a ≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时,)(x f 的极限：⑵当0x x →时,)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指：2．无穷小量：)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．无穷小量的比较：lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1． 数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 点x 0除外有：且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点：)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得：cf=)(ξ,其中：Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得：0)(=ξf ;4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章 一元函数微分学 § 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数：)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中：)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即：0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作：2.导数与微分的等价关系： 定理：)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且：)()(x A x f ='3.微分形式不变性：不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理：)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则：∞∞,型未定式 定理：)(x f 和)(x g 满足条件：1o）或）或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ；2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ；3o）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则：）（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即： 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型；若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程：设：),(),(00y x M x f y =切线方程：))((000x x x f y y -'=-法线方程：)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性：⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒3.函数的极值： ⑴极值的定义：设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点；若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有：则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件：定理：)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。

数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。

一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。

在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。

设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A。

函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。

2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。

3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)⁡f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。

二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。

一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。

函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。

在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。

2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。

3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)⁡[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)⁡[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)⁡[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。

第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。

在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。

本文将对第一章的内容进行总结。

函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。

当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。

在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。

通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。

我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。

通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。

极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。

连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。

连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。

我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。

其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。

通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。

在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。

例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。

这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。

总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。

通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。

而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。

对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。

函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。

在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。

一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。

数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。

2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。

- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。

- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。

3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。

- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。

- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。

- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。

二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。

数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。

2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。

- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。

- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。

- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。

3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。

- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。

三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。

- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。

极限与连续知识点总结在高等数学中，极限与连续是非常重要的基础概念，它们贯穿了整个数学分析的学习过程。

下面，我们就来对极限与连续的相关知识点进行一个系统的总结。

一、极限的概念极限是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数。

例如，对于函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，当$x$趋近于 1 时，＄f(x)＄的极限为 2。

这是因为通过化简$f(x) ＝ x ＋ 1$，当$x$趋近于1 时，＄f(x)＄趋近于 2。

极限的定义有多种形式，常见的有$＼epsilon ＼delta$定义。

二、极限的计算1、代入法对于一些简单的函数，如果在极限点处函数有定义且连续，直接将极限点代入函数即可计算极限。

2、因式分解法当分子分母有公因式时，可以通过因式分解约去公因式来计算极限。

3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，从而计算极限。

4、利用重要极限常见的重要极限有：＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$，＄＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$。

5、洛必达法则当遇到分子分母同时趋近于 0 或无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导来计算极限。

三、无穷小与无穷大1、无穷小如果函数$f(x)＄在某个变化过程中极限为 0，那么称$f(x)＄为该变化过程中的无穷小。

例如，当$x ＼to ＼infty$时，＄＼frac{1}｛x}＄是无穷小。

2、无穷大如果在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，那么称该函数为无穷大。

例如，当$x ＼to 0$时，＄＼frac{1}｛x^2}＄是无穷大。

无穷小与无穷大之间有着密切的关系：在同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。

四、极限的性质1、唯一性极限如果存在，则一定是唯一的。

2、有界性如果函数在某个区间上有极限，那么在该区间上一定有界。

极限与连续函数的关系与性质极限与连续函数是微积分学中的重要概念，它们在数学和物理等领域的应用广泛。

本文将介绍极限和连续函数的关系以及它们的性质。

一、极限的定义与性质1. 极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，若对于任意给定的正实数ε，存在正实数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限。

即表示为lim(x→a) f(x) = L。

2. 极限的性质：- 唯一性：如果lim(x→a) f(x)存在，那么极限是唯一的。

- 局部有界性：如果lim(x→a) f(x) = L存在，则存在一个正实数δ，使得a的邻域内，函数f(x)有界。

- 局部保号性：如果lim(x→a) f(x) = L存在且L>0（或L<0），则存在一个正实数δ1，当0 < |x-a| < δ1时，f(x) > 0（或f(x) < 0）。

- 保序性：如果lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，且L1 < L2，则对于充分小的正实数ε，存在正实数δ，当0 < |x-a| < δ时，有f(x) < g(x) - ε。

二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，在[a,b]内的任意一点c 上，lim(x→c) f(x) = f(c)，则称函数f(x)在区间[a,b]上连续。

2. 连续函数的性质：- 有界性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上有界。

- 介值性：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且不恒取常数，则对于函数f(x)的任意两个值f(a)和f(b)之间的任意实数L，存在区间[a,b]上的某个点c，使得f(c) = L。

- 零点定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)和f(b)异号（即f(a) * f(b) < 0），则在区间[a,b]上至少存在一个点c，使得f(c) = 0。

高等数学常用基础知识点一、极限与连续极限是高等数学中的重要概念之一。

当自变量趋于某个确定值时，函数的极限描述了函数在这个点附近的表现。

极限的计算方法包括利用极限的四则运算法则、夹逼定理和洛必达法则等。

连续是指函数在某个点上无间断的性质。

如果函数在某个点上连续，那么其极限存在且与函数在该点的取值相等。

连续函数的性质包括介值定理、零点定理和罗尔定理等。

二、导数与微分导数是函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的计算方法包括利用导数的四则运算法则、链式法则和隐函数求导等。

微分是函数在某一点的局部线性逼近。

微分的计算方法包括利用微分的四则运算法则、高阶导数和泰勒公式等。

三、不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算。

不定积分的计算方法包括利用基本积分公式、换元积分法和分部积分法等。

定积分是函数在某一区间上的累积效应。

定积分的计算方法包括利用定积分的性质、换元积分法和分部积分法等。

四、级数与幂级数级数是无穷个数的和。

级数的收敛与发散是级数理论中的重要问题。

级数的测试方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

幂级数是形如∑(a_n*x^n)的级数。

幂级数的收敛半径是幂级数理论中的重要概念。

幂级数的运算方法包括利用幂级数的性质、求和运算和乘法运算等。

五、常微分方程与偏微分方程常微分方程是描述物理、经济和工程等领域中变化规律的数学工具。

常微分方程的求解方法包括利用分离变量法、一阶线性微分方程的求解和二阶线性齐次微分方程的求解等。

偏微分方程是描述多变量函数的方程。

偏微分方程的求解方法包括利用分离变量法、变量代换和特征线法等。

六、空间解析几何与向量代数空间解析几何是研究空间中点、直线和平面的性质和关系的数学分支。

空间解析几何的内容包括点的坐标表示、向量的运算和平面的方程等。

向量代数是研究向量及其运算的数学分支。

向量代数的内容包括向量的加法、数量积和向量积等。

七、多元函数与多元函数微分学多元函数是多个自变量的函数。

函数极限连续知识点概况函数是一种映射关系，用来描述两个集合之间的元素对应关系。

在数学中，常常用字母f、g、h等表示函数。

函数可以用公式、图像、数据表等形式进行表示。

函数的定义域是指函数中所有可能的输入值，值域是指函数中所有可能的输出值。

函数的图像可以通过将函数的输入值和输出值对应起来，绘制成平面直角坐标系中的点的形式来表示。

极限是函数中一个非常重要的概念。

极限描述了函数在一些点附近的行为。

当自变量趋向于一些特定的值时，函数的值也会趋向于一个特定的值。

这个特定的值就是函数在该点的极限。

极限可以用数学符号“lim”进行表示，例如lim(x->a) f(x)表示当x趋向于a时，f(x)的极限。

连续是函数的一个性质，它描述了函数图像上不存在突变的现象，即函数的值在一些点附近变化不大。

连续可以用数学语言表述为：如果对于函数f(x)的定义域中的任意数a，当x趋向于a时，lim(x->a) f(x)存在且等于f(a)，那么函数f(x)就在点a处连续。

这意味着函数在整个定义域上都不会出现断裂、间断或跳跃的情况。

函数、极限和连续是紧密相关的概念。

在函数的定义中，我们常常要用到极限的概念。

例如，导数和积分就是通过极限的方法来定义的。

而连续则是函数在定义域上的一种性质，通过极限的概念可以更准确地描述函数的连续性。

在实际应用中，函数、极限和连续有着广泛的应用。

函数可以用来描述各种自然现象中的规律和关系，例如物体运动的轨迹、电路中电压和电流的关系等。

极限的概念可以用来描述各种变化趋势，例如速度的极限可以用来描述物体在一些时刻的瞬时速度。

连续性是数学建模中的一个重要要求，对于许多实际问题的解答和分析，需要用到连续函数的性质。

综上所述，函数、极限和连续是高等数学中的重要概念，它们是数学分析的基础，并在各个科学领域中有广泛的应用。

深入理解和掌握这三个概念对于学好高等数学和其他科学学科都有着重要的意义。

对于学生来说，通过大量的练习和实例分析，结合具体问题的实际背景和应用，能够更好地理解和应用这些概念。

极限与连续性在高等数学中的重要性在高等数学中，极限与连续性是两个非常重要的概念。

它们在数学理论和应用中起着至关重要的作用，不仅帮助我们建立数学模型，还可以解决各种实际问题。

本文将会详细讨论极限与连续性的重要性，以及它们在高等数学中的应用。

首先，我们来讨论极限的重要性。

极限是高等数学中最基础的概念之一，也是微积分的核心内容。

通过研究极限，我们可以更好地理解函数的性质和行为。

极限的概念使我们能够描述和定义函数在某一点的趋势和变化情况。

对于一个函数f(x)，我们可以通过计算极限来判断它在某一点的连续性、导数和积分等性质。

此外，极限的概念还有助于我们研究数列的收敛性和级数的敛散性。

在实际应用中，极限的概念被广泛运用。

在物理学中，极限可以帮助我们在离散的数据中找到趋势和规律，从而建立数学模型。

例如，通过极限的概念可以推导出物体在某一时刻的速度和加速度等物理量。

在经济学和金融学中，极限可以帮助我们预测市场的趋势和波动，进而制定合适的投资策略。

在工程学中，极限可以帮助我们设计和优化各种系统和结构，提高其性能和可靠性。

总之，极限在数学理论和实际应用中具有不可替代的重要性。

接下来，我们来讨论连续性的重要性。

连续性可以看作是极限的一种特殊情况，它描述了函数在某一区间内的无间断性。

连续性的概念使我们能够研究函数的光滑性、存在性和一致性等性质。

通过研究连续性，我们可以确定函数在某一段区间内是否存在极限，并且可以精确地计算该极限的值。

连续性还有助于我们研究函数的导数、积分和级数等重要概念。

在实际应用中，连续性的概念也被广泛应用。

在物理学中，连续性可以帮助我们建立连续介质的数学模型，例如流体力学和电磁场理论等。

在计算机科学和信息技术领域，连续性可以帮助我们设计和分析数字信号处理算法、图像处理算法和机器学习算法等。

在金融学和经济学中，连续性可以帮助我们建立连续交易市场的数学模型，并研究其稳定性和可行性。

总之，连续性在数学理论和实际应用中扮演着重要的角色。

知识点总结高数一一、极限与连续1. 极限的概念及性质极限是数列或函数在趋于某个值时的性质，其定义包括数列极限和函数极限两种情况。

数列极限定义为：对于任意的ε>0，存在N∈N，使得当n>N时，|an-a|<ε成立。

函数极限定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立。

极限的性质包括唯一性、有界性、局部性、夹逼性等。

2. 极限运算法则极限运算法则包括四则运算法则、复合函数极限法则、比较大小法则、夹逼定理等，通过这些法则可以简化极限运算的复杂性。

3. 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷小于此值的函数。

无穷大则是指当自变量趋于某个值时，函数值无穷大于此值的函数。

在极限运算中，无穷小和无穷大的性质十分重要。

4. 连续的概念及性质连续函数的定义为：对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε成立。

连续函数的性质包括局部性、初等函数的连续性、复合函数的连续性等。

二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则导数是函数在某一点处的变化率，导数的定义为：f'(x)=lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h。

求导法则包括基本导数公式、和差积商的求导法则、复合函数求导法则等。

2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数为求导多次的结果，隐函数求导是指对于包含多个变量的函数，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

3. 微分的概念与微分公式微分是函数在某一点处的局部线性近似，微分的定义为：df(x)=f'(x)dx。

微分公式包括基本微分公式、换元法、分部积分法等。

4. 隐函数与参数方程的导数隐函数与参数方程的导数是指对于包含多个变量的方程，通过对某个变量求导来求得函数在该点的导数。

三、微分中值定理与泰勒公式1. 微分中值定理微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，它们描述了函数在某些条件下的性质，对于函数的研究有重要意义。

连续与极限的关系及其在高数中的应用连续与极限是高等数学中重要的概念，它们在解析几何、微积分等各个领域都有广泛的应用。

在本文中，我们将探讨连续与极限的关系以及它们在高等数学中的具体应用。

首先，我们来了解连续与极限的定义和关系。

在数学中，连续性是指函数在某个区间内没有断裂或跳跃，即函数的值在区间内可以无限地逼近某个特定值。

而极限则是指当自变量无限接近某个特定值时，函数的值趋于无穷大或无穷小。

连续性和极限的概念密切相关，而且连续函数的定义中涉及了极限的概念。

在高等数学中，连续与极限具有重要的应用。

首先，在解析几何中，我们可以利用连续与极限的概念来描述曲线的性质。

例如，我们可以通过计算函数的导数来确定切线的斜率，进而得到切线与曲线的切点。

这种方法基于函数在某个点的连续性和曲线在该点的导数。

通过探索函数在不同点附近的极限值，我们可以更好地了解曲线的特性。

另外，在微积分中，连续与极限是求解导数和积分的关键概念。

导数是描述函数变化率的重要工具，它可以通过函数在某个点的极限来定义。

具体来说，导数可以用于求解函数在某个点的斜率，进而用于描述函数的变化趋势。

而积分则是通过将函数转化为微小的无限小量来求解曲线下面积或体积。

连续性和极限的概念提供了微积分建立的基础，使我们能够更好地理解和运用微积分的方法。

除了解析几何和微积分，连续与极限还有很多其他重要的应用。

在数值分析中，我们可以利用极限来进行近似计算和误差估计。

通过计算函数在某个点附近的极限值，我们可以更准确地进行数值计算，评估计算结果的误差，并优化计算过程。

在概率论和统计学中，连续与极限的概念也是重要的基础。

例如，我们可以通过极限的概念推导出正态分布的性质和中心极限定理，从而应用到实际的概率和统计问题中。

总结起来，连续与极限在高等数学中是不可或缺的概念。

它们不仅在解析几何、微积分等数学学科中有广泛的应用，还在数值分析、概率论和统计学等领域中发挥着重要的作用。

连续与极限的关系为我们提供了深入理解函数性质、解决实际问题和优化计算方法的工具。

大一高数极限与连续知识点大一的高等数学是大多数理工科大学生不可避免的一门课程。

其中，极限与连续是数学分析中最基础、最重要的概念之一。

虽然这两个概念看似简单，但实际上却涉及到许多有趣且深奥的知识点。

到底什么是极限呢？在微积分中，我们使用极限来描述函数在某一点的局部行为。

换句话说，我们想要通过无限逼近的过程，了解一个函数在某个点附近的表现。

在数学符号中，我们用lim来表示极限，例如lim(x->a) f(x) = L，意味着当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近于L。

接下来，关于连续函数的概念也非常重要。

一个函数在一个点上连续，指的是该点的函数值与其极限相等。

也就是说，如果一个函数f在点a处有定义，并且满足lim(x->a) f(x) = f(a)，那么我们就可以说函数f在点a连续。

在学习极限与连续的过程中，我们会遇到一些经典的例题，以便更好地理解这两个概念。

例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过计算在x趋近于0的过程中，f(x)的取值无限接近于0，从而得到lim(x->0) f(x) = 0。

这种情况下，我们可以说f(x)在x=0处连续。

然而，并非所有函数都在每个点上连续。

有些函数在某些点上存在断点，即函数值不等于其极限。

一个典型的例子是f(x) = 1/x。

当x趋近于0时，f(x)的取值趋近于无穷大或者负无穷大，即函数f(x)在x=0处不连续。

另外，我们还需要掌握一些极限运算的性质和规律。

比如，如果存在lim(x->a) f(x) = L和lim(x->a) g(x) = M，那么根据极限的四则运算法则，我们可以得到以下结论：- lim(x->a) [f(x) + g(x)] = L + M- lim(x->a) [f(x) - g(x)] = L - M- lim(x->a) [f(x) * g(x)] = L * M- lim(x->a) [f(x) / g(x)] = L / M （假设M≠0）在计算极限的过程中，我们还会用到一些特殊的极限形式，比如0/0、无穷大/无穷大等。

高等数学第一章函数极限和连续教案教案：高等数学第一章-函数、极限和连续一、教学目标：1.理解函数的基本定义和性质，能够用函数的图像描绘函数的性质。

2.掌握函数的四种表示方式：显式表达式、参数方程、隐式方程和级数展开。

3.了解函数的运算和复合函数的性质，并能够应用到问题解决中。

二、教学重难点：1.函数的概念和性质的理解和应用。

2.函数的四种表示方式的转换和应用。

3.复合函数的运算和性质的理解和应用。

三、教学过程：1.导入新课：老师可以提问学生，什么是函数？函数有哪些性质？函数在哪些实际问题中有应用？引导学生讨论和思考。

2.函数的基本概念：a.对于给定的自变量，能够确定唯一的值。

b.函数的定义域和值域。

c.函数的奇偶性、周期性和有界性。

d.函数的图像和性质。

3.函数的四种表示方式：a.显式表达式：y=f(x)。

b.参数方程：x=φ(t)，y=ψ(t)。

c.隐式方程：F(x,y)=0。

d.级数展开：f(x)=a0+a1x+a2x^2+...4.函数的运算：a.四则运算：加法、减法、乘法和除法。

b.复合函数：g(f(x))。

5.复合函数的性质：a.复合函数的定义域和值域。

b.复合函数的奇偶性。

c.复合函数的周期性。

d.复合函数的有界性。

6.函数的极限：a.极限的定义和性质。

b.极限的计算方法：代入法、夹逼法、夹分法等。

c.无穷小量和无穷大量的概念。

d.极限存在和不存在的判别方法。

7.函数的连续：a.连续的定义和性质。

b.连续函数的四个基本定理。

c.连续函数图像的特点。

8.综合练习：a.解答一些典型例题，让学生掌握函数、极限和连续的基本概念和性质。

b.组织学生进行小组讨论和合作解题，培养学生的应用和分析问题的能力。

四、课后作业：1.完成课后习题，巩固所学知识。

2.预习下节课的内容。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生对于函数、极限和连续的概念和性质有了更清晰的认识。

在教学过程中，结合实际问题的应用，引导学生思考和讨论，加强学生的实际运用能力。

大学高等数学公式大全高等数学是大学数学学科中的一门重要课程，也是理工科学生必须掌握的基础知识。

在学习高等数学的过程中，数学公式是必不可少的工具。

本文将为大家提供一份大学高等数学公式大全，供学生们参考使用。

一、极限与连续1.1 极限的定义：$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$1.2 极限的四则运算：$$\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$$1.3 极限的乘法法则：$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$1.4 极限的除法法则：$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}, \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$1.5 极限的复合函数法则：$$\lim_{x \to a} f[g(x)] = f[\lim_{x \to a} g(x)]$$1.6 常见的极限公式：- 幂函数的极限：$$\lim_{x \to a} x^k = a^k$$- 自然对数函数的极限：$$\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$$- 正弦函数的极限：$$\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$$二、导数与微分2.1 导数的定义：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$2.2 常见函数的导数：- 幂函数的导数：$$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$$- 指数函数的导数：$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$- 三角函数的导数：$$\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x), \frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$$2.3 导数的四则运算：- 和差规则：$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$$- 积法则：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$- 商法则：$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}{[g(x)]^2}, g(x) \neq 0$$2.4 高阶导数：$$f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} f(x), f'''(x) = \frac{d^3}{dx^3} f(x), \ldots$$三、定积分3.1 定积分的定义：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x_i$$3.2 定积分的性质：- 线性性质：$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x) dx$$- 积分与常数的乘积：$$\int_a^b kf(x) dx = k\int_a^b f(x) dx$$3.3 常见函数的定积分：- 幂函数的定积分：$$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$- 正弦函数的定积分：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 指数函数的定积分：$$\int e^x dx = e^x + C$$四、级数4.1 等比级数的求和：$$S = \frac{a}{1-r}, |r|<1$$4.2 幂级数的收敛半径：$$R = \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$ 4.3 常见级数：- 调和级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$- 几何级数：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$$五、常微分方程5.1 一阶线性常微分方程：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$5.2 二阶常系数齐次线性微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$5.3 常见的解法：- 变量分离法- 齐次线性微分方程的特征方程法- 二阶线性微分方程的常数变易法以上仅为部分高等数学公式的示例，实际上高等数学的公式非常丰富多样。