高中数学随机变量分布列知识点

分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。

对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。

1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。

（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。

二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。

根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。

2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。

这对于一些概率问题的求解非常有用。

三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。

设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。

3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。

设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。

四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。

高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。

理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2、离散型随机变量的分布列及其性质：（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。

（2）分布列的性质：①0,1,2,,i p in ?g g g ；②11ni i p ==å（3）常见离散型随机变量的分布列：①两点分布：若随机变量X 的分布列为,则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则()(0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且*,,,,)n N M N n MN N ＃?,称分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性质对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B).2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．题型三 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：（≥98分为优秀） （1）10人中选3人，求至多1人优秀的概率（2）用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)30,40的人数； （Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)50,60年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)50,60年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。

理科数学复习专题 统计与概率 离散型随机变量及其分布列知识点一1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，X,Y ,x h g g g 表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

2、离散型随机变量的分布列及其性质：（1）定义：一般的，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,,,,i n x x x x g g g g g g X 取每一个值(1,2,,)i x i n =g g g 的概率为()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量离散型随机变量X ，简称X 的分布列。

（2）分布列的性质：①0,1,2,,i p in ?g g g ；②11ni i p ==å（3）常见离散型随机变量的分布列：①两点分布：若随机变量X 的分布列为,则称X 服从两点分布，并称(1)p P x ==为成功概率②超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X件次品，则()(0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===g g g g 其中m i n {,m M n =，且*,,,,)n N M N n MN N ＃?,称分布列为超几何分布列。

如果随机变量X 的分布列题型一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】已知一随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 值为( )A. 5 【变式1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是________．题型二 由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布）【例2】在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X 元的概率分布列．【变式2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．知识点二1．条件概率及其性质对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．在古典概型中，若用n(B)表示事件B中基本事件的个数，则P(A|B)＝n(AB) n(B).2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，称A、B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．题型三 条件概率例1 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝ ________.(2)如图所示，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.练：某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．题型四 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布）例1 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求X ≥2”的事件概率．例2在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的概率分布．练习：一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的概率分布．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【误区解密】抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？例：某学校10个学生的考试成绩如下：（≥98分为优秀） （1）10人中选3人，求至多1人优秀的概率（2）用10人的数据估计全级，从全级的学生中任选3人，用X 表示优秀人数的个数，求X 的分布列练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄在[)30,40的人数； （Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5从，求[)50,60年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽到2人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[)50,60年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望.2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（Ⅲ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望及方差．。

离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。

离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。

离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。

其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。

离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。

2. 取值之间具有间隔或间距。

3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。

4. 概率之和为1。

离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。

3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。

其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。

总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。

掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。

高中数学概率与统计知识点总结概率与统计一、概率及随机变量的分布列、期望与方差1.概率及其计算概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用数值表示。

计算概率时，可以采用几个互斥事件和事件概率的加法公式。

如果事件A与事件B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。

如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则事件A1+A2+…+An发生的概率等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。

如果事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1-P(B)。

2.随机变量的分布列、期望与方差随机变量是指在随机试验中可能出现的各种结果所对应的变量。

常用的离散型随机变量的分布列包括二项分布和超几何分布。

二项分布指在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。

超几何分布指在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率为C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中m=min(M,n)，且n,N,M,N∈N*，称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从超几何分布。

2.条件概率及相互独立事件同时发生的概率条件概率是指在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

一般地，设A,B为两个事件，且P(A)>0，则P(B|A)=P(AB)/P(A)。

在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)=n(AB)/n(A)。

相互独立事件是指两个或多个事件之间互不影响，即其中一个事件的发生不会影响其他事件的发生。

如果A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)。

如果A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立。

3.独立重复试验与二项分布独立重复试验是指在一系列相互独立的试验中，每个试验的结果只有两种可能，即成功或失败。

在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为X~B(n,p)。

离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

随机变量及分布知识点(一)条件概率1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。

那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。

(二)事件的相互独立性1、互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 2、对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 3、互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么)(21n A A A P ⋅⋅⋅++＝)()()(21n A P A P A P ⋅⋅⋅++ 4、相互独立事件的定义：设B A ,为两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立（mutually in de p e n de nt ) . 事件A （或B ）是否发生对事件B （或A 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 5、相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 6、对于非独立事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+（三）离散型随机变量分布列1、随机变量：对于一项随机试验，会有多个可能产生的试验结果，则通过确定一个对应关系，使得每一个试验结果与一个确定的数相对应，在这种对应关系下，数字随着每次试验结果的变化而变化，将这种变化用一个变量进行表示，称这个变量为随机变量（1）事件的量化：将试验中的每个事件用一个数来进行表示，从而用“数”即可表示事件。

随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。

随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。

离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。

概率可以通过实验或理论分析得出。

在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。

离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。

3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。

如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。

离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。

期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。

标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。

在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。

它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。

例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。

这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。

另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。

二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。

连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。

概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。

高三数学第三册第一章『离散型随机变量的分布列』知识点高三数学第三册第一章『离散型随机变量的分布列』知识点一、离散型随机变量的分布列汇总1.离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示.(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，，xi，xn，X取每一个值xi(i=1,2，，n)的概率为P(X=xi)=pi，则称表Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.(4)分布列的两个性质①pi0，i=1,2，，n;②p1+p2++pn=_1_.2.两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中01，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．注意：一类表格统计就是通过采集数据，用图表或其他方法去处理数据，利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策，而离散型随机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格.第一行数据是随机变量的取值，把试验的所有结果进行分类，分为假设干个事件，随机变量的取值，就是这些事件的代码;第二行数据是第一行数据代表事件的概率，利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值.两条性质(1)第二行数据中的数都在(0,1)内;(2)第二行所有数的和等于1.三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列;(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列;(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列.二、例题解析1.抛掷均匀硬币一次，随机变量为().A.出现正面的'次数B.出现正面或反面的次数C.掷硬币的次数D.出现正、反面次数之和解析抛掷均匀硬币一次出现正面的次数为0或1.答案A2.如果X是一个离散型随机变量，那么以下命题中假命题是().A.X取每个可能值的概率是非负实数B.X取所有可能值的概率之和为1C.X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案D。