(完整word版)高中数学选修2-3第二章随机变量及其分布教案

《离散型随机变量的分布列》教科书引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，即所有随机事件发生的概率，那么如何通过随机变量来刻画这些规律？教科书通过掷骰子实验的例子来展示刻画的方法，并从中概括出离散型随机变量分布列的概念。

【知识与能力目标】会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

【过程与方法目标】认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

【情感态度价值观目标】认识概率分布对于刻画随机现象的重要。

【教学重点】离散型随机变量的分布列的概念。

【教学难点】求简单的离散型随机变量的分布列。

与教材内容相关的资料（一）复习引入： 1. 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，（或随着试验结果变化而变化的变量），那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母X 、Y 、ξ、η等表示。

2. 离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。

如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

（二）课堂设计注1：随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。

注3：若 是随机变量，则 （其中a 、b 是常数）也是随机变量 ． 3、古典概型:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等。

引例ξba +=ξη()mP A n=抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个值的概率是多少？解： 的取值有1、2、3、4、5、6则⑴列出了随机变量的所有取值． ⑵求出了的每一个取值的概率． 二、离散型随机变量的分布列1、设随机变量的所有可能的取值为 的每一个取值 的概率为，则称表格为随机变量 的概率分布，简称 的分布列． 注：1、分布列的构成⑴ 列出了随机变量 的所有取值． ⑵ ⑵求出了 的每一个取值的概率． 2、分布列的性质 ⑴⑵有时为了表达简单，也用等式表示 的分布列 2.概率分布还经常用图象来表示.ξ==)1(ξP ⋅⋅⋅=≥,2,1,0i p i 121=⋅⋅⋅++p p 6161616161==)4(ξP ==)2(ξP ==)3(ξP ==)5(ξP ==)6(ξP 61ξP126543616161616161123,,,,,,i nx x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ξ(1,2,,)i n =⋅⋅⋅i i p x P ==)(ξξξξP1x ix 2x ... (1)p 2p ip ······ξξξξξ(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===ξξ1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象。

§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。

2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。

3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。

所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。

2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。

互斥事件的概率加法公式。

3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。

6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。

三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。

常用表示。

2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。

四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。

（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。

（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。

（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。

（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。

变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。

例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。

五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。

普通滞中谋程标准实验教科书K忙料育出皈社课种載杆硏究斫中学豹学iT看怦H硏冗幵监中L'《事件的相互独立性》"♦教材分析j在概率论中，独立性也是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算，本节中引入独立性的概念主要是为了介绍二项分布的产生背景。

【知识与能力目标】理解两个事件相互独立的概念。

【过程与方法目标】能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

【情感态度价值观目标】通过对实例的分析，会进行简单的应用。

♦教学重难点【教学重点】独立事件同时发生的概率。

【教学难点】有关独立事件发生的概率计算。

广.课前准备'------- --------------------------与教材内容相关的资料（一）复习引入：探究活动：（1）甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A :甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B :乙掷一枚硬币，正面朝上（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A :从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B :从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题（1）、（2）中事件A、B是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题（1）、（2）中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考活动：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券” •事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A的发生不会影响事件B发生的概率.于是P ( B| A ) =P(B) , P (AB) =P( A ) P ( B |A ) =P (A) P(B)。

(二)课堂设计1相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果P ( AB ) = P ( A ) P ( B ), 则称事件A与事件B相互独立(mutually in depe ndent ).事件A (或B)是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立2•相互独立事件同时发生的概率：P(A B) = P(A) P(B)问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A，B同时发生，记作A B .(简称积事件)从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有5 4种等可能的结果同时摸出白球的结果有37 3 3 2种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率P(AB) =5疋4 103另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P(A) ，从乙坛子里摸出1个球,52得到白球的概率P(B)二―.显然P(A B) =P(A)卩(B)4这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件A1, A—,|H, A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A A— I|丨A n)二P(A) P(A—)祁P(A n)3、例题赏析：例1:某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动. 如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1) 都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码.解：(1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖结果互不影响, 因此A与B 相互独立•于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05 X 0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用( AB ) U( A B)表示•由于事件AB 与A B互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B)十P( A B)=P( A) P ( B)+ P ( A)P( B )=0. 05 X (1-0.05 ) + (1-0.05 ) X 0.05 = 0. 095.(3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用( AB ) U ( A B ) U ( AB)表示•由于事件AB , A B和A B两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P ( AB ) + P (A B ) + P ( A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2：甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9 ,求：(1) 2人都射中目标的概率；(2) 2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4) 2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B , A与B , A与B , A与B为相互独立事件，(1) 2 人都射中的概率为：P(A B) = P( A) P(B) = 0.8 0.9 =0.72 ,••• 2人都射中目标的概率是0.72 •(2)“ 2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中(事件A B发生)，另一种是甲未击中、乙击中(事件A B发生)根据题意，事件A B 与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：P(A B) P(A B) =P(A) P(B) P(A) P(B)= 0.8 (1 —0.9) (1 —0.8) 0.9 =0.08 0.18 =0.26• 2人中恰有1人射中目标的概率是0.26 •(3) (法1)：2人至少有1人射中包括“ 2人都中”和“ 2人有1人不中” 2种情况，其概率为P 二P(A B) [P(A B) P(A B)] =0.72 0.26 = 0.98 •(法2 ) :“ 2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,[来源:学.科.网]2个都未击中目标的概率是P(A B) = P(A) P(B)=(仁0.8)(1 _0.9) =0.02 ,• “两人至少有1人击中目标”的概率为 P =1_P(A ・B) =1 —0.02 =0.98 . (4)(法 1):“至多有1人击中目标”包括“有 1人击中”和“ 2人都未击中”，故所求概率为: P =P(A B) P(A B) P(A B) =P(A) P(B) P(A) P(B) P(A) P(B) = 0.02 0.08 0.18 =0.28 . (法2): “至多有1人击中目标”的对立事件是“ 2人都击中目标”， 故所求概率为 P =1 - P(A B) =1 - P(A) P(B) =1 -0.72 =0.28例3：在一段线路中并联着 3个自动控制的常开开关，只要其中有 1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概 率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件 A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法 公式，这段时间内 3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)二 P(A) P(B) P(C)=11 -P(A) 11 - P(B) 11 - P(C)丨-(1 -0.7)(1 -0.7)(1 -0.7) =0.027•••这段时间内至少有 1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1 -P(A B C) h -0.027 =0.973 .答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.三、课堂小结：师生共冋回忆本节的学习内容. 相互独立事件的概念 略。

第二章随机变量及其分布本章概览课标要求1．离散型随机变量及其分布列(1)在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．(2)通过实例(如彩票抽奖)，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．2．二项分布及其应用在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．3．离散型随机变量的均值与方差通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．4．正态分布通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图)，认识正态分布、正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．内容概述教学建议1．在教学过程中要交代引入随机变量的原因(章引言中)；2．通过与函数的比较加深对随机变量的理解；3．在介绍有关随机变量的概念过程中，重点在于概念的理解及应用，不宜引入过于复杂的计算，以免喧宾夺主；4．注意产生超几何分布与二项分布的背景差别，以帮助学生更好地理解两个模型以及两个事件间独立性的概念．超几何分布：从a个红球和b个黑球中，不放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”不相互独立(i≠j)；二项分布：从a个红球和b个黑球中，有放回摸出m个球中的红球个数，结果导致“第i次摸出红球”与“第j次摸出红球”相互独立(i≠j)．5．注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值(方差)是随机变量，具有随机性，而随机变量的均值(方差)是实数，没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差)．6．在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”的含义为：随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越接近于钟形曲线的离散化．课时安排全章共安排了4个小节，教学约需9课时，具体内容和课时分配如下(仅供参考)：2．1离散型随机变量及其分布列约2课时2．2二项分布及其应用约3课时2．3离散型随机变量的均值与方差约2课时2．4正态分布约1课时习题课约1课时2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量整体设计教材分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和分布列的一些知识．学习这些知识后，学生将能解决类似引言中的一些实际问题．随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中．随机变量就是建立了一个从随机试验结果的集合到实数集合的映射，这与函数概念在本质上(一种对应关系)是一致的．随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．离散型随机变量是最简单的随机变量，随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系．本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法．重点是怎样用数学的方法来研究随机事件(即先把随机事件映射成随机变量，建立随机变量X与随机事件发生的概率P之间的函数关系，用研究函数的方法来研究随机变量)，并在此过程中深刻体会和领悟随机变量在研究随机现象中的工具和桥梁作用．课时分配1课时教学目标知识与技能1．理解随机变量的意义；2．学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子；3．理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．过程与方法发展抽象、概括能力，提高解决实际问题的能力．情感、态度与价值观使学生感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学过程引入新课统计表明：商场内的促销活动可获得经济效益2万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益10万元，如果遇到雨天则带来经济损失4万元．假设国庆节有雨的概率是40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？为了解决类似问题，从今天开始学习本章内容——随机变量及其分布列．设计意图：设置悬念，营造一种神秘气氛，容易吸引学生注意力，调动学生学习兴趣，揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性，点出了本章内容．活动设计：复习回顾概率有关知识．概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量．随机试验是指满足下列三个条件的试验：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．(本部分可由教师提示、学生完成)提出问题：同学们能举出一些随机试验的例子吗？并说明该随机试验的所有可能结果．学情预测：学生容易举出抛硬币、掷骰子等试验，然后教师可根据例子实施引导、启发．活动结果：(以下为可能出现的例子)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示；某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以由0,1，…，10这11个数表示；从装有4个黑球，3个红球的篮子中任意拿出2个球，可能出现哪些情况？提出问题：这些随机试验，有哪些共同点？活动结果：随机试验中可能出现的每种结果都可以用一个数来表示．(由学生完成)探究新知提出问题：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？学情预测：此时有的学生会产生疑虑，不敢作答，教师根据学情引导．活动结果：抛一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．(也可用另外两个数如1、2分别表示正面向上和反面向上，通过准确、恰当的抽象，可使问题简单化，这正是数学的魅力所在)教师指出：在前面掷骰子和抛硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．(给出定义)定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．随机变量ξ或η的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不可能确定取何值．提出问题：随机变量和高一学习的什么概念有类似的地方吗？(函数或映射)活动结果：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．(学生为主，教师完善)教师：例如，从含有4个黑球3个红球的篮子中，任意抽取两个球，可能含有的红球数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其取值范围是{0,1,2}．提出问题：利用随机变量可以表达一些事件．例如{X＝0}表示“抽出两个黑球”，{X＝2}表示“抽出2个红球”等．你能说出{X<1}在这里表示什么事件吗？“抽出1个以上黑球”又如何用X表示呢？(学生基本能顺利完成)教师指出：红球数X是一个随机变量，其取值是0、1、2，可以一一列举(给出定义)．定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．提出问题：离散型随机变量的例子很多．例如某人一分钟内眨眼次数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0,1,2…；同学们还能举出哪些例子？学情分析：有的学生在举例时会错举出一个连续型随机变量来，借机发问，例如：提出问题：灯泡的使用寿命X是离散型随机变量吗？活动结果：灯泡的使用寿命X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X 不是离散型随机变量．定义3：连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．提出问题：同学们还能举出哪些例子？活动结果：如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值(或者其他)．教师指出：在研究随机现象时，有时可根据需要恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1 000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，寿命<1 000小时；1，寿命≥1 000小时. 与电灯泡的寿命X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．提出问题：同学们还能举出哪些离散型或连续型随机变量的例子？你能否总结出二者的区别与联系？活动结果：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出(由学生完成)．理解新知教师进一步指出：(1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷一枚硬币，ξ＝0，表示正面向上，ξ＝1，表示反面向上．(2)若ξ是随机变量，η＝aξ＋b ，a ，b 是常数，则η也是随机变量．(可通过拓展练习来说明)运用新知例1一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．解：(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或3,4,5.例2抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？解：因为一枚骰子的点数可以是1,2,3,4,5,6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．【变练演编】写出某用户的电话在单位时间内收到的呼叫次数η的可能值．解：η可取0,1，…，n ，….η＝i ，表示被呼叫i 次，其中i ＝0,1,2，….变式：一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X ，写出随机变量X 的可能值．解：X 可取1,2,3， (24)【达标检测】1．有下列问题：①某路口一天经过的车辆数为ξ；②某地半年内下雨的次数为ξ；③一天之内的温度为ξ；④某人一生中的身高为ξ；⑤射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示运动员在射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是( )A ．①②③⑤B ．①②④C ．①D ．①②⑤2．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P(ξ<4)＝0.3，则( )A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定3．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为( )A.1112B.3136C.536D.112答案：1.D 2.C 3.B课堂小结1．离散型随机变量、连续型随机变量的概念；2．随机变量ξ是关于试验结果的映射，即每一个试验结果对应着一个实数；3．随机变量ξ的线性组合η＝aξ＋b(其中a 、b 是常数)也是随机变量．补充练习【基础练习】1．写出下列各随机变量可能的取值：(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张，被取出的卡片的号数X.解：X ＝1,2,3， (10)(2)某一自动装置无故障运转的时间ξ.解：ξ取(0，＋∞)内的一切值．【拓展练习】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4 km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4 km ，则按每超出1 km 加收2元计费(超出不足1 km 的部分按1 km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费η也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？解：(1)依题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2.(2)由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．设计说明本节主要采用教师提出问题引导，学生思考归纳的形式，让学生经历概念的形成过程，避免了以往由老师叙述概念条文，然后讲解例题的教学模式，以实际问题为向导，引导学生分析问题、归纳问题的共性，提炼出随机变量的概念．备课资料备选例题：1．把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得－3分，其他结果得0分，用X表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的X值．解：2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；解：ξ可取1,2， (10)(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；解：X可取0,1,2,3,4.(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.解：X可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.Y可取2,4,6,8,10,12.(设计者：王宏东李王梅)。

离散型随机变量及其分布列辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版选修2-3 第二章离散型随机变量及其分布列同步教案教学目标知识目标：理解离散型随机变量的概念，并会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

能力目标：通过对离散型随机变量的学习认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学与生活的紧密联系，感受学习的乐趣。

教学重点与难点离散型随机变量的分布列的概念及求法。

教学过程（一）离散型随机变量知识梳理1．离散型随机变量的定义如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与之对应，则变量是样本点的实函数，记作．我们称这样的变量为随机变量．若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量。

2．离散型随机变量的表示方法离散型随机变量常用字母 X , Y，ξ，η，…表示．例题精讲【题型一、随机变量的表示方法】【例1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η【方法技巧】随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示，对于离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出。

【题型二、随机变量的表示意义】【例2】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？【方法技巧】在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．【题型三、随机变量应用题】【例3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【方法技巧】若ξ是随机变量，baba,,+=ξη是常数，则η也是随机变量巩固训练1．随机变量为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求的可能取值2.某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值3.随机变量X 是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y 是某城市1天之内的温度．随机变量ξ是某火车站 1小时内的旅客流动人数.这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )A ．只有X 和ξB ．只有YC ．只有Y 和ξD ．只有ξ（二）离散型随机变量的分布列知识梳理 1．分布列设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为()i iP x p ξ==，则称表ξ x1 x2 … xi …[来源:P P1[来源:] P2 … Pi …为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 .2．分布列的两个性质任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P1+P2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ .【方法技巧】一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k mC --===其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X1…mP0nM N Mn N C C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．【题型三、互斥事件的概率】【例3】 某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ 4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【方法技巧】 “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．。

第二章 随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量 学习目标：1.理解随机变量的意义2.学会区分离散型随机变量与非离散型随机变量3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当定义随机变量学习重点: 随机变量所表示试验结果的含义，并恰当定义随机变量学习难点: 理解随机变量的意义,区分离散型随机变量与非离散型随机变量 知识链接： 随机变量的概念 预习检查：1.定义:在随机实验中,随着________变化而变化的__________称为随机变量.2.表示:随机变量常用字母_____,_____,_____,_____等表示. 合作探究:任何随机试验的结果可以用实数表示吗?离散型随机变量的概念:定义:所有取值可以__________的随机变量,称为离散型随机变量. 例1.下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)2010年5月1日参观上海世博会的旅客人数. (2)2012年伦敦奥运会上中国取得的金牌数 (3)某人投篮10次投中的次数(4)2012年某天济南至北京的动车D36次列车到北京的时间.例2.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:(1)通常棉花纤维德长度在(10,60)记一根棉花纤维的长度为X,若规定棉花纤维的长度不小于25mm 的位优质棉,记变量Y=⎩⎨⎧≥251250纤维长度纤维长度＜;(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取2个,其中所含白球的个数ξ例3.指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)一个袋中装有4个白球和4个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;(2)郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.当堂检测1.抛掷均匀硬币一次,随机变量为 ( )A. 出现正面向上的次数B. 出现正面向上或反面向上的次数C. 掷硬币的次数D. 出现正、反面向上次数之和 2.10件产品中有4件次品,从中任取2件,可为随机变量的是 ( ) A. 取到产品的件数 B. 取到次品的件数 C. 取到正品的概率 D. 取到次品的概率3.电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间为η分,则η的所有可能取值为_______,每一个可能取值表示___________.4.下列变量中是离散型随机变量的是_______. ①某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X; ②连续不断射击,首次命中目标需要的射击次数X; ③将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X.5.袋中装有50个大小相同的球,其中记上0号的5个,记上n 号的有n 个(n=1,2,3…,9)现从中任取一球,记所取的球的号码是ξ(1)判断ξ是否是离散性随机变量?如果是,ξ取哪些值?如果不是,请说明理由.(2)说明ξ=5表示的试验结果.6.一个袋中有4个白球和3个红球,从中任取2个,则随机变量可能为 ( ) A.所取球的个数 B.其中含红球的个数 C.所取白球与红球的总数 D.袋中球的总数7.下列变量中,不是随机变量的是 ( )A. 一射手射击一次的环数B. 水在标准大气压下沸腾的温度C. 抛掷两枚骰子,所得点数之和D. 某电话总机在时间区间(0,t)内收到的呼叫次数课后作业8.写出下面随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:一袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋中随机取出3只球,被取出的球最大号码数ξ.9小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获胜得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,32,43,54且每个问题回答正确与否相互独立,用ξ表示小王所获奖品的价值,写出ξ的所有可能取值.学后反思：2.1.2 离散型随机变量的分布列 学习目标：1.理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念2.掌握离散型随机变量分布列的表示法和性质3.理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用 学习重点：理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念学习难点：理解两点分布和超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用预习检查:离散型随机变量的概率分布列1.定义:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n)的概率P(X=x i )=_______,以表格的形式如下,此表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的__________.为了表达简单,也用等式.P(X=x i )=_______,(i=1,2,…,n)表示X 的分布列.或者用图象直观表示.横坐标是___________,纵坐标为________.2.表示:离散型随机变量分布列可以用________、________、________表示.3.性质:①p i _________,i=1,2,3,…,n; ②∑=ni ip1=_________.思考探究:1.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率?2.离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是什么关系?两点分布与超几何分布1.两点分布:若随机变量X 的分布列具有 的形式,则称这样的分布列为两点分布列.如果随机变量X 的分布列为两点分布列,就称X 服从两点分布,而称p=__________为成功概率.2.超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k )=________________________,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n}且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N *称分布列为超几何分布列.如果随机变量X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量X 服从超几何分布. 思考探究：1分布列是两点分布列吗?合作探究例1.一袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X 表示取出球的最大号码,求X 的分布列.例2.设随机变量ξ的分布列P(ξ=5k)=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a 的值; (2)求P(ξ≥53)的值;(3)求P(101＜ξ＜107)的值.例3.从某医院的3名医生,2名护士中随机选派2人参加抗震救灾,设其中医生的人数为X,写出随机变量X 的分布列.当堂检测1.一盒中放有大小相同的红色,绿色,黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿球个数的一半,现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得-1分,试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列.2.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数(重根按一个计算),求ξ的分布列.3.设X 是一个随机变量,其概率分布列是 ，则q 的值是__________.4.设随机变量ξ的分布是P(ξ=k)=),4,3,2,1()1(=+k k k c其中c 为常数,求P （21＜ξ＜25）的值.5.若离散型随机变量的分布列为 试求出常数n,并写出X 的分布列.6.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽取3张,求至少有2张A 的概率(用组合数表示).课后作业７.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数, 则Ｐ(ξ＝１)等于 ( ) Ａ.０ Ｂ.21 Ｃ．31 Ｄ．32８.已知离散型随机变量的分布列为则k 的值为＿＿＿＿＿＿．９.某产品４０件,其中有次品３件,现从其中任取３件,求取出的３件产品的次品数X 的分布列．学后反思:2.2二项分布及其应用2.2.1 条件概率 学习目标：1.理解条件概率的定义2.掌握条件概率的两种计算方法3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 学习重点：条件概率的两种计算方法 学习难点：理解条件概率的定义 预习检查 条件概率1.定义:一般地，设A,B 为两个事件,且P(A)>0,称P(B │A)=_______为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率;其中P(B │A)读作“A 发生的条件下B 发生的概率”. 2.性质:(1) 0≤P(B │A)≤1;(2)如果B 和C 是两个互斥事件,则P(B ∪C │A)=________+__________. 思考探究:1.P(A │B) =P(B │A)吗?为什么?2 .已知P(B │A)=21, P(AB) =103,则P(A)=________.3. 试探究P(B │A) 与P(A B)的联系.合作控究例 1.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率是21,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为61,求出第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下第二次闭合后出现红灯闪烁的概率.例2.已知一个盒子中有6只节能灯,其中4只是不合格产品,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回,若已知第一次取到的节能灯是合格品,求第二次取到的也是合格品的概率.例3.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少能答对其中4道题即可通过;若至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.当堂检测1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为 ={1,2,3,4,5,6}.记事件A={2,3,5,},B={1,2,4,5,6},则P(A │B)= ( ) A.21 B.51 C.52 D.53 2.根据历年的气象资料统计,某地4月份刮东风的概率是31,既刮东风又下雨的概率是154,则在4月份刮东风的条件下,该地下雨概率是________.3.一个盒子内装有4个产品,其中3个一等品,1个二等品,从中取出两次,每次任取一个且不放回,设事件A 为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B │A).4.若B 与C 是互斥事件且P(B │A)=31, P(C │A)= 21,则P(B ∪C │A)=_________. 5.某种元件用满6000小时未坏的概率是43,用满10000小时未坏的概率是21,现有一个此种元件,已经用过6000小时未坏,则它能用到10000小时的概率为__________.6.下列关系式中,正确的是 ( )A. P(A │B)= P(B │A).B. 0＜P(B │A)＜1.C. P(AB)= P(A)· P(B │A).D. P(A ∩B │A)= P(B).7.四张奖劵中有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取,若已知第一名同学没有抽到中奖奖劵,则最后一名同学抽到中奖奖劵的概率是 ( ) A.41 B. 31 C. 21D.1 8.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂的产品合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 ( ) A.0.665 B.0.56 C. 0.24 D.0.285 课后作业 9.已知P(A │B)=73,P(AB)= 31则P(B)=________. 10.一个家庭中有两个小孩,求: (1)该家庭中有一个是女孩的概率; (2)两个都是女孩的概率;(3)已知其中一个是女孩,另一个也是女孩的概率.11.某生在一次口试中,共10题供选择,已知该生会回答其中的6题,随机从中抽取5题供考生回答,答对3题及格,求该考生在第一题不会答的情况下及格的概率.五、学后反思2.2.2 事件的相互独立性学习目标：1.通过实例了解相互独立事件的概念2.相互独立事件与互斥事件之间的区别3.掌握相互独立事件概率的乘法公式4.应用公式解决实际问题，掌握解决概率问题的步骤学习重点：相互独立事件概率的乘法公式；相互独立事件与互斥事件之间的区别；学习难点：应用公式解决实际问题，掌握解决概率问题的步骤预习检查事件的相互独立性设A,B为两个事件,若___________,则称事件A与事件B相互独立.思考探究:1.事件A与B相互独立是P(AB)= P(A)P(B)成立的充要条件吗?2.如何判断两个事件是否相互独立事件?相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么事件______与________,________与__________,_______与_________也是相互独立的.思考探究:1.相互独立事件与互斥事件的概率等性质有哪些异同?2.两人打靶,甲击中概率为0.8,乙击中的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都击中靶的概率是__________.合作探究例1.一个家庭中有3个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一女孩}试判断A与B是否相互独立,并说明理由.例2.各国多家医疗研究机构在研制一种新型疫苗,现有甲、乙、丙三个独立的研究机构,已知他们在一定的时期内各自独立研制出疫苗的概率分别是41，31，52求:(1)这三家机构都研制出疫苗的概率;(2)这三家机构都没有研制出疫苗的概率;(3)这三家研究机构研制出疫苗的概率.例3.设三台机器甲、乙、丙是否需要照看,相互之间没有影响.已知在某一小时内,机器甲、乙都需要照看的概率是0.05,机器甲、丙都需要照看的概率为0.1,机器乙、丙都需要照看的概率是0.125.(1)求甲、乙、丙三台机器在这一个小时内需要照看的概率分别是多少?(2)计算在这一小时内至少有一台机器需要照看的概率是多少?当堂检测1.若P(A)=32,P(B)=21且P(AB)=31,则事件A与B的关系是( )A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与B对立C.事件A与B独立D. 事件A与事件B既互斥又独立2.从一副52张扑克牌(去掉大小王)中任抽取一张,设事件A=“抽到K”,事件B=“抽到红牌”,事件C=“抽到J”,判断下列事件是否独立?是否互斥?是否对立?为什么?(1) 事件A与B;(2) 事件A与C.3.某气象站预报天气的准确率是0.8,则在两次预报中恰有一次准确的概率是( )A. 0.96B. 0.32C. 0.64D. 0.164.一项工程,甲公司承包的概率是51,乙公司承包的概率是31,丙公司承包的概率是41,则这项工程被甲、乙、丙三个公司中的一家承包的概率是__________.5.甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0.7,计算: (1)两人都投中的概率; (2)至少有一人投中的概率.6.下列事件是独立事件的是 ( )A.一枚硬币掷两次,E=“第一次为正面”,F=“第二次为反面”B.袋中有3个红球,2个白球,2个黑球,不放回地摸两球,E=“恰有一个白球”,F=“恰有2个白球”C.掷一枚骰子,E=“出现点数为奇数”,F=“出现点数为偶数”D.事件E=“人能活到20岁”,F=“人能活到50岁”7.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A 表示“第一次摸到白球”,用B 表示“第二次摸到白球”,则A 与B 是 ( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件8.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中7次,若两人同时射击一目标,则他们同时中靶的概率是 ( ) A.2514 B. 2512 C. 43 D.53 9.在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹),由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别为0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率为 ( )A.0.998B.0.046C.0.002D.0.954 课后作业10.要生产一种产品,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05,从生产的产品中各任取一件,求:(1)至少有一件废品的概率; (2)恰有一件废品的概率; (3)无废品的概率;(4)至多有一件废品的概率.12.某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率:语文为0.9,数学为0.8,英语为0.85,问一次考试中该生(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少?学后反思2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标：1.理解n 次独立重复试验的模型机意义2.理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题3.掌握独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 学习重点：n 次独立重复试验的模型机意学习难点：独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法 预习检查n 次独立重复试验:一般地,在_________下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.思考探究：1.如何理解n 次独立重复试验的概念中的独立的含义? 二项分布的概率:一般地,在n 次独立重复试验中,设事件A 发生的次数为X,在每次试验中事件A 发生的概率为p,则P(X=k)=_________,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X 服从二项分布,记作____________称p 为_____________. 思考探究:1.二项分布与超几何分布有何联系?2.二项分布与两点分布有何联系?3.若随机变量X~B(5,21),则P(X=3)=__________. 合作探究例1.甲乙两位射击运动员各进行3次射击,甲每次射击击中目标的概率是0.90,乙每次射击击中目标的概率是0.95,求:(1)甲恰好击中目标2次的概率; (2)甲至少击中目标2次的概率; (3)乙恰好比甲多击中2次的概率,例2.一名学生骑自行车去上学,从他家到学校的中途有6个交通岗,假设在各个交通遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数,求ξ的分布列; (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数,求η的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.例3.根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API 数据按照区间[0,50,],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图所示. (1)求直方图中x 的值;(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.(结果用分数表示,已知57=78125, 27=128,573365,9125123912581825318257365218253⨯==++++)当堂检测 1.有6粒种子,每粒种子发芽的概率都是96%，则在6粒种子中恰有5粒发芽的概率是 ( )A.0.965×0.04 B.0.960.×045C.56C ×0.965×0.04 D. 56C ×0.960.×0452.一项试验每次试验成功的概率都是32,且各次试验相互独立,那么在5次试验中有3次成功的概率是__________.3.已知X~B(n,),53且P(X=1)=62596,则n=__________, 4.甲射击命中目标的概率是21,乙射击命中目标的概率是52,丙射击命中目标的概率是32.现在三个人同时射击同一个目标,则目标被命中的概率是________.5.某次知识竞赛规则如下:在主办方设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_________.6.一射手对同一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为8180,则该射手一次射击的命中率为 ( ) A. 41 B. 31 C. 52 D. 327.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是 ( ) A.[0.4,1] B.(0,0.4] C.[0.6,1] D.[0.6,1) 8.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,P)，若P （ξ≥1）=,95则P （η≥2）=___________. 课后作业9.某种试验每次试验成功的概率均为32,每次试验相互独立,那么在6次试验中4次成功概率为____(用分数表示).10.某气象站天气预报的准确率为80%.试计算; (1)3次预报中恰有2次准确的概率; (2)3次预报中至少有2次准确的概率.10.在一次数学考试中,第4题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选中做一题.设4名考生做这两题的可能性均为21. 求:(1)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率;(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为X 个,求X 的分布列.四、高考真题体验:（选做题） 1.(2010·江西高考)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在10箱各任意抽查一枚;方法二:在5箱各任意抽查两枚。

高中数学选修2——3第二章随机变量及其分布离散型随机变量分布列复习课教学设计广州市西关培英中学数学科钟志晞【教学背景分析】1．学情分析学生已基本对选修2-3第二章《随机变量及其分布》中的离散型随机变量的概念，如何求离散型随机变量分布列，二项分布列的概念及其应用、离散型随机变量的均值与方差、和正态分态的概念都有了一定程度的掌握，但对分布列的性质还不能很好的理解和应用，故拟定通过本课加强学生对分布列性质的掌握和应用。

2．教学重点（1）通过分布列计算随机事件的概率；（2）通过已知分布列求与之相关的另一随机变量分布列。

3．教学难点（1）确定随机变量的取值范围；（2）计算相关随机事件的概率。

4．教学方式“四合一”主体学习模式。

5．教学手段多媒体辅助教学手段6．技术设备计算机，屏幕，实物投影仪，黑板，《离散型随机变量分布列复习课学案》【教学目标设计】1．知识与技能（1）离散型随机变量的分布列、随机变量ξ的取值范围及取这些值的概率、分布列的两个基本性质；（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；（3）能根据分布列求出某事件的概率；（4）培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力。

2．过程与方法（1）通过学生自主独立思考，解决一些较容易的问题；（2）帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习.3．情感、态度与价值观（1）优化学生的思维品质；（2）通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识；（3）充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识。

【教学过程】一、 复习：1．展示要点回顾的幻灯片： （要点回顾：1．根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：（1）n i p i ,,2,1,0 =≥；（2）∑==ni i p 11） 【设计意图】唤起学生对已学知识的记忆。

2．展示学案中要点自测题1，2题的幻灯片。

A 1 B221±C 221+D 221-求出随机变量2X Y =的分布列。

2．3．1离散型随机变量的数学期望教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ1 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…称这样的随机变量ξ记作g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ4 5 6 7 8 9 10 P0.020.040.060.090.280.290.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． 三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η 他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E 例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失． 采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是， EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 123456P6161 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2； (Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元） 故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ的概率分布为所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E（a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业： 七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。

人教版高中选修2-3第二章随机变量及其分布课程设计1. 课程简介本章主要讲解随机变量的概念及其分布，包括离散型和连续型随机变量，常见的分布如二项分布、正态分布等。

该课程适用于高中选修2-3课程学习，需要学生掌握基本的概率统计方法和数学知识。

2. 教学目标本章课程教学目标如下：•理解随机变量的概念及其特点；•掌握离散型随机变量及其分布，例如二项分布、泊松分布等；•掌握连续型随机变量及其分布，例如正态分布、指数分布等；•学会应用概率统计方法进行问题求解。

3. 教学重点和难点本章课程教学重点和难点如下：•随机变量的概念和特点；•离散型和连续型随机变量的概念和特点；•常见的离散型和连续型随机变量的分布特征和应用。

4. 教学内容及时间安排本章课程教学内容及时间安排如下：教学内容时间安排随机变量的概念和特点 1 课时离散型随机变量及其分布 2 课时连续型随机变量及其分布 2 课时常见随机变量的分布及应用 1 课时5. 教学方法本章课程教学采用以下方法：•讲授：通过讲解理论和解题方法，让学生掌握基本知识和应用能力；•课堂练习：通过课堂练习，帮助学生巩固知识和提高解题能力；•课前预习：督促学生在课前预习，提前掌握相关知识，利于课堂提问和交流。

6. 学生评价方式本章课程学生评价方式包括以下几个方面：•课堂表现：包括听课态度、课堂提问和参与度等；•课后作业：针对每一节课的作业，包括单项选择题、计算题和应用题等；•期中考试：对本章节进行考核，包括知识点的理解和应用能力的检验；•期末考试：对本章节进行复习和总结，综合考核学生的能力。

7. 教学资源本章课程教学资源包括以下几个方面：•人教版高中数学选修2-3教材及相关资料；•草稿纸、笔、计算器等学习工具；•电脑投影仪及相关软件等教学设备。

8. 总结通过本章课程的学习，学生可以理解和掌握随机变量的概念及其分布特征，掌握基本的概率统计方法，并能够应用概率统计方法进行问题求解。

第二章 随机变量及其分布 2．1．1离散型随机变量第一课时思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．定义1：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable )．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．思考2：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？定义2：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….思考3：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量． 在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η解：(1) ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5（2）η可取0，1，…,n ，…η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点例3 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③ ２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3Pξ<=，则（ ）A ．3n =；B ．4n =；C ．10n =；D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．1124.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型随机变量的概念 随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量2． 1．2离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two 一point distribution)，而称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布又称0一1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<<p ，1=+q p ．4. 超几何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列； （2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。

离散型随机变量及分布列2.1.1离散型随机变量【教学目标】1．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果．2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是连续型随机变量．【教学重点难点】教学重点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解．教学难点：随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的概念的理解【学前准备】：多媒体，预习例题离散型随机变量及其分布列【教学目标】知识目标：理解随机变量、离散型随机变量的概念；能力目标：通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；情感目标：通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”【教学重难点】理解离散型随机变量【学前准备】：多媒体，预习例题说，这种随机试验的结果都可以用一个变量来表示在产品检验的随机试验中，结果也可以用“次品数”这个变量表示如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ε、η等表示例 1 如果用表示抛掷一枚硬币的结果，出现“正面”记为1，出现“反面”记为0，则是一个可以取0和1两个可能值的随机变量。

例 2 如果用表示抛掷一颗骰子出现的点数，则是一个可以取1，2，…，6六个可能值的随机变量。

例3如果用表示在件产品中不合格品的件数，或在次射击时命中目标的次数，则是一个可以取个可能值0，1，2，…，的随机变量。

3、随机变量和函数的关系4、离散型随机变量的概念同行；能的，并且不只一个；恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果个随机试验，为了方便起见，也简称试验量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只中，函数量机变量的概念中，随机变量试验结果例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它通常我们用ε来表示这个随机试验的结果： ε=0，表示正面向上；ε=1，表示反面向上如果随机变量的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型随机变量。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《离散型随机变量》◆教材分析教科书以学生熟悉的掷骰子实验和掷硬币实验为例引入随机变量的概念。

◆教学目标【知识与能力目标】通过学习“杨辉三角与二项式系数的性质”这一节，使学生掌握二项式系数的对称性、递推性、增减性与最大值和各二项式系数的和等性质及应用这些性质解决简单的数学问题。

【过程与方法目标】①通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生体会应用由特殊到一般进行归纳、由一般到特殊进行赋值等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.②通过从函数的角度、数列的角度研究二项式系数的性质，使学生建立知识的前后联系，培养学生的观察能力和归纳推理能力。

【情感态度价值观目标】通过“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发民族自豪感. 激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

【教学重点】二项式系数的性质（对称性、递推性、增减性与最大值和各二项式系数的和。

）【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法（由特殊到一般、由一般到特殊）的渗透。

预习自测（一）复习引入：1、什么是随机事件？什么是基本事件？在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

试验的每一个可能的结果称为基本事件。

2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。

如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

它被称为一个随机试验。

简称试验。

（二）课堂设计◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程思考1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？正面向上 1 反面向上 0又如：一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以用数字表示吗？问：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。

本章整合知识网络专题探究专题一 典型的离散型随机变量分布列离散型随机变量的分布列完全描述了随机变量所表示的随机现象的分布情况，是进一步研究随机变量的数字特征的基础，对随机变量分布列的求解要达到熟练的程度，求离散型随机变量的分布列应注意以下几个步骤：(1)确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；(2)尽量寻求计算概率时的普遍规律；(3)检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【例1】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽3次，每次取1球． 求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列． 思路点拨：(1)为二项分布；(2)为超几何分布．解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X 可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均为15，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125； P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151×⎝⎛⎭⎫452＝48125； P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫451＝12125； P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153×⎝⎛⎭⎫450＝1125. 因此，X 的分布列为(2)不放回抽样时，取到的黑球数Y 可能的取值为0,1,2，且有P (Y ＝0)＝C 02C 38C 310＝715；P (Y ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (Y ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此，Y 的分布列为专题二 独立事件与二项分布是高考的一个重点，独立事件是相互之间无影响的事件，P (AB )＝P (A )P (B )是事件A ，B 独立的充要条件．二项分布实质是独立事件的一类具体情况．n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生k 次的概率P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1，2，…，n . 【例2】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率．思路点拨：本题解题的关键是明确ξ的取值及ξ取不同值时所表示的试验结果，明确ξ的取值后，利用相互独立事件的概率公式计算即可．解：(1)如果三个题目均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)． 如果三个题目均答对，得10＋10＋20＝40(分)． 如果三个题目一对两错，包括两种情况：①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)； ②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)． 如果三个题目两对一错，也包括两种情形；①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)； ②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)． 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192； P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以，ξ的分布列为ξ的期望为E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负数的概率为 P (ξ≥0)＝1－P (ξ＜0)＝1－0.016＝0.984. 专题三 离散型随机变量的期望与方差期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散程度，二者的联系密切，现实生产生活中应用广泛．离散型随机变量的期望与方差是概率统计知识的延伸，在实际问题特别是风险决策中有着重要意义，因此在高考中是一个热点问题．求离散型随机变量X 的期望与方差的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能的全部取值； (2)求X 取每个值的概率或求出函数P (X ＝k )； (3)写出X 的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E (X )；(5)由方差的定义，求D (X )，若X ～B (n ，p )，则可直接利用公式求，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【例3】某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．思路点拨：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，分别求出P (A )，P (B )，P (C )，则代表队答对此题即只要有一个答对即可，可借助其对立事件来解．根据题意问题，(2)符合二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，直接利用二项分布均值公式求均值． 解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23，又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－38×⎝⎛⎭⎫1－23＝9196. (2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，9196，∴E (ξ)＝10×9196＝45548.而η＝20ξ－10×(10－ξ)＝30ξ－100， ∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184.专题四 正态分布的实际应用对于正态分布问题，在新课程标准中的要求不是很高，只要求同学们了解正态分布中的最基础的知识．但由于正态分布中体现了数形结合的重要思想，一些结合图象解决某一区间内的概率问题又成为热点问题，这就需要同学们熟练掌握正态分布的形式，记住正态总体在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．【例4】在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的同学有17人．试计算该班同学中成绩在90分以上的同学有多少人？思路点拨：依题意，由80～85分同学的人数和所占百分比求出该班同学总数，再求90分以上同学的人数．解：∵成绩服从正态分布N (80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85)内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x名同学，则x×34.13%＝17.解得x＝50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.44%.∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.72%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．。

课题：离散型随机变量及分布列一、教学内容分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第二课时．引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，及所有随机事件发生的概率．离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．对随机变量的概率分布的研究，实现了随机现象数学化的转化．学生在第一课时已经学习了“离散型随机变量”，对离散型随机变量的概念有了一定的认识．了解到建立从随机试验结果到随机变量的映射的目的是将实际问题数量化，便于用数学工具更好地研究问题，进一步体会数学建模的思想. 教师的重要作用就在于培养学生“数学地”观察事物，对现象或问题“数学地”思考，进而合理地量化和转化，把问题“数学化”，用数学的思想方法加以解决．本节课要研究随机变量所表示的随机事件的概率分布情况，即建立“离散型随机变量的分布列”这一数学模型. 离散型随机变量和其对应的概率之间是一种函数关系，因此可以类比函数来研究. 教师引导学生用数学的思维分析问题，用数学的思想方法解决问题. 通过类比函数的表示方法，首先对三个具体实例进行表示，获得对“离散型随机变量的分布列”模型的初步认识，再从这些具体实例中抽象概括出离散型随机变量的分布列的一般定义并进一步探索性质. 在概念得出的过程中，可以培养学生的抽象概括能力. 在此基础上学习两点分布等特殊的分布列，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，能够应用分布列解决实际问题．在实际问题的解决中，可以培养学生的数学建模能力.因此，本节课的教学重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，理解两点分布的模型及其应用．二、教学目标设置1．通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量的表示方法；探索离散型随机变量的性质．2．通过学生的自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力．3．通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法. 在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学解决一些实际问题.4．通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感．经历数学建模的过程并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．三、学生学情分析（一）学生程度我所授课的对象是天津市实验中学的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．虽然已经经历了概率的学习，但是对随机变量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强．（二）知识层面1．学生已经学习过概率的知识并掌握了计数原理；2．掌握了离散型随机变量的定义．（三）能力层面1．具有一定的数学抽象的能力；2．具有一定的数学建模的基础．根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主利用古典概型计算概率的公式完成求基本事件的概率．在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助．教学难点：理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法．2．本节教学内容的脉络是：复习旧知，引入新课——研究实例，抽象概括——探索性质，辨析概念——数学建模，两点分布——实际应用，解决问题——课堂小结，反思提升.首先对上节课已经学习的随机变量的概念加以回顾，并进一步提出后续问题，即“我们更关心随机事件发生的可能性有多大，即随机变量取不同值的概率分布情况是怎样的”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以三道实际问题“掷骰子”、“掷硬币”、“摸次品”为背景，启发学生寻求解决问题的方法．类比函数的表示方法，研究离散型随机变量分布列的表示方法，进而抽象概括随机变量分布列的概念；探索离散型随机变量的性质，并辨析概念；通过举例，掌握两点分布的分布列模型及其应用；在解决实际问题的过程中，使学生加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系.利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法.3．在探索两点分布和解决实际问题的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，借助图形计算器等信息技术手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持完成调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会数学抽象、数学建模思想，并能体验成功的喜悦.五教学过程分析教学环节创设情境——概念形成——概念深化——知识应用——总结反思—达标检测附：板书设计。