2015.4.19数学每日一题配题(立体几何12道)AC=BC=证明, OE AB=V=BAD=BM= : BC⊥AD=4, BD=4PAD; : V=1.[解析] (1) 证明: 由题设知BC⊥CC1, BC⊥AC, CC1∩AC=C, 所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1, 所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°, 即DC1⊥DC.又DC∩BC=C, 所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1, 故平面BDC1⊥平面BDC.(2) 设棱锥B-DACC1的体积为V1, AC=1.由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1, 所以(V-V1) ∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.2. [解析] (1) 证明: 连结AC, A1C1.则BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, 所以AA1⊥BD.由于AA1∩AC=A, 所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知, BD⊥EC1.(2) 设AA1的长为h, 连结OC1.在Rt△OAE中, AE=, AO=,故OE2=() 2+() 2=4.在Rt△EA1C1中, A1E=h-, A1C1=2,故E =(h-) 2+(2) 2.在Rt△OCC1中, OC=, CC1=h, O=h2+() 2.因为OE⊥EC1, 所以OE2+E =O, 即4+(h-) 2+(2) 2=h2+() 2, 解得h=3, 所以AA1的长为3.3.[解析] (1) 证明: 因为∠DAB=60°, AB=2AD, 所以由余弦定理得BD=AD.从而BD2+AD2=AB2, 故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD, 所以BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD.(2) 如图, 作DE⊥PB, 垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD, 则PD⊥BC.由(1) 知BD⊥AD, 又BC∥AD, 所以BC⊥BD.故BC⊥平面PBD, BC⊥DE.则DE⊥平面PBC, 即DE为棱锥D-PBC的高.由AD=1, AB=2AD, 知AB=2,所以BD=.又PD=1, 所以PB=2.根据DE·PB=PD·BD得DE=.即棱锥D-PBC 的高为.4.[解析] (1) 证明: 因为PH是四棱锥P-ABCD的高,所以AC⊥PH. 又AC⊥BD, PH, BD都在平面PBD内,且PH∩BD=H, 所以AC⊥平面PBD, 又AC⊂平面PAC,故平面PAC⊥平面PBD. (4分)(2) 因为ABCD为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD, AB=, 所以HA=HB=.因为∠APB=∠ADB=60°,所以PA=PB=, HD=HC=1.可得PH=, (8分)等腰梯形ABCD的面积S=AC·BD=2+.所以四棱锥的体积V=×(2+) ×=. (12分)5. [解析] (1) 证明: 由已知得△ABC≌△DBC. 因此AC=DC.又G为AD的中点, 所以CG⊥AD.同理BG⊥AD, 因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD, 所以EF⊥平面BCG.(2) 在平面ABC内, 作AO⊥CB, 交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD, 知AO⊥平面BDC.又G为AD中点, 因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中, AO=AB·sin 60°=, 所以V D-BCG=V G-BCD =·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.6.[解析] (1) 证明: 如图, 连结OB, 因为ABCD为菱形, O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=, 且∠OBM=, 所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos =.所以OB2=OM2+BM2, 故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD, 所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM, PO都垂直, 所以BC⊥平面POM.(2) 由(1) 可得, OA=AB·cos∠OAB=2·cos =.设PO=a, 由PO⊥底面ABCD知, △POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形, 故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM, 在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos =.由于MP⊥AP, 故△APM为直角三角形, 则PA2+PM2=AM2, 即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去), 即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB =·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO =·S四边形ABMO·PO=××=.7.[解析] (1) 连结AD1, 由ABCD-A1B1C1D1是正方体, 知AD1∥BC1, 因为F, P分别是AD, DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ, 且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2) 如图, 连结AC, BD, 则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, 可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C, 所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1, 所以BD⊥AC1.因为M, N分别是A1B1, A1D1的中点, 所以MN∥BD, 从而MN⊥AC1. 同理可证PN⊥AC1. 又PN∩MN=N, 所以直线AC1⊥平面PQMN.8.[答案] (答案详见解析)[解析] (1) 如图, 在平面ABC内, 过点P作直线l∥BC, 因为l在平面A1BC外, BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知, l∥平面A1BC.因为AB=AC, D是BC的中点,所以BC⊥AD, 则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC, 所以AA1⊥直线l.又因为AD, AA1在平面ADD1A1内, 且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1. (7分)(2) 过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC, 所以DE⊥AA1.又因为AC, AA1在平面AA1C1C内, 且AC与AA1相交,所以DE⊥平面AA1C1C.由AB=AC=2, ∠BAC=120°, 有AD=1, ∠DAC=60°,所以在△ACD中, DE=AD=,又=A1C1·AA1=1,所以==DE ·=××1=.因此三棱锥A1-QC1D 的体积是. (12分)9.(1) 证法一: 取PA的中点H, 连结EH, DH.因为E为PB的中点, 所以EH∥AB, EH=AB.又AB∥CD, CD=AB,所以EH∥CD, EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD, CE⊄平面PAD,因此, CE∥平面PAD.证法二: 连结CF.因为F为AB的中点,所以AF=AB.又CD=AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2) 因为E, F分别为PB, AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F, EF⊂平面EFG, FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M, N分别为PD, PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN. 10.(1) 证明: 在△ABD中,∵AD=4, BD=4, AB=8, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2) 当点M位于线段PC靠近点C的三等分点处时, PA∥平面MBD.如下: 连结AC, 交BD于点N, 连结MN.∵AB∥DC, AB=2CD, ∴四边形ABCD是梯形,CN∶NA=1∶2.又∵CM∶MP=1∶2,∴CN∶NA=CM∶MP, ∴PA∥MN,∵MN⊂平面MBD, PA⊄平面MBD, ∴PA∥平面MBD.(3) 过点P作PO⊥AD于O,则PO⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形, ∴PO=4×=2.在Rt△ADB中, 斜边AB 上的高为=2, 此即为梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD =×2=12. ∴V P-ABCD =×12×2=24. 11.[解析] (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又AC⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由正(主)视图可得,在△PAC中,PA=AC=4,D为PC的中点,所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,所以AD⊥平面PBC.(2)由侧(左)视图可得BC=4,由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积,所以所求三棱锥的体积V=××2×2×4=.(3)取AB的中点O,连结CO并延长至Q,使得CQ=2CO,点Q即为所求.连结OD,PQ,因为O为CQ的中点,D为PC的中点,所以PQ∥OD,因为PQ⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,连结AQ,BQ,四边形ACBQ的对角线互相平分,所以四边形ACBQ为平行四边形,所以AQ=BC=4,又PA⊥平面ABC,所以PA⊥AQ,所以在直角△PAQ中,PQ==4.12. [解析] (1)证明:如图,连结AC、BD交于点F,则F为BD的中点,连结NF.∵N为线段PB的中点,∴NF∥PD且NF=PD,又EC∥PD且EC=PD,∴NF EC,∴四边形NFCE是平行四边形,∴NE∥FC,即NE∥AC,又PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.∴NE⊥PD.(2)该简单组合体可看成是由三棱锥P-ABD和四棱锥B-PDCE组合而成的.∵矩形ABCD的周长为10,设AB=x(0<x<5),则CD=x,AD=BC=5-x.∴V P-ABD =S△ABD·PD=××AD×AB×PD= (5-x)x.∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.又∵BC⊥CD,PD∩CD=D,∴BC⊥平面PDCE,∴V B-PDCE =××(CE+PD)×CD×BC=××3·x·(5-x)= (5-x)x,∴简单组合体的体积为V=V P-ABD+V B-PDCE =x(5-x)=-+.∵0<x<5,∴当x=时,该简单组合体的体积最大,最大值为.。
