2006年全国初中数学竞赛(海南赛区)(含答案)

2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） （A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21+=m ，21-=n ，且)763)(147(22--+-n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2 （D ）h >2 4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+ （D ）23+（第5题图）二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a =2005．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于 面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数， 且b 不能被任何质数的平方整除，则bca -的值 等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a a ，则[]a 10的值等于．([]x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．已知abx =，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312-<<-x ． （1） 试写出一个满足条件的x ； （2） 求所有满足条件的x ．（第7题图）ABD G12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b ① 542--=a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．（第13题）C14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷一二三总分题号(1—10) (11—18) 19 20得分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1. 若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是A. 正数B. 非正数C. 非负数D. 负数2．已知(a+b)2=8，(a-b)2=12，则a b的值为A．1 B．-1 C．4 D．-43．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为1 / 42 / 4 A ．20% B ．50% C ．70% D ．80%5．已知-=x ××，那么x 的值是 A ．B ．C ．D ．6. 一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成. 现两队联合承包，那么完成这项工程需要 A. ba +1天 B.（ba 11+）天 C.ba ab+天 D.ab1天7．在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是 A. d =1B. d =5C. d =7D. 1≤d ≤78．如图1，在直角梯形ABCD 中， AB ∥CD ，∠ABC =90°，动点P 从点B 出发，沿B →C →D 的线路匀速运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是 A ．3B ．4C ．5D ．69．如图3，C 是⊙O 外一点，CA 、CB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，P 是上一点，若∠C =x °，则∠APB 的度数是 A ．x °B ．(90-2x )° C ．(90-x )° D ．(180-x )°BAOC图3Px ° m BAC 图4FEDyxO 25ABC DP3 / 410.如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使 点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是 A ．53B ．43 C ．32 D ．75 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，∠QPO =150°，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 ．12．点A ，B 是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是-4，5322-+x x ，且点A 、B 到原点的距离相等，则x 的值为 ．13．50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为 人．14．已知3122=+xx ，且x ＜0，则x x 1+的值是 ． 15．设c ＜b ＜0＜a ，a +b +c =1，a c b M +=，bca N +=，cb a P +=，则M ,N ,P 之间的关系是 ．16．如图5，已知矩形ABCD ，AB =2，BC =3，MB =MC ，则点D 到AM 的距离为 ． 17．如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，∠B :∠A =1:2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 是直线MN 上的一点，则PC +PD 的最小值为 ．CBDA图5MCBDA图6M N P CBDA图7PQ 图2图14 / 418．如图7，在平行四边形ABCD 中，P 为BC 上任一点，连结DP 并延长交AB 延长线于Q ，则BQABBP BC= ． 三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19．如图8，△ABC 是边长为1的等边三角形，P 是AB 边上的一个动点（P 与B 不重合），以线段CP 为边作等边△CPD （D 、A 在BC 的同侧），连结AD ． （1）判断四边形ABCD 的形状，并给予证明；（2）设BP =x ，△PAD 的面积为y ，求出y 关于x 的函数关系式，并求出△PAD 面积的最大值及取得最大值时x 的值．20．某单位欲购买A 、B 两种电器．根据预算，共需资金15750元．购买一件A 种电器和两件B 种电器共需资金2300元；购买两件A 种电器和一件B 种电器共需资金2050元．（1）购买一件A 种电器和一件B 种电器所需的资金分别是多少元？（2）若该单位购买A 种电器不超过5件，则可购买B 种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A 、B 两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4000元；其中政府对A 、B 两种电器补贴资金分别为每件100元和150元．请你通过计算求出有几种购买方案？CBDA图8P。

选择题1.C具体方法：19+4*9=552.C具体方法：不明3.B具体方法：因为平行，且左右对称，所以原点到三角形斜边与y轴的交点就是高h，所以有y=x, 又因为题目有y=x的平方，解方程组有x=1,x=o（舍去），所以斜边是2，h=1。

4.B具体方法：把4边形剪成62边形，要剪58次，而且剪出来的都是3角形，3角形要剪成62边形要59次，所以总共要剪58+59*33=20055.D具体方法：不明，不过可自己画一幅精确的图去量出来（迫不得已啊……）6. 5013具体方法：把已知的两式相加得b+c=4011,因此只需讨论a的最大值，因为a＜b ，所以容易知道a=1002所以最大值为1002+4011=50137.—20/3具体方法：因为正三角形面积为1，可求出3边的值，根据正三角形底边的正方形的边与底边的比值可以求出正方形的一边，接着求出正方形面积为28×根号3—48，因此可求出a=28,b=3,c=48,接着把它们分别代入就求得了8.104具体方法：先求出他们相隔400米时的时间，因为在这之前，他们不可能走在同一条线上，接着当他们相隔400时再向前拐弯，就一定是走在同一条线上，所以求出当他们相隔400米时，甲刚好走了12.5圈所以甲走了13圈时，就跟乙走在同一条线上，所以可求出时间为13×（400÷50）=104 9.6具体方法：根据题意得（1—11/30）＜a＜（1—12/30），求得0.6 ＜a＜0.633……，所以[10a]=610.282500具体方法：比较抽象麻烦，就不具体说明了，方法是用像根号的那个除法，就是小学2年级学的那种做除法的那种方法，一个个推出a,b,c,d,e,f.三` 11 (1)1/2 2/3 3/5 5/7 4/7 3/7 5/8。

2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月19日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内1. 计算(-2)2005+(-2)2006所得结果是A. 2B. –2C. 1D. 220052．已知a 、b 为实数，且1=b a ，设1111,11+++=+++=b a N b b a a M ，则M 、N 的大小关系是A ．M ＞NB ．M=NC ．M ＜N D. 不确定3. 设“●，▲，■”分别表示三种不同的物体，如下图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为A. 5B. 4C. 3D. 24．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降低10%，乙超市一次性降低20%，在哪家超市购买此种商品更合算●●▲■●■▲●▲?(1) (2)(3)A ．甲B ．乙C ．同样D ．与商品价格相关5．根据下列表格的对应值，判断方程02=++c x b x a （a ≠0, a ,b ,c 为常数）一个解x 的范围是A. 3＜x ＜3.23B. 3.23＜x ＜3.24C. 3.24＜x ＜3.25D. 3.25＜x ＜3.266．在平面直角坐标系中，已知A(2,-2), 点P 是y 轴上一点，则使AOP 为等腰三角形的点P 有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7． 如图1，把△ABC 纸片沿着DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变. 请试着找一找这个规律，你发现的规律是A ．∠A=∠1+∠2B ．2∠A=∠1+∠2C ．3∠A=2∠1+∠2D ．3∠A=2(∠1+∠2)8． 如图2，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形. 设BC=a , EF=b , NH=c , 则下列各式中正确的是A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a =b =c 9．如图3所示，用长8米的铝合金条制成的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么窗户的最大透光面积是图3ABDE 1 2 A/图1 图2BO CD EMNG H c baF AA ．2564米2B ．34米2C ．38米2 D ．4米210. 如图4，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）11．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚． 若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组 .12．已知a 、b 是一元二次方程012=--x x 的两个根，则代数式b a b a 232322--+的值等于 .13．如图5，点A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，∠A=30°，∠O=48°，则∠E= °.14．如图6，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为__________.图5B OC ADE图4ABCD图615．正比例函数x y -=与反比例函数x y 1-=的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D （如图7），则四边形ABCD 的面积为 .16. 如图8，一个啤酒瓶的高度为30cm ，瓶中装有高度12cm 的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm, 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 . (瓶底的厚度不计)17. 如图9是由棱长为a 的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，第n 层需要 块小正方体（用含n 的代数式表示）.三、解答题(本大题共3小题，满分35分，其中第18题10分，第19题12分，20题13分)18. 某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ （2）该公司选用哪种方案建房获得利润最大？ （3）根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a 万元（a ＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？注：利润=售价-成本第1层 第2层 第3层 第4层 图9第n 层… 图820cm30cm12cm19. 操作: 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上,并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于点Q.（如图10-1、10-2） 探究: 设A 、P 两点间的距离为x . （1）当点Q 在边CD 上时,线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；（2）当点P 在线段AC 上滑动时, △PCQ 是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置,并求出相应的x 的值；如果不可能,试说明理由.图10-120. 已知A 1、A 2、A 3是抛物线221x y =上的三点，A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C.（1）如图11-1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长；（2）如图11-2，若将抛物线221x y =改为抛物线1212+-=x x y ，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA 2的长；（3）若将抛物线221x y =改为抛物线c x b x a y ++=2，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA 2的长（用a 、b 、c 表示，并直接写出答案）.2006年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、解答提示：1．原式=(-2). 故选D.2．∵1=ab , M a a b b =+++=11. 故选B.3.4. 2=0.81a ，乙超市降价后的价格为a(1-20%)=0.8a. 故在乙超市买更合算. 故选B.5. 利用方程的解就是它对应的函数图象与x 轴的交点，藉此估计一元二次方程的一个解的大致范围为：3.24＜x ＜3.25 . 故选C.6. 分三种情况来讨论，即：如图所示, ①以O 为顶点的等腰三角形有：△OP 1A ，△OP 2A ；②以A 为顶点的等腰三角形是△OP 3A ；③以P 为顶点的等腰三角形是△OP 4A. 因此，满足条件的点P 有4个.7. 解法一：∵△ADE 与△A /DE 关于直线DE 轴对称，∴∠AED=∠A /ED ，∠ADE=∠A /DE ， ∴∠1+∠2=2×180°-（∠AEA /+∠ADA /）=360°-2(∠AED+∠ADE) =360°-2(180°-∠A) =2∠A.解法二：如图，连结AA /，∵△ADE 与△A /DE 关于直线DE 轴对称，∴AE=A /E ，AD=A /D ，●+■=▲●+●=▲+■ ●+▲=■+■+■+■+■A BD E 1 2 A/D∴∠EAA /=∠EA /A ，∠DAA /=∠DA /A ，∴∠1+∠2=2∠EAA /+2∠DAA /=2(∠EAA /+∠DAA /)=2∠A.8. 在矩形中把a 、b 、c 分别转化为相应矩形的另外一条对角线，就会发现a 、b 、c 均等于圆的半径. 故选D.9. 设窗户横档的长度为x 米. 则竖的边长为238x -米，透光面积是38)34(2342323822+--=+-=-⋅=x x x x x S . 当342=-=a b x 时，S 最大=38. 选C.10. S=1-4×21x(1-x)=2x 2-2x+1（0＜x ＜1）. 故选B. 二、11. 272366x y x y +=⎧⎨+=⎩，12. 5 13. 54 14.（2,0） 15. 2 16. 116 17. )1(21+n n 解答提示：12. ∵a 、b 是方程x 2-x-1=0的两个根，∴a 2-a=1, b 2-b=1. ∴3a 2+2b 2-3a-2b=3(a 2-a)+2(a 2-a)=3+2=5. 13. 连结BO ，则∠BOC=2∠A=60°，∴∠E=21∠BOD=21(∠BOC+∠COD)= 21×(60°+48°)=54°.14.利用网格线之间的垂直关系，找到弦AB 的中垂线，利用正方形的对角线互相垂直平分可以找到BC 的中垂线，于是得圆心坐标（2,0）.15. 函数y=x 与x y 1=的图象交点A 、C 的坐标分别为（1,1）、（-1,-1），所以△AOB 的面积等于21，根据反比例函的图象是中心对称图形，得平行四边形ABCD 的面积为2.16. 虽然啤酒瓶的形状不规则，但是瓶子的下部可视圆柱体，由于瓶子的容积V 瓶不变，瓶中水的体积V 水也不变，故可将左图上部分不规则的空气体积V 空，用右图上部分规则的空气体积V 空来代替. 设瓶的底面积为Scm, 则左图V 水=12Scm 3, 左图V 空=10Scm 3,∵ V 瓶=V 水+V 空=22Scm 3, ∴ V 水:V 瓶=6:11 所以应选C.17． 第一层：1个；第二层：1+2个；第三层：1+2+3个；… …； 第n 层：1+2+3+…+n=)1(21+n n 个，三、 18．（1）设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建（80-x ）套.由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096 48≤x ≤50 ∵ x 取非负整数，∴ x 为48，49，50 ∴有三种建房方案：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套.B OCADE（2）该公司建房获得利润W （万元）由题意知 W=5x+6(80-x)=480-x.∴当x=48时，W 最大=432（万元）. 即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大. （3）由题意知W=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x.∴当0＜a ＜1时，x=48, W 最大，即A 型住房48套，B 型住房32套. 当a=1时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等.当a ＞1时，x=50，W 最大，即A 型住房50套，B 型住房30套. 19．（1）PB=PQ.证明：过P 作MN ∥BC ，分别交AB 、DC 于点M 、N ，则四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）.∴NP=NC=MB. ∵∠BPQ=90°, ∴∠QPN+∠BPM=90°. 而∠PBM+∠BPM=90°,∴∠QPN=∠PBM.又∵∠QNP=∠PMB=90°，∴△QNP ≌△PMB. ∴PB=PQ. （2）△PCQ 可能成为等腰三角形.①当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合，这时PQ=QC ，△PCQ 是等腰三角形. 此时x=0. ②解法一：当点Q 在边DC 的延长线上，且CP=CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图2）. 此时，QN=PM=x 22，CP=x -2，CN=22CP=1-x 22.∴CQ=QN-CN=1222122-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--x x x . 此时，得x=1.②解法二：当点Q 在边DC 的延长线上，且CP=CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图2）. 由于此时，∠CPQ=21∠PCN=22.5°, ∴∠APB=90°-22.5°=67.5°, ∠ABP=180°-(45°+67.5°)= 67.5°. ∴∠APB=∠ABP. ∴AP=AB=1. ∴x=1.故当点P 在线段AC 上滑动时, △PCQ 可能成为等腰三角形. 20．（1）方法一：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯.设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=b k b k 32921解得⎪⎩⎪⎨⎧-==232b k∴直线A 1A 3的解析式为 232-=x y .∴CB 2=2×25232=- . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=-.方法二：∵A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，∴A 1B 1=211212=⨯，A 2B 2=22212=⨯，A 3B 3=293212=⨯ . 由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= 25)2921(21=+ .∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21225=- .（2）方法一：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为 n-1、n 、n+1 .则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n . 设直线A 1A 3的解析式为y=kx+b. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=+++---=+-1)1()1(21)1(1)1()1(21)1(22n n b k n n n b k n 解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=232112n b n k∴直线A 1A 3的解析式为 2321)1(2+--=n x n y .∴CB 2=23212321)1(22+-=+--n n n n n .∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21121232122=-+-+-n n n n . 方法二：设A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为n-1、n 、n+1 .则A 1B 1=1)1()1(212+---n n ，A 2B 2=1212+-n n ，A 3B 3=1)1()1(212++-+n n由已知可得A 1B 1∥A 3B 3，∴CB 2=21(A 1B 1+A 3B 3)= ]1)1()1(211)1()1(21[2122++-+++---n n n n =23212+-n n . ∴CA 2=CB 2-A 2B 2=21)121(232122=-+-+-n n n n .（3）当a ＞0时，CA 2=a ；当a ＜0时，CA 2=-a.2006年全国初中数学竞赛(海南赛区)(包含答案)11 / 11。

（第7题图）ABCDGFE（第5题图） 2006年全国初中数学竞赛试题考试时间 2006年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。

以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里。

不填、多填或错填均得0分）1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。

刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）A 、36B 、37C 、55D 、902、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A 、5- B 、5 C 、9- D 、93、ABC Rt ∆的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。

若斜边上的高为h ，则（ ）A 、1 hB 、1=hC 、21 hD 、2 h4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）A 、2004B 、2005C 、2006D 、20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QO QP =，则QAQC 的值为（ ）A 、132-B 、32C 、23+D 、23+二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ．7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则bc a -的值等于 ．8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上。

第一节一次函数例题剖析例1 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛（广西赛区））已知直线L•经过（2，0）和（0，4），把直线L沿x轴的反方向向左平移2个单位，得到直线L′，则直线L′的解析式为_______．分析：先求出直线解析式y=kx+b，再抓住平移k不变，进行求解．解：因为过（2，0）和（0，4）的直线L解析式是y=-2x+4，设向左平移2•个单位得到的直线L′解析式是y=-2x+m，将它与x轴的交点坐标（0，0）代入得m=0，所以直线L′的解析式为y=-2x．评注：直线y=kx+b平移时k值不变，上下平移时再抓住与y轴的交点变化，•左右平移时再抓住与x轴的交点变化就能得解．例2 （2000年全国初中数学竞赛试题）一个一次函数图象与直线y=54x+954平行，•与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（-1，-25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）．（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个分析：根据所求一次函数图象与直线y=54x+954平行且过点（-1，-25），即可确定该函数的解析式，然后采用列举法进行分析．解：设与直线y=54x+954平行的直线的方程为y=54x+k，又（-1，-25）在直线y=54x+k上，得k=-954．因为A、B为y=54x-与x轴、y轴的交点，所以A（19，0），B（0，-954）．又y=54x-954=54（x-19），0≤x≤19，x-19必须是4的整数倍，只有当x=3，7，11，15，19时，y为整数，因此在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有5个，选B．评注：所谓横坐标、纵坐标都是整数的点，•即求该函数解析式（二元一次方程）在某范围内的整数解．例3 （2005年富阳市初二数学竞赛）不论k为何值，解析式（2k-1）x-（k+3）y-•（k-11）=0表示的函数的图象经过一定点，则这个定点是_______．分析：该题是“直线束”问题，可在k•的取值范围内取两个定值两条特殊直线求得交点，再证明其他直线必过此点．解：因为已知函数是一次函数，故k+3≠0，分别令k=1与k=2，得41003590x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩ ,即两特殊直线相交于点A （2，3）， 而当x=2时，函数式为2（2k-1）-（k+3）y-（k-11）=0．整理得（k+3）y=3（k+3），所以k 取不等于-3的任何值时，y=3．当x=2时，必得y=3．不论k 为何值该一次函数的图象恒过定点（2，3）．评注：利用“不论”性，取k 的任意两个特殊值，代入函数关系式，求出x 、•y 的值，再验证所求得的x 、y 值适合函数关系式，从而确定函数图象恒过定点，这是解决这类问题常用的方法．此外本题还可利用一次方程ax=b 有无数解的条件来解，同学们不妨一试．例4 （2005年富阳市初二数学竞赛）在一次函数y=-x+3的图象上取一点P ，•作PA ⊥x 轴，垂足为A ，作PB ⊥y 轴，垂足为B ，且矩形OAPB 的面积为94，则这样的点P 共有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 分析：设点P 的坐标为（x ，-x+3），则矩形OAPB 的面积表示为│x │×│-（-x+3）│=│x 2-3x │=94，然后分两种情况进行讨论．解：选（B ）．评注：本题通过数形互动，结合一元二次方程实根个数来确定符合条件的点的个数，这是解决这类问题常用方法．此外，由点的坐标表示距离时，不能忘记加绝对值．例5 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）设0<k<1，关于x 的一次函数y=kx+1k （1-x ），当1≤x ≤2时的最大值是（ ）（A ）k （B ）2k-1k （C ）1k （D ）k+1k分析：y=（k-1k）x+1k，∵0<k<1，∴k-1k=(1)(1)k kk+-<0，该一次函数的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，最大值为k-1k+1k=k．解：选（A）．评注：对于自变量有限范围的一次函数极值问题，应结合一次函数的增减性来确定．例6 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题）设直线y=kx+k-1•和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴围成的三角形面积为S k，则S1+S2+S3+…+S2006的值是_______．分析：先求出直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k的交点，再求出这两条直线与x•轴围成的三角形面积S k 的表达式．解：因为方程组1(1)y kx ky k x k=+-⎧⎨=++⎩的解为11.xy=-⎧⎨=-⎩所以这两直线的交点（-1，-1），直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k是正整数）与x轴的交点分别是（1,0),(1k kk k--+，0），S k=12|-1|×|11k kk k---+|=12|1k-11k+|．所以S1+S2+S3+…S2006=12（1-12+12-13+13-14+…+11111003)(1)20062007220072007-=⨯-=．评注：本题在求解过程中的关键是：将1(1)k k+拆成1k-11k+，这是常用技巧．例7 （1997年江苏省初中数学竞赛试题）有一个附有进、出水管的容器，•每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某时该开始5min内只进水不出水，•在随后的15min内既进水又出水，得到时间x（min）与水量y （L）之间的关系如图．若20min后只放水不进水，则这时（x≥20时）y与x的函数关系是________．分析：据图象可知：开始5min，只进水不出水，共进了20L水，每分钟进水4L．•随后的15min内既进水又出水，实际水量增加了35-20=15L，每分钟水量增加1L，•说明出水管每分钟出水3L．因为水量是固定的，每分钟3L，所以20min后，总水量为35L．解：y=35-3（x-20），即y=-3x+95（20≤x≤953）．评注：仔细审题，观察图象，应弄清进水时，每分钟4L；既进又放时，每分钟净增水1L，故每分钟放水为3L，这是解本题的关键．例8 （2006年全国初中数学竞赛（海南赛区））在平面直角坐标系中，已知A（2，•-2），点P是y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：分三种情况来讨论，即：如图所示，①以O为顶点的等腰三角形有：△OP1A，△OP2A；②以A为顶点的等腰三角形是△OP3A；③以P为顶点的等腰三角形是△OP4A．因此，•满足条件的点P有4个．解：选（D）．评注：分类讨论是重要的数学思想方法，竞赛题中经常出现需要分类的考题，•这类问题的求解，既要有扎实的基础知识，也要有一定的分析问题和综合解决问题的能力，要强化这方面的训练．例10 （2006年四川省数学竞赛初二初赛试题）平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P 是y轴上一动点，求P到A、B距离之和最小时的坐标．分析：根据几何模型，得出点A关于y轴对称点A′的坐标，再由待定系数法求出直线A′B解析式，就可得解．解：如图，点A关于y轴对称的点为A′（-2，-1），设过A′、B•两点的直线的一次函数为y=kx+b，有1233k bk b-=-+⎧⎨=+⎩解得4535kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=45x+35．当x=0时，y=35，即直线A′B与y轴交于点（0，35），•可得所求点P的坐标为（0，35）．评注：本题把几何中最短距离问题代数化，解题关键是应用轴对称和一次函数相关知识来求解．此类问题还可改为在x轴上或在坐标轴上求一点P，同学们不妨思考一下．巩固练习一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）164．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条13．已知abc≠0，而且a b b c c ac a b+++===p，那么直线y=px+p一定通过（）（A）第一、二象限（B）第二、三象限（C）第三、四象限（D）第一、四象限14．当-1≤x≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）-4<a<0 （B）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<215．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个16．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（•0，q），若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数17．在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数．当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个18．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是12a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t （分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）20．若k、b是一元二次方程x2+px-│q│=0的两个实根（kb≠0），在一次函数y=kx+b中，y随x的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（）（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象限答案:1．B 2．B 3．A 4．A5．B 提示：由方程组y bx ay ax b=+⎧⎨=+⎩的解知两直线的交点为（1，a+b），•而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D•中交点纵坐标是大于a，小于b的数，不等于a+b，故图D不对；故选B．6．B 提示：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，∴0,kb<⎧⎨>⎩对于直线y=bx+k，∵0,kb<⎧⎨>⎩∴图像不经过第二象限，故应选B．7．B 提示：∵y=kx+2经过（1，1），∴1=k+2，∴y=-x+2，∵k=-1<0，∴y 随x 的增大而减小，故B 正确．∵y=-x+2不是正比例函数，∴其图像不经过原点，故C 错误．∵k<0，b=•2>0，∴其图像经过第二象限，故D 错误．8．C 9．D 提示：根据y=kx+b 的图像之间的关系可知，将y=-32x•的图像向下平移4个单位就可得到y=-32x-4的图像． 10．C 提示：∵函数y=（m-5）x+（4m+1）x 中的y 与x 成正比例， ∴5,50,1410,,4m m m m ≠⎧-≠⎧⎪⎨⎨+==-⎩⎪⎩即 ∴m=-14，故应选C ． 11．B 12．C 13．B 提示：∵a b b c c a c a b+++===p ， ∴①若a+b+c ≠0，则p=()()()a b b c c a a b c+++++++=2； ②若a+b+c=0，则p=a b c c c+-==-1， ∴当p=2时，y=px+q 过第一、二、三象限；当p=-1时，y=px+p 过第二、三、四象限，综上所述，y=px+p 一定过第二、三象限．14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C20．A 提示：依题意，△=p 2+4│q │>0， ||0k b p k b q k b +=-⎫⎪=-⇒⎬⎪≠⎭k ·b<0，一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小000k k b <⎫⇒<⇒⇒⎬>⎭一次函数的图像一定经过一、二、四象限，选A ．。

2006年全国九年级义务教育初中中考数学联赛决赛试卷一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知四边形ABCD 为任意凸四边形,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,用S ,P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；1S ,1P 分别表示四边形EFGH 的面积和周长,设1S K S =,11PK P =,则下面关于K ,1K 的说法正确的是( ) A.K ,1K 均为常值B.K 为常值,1K 不为常值C.K 不为常值,1K 为常值D.K ,1K 均不为常值 【解析】 B .如图,易知14AEH ABD S S =△△,14CFG CBD S S =△△,故14AEH CFG S S S +=△△.同理,14BEF DHG S S S +=△△.故112S S =,即K 2=为常值.又易知1P AC BD =+,特别的,若取邻边长分别为1、2的矩形,则1K =；再取邻边长分别为1、3的矩形,则1K ==故1K 不是常值.GHFEDCBA2.已知m 为实数,且sin α,cos α是关于x 的方程2310x mx -+=的两根,则44sin cos αα+的值为( )A.29B.13C.79 D,1 【解析】 C .由根与系数的关系知1sin cos 3αα=,则有()()2244227sin cos sin cos 2sin cos 9αααααα+=+-⋅=.3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根,则实数a 的取值范围是( ) A.0a > B.4a ≥C.24a <<D.04a <<【解析】 D .当0a <时,无解；当0a =时,0x =,不合题意；当0a >时,方程化为21x a x =±-,整理得20x ax a -+=或20x ax a +-=.这两个方程的判别式分别为214a a =-△和224a a =+△.∵20>△,原方程仅有两个不同实根,所以2140a a =-<△,从而04a <<.4.设0b >,2220a ab c -+=,2bc a >,则实数a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b c a >> B.c a b >> C.a b c >> D.b a c <<【解析】 A .由2bc a >及0b >,知0c >.由222ab a c =+及0b >,知0a >.由2220a ab c -+=,知()2220b c a b -=-≥,从而b c ≥.若b c =,由2220a ab c -+=知a b =,从而a b c ==与2bc a >矛盾,故b c >. 由22b bc a >>,知b a >；又由22222a c ab a +->,知c a >.5.设a ,b 为有理数,且满足等式a +则a b +的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】 B .3==,所以3a +=+即()(310a b -+-. 由a 、b 为有理数,则3a =,1b =,即4a b +=.6.将满足条件“至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104,……,则这列数中的第158个数为( ). A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 【解析】 C .在正整数中,是4的倍数的特征为末两位数字是4的倍数,其中包含数字0的7种情形:00,04,08,20,40,60,80和包括数字0的18种情形.显然,满足条件的两位数仅有4个；满足条件的三位数共有9763⨯=个；满足条件千千位数字为1的四位数共有71018188⨯+⨯=个.因为46388155++=,则从小到大的第155个满足条件的数为1980.下面满足条件的数依次为2000,2004,2008.故这列数中的第158个数为2008.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.函数220062008y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和等于 . 【解析】 0.原方程可转化为求方程2200620080x x -+=的所有实根之和.若实数0x 为方程的根,则其相反数0x -也为该方程的根,所以,方程的所有实根之和为0,即与x 轴交点的横坐标之和为0.2.在等腰Rt ABC △中,1AC BC ==,M 是BC 的中点,CE AM ⊥于E 交AB 于F ,则MBF S =△ .【解析】 112.如图,作BG BC ⊥交CF 的延长线于点G ,易证Rt Rt ACM CBG △≌△.故BG CM =,12CBG ACM ABC S S S =-△△△.由易证BFM BFG △≌△,故BGF BMF CMF S S S ==△△△.从而1113612MBF CBG ABC S S S ===△△△.MGF ECBA3.x 取值为 .【解析】 83.在直角坐标系xOy 中,设()0,2A -,()8,4B ,(),0P x ,有PAPB则10PA PB AB +=≥.当且仅当A 、P 、B 三点共线时,上式等号成立.因此,当且仅当A 、P 、B 三点共线时,原式取最小值.此时,易知BCP AOP △∽△,有2CP BCPO AO==.从而,1833OP OC ==.故原式取最小值时,83x =.4.在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点坐标分别为()00O ，、()1000A ，、()100100B ，、()0100D ，.若正方形OABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足:POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,就称格点P 为“好点”,则正方形OABC 内部“好点”的个数为 .(注:所谓“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.) 【解析】 如图,过点P 分别作PD 、PE 、PF 、PG 垂直于点OA 、AB 、BC 、OC 于点D 、E 、F 、G .易知100PF PD +=,100PE PG +=.由POA PBC PAB POC S S S S ⋅=⋅△△△△,知PD PF PE PG ⋅=⋅,即()()100100PD PD PG PG -=-.化简为()()1000PD PG PD PG -+-=,故PD PG =或100PD PG +=,即PD PG =或PG PF =. 于是P 为对角线OB 上的点或P 为对角线AC 上的点.因此,当且仅当P 为对角线OB 或对角线AC 内部的格点时,点P 为好点.易知OB 内部有99个好点,AC 内部也有99个好点,又知对角线OB 与AC 的交点也为好点,于是满足条件的好点个数为99991197+-=个.三、解答题(本题共三小题,第1题20分,第2、3题各25分)1.如图,D 为等腰ABC △底边BC 的中点,E 、F 分别为AC 及其延长线上的点.又已知90EDF ∠=o ,1ED DF ==,5AD =.求线段BC 的长.DEC FBA【解析】 如图,过点E 作EG AD ⊥于点G ,过点F 作FH AD ⊥于点H ,则EDG DFH ∠=∠.故Rt Rt EDG DFH △≌△.设EG x =,DG y =,则DH x =,FH y =,且221x y +=.又Rt Rt AEG AFH △∽△,则EG AGFH AH=.即55x y y x -=+. 化简为()225x y y x +=-. 由上述两式解得35x =,45y =. 又因为Rt Rt AEG ACD △∽△,则CD EGAD AG=. 故35554755EG CD AD AG =⋅=⨯=-.所以,1027BC CD ==.FEDC B A2.在平行四边形ABCD 中,A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ,点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心.⑴ 求证:O 、E 、1O 三点共线； ⑵ 求证:若70ABC ∠=o ,求OBD ∠的度数.【解析】 ⑴如图,连结OE 、OF 、1O A 、1O E .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以ABE ECF ∠=∠.又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心,所以OE OF =,11O A O E =,122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠. 于是有1OEF O EA △∽△.故1OEF AEO ∠=∠,所以O 、E 、1O 三点共线.⑵连接OD 、OC .因为四边形ABCD 为平行四边形,所以,CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠. 故CE CF =.又因为点O 为CEF △的外心,所以OE OF OC ==. 则OCE OCF △≌△,有OEC OFC OCF ∠=∠=∠.故OEB OCD ∠=∠.又BAE EAD AEB ∠=∠=∠,则EB AB DC ==. 因此OCD OEB △≌△.所以,ODC OBE ∠=∠,OD OB =,ODC OBC ∠=∠,OBD ODB ∠=∠,OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠.故12OBD ABC ∠=∠.DO 1O FEDCBA3.设p 为正整数,且2p ≥.在平面直角坐标系中,连结点()0A p ，和点()0B p ，的线段通过1p -个格点()111C p -，,…,()i C i p i -，,…,()111p C p --，. 证明:⑴ 若p 为索数,则在原点()00O ，与点()i C i p i -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点；⑵ 若在原点()00O ，与点()1i C i p -，的连线段()11i OC i p =-L ，，上除端点外无其它格点,则p 为索数.【解析】 ⑴用(),P a b 表示OAB △内的格点,a 、b 为正整数.假设结论不成立,则点P 位于某条线段1OC 内部(如图9).过点P 作PE OB ⊥于点E ,过点i C 作i C F OB ⊥于点F .由i OEP OFC △∽△,知b p ia i-=,其中11i p -≤≤. 易知1a i <≤,1b p i <-≤. 由b p ia i-=知()a b i ap +=,从而|i ap . 因为p 为质数,且11i p <-≤,则i 与p 互质.从而|i a ,故i a ≤,这与a i <矛盾. 所以,假设不成立,从而原结论成立. ⑵假设结论不成立,即p 为合数.故p xy =,其中x 、y ∈N ,且2,1x y p -≤≤.因为OAB △内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到1p -之间的任何整数,故必存在一格点(),P a b ,满足a b x +=,于是()a b y xy p +==,即ay by p +=.因此点(),ay by 必是()11,1C p -,()22,2C p -,…,()11,1p C p --中的一个点,设为(),i C i p i -.从而有ya i =,by p i =-,故b p ia i-=. 所以,点(),P a b 在线段i OC 内部,即在线段i OC 上除端点外还有其他格点,这与已知矛盾. 故原结论成立.。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案一、选择题：DBCAB ，CDADB提示：1．D ；由0200911=-x ，得2009,120091=∴=x x 2．B ；由b a +＜0，b ＞0知a ＜0且|a |＞|b |，所以|a |2＞|b |2，即a 2＞b 2； 4．A ；延长CO 交于⊙O 于D ，连结AD ，则∠D=∠B=15°，因为CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，所 以在Rt △ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.5．B ；由2a =3，2c =12，得2a ·2c =3×12. 即2c a +=36=62，而2b =6c a b a b b c a +===∴+22)2(226．C ；设1,2008,2009-=+-=-=b a n b n a 则，又002,21)1(12)(222222==∴+=-∴=+++=+ab ab ab b a b ab a b a 即且Θ7．D ；若∠B ＋∠C ＜90°，则 ∠A ＞90°，这与△ABC 是锐角三角形矛盾，故D 错.8．A ；先据题意写出前面一些数：1，－1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数每排列六个数后，从第七个数开始重复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6个数组成的数组重复排列而成，而1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说明，这2009个数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.9．D ；过P 点的最长的弦是直径，其长为30，最短的弦长=24915222=-，所以⊙O 中，通过P 点的弦长 L 的取值范围是24≤L ≤30，又L 为整数，所以L 的值可取24，25，26，27，28，29，30，又根据圆的 对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.10. B ；由图象知a ＜0，c =0，ab 2-＞1，从而2a ＋b ＞0，又a a b b a 3)()2(=--+＜0，即b a +2＜a b -.二、填空题：11. 9或91 12. 1 13. 31 14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16. 53 17. O 18.（1，3）提示：11．9或91；由条件知3-=x ，2±=y12．1；由已知条件知ab =1，所以原式)()(22b a b ab a b a ab b ab ab a ab ab +++=+++= 1=++=+++=b a b a b a a b a b 13. 31；设口袋中有黄球x 个，依题意，得 ，所以P （摸出1个黄球）= 14. （4，-1），（-1，4）；设点P 的坐标为（b a ,），由题意得分程组 解此方程组即可. 15. 3条；易知△AFD ≌△AED ，所以∠AFD=∠AED ，DE=DF ，又∠CDE=∠BAC ，∠C 为公共角，所以 ∠DEC=∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF 为等边三角形，所以DB=BF=DF=DE.16．53；因为折叠后点B 与D 重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE ⊥BC ，在等腰梯形ABCD 中，CE= ，DE=BE=8-3=5 ∴ tan ∠CDE= 17. O ；由06222=+-y x x ，得x y x 6222=+知x ≥0，又x x y 6222+-=，1)1(28622222++-=--=-+-=x x x x x x x w ，由此可见，当x ≥-1时，w 随着x 的增大而减小，又因为x ≥0>-1, ，故当x =0时，w 的最大值是0.18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB 是平行四边形，B （8，0），⎩⎨⎧+-==⋅34||||a b b a 31155=5,52646==++x x 3)28(21)(21=-=-AD BC 53=DE EC∴ CD//OA ，CD=OB=8过点M 作MF ⊥CD 于点F ，则CF= CD=4过点C 作CE ⊥OA 于点E ，∵ A （10，0），∴OE=OM －ME=OM －CF=5－4=1.连结MC ，则MC= OA=5 ∴ 在Rt △CMF 中，3452222=-=-=CF MC MF∴ 点C 的坐标为（1，3）三、解答题19. 解：设第二次购书x 本，依题意得 整理得，解得 当x =50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.当x =60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）20. 解：（1）在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC 的周长为12，又因EF 平分△ABC 的周长，∴AE ＋AF=6，而AE=x ，∴AF=6－x ， 过点F 作FD ⊥AC 于D ，则54sin ===AB BC A AF DF∴),6(54,546x DF x DF -=∴=-所以x x x x DF AE y 51252)6(5421212+-=-⋅=⋅= （0＜x ＜3）（2）这样的EF 存在，此时AE=266- . S △ABC =6342121=⨯⨯=⋅AC BC ，由EF 平分△ABC 的面积，所以 ，解得 ∵0＜x ＜3，∴ 不合舍去，当 时 ，符合题意，所以这样的EF 存在，此时AE= . 2121xx 1502110100=+-030001102=+-x x 60,5021==x x 266,26621+=-=x x 2662+=x 2661-=x 52666＜x +=-266-3512522=+-x x A FE C B D。

海南省2006年初中毕业升学考试数学科试题（非课改区）（考试时间100分钟，满分150分）特别提醒：1．选择题用2B 铅笔填涂，其余答案一律用黑色笔填写在答题卡上，写在试题卷上无效． 2．答题前请认真阅读试题及有关说明． 3．请合理安排好答题时间．一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求．．．用2B 铅笔涂黑． 1．计算23-的结果是（ ） Ａ．5 Ｂ．5- Ｃ．1 Ｄ．1-2．今年1至4月，我省旅游业一直保持良好的发展势头，旅游收入累计达5163000000元，用科学记数法表示是（ ） Ａ．6516310⨯元 Ｂ．85.16310⨯元 Ｃ．95.16310⨯元Ｄ．105.16310⨯元3．下列各图中，是中心对称图形的是（ ）4．函数y =x 的取值范围是（ ） Ａ．1x ≥Ｂ．1x >Ｃ．0x >Ｄ．1x ≠5） Ａ．2Ｂ．4Ｃ．Ｄ．±6．用配方法解方程2410x x ++=，经过配方，得到（ ） Ａ．()225x +=Ｂ．()225x -=Ｃ．()223x -=Ｄ．()223x +=7．一次函数2y x =-的大致图象是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．xO xO xO xO8．三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） Ａ．34Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．459．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）Ａ．1cm ，1cm ，3cm Ｂ．2cm ，3cm ，5cmＣ．3cm ，4cm ，9cm Ｄ．5cm ，6cm ，8cm10．如图2，在菱形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是菱形四边的中点，连结EG 与FH 交于点O ，则图中共有菱形（ ） Ａ．4个 Ｂ．5个 Ｃ．6个 Ｄ．7个11．如图3，AB 和CD 都是O 的直径，50AOC =∠，则C ∠的度数是（ ） Ａ．20Ｂ．25Ｃ．30Ｄ．50Ａ．1.65，1.70 Ｂ．1.70，1.65 Ｃ．1.70，1.70 Ｄ．3，5二、填空题（本大题满分24分，每小题3分）13．计算：23a a a +=__________． 14．当x =__________时，分式22x x -+的值为零． 15．今年市场上荔枝的价格比去年便宜了5%，去年的价格是每千克m 元，则今年的价格是每千克__________元．16．如图4，直线a ，b 被直线l 所截，如果a b ∥，1120=∠，那么2=∠__________度．17．如图5，ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥于D ，则图中所有与B ∠互余的角是__________．α 图11la 2 b图4B DHE AFG C图2O B DC A 图3O18．如图6，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米． 19．如图7，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，2AB =，120BOC =∠，则AC 的长是__________．20．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．三、解答题（本大题满分90分） 21．（本题满分10分）计算：21242⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭．22．（本题满分10分）化简：2111a a a -++．DAB12C 图5图6 OA DC B图7（1） （2） （3）23．（本题满分10分）解不等式组：()40321x x x ->⎧⎪⎨>-⎪⎩ ①②24．（本题满分10分）某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？25．（本题满分11分）如图8，直线2y x =与反比例函数ky x=的图象在第一象限的交点为A ，AB 垂直x 轴，垂足为B ，已知1OB =，求点A 的坐标和这个反比例函数的解析式．26．（本题满分11分）如图9，线段AB 与O 相切于点C ，连结OA ，OB ，已知5cm OA OB ==，8cm AB =，求O 的半径．共计145元 共计280元 y A x B O 图8 OA CB 图927．（本题满分14分）如图10，四边形ABCD 是正方形，G 为BC 上任意一点（点G 与B ，C 不重合），AE DG ⊥于E ，CF AE ∥交DG 于F ．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明； （2）求证：AE FC EF =+．28．（本题满分14分）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为()10C ，，直线y x m =+与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中A 点的坐标为()34，，B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的解析式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A ，B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．海南省2006年初中毕业升学考试 数学科试题（非课改区）参考答案及评分标准一、选择题（满分36分）Ｄ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ Ａ二、填空题（满分24分） 13．32a14．215．()15%m -或95%m 或0.95m16．6017．1∠和2∠ 18．7.5 19．4 20．10，31n + 三、解答题（满分90分） 21．原式42=- ······················································································ （5分）F E A DC B G图10 y P D A Ex C O B 图112= ····································································································· （10分）22．原式211a a -=+ ····················································································· （3分）()()111a a a +-=+ ······················································································· （6分）1a =- ································································································· （10分）23．解不等式①，得4x > ········································································· （4分） 解不等式②，得2x >- ·············································································· （8分）把不等式①和②的解集在同一数轴上表示如图所示：∴原不等式组的解集为4x >． ································································· （10分） 24．设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元． ························ （1分） 依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩ ········································································ （6分）解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩········································································ （9分）答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元． ····················· （10分）（注：其他解法仿照以上评分标准．） 25．连结OC ．························································································ （1分） AB 与O 相切于点C ，OC AB ∴⊥． ························································································ （5分）又OA OB = ，()1184cm 22AC BC AB ∴===⨯=． ························································ （8分） 在Rt AOC △中，()3cm OC ===．O ∴ 的半径为3cm ． ············································································ （11分）26．AB 垂直x 轴于点B ，1OB =，且点A 在第一象限，∴点A 的横坐标为1． ··············································································· （2分） 又 直线2y x =的图象过点A ，2212y x ∴==⨯=． ··············································································· （4分）OACB即点A 的坐标为()12，． ············································································· （6分） ky x =的图象过点()12A ，， 21k∴=． ······························································································ （8分）2k ∴=． ····························································································· （10分）∴这个反比例函数的解析式为2y x=． ······················································· （11分） 27．（1）AED DFC △≌△． ···································································· （2分） 四边形ABCD 是正方形， AD DC ∴=，90ADC = ∠． ·································································· （4分）又AE DG ⊥，CF AE ∥，90AED DFC ∴== ∠∠， ······································································· （5分） 90EAD ADE FDC ADE ∴+=+= ∠∠∠∠，EAD FDC ∴=∠∠． ·············································································· （7分）()AED DFC AAS ∴△≌△． ···································································· （9分） （2）AED DFC △≌△， AE DF ∴=，ED FC =． ······································································ （12分） DF DE EF =+ ， AE FC EF ∴=+． ··············································································· （14分） 28．（1） 点()34A ，在直线y x m =+上，43m ∴=+．·························································································· （1分） 1m ∴=． ······························································································· （2分）设所求二次函数的关系式为()21y a x =-． ··················································· （3分）点()34A ，在二次函数()21y a x =-的图象上， ()2431a ∴=-，1a ∴=． ································································································ （4分）∴所求二次函数的关系式为()21y x =-．即221y x x =-+． ··························· （5分） （2）设P ，E 两点的纵坐标分别为P y 和E y ．P E PE h y y ∴==- ·················································································· （6分） ()()2121x x x =+--+ ············································································· （7分）23x x =-+． ·························································································· （8分）即()2303h x x x =-+<<． ······································································ （9分） （3）存在． ·························································································· （10分） 解法1：要使四边形DCEP 是平行四边形，必有PE DC =． ·························· （11分）点D 在直线1y x =+上，∴点D 的坐标为()12，， 232x x ∴-+=．即2320x x -+=． ················································································ （12分） 解之，得12x =，21x =（不合题意，舍去） ··············································· （13分） ∴当P 点的坐标为()23，时，四边形DCEP 是平行四边形． ···························· （14分） 解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必有BP CE ∥． ·························· （11分） 设直线CE 的函数关系式为y x b =+．直线CE 经过点()10C ，， 01b ∴=+，1b ∴=-．∴直线CE 的函数关系式为1y x =-．2121y x y x x =-⎧∴⎨=-+⎩得2320x x -+=． ······················································· （12分） 解之，得12x =，21x =（不合题意，舍去） ··············································· （13分） ∴当P 点的坐标为()23，时，四边形DCEP 是平行四边形． ···························· （14分）。

全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷题 号 一 二 三总 分(1—10)(11—18)1920得 分一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、下列运算正确的是（ ）A ．x 2‧x 3=x 6B ． 2x +3x =5x 2C ．(x 2)3=x 6D ． x 6÷x 2=x 32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（ ） A ．129 B ．120 C ．108 D ．963、实数a ＝3－，下列各数中不能整除a 的是（ ） A ． B ． C ． D ．4、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（ ）A ．251B ．252C ．256D ．25245、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（ ）6、要使1213-+-x x 有意义，则x 的取值范围为A ．321　x ≤≤ B ．321　＜x ≤ C ．321x ＜≤ D ． 321＜x＜123 45123 45图1速度 OA 速度 时间OB O速度C 速度 OD7、菱形的两条对角线之和为L 、面积为S ，则它的边长为（ ） A ．S L 4212- B ．S L 2212- C ．S L 4221-D ．2421L S -8、如图2，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点 F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ） ①△CEF 是等腰三角形 ②四边形ADFE 是菱形 ③四边形BFED 是平行四边形 ④∠BDF +∠CEF ＝2∠A A ．1B ．2C ．3D ．49、如图3，直线x ＝1是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有( ) A ．a ＋b ＋c ＝0 B ．b ＞a ＋c C ．b ＝2a D ．abc ＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm 的圆洞中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x 与y 互为相反数，且3=-y x ，那么122++xy x 的值为__________. 12、一次函数y =ax +b 的图象如图4所示，则化简1++-b b a 得________. 13、若x=－1是关于x 的方程a 2x 2+ax －=0的一个根，则a 的值为__________.14、一只船从A 码头顺水航行到B 码头用6小时，由B 码头逆水航行到A 码头需8小时，则一块塑料泡沫从A 码头顺水漂流到B 码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）． 15、如图5，边长为1的正方形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E 、F ，则阴影部分的面积是 ．16、如图6，直线l 平行于射线AM ，要在直线l 与射线AM 上各找一点B 和C ，使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC 与△CDE 均是等边三角形，若∠AEB =145°，则∠DBE 的度数是________. 18、如图8所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝3cm ， 把∠B 、∠D 分别沿CE 、AG 翻折，点B 、D 分别落在对角线 AC 的点B ＇和D ＇上，则线段EG 的长度是________.图3xy1x y－1 o 图4AB CDE F 图2 图7 A B CD E图5 A E CF O B 图6 A l 图8B ＇ ED ＇A BC DG三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD 是矩形，点P 是直线AD 与BC 外的任意一点，连接PA 、PB 、PC 、PD ．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P 在线段BC 的垂直平分线MN 上（对角线AC 与BD 的交点Q 除外）时，证明△PAC ≌△PDB ；（2）如图9（2），当点P 在矩形ABCD 内部时，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 2；（3）若矩形ABCD 在平面直角坐标系xoy 中，点B 的坐标为（1，1），点D 的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC 的面积为y ，△PAD 的面积为x ，求y 与x 之间的函数关系式．图9 （2）P AD y 图9（3）AB C DOx图9（1）MNQABCDP参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号 12345678910答案C D D A C B A B D B7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a 、b ，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x =1时有a ＋b ＋c ＜0,当x =－1时有a －b ＋c ＞0,即a ＋c ＞b ,即b ＜a ＋c ，函数的对称轴为12=-=ab x ，则b ＝－2a ，因为抛物线的开口向上，所以a ＞0，抛物线与y 轴的交点在负半轴，所以c ＜0，由b ＝－2a 可得b ＜0．所以abc ＞0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD =4cm ，BC =10cm ，∠C =60°，过点A 过AE //CD ，交BC 于点E ，过点B 作BE ⊥CD 于点F ，可求得AB =36cm ＞8.5cm ，BE =35cm ＞8.5cm 铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC 中， 顶角∠A =45°，作腰上的高线BD ，可求得BD =26cm ＜8.5cm ， 所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11、 45- 12、a +1 13、 a 1=, a 2=－1 14、4815、41单位面积 16、3个 17、85° 18、1017、分析：易证△CEA 与△CDB 全等，从而有∠DBC =∠EAC ，因为， ∠ABE +∠BAE =180°－145°=35°所以有∠EAC +∠EBC =120°－35°=85°， 所以∠EBD =∠EBC +∠DBC =85°18、分析：AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，可求得AC=5cm ，由题意可知 C B ＇=BC =3cm ，A B ＇=2cm 设BE =x ，则AE =4－x ，则有(4－x )2－x 2 =22,x =1.5cm ，即BE =DG =1.5cm ，过点G 作GF ⊥AB 于点F ，则 可求出EF =1 cm ，所以EG=103122=+三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)图ＡA BC D E F 图ＢAB CDABCDE图7图8B ＇ ED ＇ ABCDG F19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分. 解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x 天就可以完成此项工程，依题意得：1)601301(=+x ，解得：x =20 答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y 天，依题意得：16010301=+⨯y ，解得y =40 。