五年级下册习题——五升六讲义第9讲 数的整除性(奥数板块)

拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。

由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。

账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。

应是__________元。

（注：微波炉单价为整数元）。

36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。

42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。

39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。

48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。

”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。

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数的整除性一、填空题1。

四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。

2。

在“25□79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，方格内应填_____。

3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。

4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6。

所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是_____。

9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____。

10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下，其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号。

二、解答题11. 173□是个四位数字。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。

"问:数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除,这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

数的整除学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容数的整除课型一对一教学目标1.熟记2、5、3的倍数的特征。

2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。

3.综合运用所学知识灵活解决问题。

重、难点重点：教学目标1、2 难点：教学目标2、3课首沟通了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征；引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。

知识导图课首小测1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？2.（2013年广州白云区单元测试题）从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。

（有几个写几个）奇数:（）偶数：（）2的倍数：（）5的倍数：（）3的倍数：（）既是2的倍数又是3的倍数：（）知识梳理能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。

能被5整除的数：个位数是0或5。

自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一： 2、5的倍数的特征例 1. [单选题] （2014年白云区期末考试题）下列各数或表示数的式子（X为整数）：3X+4，4，X+6，2X+6，0。

是偶数的共有（）。

A.4个B.3个C.2个D.1个我爱展示1. 圈出5的倍数：15 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中，奇数有（），偶数有（）。

2. （2014年广州白云区期末试题）用“偶数”和“奇数”填空：3. 下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数既是2的倍数也是5的倍数？24 35 67 90 99 1560 75 106 130 521 280做完这道题，你有什么收获？导学二： 3的倍数的特征知识点讲解 1：各位上的数的和能被3整除例 1. [单选题] （2013年广州白云区期末测试）在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（）种填法。

A.2B.3C.4D.5我爱展示1.（2013年广州白云区期末试题）我是小法官，对错我来判。

五年级奥数题：数的整除性数的整除性一、填空题1. 四位数“ 3AA1”是9的倍数，那么A= _____ .2. 在“ 25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5 整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7 整除的最大五位数是_____.5. 1 至1 00以内所有不能被3整除的数的和是____ .6. 所有能被3 整除的两位数的和是 _____ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是______ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 ______ .10. 从左向右编号为1 至1991 号的1991 名同学排成一行, 从左向右1 至11报数,报数为11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至11报数,报数为 1 1的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11 报数,报到1 1的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_______________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ．在1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将1 00张黄油票换成1 00张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1 991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 —定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数，这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以，能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ ...+100)- (3+6+9+12+ (99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质，可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

数的整除性一、填空题1. 四位数“ 3AA1”是9的倍数，那么A= _____ .2. 在“ 25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5 整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7 整除的最大五位数是_____.5. 1 至1 00以内所有不能被3整除的数的和是____ .6. 所有能被3 整除的两位数的和是 _____ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是______ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 ______ .10. 从左向右编号为1 至1991 号的1991 名同学排成一行, 从左向右1 至11报数,报数为11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至11报数,报数为 1 1的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11 报数,报到1 1的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_______________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ．在1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将1 00张黄油票换成1 00张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1 991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 —定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数，这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以，能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ ...+100)- (3+6+9+12+ (99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质，可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

数的整除性一、填空题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915A691能被55整除,即此五位数既能被5整除,又能被11整除.所以五位数BA能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除, B=0或5.当B=0时,6910因此A=9；当B=5时,同样可求出A=4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

目录第一讲分数四则混合运算（一） 1第二讲分数四则混合运算（二） 4第三讲分数简便运算（一）7第四讲分数简便运算（二）11第五讲分数简便运算（三）14第六讲分数简便运算（四）17第七讲估算20第八讲列方程解应用题23第九讲列方程解应用题（二） 28第十讲分数应用题（一） 32第十一讲分数应用题（二）36第十二讲分数应用题（三）40第十三讲分数应用题（四） 44第十四讲工程问题（一） 48第十五讲工程问题（二） 52第十六讲巧求表面积 55 第十七讲长方体和正方体 60第十八讲抽屉原理 65综合练习（一） 68综合练习（二） 71第一讲 分数四则混合运算（一）【专题简析】进行分数的简便运算，四则运算的法则和运算定律的作用非常大。

下面我们就来检查一下自己学得怎么样？1、简算下列各题（15分钟完成） 710 ×101- 710 89 ×89 ÷89 ×89 35 × 99 + 35( 47 + 89 )×225 （712 - 15 ）×60 47 ×613 +37 ×6132538 ×8 227 ×(15×2728 )×215 1521 ×34 + 1021 ×34 - 34345 ×25 36×3435 ( 56 - 59 )×185【例题精讲】例1： 1716×18 解：1716×（17＋1）=16＋1716=161716 【做一做】 49 × 4950 51× 5019例2：先计算前两个算式，再写出第三个算式的得数 ①11 ×12 + 12 ×13= ② 11 ×12 + 12 ×13 + 13 × 14 =③ 11 ×12 + 12 ×13 +……+19 ×110 =【小提示】计算后观察规律，才能找到方法。

五年级奥数题下册一、数的整除特征1. 题目一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？解析：因为88 = 8×11，所以这个数既是8的倍数又是11的倍数。

- 是8的倍数的特征：一个数的末三位如果是8的倍数，这个数就是8的倍数。

所以56□是8的倍数，那么□ = 0或8。

- 是11的倍数的特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。

当末位是0时，奇数位数字之和为2 + □+6 = 8+□，偶数位数字之和为3+5 + 0=8，(8 + □)-8 = □，要使它是11的倍数，□ = 0。

此时这个六位数是230560，230560÷88 = 2620。

当末位是8时，奇数位数字之和为2+□ + 6=8+□，偶数位数字之和为3 + 5+8 = 16，(16-(8 + □))=8 - □，要使它是11的倍数，□ = 8。

此时这个六位数是238568，238568÷88 = 2711。

二、质数与合数1. 题目已知三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？解析：质数中除2以外都是奇数。

三个奇数的和是奇数，而80是偶数，所以这三个质数中必有一个是2。

另外两个质数的和为80 - 2=78。

要使乘积最大，另外两个数要尽量接近，78 = 37+41。

所以这三个质数的积最大是2×37×41 = 3034。

三、因数与倍数1. 题目有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段？解析：- 每隔3厘米作记号：180÷3 - 1 = 59（个）（减1是因为绳子一端不用作记号）- 每隔4厘米作记号：180÷4 - 1 = 44（个）- 3和4的最小公倍数是12，重复的记号有：180÷12 - 1 = 14（个）总共的记号数为59 + 44 - 14 = 89（个）所以绳子共被剪成了89+1 = 90段。

五年级奥数题：数的整除性⼆数的整除性(B)年级班姓名得分⼀、填空题1. ⼀个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2. 123456789□□,这个⼗⼀位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最⼩是_____.3. 下⾯⼀个1983位数33…3□44…4中间漏写了⼀个数字(⽅框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间⽅框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,⽽且⽐这个两位数⼤1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. ⼀个⼩于200的⾃然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个⾃然数是_____.7. 任取⼀个四位数乘3456,⽤A表⽰其积的各位数字之和,⽤B表⽰A的各位数字之和,C表⽰B的各位数字之和,那么C是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从⼩到⼤排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最⼤的是_____.10. 所有数字都是2且能被66……6整除的最⼩⾃然数是_____位数.100个⼆、解答题11. 找出四个互不相同的⾃然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最⼤的数与最⼩的数的和尽可能的⼩,那么这四个数⾥中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某⼀位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名⼠兵排成⼀列横队.第⼀次从左到右1、2、3、4、5（1⾄5）名报数；第⼆次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1⾄6）报数，既报1⼜报6的⼠兵有多少名？14．试问,能否将由1⾄100这100个⾃然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都⾄少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出⼀种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 2620或2711⼀个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,⼜是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从⽽可知这个六位数个位上的数是0或8.⽽11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个⽅框内填⼊的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能或⼜238568÷88=2711所以,本题的答案是2620或2711.2. 0因为36=9?4,所以这个⼗⼀位数既能被9整除,⼜能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个⼗⼀位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最⼩是0.3. 633...3□44 (4)个个=33...3?10993+3□4?10990+44 (4)990个个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要个个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间⽅框内的数字是6.4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,⽽3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.[注]“三个连续⾃然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续⾃然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，)2+nn+n能被3整除.)1((++5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,⽽且⽐这个两位数⼤1的数,如果⼗位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数⼀定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.6． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，⽽且15?15=225>200,所以其中⾄少有1个因数⼩于15,⽽且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于⼩于200的⾃然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,⼗位必是偶数.所以只需检查13的倍数中⼩于200的三位数13?13=169不合要求,13?15=195适合要求.所以,答案应是195.7. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或⼋位数两种可能.因为3456=384?9,所以任何⼀个四位数乘3456,其积⼀定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下⼋种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从⽽A的各位数字之和B总是9,B 的各位数字之和C也总是9.8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由⼩到⼤排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.9. 7410根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，⽽⼗位、百位、千位上数字的和是3的倍数。

二数的整除性(B)一、填空题1. 一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4. 有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9. 从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10. 所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11. 找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12．只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13．500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14．试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.———————————————答案——————————————————————1. 2620或2711一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8又 23056088=262023856888=2711所以,本题的答案是2620或2711.2. 0因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.3. 633...3□44 (4)991个 991个=33…310993+3□410990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要 990个 990个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是 6.4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n ,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，)2()1(n n n 能被3整除.5. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.6． 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是195.7. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B 的各位数字之和C也总是9.8. 9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.9. 7410根据能被2、3、5、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。

五年级奥数题数的整除问题【三篇】
导读：本文五年级奥数题数的整除问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】判断123456789这九位数能否被11整除? 解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。

【第二篇】判断13574是否是11的倍数? 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。

【第三篇】判断3546725能否被13整除? 解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.。

数的整除（1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。

（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。

（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。

（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。

反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。

整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。

（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。

（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。

（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。

（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。

奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？例3：任意取出1998个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例4：有“1”，“2”，“3”，“4”四卡片，每次取出三组成三位数，其中偶数有多少个？【精英班】【竞赛班】例6：某市举办小学生数学竞赛，共20道题，评分标准是：答对一题给5分，不答一题给1分，答错一题倒扣1分，如果1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？【课后分层练习】A组：入门级1、判断306371能否被7整除？能否被13整除？2、abcabc能否被7、11和13整除?3、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。

第九讲数的整除性常见数字的整除判定方法1.能被2整除的数：个位上是0,2,4,6,8；能被5整除的数：个位上是0，5；能被3（9）整除的数：各位数字和是3（9）的倍数；能被4（25）整除的数：末两位数能被4（25）整除；能被8（125）整除的数：末两位数能被8（125）整除；能被7（11,13）整除的数：末三位数与前几位数字和之差（大减小）能被7（11,13）整除；能被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）能被11整除；能被11整除的数：每三位数隔成一段，奇数段之和与偶数段之和之差（大减小）能被11整除。

2. 因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。

3.判断一个数能否被27或37整除的方法：对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。

例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

巩固、已知10□8971能被13整除，求□中的数。

例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？例3在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？巩固、.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？12例4 abcabc 能否被7,11,13整除？巩固、说明12位数ba abbaabbaab 一定是3,7,13的倍数。

例5 如果41位数321Λ321Λ920520999 □555个个能被7整除，那么中间方格内的数字是几？巩固、一个201位数，321Λ321Λ21001100222 □111个个能被13整除，□中填 。

例5 判断下列各数能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。

数的整除数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5;63÷7=9一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。

如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）;并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。

例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。

即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。

例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。