第一章 逻辑代数基础

辑变量为F，如图示，当A1，A2，„An的取值确定后，F的值 就唯一地被确定下来，则称F为A1，A2，„An的逻辑函数，
记为
F=f（ A1，A2，…An）
输 入 逻 辑 变 量
A1
An
逻 辑 网 络
F
输出 逻辑 函数
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二、逻辑函数地表示方法
1、逻辑表达式 是由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符 所构成的式子，是一种用公式表示逻辑函数的方法。
• 逻辑变量集：是指逻辑代数中所有可能变量的集合，它可用任何字母表示，但每一个变量 的取值只可能为常量1或0。
逻辑变量：是指逻辑代数中的变量，一般用大写字母A、B、 C、…表示， 逻辑变量的取值只能有两种，即逻辑0和逻辑1。 0和1称为逻辑常量。
• 但必须指出，这里的逻辑0和逻辑1本身并不表示数值的大小，而是表示两种完全对立的状 态，如：是与非、真与假、有与无等。
◆ 硬件设计语言法 是采用计算机高级语言来描述逻辑函数并进行逻辑设计的 一种方法，它应用于可编程逻辑器件中。目前应用最广泛的硬 件设计语言有ABLE-HDL、 VHDL等。
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三、逻辑函数的标准形式
1、基本形式
（1）与或表达式（又叫积之和表达式） 是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“与”项， 其中每个“与”项由一个或多个原变量或反变量组成，这些 “与”项相“或”就构成一个与或表达式。
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②最小项编号 下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量 记为0，当变量顺序确定后，按顺序排列成一个二进制数， 与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下 标i。
（A，B，C） 3个变量有23（8）个最小项
A BC A BC ABC ABC A BC 最小项 二进制数 000 001 010 011 100 十进制数 0 1 2 3 4
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或逻辑函数表达式 F=A+B
或逻辑运算的基本规律
或运算符，也可用 “∨”、“∪”表示
国内常用 有 1 出 1；全 0 出 0 “或”门电路 实现“或”逻辑关系的电 路称为“或”门电路，简称 “或”门。
A B (b) A B ≥1 (c) A B
＋
F
(a)
国外常用
结合律 A B C A B C 分配律
A B C A B C A B C A B A C
A ( A B) A
A B C ( A B) ( A C )
吸收律
A A B A
A B A B A A A B A B
( A B) ( A B) A
A( A B) AB
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【证明】: A+BC=(A+B)(A+C)
证明: 右边=AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC =A(1+B+C)+BC =A • 1+BC =A+BC =左边 ; ; ; ; ; 分配律 分配律,重叠律 分配律 0-1律 0-1律
F A B
运算次序：先“或”，再“非”
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 1 0 0 0
或非门逻辑符号
A B A B A B +
国标符号
≥1
F
国外常用
F
国内常用
或非逻辑运算基本规律： 有“1”出“0”； 全“0”出“1”。
F
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3. 与或非逻辑（AND-OR-NOT） 与或非逻辑表达式
例如： F f A, B AB A B
2、真值表 是由逻辑变量的所 有可能取值组合及其对应 的逻辑函数值所构成的表 格，这是一种用表格表示 逻辑函数的方法。
上例逻辑函数真值表
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 0 0 1
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3、卡诺图
卡诺图是逻辑函数的图形表示法，卡诺图是由表示逻辑变 量的所有可能组合的小方格所构成的图形。
例如：
F f A, B, C, D A B C A BC D
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（2）或与表达式（又叫和之积表达式）
是指一个逻辑函数表达式中包含有若干个“或”项， 其中每个“或”项由一个或多个原变量或反变量组成，这 些“或”项相“与”就构成一个或与表达式。
例如：
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
1 1 1 0
F AB
运算次序：先“与”，再“非”
与非门逻辑符号
国标符号
A B A B A B
&
F
国外常用
F
国内常用
与非逻辑运算基本规律： 有“0”出“1”； 全“1”出“0”。
F
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2. 或非逻辑（NOR） 或非逻辑表达式
或非逻辑真值表
与或非门逻辑符号
A B C D &
≥1
国标符号
F AB CD
运算次序：先“与”，再“或”，最后 “非”
F
国外常用
与或非逻辑真值表
AB 0 0 1 1
CD 0 1 0 1
F 1 0 0 0
A B
C D A B C D
F
国内常用
+
F
与或非逻辑运算基本规律： 各组均有0出1，某组全1出0
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证明:
左边=A（1+B+C)+BC ; 0-1律 =A+AB+AC+BC ; 分配律 =AA+AB+AC+BC ；重叠律 =A(A+C)+B(A+C) ；分配律 =(A+B)(A+C) ；分配律 =右边
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1.2 逻辑函数及其标准形式
一、逻辑函数的定义
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1，A2，„An，输出逻
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四、逻辑代数公理 0-1 律 重叠律 互补律 还原律 交换律
1 A 1
1 A A
0 A A
A A A
0 A 0
A A A
A A 1
A A 0
AA
A B B A A B B A
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与逻辑函数表达式
与运算符，也有用 “∧”、 “∩”、“&”表示
F=A· =AB B
与逻辑运算的基本规律
有0出0；全1出1
A B
国内常用
F (a) A B (b) A B
“与”门电 路 实现“与”逻辑关系的电 路称为“与”门电路，简称 “与”门。
国外常用
F
国标符号
F
国标符号
F
或门逻辑符号
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3、非逻辑（逻辑反、非运算、NOT）
当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备 时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。
A
F
电路功能表 开关A 断开 闭合 灯Y 亮 灭
非逻辑的真值表 A Y 0 1 1 0
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4. 异或逻辑（XOR） 异或逻辑表达式
异或门逻辑符号
A B
A B
=1
国标符号
F A B AB A B
异或逻辑真值表
F
国外常用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
国内常用
A B
⊕
F
A
0 0 1 1
B
0 1 0 1
F
0 1 1 0
异或逻辑运算基本规律： 同为“0”； 异为“1”。
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5. 同或运算（XNOR） 同或逻辑表达式
当逻辑变量为n时，其卡诺图由2n个小方格组成。
B A A A A A B
AB
B
B
B
A A C C
ABC
B
C
C
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◆ 逻辑图法 采用规定的图形符号，来构成逻辑函数运算关系的网络图形。 ◆ 波形图法 一种表示输入输出变量动态变化的图形，反映了函数值随 时间变化的规律。
◆ 点阵图法 早期可编程逻辑器件中直观描述逻辑函数的方法。
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逻辑代数与普通代数比较
相似处： 用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。
相异处： 逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数， 变量称逻辑变量。 逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用 1和 0 表示。 逻辑代数中的变量只有三种运算，即“或”运算、“与”运 算及“非”运算。
F f A, B, C A BA C A B C
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2、最小项及最小项表达式
（1）最小项
【例】: F f A, B A B 解： F f
AB B B A A AB AB B A B A A B AB AB
A, B
A B
上式由若干个“与”项之和组成，每个“与”项都具有以下特 点： •包含了该逻辑函数的全部逻辑变量； •每个变量在每个“与”项中只能以原变量或反变量的形式出 现一次。