(常微分方程)第3章线性方程

(3.7)
在I1上一致收敛.以K表示|A(t)|和|A(t)ξ+f(t)|在I1上的一个公共上 界.于是当t∈I1时,有
1 (t ) 0 (t )

t
t0
( A( s ) f ( s)) d s K t t0 .
第3章 线 性 方 程
用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有
期函数,当且仅当φ(0)=φ(ω).
第3章 线 性 方 程
例3.1
解
半径为R的球一半沉入水中，用手将其稍微向下
按后放手，球即上下振动，求振动周期. 以球原位置为坐标原点，x为球心位移.球密度
1 (kg/m3)，水密度ρ=1(kg/m3)，则有 2
2 3 x 1 4 d x x R3 2 g ( R 2 x 2 ) d x g ( R 2 x ) 0 2 3 dt 3
然数m，有
A A
m
m
第3章 线 性 方 程
(3)三角不等式：若y也是n维向量，则|x+y|≤|x|+|y|.
(4)若x(t)Hale Waihona Puke n维向量，且在a≤t≤b上连续，则

b
a
x(t ) d t x(t ) d t
a
b
第3章 线 性 方 程
3.2 解的存在性与唯一性
对于一个不能用初等积分法求解的微分方程，首要问题
是，它是否有解？更明确地说，是否有满足给定初值条件的 解？进而还要问：满足给定初值条件的解是否唯一？这些问
题得不到满意的回答，就很难再谈关于这一方程的其他研究.
下面的定理就线性方程组的情形对上述问题给出了完满的回 答，它是线性微分方程理论的基础.
第3章 线 性 方 程
定理3.1
设A(t)和f(t)均在区间I上连续，则对任一t0∈I
x(t ) 0 , t I .
引理证完.
第3章 线 性 方 程
注 3.1 定理 3.1 显然包含这样一个基本事实，即方程组(3.2) 的任何解都能延拓到整个区间 I 上. 为了说明这一点，设 x (t ) 为 (3.2) 的任一解，其定义区间为
I 0 I .任取 t 0 I 0 ，并令 ξ (t 0 ) .根据定理 3.1，(3.2)于 I 上
将定理3.1应用于方程组(3.3)特别就有
第3章 线 性 方 程
引理3.1
证明
方程组(3.3)的解，若在区间I的某点处为零
（向量），则必在区间I上恒等于零（向量）. 设x=x(t)是方程组(3.3)在I上的解，它在t0∈I处为 零（向量）,则x=x(t)是方程组(3.3)满足初值条件x(t0)=0的解. 由于x=0也是此方程组满足同一初值条件的解，因此根据定 理3.1所指出的唯一性即知，必有
致收敛性，就得到
m (t ) m1 (t )
K t t0
m
m
, t I1 .
(t ) (A(s) (s) f (s))d s, t I1 ,
t0
t
第3章 线 性 方 程
即 x ( t ) 是积分方程组 (3.5) 在 I 1 上的一个连续解 . 既然
它就在 I 上处处收敛，其极限函数仍记为 ( t ) .函数 ( t ) 既然 在 I 的任何含 t 0 的闭子区间上是(3.5)的连续解，它当然在整 个 I 上也是如此.
k (t ) 在 I 的任何含 t0 的有限闭子区间上都一致收敛，特别
第3章 线 性 方 程
(4)证明唯一性，即证明：如果x=ψ(t)，在区间 I 0 I 上 是方程组(3.5)的连续解，且t0∈I0，则在I0上必有
也可简记为
x(t0 ) ξ,
其中为维列向量，即向量的转置.以后凡谈到向量，如无特
殊说明，都是指列向量.
为了便于对写成向量和矩阵形式的微分方程组(3.2)进 行讨论，我们引进一些记号和概念.
第3章 线 性 方 程
称一矩阵（包括作为特殊矩阵的向量）函数是连续（或
可微，或连续可微，等等）的，指的是它的每一个元素都是 连续（或可微，或连续可微，等等）的；一矩阵函数的导数 （或积分，或极限）,是指这样一个矩阵函数，它的各个元 素是原矩阵的相应元素的导数（或积分，或极限）；称一矩 阵函数序列是收敛（或在区间Ｉ上一致收敛）的，指的是它 的每一个相应元素作成的序列是收敛（或在区间I上一致收 敛）的. 如果
(t ) (t )
N t t0
3
2
, t I1 .
1 m 1 (t ) (t ) N t t 0 m!
m
, t I1 .
令m ， 即见(3.8)于 I1 上成立.由 I1 的任意性就知(3.8)必在 I 0 上成立.定理全部证完. 以下我们总假设 A(t) 和 f (t) 均于区间 I 上连续.
第3章 线 性 方 程
(3)证明序列{φk(t)}在区间I内一致收敛（即在I的任意有
限闭子区间上一致收敛），且其极限函数是积分方程组(3.5) 在区间I上的连续解. 事实上，假设I1是I的一个任意给定的有限闭子区间，且 t0∈I1.由序列与级数的关系知，只需证明无穷级数
(
m 1

m
(t ) m1 (t ))
方程，虽然结构简单，但一般不能用初等积分法求得它的通 解表达式.然而，人们可直接根据方程的特点，从理论上推 断它的通解具有简单而清晰的结构.这一重要事实不仅是线 性方程理论的基石，而且在非线性方程的研究中也有着重要 的应用.
第3章 线 性 方 程
由于高阶微分方程式总可以化成一阶微分方程组，因此
本章将首先研究一阶线性微分方程组，然后将一阶线性微分 方程组的结果应用到高阶线性微分方程式上.所谓一阶线性 微分方程组,是指形如
A( s )( ( s ) ( s )) d s N

t
t0
( s) ( s) d s .
(3.9)
(t ) (t ) N 2 t t0 , t I1 .
第3章 线 性 方 程
把它代入式(3.9)右端，进而得到
2! 用数学归纳法容易证明，对任意自然数m，有
d x1 d t a11 (t ) x1 d x n an1 (t ) x1 dt
(i,j=1,…,n)
a1n (t ) xn f1 (t ),
(3.1)
ann (t ) xn f n (t )
的方程组，它的右端是x1,…,xn的线性函数，这里aij、fi 都是区间I上的已知函数.
第3章 线 性 方 程
为了书写方便，引进向量和矩阵记号.记
d x1 dt x1 a11 (t ) dx x , , A ( t ) d t x a (t ) dx n n1 n dt
利用这些方法，人们可以求得方程的通解表达式.然而，能 用初等积分法解出的微分方程是很少的.这就迫使人们将注
意力转移到直接根据方程的结构以及出现在方程中的函数的
性质去探索解的各种性质，建立方程的各种理论.本章至第5 章所要讲述的就是沿着这个方向建立的基本理论和基本方法.
第3章 线 性 方 程
本章研究一类具有特殊结构的方程，即线性方程.这类
第3章 线 性 方 程
(2)用逐步逼近法构造皮卡（Picard,1856-1941）序列，
即
0 (t ) ξ,
k (t ) ξ (A(s)k 1 (s) f (s))d s, k 1, 2 ,
t0 t
.
用数学归纳法容易证明，φk(t)(k=1,2,…)在区间I上有定义且 连续.
和任意n维常向量ξ,方程组(3.2)恒有定义在整个区间I上且满 足初值条件式(3.4)的解.此外，方程组(3.2)也只能有一个解 满足初值条件式(3.4). 证明 组： 这个定理的证明分4步完成. (1)把初值问题式(3.2)、(3.4)
x(t ) ξ (A(s)x(s) f (s)) d s,
有解 x ( t ) 满足初值条件(3.4)，并且在 I 0 上， (t ) (t ) .
注3.2
皮卡迭代序列提供了近似求解方程组(3.2)的初值 设I=R1且A(t)和f(t)是以正数ω为周期的周期函
问题的方法.
注3.3 数,x=φ(t)是方程组(3.2)在R1上的解，则φ(t)是以ω为周期的周
x c11 (t ) cnn (t )
也是方程组(3.3)的解.但它未必是方程组(3.3)的通解.例如当
x1 x , x n
a11 A a n1
a1n ann
第3章 线 性 方 程
则记
x xi ,
i 1
n
A aij ,
i 1 j 1
n
n
而依次称为向量x和矩阵A的模，也称为范数.从定义出发， 容易推出如下几个不等式： (1)|Ax|≤|A|· |x|. (2)若B也是n×n矩阵，则|AB|≤|A|· |B|；特别对任意自
齐次线性方程组的最基本的性质是它的解具有可叠加性，
即下面的结论成立.
第3章 线 性 方 程
引理 3.2 （叠加原理） 若 x 1 (t ) 和 x 2 ( t ) 都是方程组(3.3) 的解，则对任意常数 c1 , c2 , x c11 (t ) c2 2 (t ) 都是方程组 (3.3) 的解. 由叠加原理知，若已知(3.3)的 n 个解 1 ( t ), , n (t ) ，则含任 意常数 c1 , , c n 的向量函数
则方程组(3.1)可以简写为
a1n (t ) f1 (t ) , f ( t ) . f (t ) ann (t ) n
dx A(t )x f (t ), dt
其中,A(t)和f(t)分别称为系数矩阵和非齐次项.
f(t)≡0时，式(3.2)变成
因x≈0(微振动)，故取近似微分方程为
即，角频率
2 3 R x" gR 2 x 3 3g 2R ，周期 T 2 2R 3g
第3章 线 性 方 程
3.3 齐次线性方程组的通解的结构
本节研究齐次线性方程组(3.3)的所有解所构成的集合的
结构.因为任何解都能延拓到I上，所以我们只考虑那些在I上 有定义的解.
(t ) (t )
(3.8)
为此， 设 I 1 为 I 0 的任一有限闭子区间， 且 t0 I1 ， 以 N 表示 A( t ) 和
( t ) ( t) 在 I 1 上的一个公共上界.由(3.5)知，当 t I 1 时
(t ) (t )
于是我们有

t
t0
m! 由此即见无穷级数(3.7)，从而序列 k (t ) 于 I 1 上一致收敛. 显然每一个 k ( t ) 都在 I 1 上连续，因此序列 k (t ) 的一致极 限 ( t ) 也在 I 1 上连续.在(3.6)中令 k ， 根据 k (t ) 的一
t0
t
(3.5)
等价的意思是：如果x=φ(t)是初值问题式(3.2)、(3.4)的解，则 它是积分方程组(3.5)的连续解；反之，如果x=φ（t)是积分方
程组(3.5)的连续解，则它必是初值问题式(3.2)、(3.4)的解.这
样一来，我们就只需证明：积分方程组(3.5)在区间I上有连续 解，且只能有一个连续解.
(3.2)
dx A (t ) x , dt
(3.3)
第3章 线 性 方 程
它称为齐次线性微分方程组.而当非齐次项 f (t ) 0 ，即 fi(t)(i=1,…,n)不都恒等于零时，式(3.2)称为非齐次线性微分
方程组. 初值条件
xi (t0 ) i , (i 1, 2, , n)
第3章 线 性 方 程
第 3章
3.1 引言
线性方程
3.2 解的存在性与唯一性
3.3 齐次线性方程组通解的结构 3.4 非齐次线性方程组通解的结构 3.5 边值问题和周期解 3.6 高阶线性方程
3.7 线性微分方程的一些求解方法
3.8 线性方程的复值解
第3章 线 性 方 程
3.1 引
言
在第2章中，我们介绍了解微分方程的一些初等积分法，