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三、向量组的线性相关性
若线性方程组 Ax b 有无穷多解, 则向量 b 可用矩阵 A 的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示. 设向量 b 有两个线性表示式 b h1a1 hm am 和 b l1a1
l m am
则
( h1 - l1 )a1
( hm - lm )am 0
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
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向量的加法运算 设向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 定义
a b (a1 b1 , , an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1, , an), k 为实数, 定义
§3.1 向量组的线性关系
一、n 维向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、向量组的线性相关性
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一、n 维向量及其线性运算
n 维向量空间 Rn
R n {(a1 , a2 ,
, an ) | a1 , a2 ,
, an R}
• Rn 中任一元素称为一个 n 维向量.
Ax 0 的任一解向量 x, 存在一组数 k1, , kn-r , 使
x k1x1
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kn- rx n- r >>>
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线性组合
给定向量组 a1, , am , 对任一数组 k1, , km, 称向量
b k1a1
k m am
为向量组 a1, , am 的一个线性组合, 称 k1, , km 为这个 线性组合的[表示]系数. 并称 b 可由 a1, , am 线性表示.
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例4 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
4 3 0 11 0 1 0 0 2 1 0 0 2 1 1 0
T T T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . (a1 , a2 ) x b1 T T T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示. (a1 , a2 ) x b2
,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1),
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
b 的两个表示式不同, 也即存在一组不全为零的数 k1 h1 - l1 , , km hm - lm
k1a1 km am 0 使成立 此时, 称向量组 a1, , am 线性相关. • 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示.
• 称 ai 为向量 a (a1, , an) 的第 i 个坐标[分量]. 以 ai (i 1, , n)为第 i 个坐标的向量可写成列形式
a1 a a n
• 坐标全为零的向量称为零向量, 记为 0. • 坐标完全一样的两向量 a, b 称为相等向量, 记为 a b.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
例3 设矩阵 A (a1, , am ), 则方程组 Ax b 有一组解
xi ki (i 1, , m), 也即
b k1a1 k m am
• 线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件是: 向量 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示. • 约定: 非特别交待时, 向量都采用列形式.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b ( -a )
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
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二、向量组的线性组合
• 若干同维向量的集合, 称向量组. • 向量组的一部分称部分组. 例1 设 e1 (1,0,
1 2 4 2 -1 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 5 1 11 1 2 4 4 1 0 -5 -5 -5 r 0 r 0 3 3 4 0 0 9 9 9 0
