向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规那么，12112212(,,,)t t t t k k
k a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。 2.线性表示
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+
那么称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k
a a a
b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解
当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。 3.向量组等价
设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由
12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，那么称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，那么称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：
(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 假设向量组I 与II 等价，那么向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 假设向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，那么向量组I 与III 等价。 证明：
自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。向量组II 可由III 线性表示，假设1t
j kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。向量组I 可由向量
组II 线性表示，假设1
s
i ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。因此，
1
1
1
1
1
()s s t t s
i ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅
因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。
向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述方法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。
因此，向量组I 与III 等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关
设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得
11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=
那么称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否那么，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。 按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组
1212(,,,)0t t k k
a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即
1212(,,,)0t t k k
a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭
只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。
特别的，假设t n =，那么12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当
12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。
例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。因为，假设a 线性相关，那么存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。而假设0a =，由于10a a ⋅==，
10≠因此，a 线性相关。
例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，假设,a b 线性相关，那么存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，那么2
1
k a b k =-
，故,a b 平行，即对应分量成比例。如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，那么0a b λ-=，于是,a b 线性相关。
例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪
=∈ ⎪ ⎪⎝⎭
都可以由其线性表示，且表示
方法唯一。事实上，
121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5.线性相关与无关的性质
