3.2.1几个常用函数的导数教案

几种常见函数的导数教学目标：1. 熟练掌握函数(),nC x n Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式2. 掌握利用函数(),nC xn Q ∈，sin ,cos x x 的导数公式求切线问题和瞬时速度问题3. 掌握切线问题的求解，注意讨论切点的情况4. 培养学生分类讨论的数学思想 教学重难点： 重点：函数(),nC x n Q ∈的导数公式难点：()nxn Q ∈导数公式的推导；切线问题的求解教学过程：1. 公式1：0C '=（C 为常数）2. 公式2：()()1,nn xnx n Q -'=∈证明：()()()nn y f x x f x x x x ∆=+∆-=+∆-()()21122n nn n nn n n n x C xx C x x C x x --⎡⎤=+∆+∆+⋅⋅⋅+∆-⎣⎦()()21122nn n nn n n C x x C x x C x --=∆+∆+⋅⋅⋅+∆∴()()()()2112200lim lim n nn n n n n n x x y f x x C x x C x x C x x --∆→∆→∆'⎡⎤'===∆+∆+⋅⋅⋅+∆⎣⎦∆1n nx -=注意：二项式定理的运用：()11,2,3,r n r rr n T C ab r n -+==⋅⋅⋅例如：()323x x '=， ()2213231222x x x x x ----'⎛⎫'==-=-=- ⎪⎝⎭11112221122x x x --'⎛⎫'==== ⎪⎝⎭与112P 例2 比较22513332233x x x ----''⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭3. 公式3 ()sin cos x x '=---------------------由正变邪易4. 公式4 ()cos sin x x '=--------------------由邪变正难（加负号） （不要求证明）例题：（1）115P 练习----------1，2 （2）瞬时速度问题： 116P 习题3.2-----1，2 （3）切线问题①116P 习题3.2-----3，4，5注意：求切线的步骤：（1） 先确定已知点()00,x y 是否为切点（在点处为切点，点在曲线上不一定是切点） （2） 求导数()f x '或y '（3） 求斜率()0k f x '=或0|x x k y ='= （4） 利用点斜式写出切线方程②已知函数3y x =，求过点()1,1P 的切线方程解: 点()1,1P 满足3y x =，所以在3y x =的图像上（1） 当点()1,1P 为切点时，23y x '=，所以1|3x k y ='==切线方程为()131y x -=-，即：320x y --=（2） 当点()1,1P 不是切点时，设切点为()300,x x ()01x=，则020|3x x k y x ='==所以切线方程为()20003y y x x x -=-，点()1,1P 在切线上，∴()32000131x x x -=-，即：32002310x x -+=，所以()()20001210x x x ---=()()2001210x x -+=，∴012x =- 切点为11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即：3410x y -+=注意：当切点不确定时，应对是否为切点进行分类讨论。

第3章　§3.2　导数的运算3.2.1　常见函数的导数学习目标1.能根据定义求函数y ＝C ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝ 的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数.1x问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　幂函数与一次函数的导数思考1　函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案　当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快.思考2你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(12x)1212x答案　f′(x)＝(x n)′＝nx n－1.梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数).(2)(x±)′＝±x±－1(±为常数).知识点二　基本初等函数的求导公式思考计算过程cosÀ6′＝－sin À6＝－12正确吗？ 答案 不正确.因为cos À6＝32为常数，其导数为0.梳理　原函数导函数f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a xln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝f (x )＝ln x f ′(x )＝f (x )＝x ±(±为常数)f ′(x )＝±x±－11x ln a1x4.若f (x )＝1x 2，则f ′(x )＝－2x 3.( )3.sin À3′＝cos À3＝12.( ) 2.(ln x )′＝1x .( )1.(e x)′＝e x.(　　)[思考辨析判断正误]√×√√题型探究类型一　利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x12；解　y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y＝1x4；解y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4 x5.(3)y＝5x3；解y′＝(5x3)′＝(35x31535x2535x2535x(4)y ＝2sin x 2cos x2；解 ∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ＝；解 y ′＝()′＝1x ln 12＝－1x ln 2. (6)y ＝3x.解　y ′＝(3x)′＝3xln 3.12log x 12log x反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.(1)f (x )＝；解f ′(x )＝ 12x ′＝12xln12＝－2－xln 2；跟踪训练1　求下列函数的导数：解 f ′(x )＝( )′＝1x ln 2＝2x ln 2；(2)f (x )＝2－x；(3)f (x )＝e 2；解　f ′(x )＝(e 2)′＝0；(4)f (x )＝cos x .解　f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x .2log x 2log x类型二　导数公式的综合应用命题角度1　利用导数公式解决切线问题例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由.设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12.所以切点为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.引申探究若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则在点x＝x0处的导数为2x0，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14.所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的.所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.命题角度2　利用导数公式求最值问题例3　求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20).∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为12，14，∴所求的最短距离d ＝12－14－22＝728.反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3　已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.¼AOB 解　设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP 的面积最大.¼AOB达标检测解析 ∵f ′(x )＝1x ln a ，则f ′(1)＝1ln a ＝－1，∴a ＝1e .1.设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝___.1e2.下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是____.④解析由求导公式知，(sin x )′＝cos x ，1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，故④正确.3.在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为_____.依题意，得－8x －30＝tan 135°＝－1，∴x 0＝2. (2,1)解析　y ′＝(4x －2)′＝－8x －3，设点P (x 0，y 0)，又P (x 0，y 0)在曲线y ＝4x 2上，∴y 0＝1.4.设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围为_______________.∴－1≤k l ≤1，∴±l ∈ 0，À4∪3 À4，À. 0，À4∪3 À4，À解析　∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，x2 x ＝32x32x解∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(1)y＝cos À6；解　y′＝0.(2)y＝1x5；5.求下列函数的导数.(3)y＝x2x；1232x解∵y＝解∵y ＝cosÀ2－x ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)y ＝lg x ；(6)y ＝cosÀ2－x .解 y ′＝1x ln 10.(5)y ＝5x；解　y ′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.规律与方法如求y ＝1－2sin 2x 2的导数.因为y ＝1－2sin 2x 2＝cos x ，。

3.2.1/1.2.1常见函数的导数（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】1．知识目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，体会算法的思想。

2．能力目标：进一步发展学生的思维能力.3．情感目标：体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法.【教学重点】基本初等函数的导数公式．【教学难点】基本初等函数的导数公式的推导．【教学过程】一、引入：利用导数的定义求函数的导数的流程是：你能根据如此流程计算下列函数的导数吗？（1）bkxxf+=)(；（2）2)(xxf=；（3）xxf=)(．1．以上求导公式可以归纳如下：（1）()kx b'+=（,k b为常数）；（2）='C（C为常数）；（3）()x'= ；（4）2()x'= ；（5）3()x'= ；（6）1()x'=；（7）'=．2．对于基本初等函数，有下面的求导公式：（8）)('ax=___________（a为常数）；（9）()x a'=（0>a，且1≠a）；（10）(log)ax'==（0>a，且1≠a）；（11）()x e'=；（12）=')(ln x；（13）=')(sin x；（14）=')(cos x．三、课堂反馈：1．下列结论：（1）'(cos )sin x x =；（2）'(sin )cos33ππ=；（3）若21()f x x =，则'2(3)27f =-； （4）'=正确的有__________________．2．函数1y x =的图象在点1(2,)2处的切线方程为____________________．3．若直线y x b =-+是函数1y x=图象的切线，则b = ，切点坐标为 ．4．若直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则b 的值为 ．5．求下列函数的导数：（1）100y x=； （2）4x y =； （3）y =； （4）41y x=； （5）5log y x =．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．过曲线3y x -=上的点1(2,)8的切线方程为 ．2．曲线()()n f x x n N *=∈在2=x 处的导数为12，则n =______________．3．（1）曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为________________．（2）曲线()f x =(16,8)Q 处的切线方程为 ．4．函数()ln f x x =在点p 处的切线方程为1y x =-，则点p 的坐标为____________．5．函数()y f x =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．6．求过曲线x y cos =上点)21,3(πP 且与过这点的切线垂直的直线方程为 ．7．求下列函数的导数：（1）23y x =-； （2）3y x =； （3）()3xf x =； （4）()ln f x x =．8．求下列函数的导数：（1）()cos f x x =； （2）()f x = （3）()2sincos 22x xf x =； （4）12()log f x x =．9．在曲线21x y =上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135．10．（1）求曲线()x f x e =在0x =处的切线方程；（2）求曲线()ln f x x =在（2,2e ）处的切线方程．小结反思：。

《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案【教学目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数． 【教学难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【教学过程】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像上点处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆三、小试牛刀 1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21x)′2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为 ( ) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1，1)C ．(2，8)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：3．质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求函数y =31x的导数： 2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度. 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A .1eB ．－1eC ．－eD ．e【课堂小结与反思】。

山高级中学生态循环课堂教案 高二数学（文 ） 第 19周 05 总编号：71 主备人：李凤廷3.2.1 常见函数的导数 班级 姓名一、教学目标1．能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2．能利用导数公式求简单函数的导数．二、教学重难点：基本初等函数的导数公式的应用． 三、教学方法 学生阅读课本为主，讲练结合。

四、教学过程教学流程教学方法 一、学生背诵：1．在一点处导数 2．导函数 分组检查二、学生展示问题一：在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？问题二：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：①求出P 点的坐标；②利用切线斜率的定义求出切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程．问题三：你会用导数的定义求下列各函数的导数：（1）b kx x f +=)( （b k ,为常数）； （2）C x f =)(（C 为常数）； （3）x x f =)(； （4）2)(x x f =； （5）3)(x x f =；（4） （6）xx f 1)(= （7）x x f =)(．问题四：1．几个常用函数的导数 ？ 2．基本初等函数的导数？学生口答 学生板书 思考： 由上面的结果，你能发现什么规律？ 三、学生互批：学生批改，教师强调学生展示错误的问题 分组互批 四、精讲归纳教师精讲例1利用求导公式求下列函数导数． （1）5-=x y ； （2）x x x y =；(3)3sin π=y ； （4）x y 4=； (5)x y 3log =； （6）)2sin(x y +=π； （7）)2cos(x y -=π．例2 若直线b x y +-=为函数xy 1=图象的切线，求b 及切点坐标．小结 求)(x f y =在某一点处的导数的一般步骤：（1）（2）（3）五、合作探究变式1 求曲线2x y =在点)1,1(处的切线方程． 变式2 求曲线2x y =过点)1,0(-的切线方程．变式3 已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．点评 求曲线“在某点”与“过某点”切线不一样．六、课堂检测： 1．见课本P82练习．第3题： ；第5题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 2．见课本P84习题3.2．第4题（1）： ； 3．见课本P85第12题（2）．=)4(f ；=')4(f ．教学反思：。

几个常用函数的导数教案导数是微积分中一个非常重要的概念，它表示函数在某一点的变化率。

对于常用函数，我们常常需要求它们的导数，这样可以帮助我们更好地理解函数的性质和解决一些实际问题。

下面是几个常用函数的导数教案。

一、常数函数的导数常数函数的导数很简单，因为函数的值在整个定义域上都是相同的，所以它的导数是0。

我们可以通过实例来说明这个问题：比如，函数y = 3的导数为dy/dx = 0。

因为无论x取任何值，y的值都是3，没有变化的趋势。

二、幂函数的导数幂函数是形如y = x^n (n为常数)的函数，它们的导数可以通过幂函数的求导公式来计算。

公式如下：dy/dx = n * x^(n-1)其中，n是幂函数中的指数。

我们可以通过实例来演示幂函数的导数计算：比如，函数y = x^3的导数为dy/dx = 3 * x^(3-1) = 3 * x^2三、指数函数的导数指数函数是形如y = a^x (a是常数)的函数，它们的导数可以通过指数函数的求导公式来计算。

公式如下：dy/dx = a^x * ln(a)其中，ln(a)是常数a的自然对数。

我们可以通过实例来演示指数函数的导数计算：比如，函数y = 2^x的导数为dy/dx = 2^x * ln(2)四、对数函数的导数对数函数是指形如y = log_a(x) (a是底数，x>0)的函数，它们的导数可以通过对数函数的求导公式来计算。

公式如下：dy/dx = 1 / (x * ln(a))我们可以通过实例来演示对数函数的导数计算：比如，函数y = log_2(x)的导数为dy/dx = 1 / (x * ln(2))五、三角函数的导数三角函数是常用的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的导数可以通过三角函数的导数公式来计算。

公式如下：dy/dx = cos(x) [对于正弦函数]dy/dx = -sin(x) [对于余弦函数]dy/dx = sec^2(x) [对于正切函数]我们可以通过实例来演示三角函数的导数计算：比如，函数y = sin(x)的导数为dy/dx = cos(x)函数y = cos(x)的导数为dy/dx = -sin(x)函数y = tan(x)的导数为dy/dx = sec^2(x)通过上述教案，学生可以初步了解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导规则，为后续学习提供基础。

《几种常见函数的导数》教案完美版第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的定义解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

强调导数的重要性：导数可以用来描述函数在某一点的增减性、极值等性质。

1.2 导数的计算方法讲解导数的计算规则：常数函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。

示例讲解：计算常见函数在某一点的导数，如f(x) = x^2, f(x) = e^x, f(x) = ln(x)。

第二章：线性函数和多项式函数的导数2.1 线性函数的导数引入线性函数的导数：线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其导数为f'(x) = a。

强调线性函数导数的简洁性：线性函数的导数恒为一个常数。

2.2 多项式函数的导数引入多项式函数的导数：多项式函数的一般形式为f(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + + a_1x + a_0，其导数为f'(x) = na_nx^(n-1) + (n-1)a_(n-1)x^(n-2) + + a_1。

示例讲解：计算多项式函数在某一点的导数，如f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4。

第三章：指数函数和对数函数的导数3.1 指数函数的导数引入指数函数的导数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。

强调指数函数导数的性质：指数函数的导数恒为一个正数。

3.2 对数函数的导数引入对数函数的导数：对数函数的一般形式为f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

强调对数函数导数的性质：对数函数的导数在定义域内为正数。

第四章：三角函数的导数4.1 正弦函数的导数引入正弦函数的导数：正弦函数的一般形式为f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。

强调正弦函数导数的周期性：正弦函数的导数也是一个周期函数。

4.2 余弦函数的导数引入余弦函数的导数：余弦函数的一般形式为f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

3.2.1 导数的计算(第1课时)一、教学目标 1.核心素养:通过学习常用函数的导数，培养学生的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）学会应用定义求函数的三个步骤推导五种常见函数的导数公式. （2）掌握并能运用这五个公式正确求函数的导数. 3.学习重点五种常见函数的导数公式及应用. 4.学习难点五种常见函数的导数公式的推导. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P81—P82，思考：推导常见函数的导函数的方法是什么？函数变化的快慢与其导函数有怎样的关系？ 2.预习自测1.下列函数中哪两个导函数是相同的A.2y x =B.23y x =C.234y x =+D.9y = 解：B2.下列哪个函数的变化速率最快A.2y x =B.32y x =-+C.13y x = D.4y x =+解：B（二）课堂设计 1.知识回顾（1）求()f x 在0x x =的导数的步骤为： ①求增量：00()()y f x x f x ∆=+∆- ②算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆③求极限：00'()limx y f x x∆→∆=∆（2）导数的几何意义：0'()f x 表示函数()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率. 2.问题探究问题探究一 （1）函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， 所以00limlim 00x x yy x ∆→∆→∆'===∆.0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态. （2）函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆，所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆.1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. （3）函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x +∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆.2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . （4）函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x xx x x -∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆.因为1y x=的图象是双曲线，所以图象上点(,)x y 处的切线的斜率随着x 的变化而变化.当0x >时，随着x 的不断增加，切线的斜率由负值不断增大，函数1y x=的值减少得越来越慢；随着x 的不断减小，切线的斜率由负值不断减小，函数1y x=的值增加得越来越快；当0x <时，与上面情况正好相反.（5）函数()y f x ==因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆==0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆想一想：对于幂函数*()()n y f x x n Q ==∈，其导函数是怎样的？ 若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=. 问题探究二 常见函数的导数的应用 例1 求函数2()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】详解：因为2()f x x =，所以'()2f x x =,因为切点为(1,1)，所以切线斜率'(1)2k f ==，所以切线方程为12(1)y x -=-,即21y x =-. 3.课堂总结 【知识梳理】 常见导数的公式:'0c =,'1x =,2()'2x x =,211()'x x =-,=.【重难点突破】准确应用推导方法推导出公式并掌握其应用. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则其在t 时刻的瞬时速度为（ ） A.22t B.2t C.4t D.t 【知识点：导数的物理意义】 解：C2.2()f x x=在1x =处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.1- D.2- 【知识点：导数的几何意义】 解：D3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列时刻的瞬时变化率： （1）1x =；（2） 1.1x =；（3）2x =-；（4）x t =. 【知识点：导数的几何意义】解：'()2f x x = (1)'(1)2f =；(2)'(1.1) 2.2f =；(3)'(2)4f -=-；(4)'()2f t t =. 4.求函数12()f x x =在(1,1)处的切线方程. 【知识点：导数的几何意义】解：'()f x =1'(1)2f ∴=,∴函数在(1,1)处的切线方程为1122y x =+. （三）课后作业 基础型1.下列结论不正确的是( )A.若0=y ，则0='yB.若x y 5=，则5='yC.若1-=x y ，则2--='x y D.若21x y =，则212-='x y【知识点：导数的求法】 解：D2.若函数x x f =)(，则)1(f '等于( )A.0B.12-C.2D.12【知识点：导数的求法】 解：D 3.抛物线241x y =在点(2,1)处的切线方程是( ) A.01=--y x B.03=-+y x C.01=+-y x D.01=-+y x 【知识点：导数的几何意义】 解：A4.已知3)(x x f =，则)2(f '＝( ) A.0 B.23x C.8 D.12 【知识点：导数的求法】 解：D5.质点作直线运动的方程是4t s =，则质点在3=t 时的速度是( ) 【知识点：导数的循物理意义】 A.43341 B.34341 C.34321 D.43431解：A 能力型6.过点P (－2,0)作曲线x y =的切线，求切线方程. 【知识点：导数的求法】解：因为点P 不在曲线x y =上，故设切点为Q (x 0，∵'y =，∴过点Q 的切线0=，∴x 0＝2，∴切线方程为：2)y x -=-，即：x－＋2＝0.7.质点的运动方程为21t s =，求质点在第几秒的速度为264-. 【知识点：导数的物理意义】解析：∵21t s =，∴221)(1t t t s -∆+=∆2222)()(t t t t t t ∆+∆+-=222)()(2t t t t t t ∆+∆+∆-=， ∴322022limt t t t t s t -=⋅-=∆∆→∆.∴64223-=-t，∴4=t .即质点在第4秒的速度为264- 8.求曲线xy 1=与2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积. 【知识点：导数的几何意义】解：两曲线方程联立得⎪⎩⎪⎨⎧==21x y x y ，解得⎩⎨⎧==11y x .∴21x y -='，∴11-=k ，2|212===x x k ，∴两切线方程为02=-+y x ，012=--y x .∴1131(2).224S =⨯⨯-=探究型9.函数2x y =)0(>x 的图像在点),(2k k a a 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a ，其中+∈N k ，若1a ＝16，则531a a a ++的值是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：21解析：∵x y 2='，∴过点),(2k k a a 的切线方程为)(22k k k a x a a y -=-，又该切线与x 轴的交点为(1+k a ,0)，所以1+k a ＝12k a ，即数列}{k a 是等比数列，首项1a ＝16，其公比q ＝12，∴3a ＝4，5a ＝1，∴531a a a ++＝21. （四）自助餐1.已知a x x f =)(，若2)1(-=-'f ，则a 的值等于( ) A.2 B.－2 C.3 D.－3 【知识点：导数的求法】 解：A2.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( ) 【知识点：导数的求法】 A.1 B.2 C.3 D.4 解：D3.曲线2x y =在点P 处切线斜率为k ，当2=k 时的P 点坐标为( )A.(－2，－8)B.(－1，－1)C.(1,1)D.11(,)28--【知识点：导数的求法】 解：C4.已知2)1()(x f x f '=，则)0(f '等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【知识点：导数的求法】 解：A5.曲线3x y =上的点P 的切线方程为( ) A.x y -= B.0=x C.0=y D.不存在 【知识点：导数的求法】 解：B6.若x y =表示路程关于时间的函数，则1='y 可以解释为________. 【知识点：导数的物理意义】解：某物体做瞬时速度为1的匀速运动.7.若曲线2x y =的某一切线与直线64+=x y 平行，则切点坐标是________. 【知识点：导数的几何意义】 解：(2，4) 8.过抛物线251x y =上点4(2,)5A 的切线的斜率为______________.【知识点：导数的几何意义】解：459.已知曲线xy 1=. (1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为13-的曲线的切线方程.【知识点：导数的几何意义】 解：∵1y x =,21'y x∴=-.(1)显然P (1,1)是曲线上的点.所以P 为切点，所求切线斜率为函数xy 1=在P (1,1)点导数.即1)1(-='=f k .所以曲线在P (1,1)处的切线方程为)1(1--=-x y ，即为2+-=x y .(2)显然Q (1,0)不在曲线x y 1=上.则可设过该点的切线的切点为)1,(aa A ，那么该切线斜率为21)(a a f k -='=.则切线方程为)(112a x aa y --=-.① 将Q (1,0)坐标代入方程：)1(1102a aa --=-.解得21=a ，代回方程①整理可得：切线方程为44+-=x y .(3)设切点坐标为)1,(a a A ，则切线斜率为21)(a a f k -='==13-，解得a ＝，那么)33,3(A ，)33,3(--'A .代入点斜式方程得)3(3133--=-x y 或)3(3133+-=+x y .整理得切线方程为33231+-=x y 或33231--=x y .。

§3.2.1几个常用函数导数1.通过阅读P83用心记忆基本初等函数的导数公式；（重点）2.通过阅读P83例1、例2，学会利用公式，会求一些函数的导数；（重点）3.通过老师讲解例3，会求曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线 的斜率及切线方程；（难点）：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆= （2）求平均变化率yx∆=∆ （2）（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim=二、学习新课环节一：函数()y f x c ==的导数.（针对目标一） 问题：如何求函数()y f x c ==的导数 学生分组分析归纳得出：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试一试： 求函数()y f x x ==的导数学生分组分析归纳得出：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 环节二：函数()y f x cx ==的导数.（针对目标一）问题：如何求在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.学生分组分析归纳得出（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？环节三： 典型例题（针对目标二、三） 例1 求函数1()y f x x==的导数变式： 求函数2()y f x x ==的导数学生分组分析老师带领学生归纳得出：利用定义求导数是最基本的方法，必须熟记求导数的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.学生分组分析老师带领学生归纳得出：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的. 动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程. 三、学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ） A ．0 B ．1 C ．不存在 D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .课后作业1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2.《世纪金榜》P57类型二的典例、P58易错案例的典例§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1.通过阅读P84两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；（重点）2.通过阅读P84两个函数的积(或商)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数.（难点）：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=；1()(0,ln log ax a x a'=>且1)a ≠；1(ln )x x '=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y （3）21y x =（4）(或差)积商的导数（针对目标一）新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=± [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 问题：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.学生分组分析归纳得出：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 环节二：典型例题（针对目标二） 例1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.例2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=学生分组分析归纳得出：一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.三、学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x =+的导数是（ ）A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是（ ） A ．2sin x x - B ．sin x - C ．2sin cos x x xx +- D ．2cos cos x x x x +-4. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为课后作业1. 求描述气球膨胀状态的函数()r V =. 2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.3.《世纪金榜》P60类型二的典例；P61易错案例的典例§3.3.1函数的单调性与导数学习目标1.通过阅读课本的P89感知函数的单调性的原理的形成过程，会利用导数判断函数的单调性；（重点）2.通过课本P91例题的讲解，总结出利用导数判断函数单调性的方法（难点）.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ； ()'x e = ； ()'x a = ；二、学习新课环节一：函数的导数与函数的单调性的关系（针对目标一）问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.学生分组分析归纳得出：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.环节二：典型例题（针对目标一、二）例1.判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.学生分组分析归纳得出：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.例2. 已知导函数的下列信息： 当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=. 试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.练1 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.学生分组分析归纳得出：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.三、学习小结用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的定义域；②求函数f (x )的导数()f x '.③令()0f x '=，求出全部导数等零的点；④导数等零的点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）A ．240b ac -<B ．230b ac -<C ．240b ac ->D ．230b ac -> 2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππD ．(2,3)ππ3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定 4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是 5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于 课后作业1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；（3）()cos ,(0,)2f x x x x π=+∈.2. 《世纪金榜》P62类型二的典例；P64易错案例的典例§3.3.2函数的极值与导数 学习目标 1.理解极大值、极小值的概念 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤.y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()yf x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 . 试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.总结：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它（是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件. ※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x的值(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升 ※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象. ※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导” ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+- 3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.§3.3.3函数的最大（小）值与导数 学习目标⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.复习1：若0满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]ba ,上必有最大值与最小值. 试试：上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 .图1 图2反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.※ 典型例题例1 求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤（1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.例2 已知23()log x ax b f x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1； 若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.变式：设213a <<，函数323()2f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．※ 动手试试练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．三、总结提升※ 学习小结设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.※ 知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ， ，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ）A ．2B ．4C ．18D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ）A ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C ．无最大值也无最小值D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32-4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是1. a为常数，求函数3=-+≤≤的最大值.f x x ax x()3(01)2. 已知函数32()39=-+++，（1）求()f x x x x a-上f x的单调区间；（2）若()f x在区间[2,2]的最大值为20，求它在该区间上的最小值.。

§1.2.1幾個常用函數的導數教學目標：1．使學生應用由定義求導數的三個步驟推導四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式； 2．掌握並能運用這四個公式正確求函數的導數． 教學重點：四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式及應用 教學難點： 四種常見函數y c =、y x =、2y x =、1y x =的導數公式 教學過程：一．創設情景我們知道，導數的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那麼，對於函數()y f x =，如何求它的導數呢？由導數定義本身，給出了求導數的最基本的方法，但由於導數是用極限來定義的，所以求導數總是歸結到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數的導數，這一單元我們將研究比較簡捷的求導數的方法，下面我們求幾個常用的函數的導數．二．新課講授1．函數()y f x c ==的導數根據導數定義，因為()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆ 函數 導數y c = 0y '=0y '=表示函數y c =圖像（圖3.2-1）上每一點處的切線的斜率都為0．若y c =表示路程關於時間的函數，則0y '=可以解釋為某物體的瞬時速度始終為0，即物體一直處於靜止狀態．2．函數()y f x x ==的導數因為()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆y x = 1y '=1y '=表示函數y x =圖像（圖3.2-2）上每一點處的切線的斜率都為1．若y x =表示路程關於時間的函數，則1y '=可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動．3．函數2()y f x x ==的導數因為22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 函數 導數2y x = 2y x '=2y x '=表示函數2y x =圖像（圖3.2-3）上點(,)x y 處的切線的斜率都為2x ，說明隨著x 的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導數作為函數在一點的暫態變化率來看，表明：當0x <時，隨著x 的增加，函數2y x =減少得越來越慢；當0x >時，隨著x 的增加，函數2y x =增加得越來越快．若2y x =表示路程關於時間的函數，則2y x '=可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻x 的瞬時速度為2x ．4．函數1()y f x x==的導數 因為11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆（2）推廣：若*()()n y f x x n Q ==∈，則1()n f x nx -'=三．課堂練習1．課本P 13探究12．課本P 13探究24．求函數y =四．回顧總結五．佈置作業。

《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案【教学目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数． 【教学难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【教学过程】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像上点处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆三、小试牛刀 1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21x)′2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为 ( ) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1，1)C ．(2，8)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：3．质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求函数y =31x的导数： 2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度. 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A .1eB ．－1eC ．－eD ．e【课堂小结与反思】。

《3.2.1 几个幂函数的导数》教案一､教材分析1､教学内容本节课的教学内容主要是从科学研究和工程技术的需要出发,通过一系列具体事例说明函数导数计算的作用,多面引发学生对学习导数的计算方法和有关运算公式的兴趣｡继而根据函数导数的定义推导出几个简单函数的导数｡2､教材的地位和作用本节课是高中新课程湖南教育出版社《数学》选修1—1第三章第二节的第1个课时,在此之前学生已对求自由落体的瞬时速度､求作抛物线的切线的问题作了探索,学习了导数的概念和几何意义,掌握了导数的定义与求导的方法,能够运用导数的定义解决一些实际问题｡通过这节课的学习学生将掌握几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡因此,我认为本节课有着承前启后的作用,也有着非常重要的实际意义｡3､教学重点难点:本节教学重点是牢固､准确地记住几种常见幂函数的导数,为求导数打下坚实的基础｡ 本节教学难点是灵活动用公式求导｡4､关于几个幂函数导数公式｡(1)y=c(c 为常数)的导数｡常数函数的导数为零的几何意义是曲线()f x c =(c 为常数)在任意点处的切线平行于x 轴｡(2)y=x2的导数公式的推导｡'2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化:5､“曲线上点P 处的切线”与“过点P 的曲线的切线”的区别｡在点P 处的切线,点P 必为切点;过点P 的切线,点P 未必为切点｡二､学情分析(1)学生已学习了平均速度的求法｡(2)学生已经知道了平均变化率,理解了平均变化率的几何意义就是过曲线上两点的割线的斜率｡(3)学生掌握了导数的定义和导数的几何意义,会利用导数的定义求函数的导数｡三､目标分析根据课程标准､教材内容､考虑到学生已有的知识结构和心理特征,我确定了如下的教学目标:知识与技能:了解函数导数运算的作用;理解并熟记课内推导出的几个幂函数导数公式并能运用公式求导｡过程与方法:学习过程中逐步掌握的“由特殊到一般,再由一般到特殊”的研究数学的思想方法,通过学习,能够鉴赏公式所蕴涵的数学美｡情感､态度与价值观:构建和谐平等的教学情境,尽可能让学生动脑､动手､动口,去发现､去猜想､去推导,激发不同层面学生的学习积极性｡四､过程分析建构主义的数学教学观告诉我们:数学教学不仅是一种“授予——吸收”的过程,而是学生作为主体的主动建构过程,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者｡为此,我设计了如下的教学环节:(一)创设情境,导入新课复习:1､导数的定义;2､用导数定义求导数有哪几个步;3､导数的几何意义为求运动物体的瞬时速度,要计算函数的导数;为了作出曲线在一点处的切线,要计算函数的导数;为了知道和评价事物变化的快慢和方向,要计算函数的导数｡在科学研究和工程技术活动中,大量问题的解决离不开导数的计算｡求函数的导数,和四则运算一样,如同家常便饭｡函数的导数的计算是如此有用,如此重要｡这一节我们就来学习导数的计算方法和有关的运算公式｡*教学意图:复习旧知识,通过情景引发学生的学习动机,明确学习目标｡(二)动手演算,发现规律推导下列函数的导数(1)()f x c =(2)()f x x =(3)2()f x x = (4)1()f x x =推导过程:(1)()f x c =解:()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆, '00()lim lim 00x x y f x x ∆→∆→∆===∆ (2)()f x x =解:()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆, '00()lim lim11x x y f x x ∆→∆→∆===∆｡ '1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y x =表示路程关于时间的函数,则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动｡(3)2()f x x =解: 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆, ''00()lim lim(2)2x x y y f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆｡ '2y x =表示函数2y x =图象上每点(x,y)处的切线的斜率为2x,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化: (4)1()f x x= 解: 211()()()1()y f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x-∆+∆--+∆+∆====-∆∆∆+∆∆+⋅∆, ''220011()lim lim()x x y y f x x x x x x∆→∆→∆===-=-∆+⋅∆ 思考:(1)如何求该曲线在点(1,1)处的切线方程?'(1)1k f ==-,所以其切线方程为2y x =-+｡(2)改为点(3,3),结果如何?1､通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,突破第一个教学难点:用导数的定义推导幂函数的导数｡2､让学生经历观察､分析､演算､归纳､发现规律的过程,掌握幂函数的导数｡3､在这个过程中,体现了建构主义的数学学习观和教学观,即学生和教师是“数学学习的共同体”,教师是学生学习活动的组织者､指导者､帮助者和促进者,也体现了培养学生实践能力的课改主旋律和教师是教学中“平等中的首席”的新理念｡(三)抽象概括,形成公式试猜想函数(),nf x x n Q =∈的导数,并证明｡得出结论:(n x )=nxn-1(n ∈ Q)1､让学生体会到从特殊到一般的过程,感受到研究问题是为了获得更一般的形式化表示｡2､通过问题的解决帮助学生理解导数的概念及其内涵,突出了重点,突破了难点｡(四)学以致用,提高能力练习:写出下列几个幂函数的导数(1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x-5 (4)y=x1/3 (5)y=x4/3例1:质点运动方程是S=1/t5,求质点在t=2时的速度.例2 立方体的棱长x 变化时,求其体积关于x 的变化率是立方体表面积的多少倍? 1､例题分析:以上练习和例题是为了让学生熟悉幂函数导数公式,并能简单应用｡2､例题的解析是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡(五)巩固新知,加深理解例3 求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程｡变式:写出过点A(3,5)并且和曲线 y=x2相切的直线的方程｡练习:求曲线y=x3在点p 的切线斜率为3,求点p 的坐标及切线方程｡1､为了检验学生对幂函数导数公式及其内涵的理解,巩固所学知识｡2､强调解答过程,练习的解答是培养训练学生运用知识解决问题的能力的过程,书写解题过程是对学生思路形成条理化､系统化的过程｡(六)反思小结,深化认识1､如何利用导数的定义推导得幂函数的导数公式｡2､研究问题的一般步骤3､记熟几个常用函数的导数结论,并能熟练使用;4.在今后的求导运算中,只要不明确要求用定义证明,上述几个结论直接使用｡通过反思,深化知识理解,完善认知结构,领悟思想方法,也培养了学生的主体意识,锻炼了学生的语言表达､总结归纳(七)布置作业,P99 习题4 1,4补充:求曲线x3-y=0在点(2,8)处的切线方程根据因材施教,面向全体的原则,使每个层面的学生都能在原有的基础上有所进步,为后面探究导数运算做好铺垫｡(八)板书设计标题:3.2.1几个幂函数的导数5个公式: 例题解析:推导过程例1例2例3整洁､有条理的板书可以让学生对自己所学的知识形成条理性,加深对知识的理解和掌握｡五､教､学法分析1､教法分析数学教学不仅是关注结果,更应关注过程与方法,注重培养学生探究的数学品质｡针对本节课的重点和难点,结合高二学生思维较活跃,有一定抽象思维能力特点,这节课我主要采用了直观演示､动手演算和引导发现相结合的体验教学法｡在学生认知发展水平和已有知识经验的基础上,通过抽象概括,由特殊推广到一般,展现了一个完整的数学探究过程:提出问题､寻找想法､实施想法､发现规律､给出结论,加深了学生对本节课的理解和掌握｡2､学法分析在教学过程中,这节课我通过学生观察､分析､演算､发现､归纳等探究活动,并通过学生动手､动眼､动口､动脑等活动,充分调动学生学习的积极性,积极参与了课堂,学会主动探究,发现问题､合作交流､归纳概括,并形成能力｡六､评价分析课前设想:通过课件展示问题情景,层层深入,接着通过学生观察､分析､演算､发现､讨论､归纳等探究活动,再通过类比､迁移的方法,使学生掌握几个幂函数的导数的公式并能灵活运用公式解题｡评价结果:学生在老师的启发引导下,主动参与探究活动,利用导数的定义推导出几个幂函数的导数的公式,体会数学思想,但学生在运用知识解决实际问题上有些困难,特别是把实际问题转化成数学问题的过程,和与导数的联系,这是我在教学过程中值得探究的问题｡。