2018北京市西城区高三(上)期末数学(理)

北京西城区2018-2019学年上学期高三期末数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，2{|5}B x x =≤，那么A B =（A ）{0,2,4} （B ）{2,0,2}- （C ）{0,2}（D ）{2,2}-2．在等比数列{}n a 中，若32a =，58a =，则7a = （A ）10（B ）16（C ）24（D ）323．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为 （A ）5 （B ）6 （C ）22 （D ）104．在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于（A ）1（B ）2（C ）3（D ）25. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，点B 在圆224x y +=上，则||OA OB -的最大值为 （A ）3 （B ）12+（C ）22+（D ）46. 设,0M N >，01a <<，则“log log a b M N >”是“1M N <+”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件侧(左)视图正(主)视图俯视图211 11“L ”形骨牌国际象棋棋盘（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 已知函数()sin πf x x =，2()2g x x x =-+，则（A ）曲线()()y f x g x =+不是轴对称图形 （B ）曲线()()y f x g x =-是中心对称图形 （C ）函数()()y f x g x =是周期函数 （D ）函数()()f x y g x =最大值为478. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则 （A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌（D ）前三个答案都不对第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数z 满足方程1i i z -⋅=，则z =____．10．已知角α的终边经过点(3,4)-，则tan α=____；cos(π)α+=____． 11．执行如图所示的程序框图，若输入的1m =，则输出数据的总个数为____．12．设x ，y 满足约束条件230,3,20,x y x y x y -+--+⎧⎪⎨⎪⎩≥≤0≥ 则3z x y =+的取值范围是____．m n =21n m =+ 开始 否 结束输出n是输入m(0,100)m ∈13. 能说明“若定义在R 上的函数()f x 满足(0)(2)0f f >，则()f x 在区间(0,2)上不存在零点”为假命题的一个函数是____．14．设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中， 3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11B BCC 为正方形，M ，N 分别是11A B ，AC 的中点，AB ⊥平面BCM ．（Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：1//A N 平面BCM ；（Ⅲ）若11A ABB 是边长为2的菱形，求直线1A N 与平面1MCC 所成角的正弦值．17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]等级次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a >）.质量指标值 频数 [15,20)2 [20,25)18B 1AMBA 1CC 1N甲企业 乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元. 一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较.18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值； （Ⅱ）如果函数2()()=f x g x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆222 1(2)2x y C a a +=>：的离心率为22，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.[25,30)48 [30,35)14 [35,40) 16 [40,45]2 合计100O质量指标值 15 20 25 30 35 40 45 0.020.0.022 频率组距0.0800.0420.028a20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N >：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤. 如果存在{2,3,,}k N ∈，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈，数列均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.A A。

北京市西城区2018 — 2019学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1i -- 10．43-；3511． 6 12．[1,)-+∞13．答案不唯一，如2()(1)f x x =-14．(2,0)-注：第10题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A = ……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A = ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=. ……………… 8分所以sin B =. ……………… 9分 又因为πA B C ++=，所以co s co s()co s co s s i ns C A B A B A B =-+=-+. ……………… 11分 所以cos cos B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面BCM ，BC ⊂平面BCM ，所以AB BC ⊥． ……………… 1分 由正方形11B BCC ，知1BB BC ⊥， 又因为1ABBB B =，所以BC ⊥平面11A ABB ． ……………… 3分 又因为BC ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面11A ABB ． ……………… 4分 （Ⅱ）设BC 中点Q ，连结NQ MQ ，．因为M ，N 分别是11A B ，AC 的中点， 所以//NQ AB ，且12NQ AB =． 又因为11//AB A B ，且11AB A B =， 所以1//NQ A M ，且1NQ A M =． 所以四边形1A MQN 为平行四边形．所以1//A N MQ ． ……………… 6分 又因为MQ ⊂平面BCM ，1A N ⊄平面BCM ， 所以1//A N 平面BCM ．……………… 8分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BA ，BM ，BC 两两互相垂直，因此以B 为原点，以BA ，BM ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． ………… 9分因为11A ABB 是边长为2的菱形，M 为11A B 的中点，且11A B BM ⊥， 易得1160BB A ∠=，则(0,0,0)B ，(2,0,0)A，(0,0)M ，(0,0,2)C，10)A，1(1,0)B -，1(12)C -，(1,0,1)N ． ……………… 10分所以1(0,A N −−→=，1(1,0,2)MC −−→=-，1(0)CC −−→=-. 设平面1MCC 的法向量为(,,)n x y z =，x则 110,0,MC CC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩令2y =，则x =，z =2,=n ． ……………… 12分 设直线1A N 与平面1MCC 所成角为α， 则111sin |cos ,|||||A N A N A N α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n nn =． 因此直线1A N 与平面1MCC． ……………… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分 （Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240. …… 6分且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较. X由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0， ……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a . ……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ， ……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分 对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--； max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1 ………… 11分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2 ………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a . ……………… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得222c a =-，c a =， ……………… 2分解得2a =，c C 的方程为22142x y +=. ……………… 3分设(0,)P m ，由点P 在椭圆C 的内部，得m < 又因为(2,0)A -，所以直线AM 的斜率0(022AM m m k -==∈+， ……………… 5分 又因为M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，所以2((0,)AM k ∈. ……………… 6分（Ⅱ）由题意F ，设00(,)M x y ，其中02x ≠±，则2200142x y +=. 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++. ……………… 7分令0x =，得点P 的坐标为002(0,)2y x +. ……………… 8分 因为002MB y k x =-，所以002AQ y k x =-. 所以直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =+-. ………………10 分 令0x =，得点Q 的坐标为002(0,)2y x -. 由002()2y FP x =+，002()2y FQ x =- ， ……………… 12分 得 FP FQ ⋅222000220042482044y x y x x +-=+==--， 所以FP FQ ⊥，即90PFQ ∠=，所以PFQ ∠为定值. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2, 4, 6, 8, 10不是4阶平衡数列；数列1, 5, 9, 13, 17是4阶平衡数列. ……………… 3分 （Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N . 考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=， 所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数. ………… 5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+这k 项，其和为(1)12k k S +'=+， 所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈. ……… 8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈-，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ， 因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈-.因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N -的公倍数. ……………… 9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6, 7的倍数，即213287,,,a a a a a a ---均为420的倍数 （注： 420为2, 3, 4, 5, 6, 7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯=，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项. ……………… 11分 如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a ---均为2, 3, 4, 5, 6的倍数，即213276,,,a a a a a a ---均为60的倍数（注：60为2, 3, 4, 5, 6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<<，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤，，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯=≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i =）时，167a a a +++取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈.如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等 于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873. ……………… 13分。

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．若会合A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单一递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．履行以下图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y知足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充足而不用要条件（ B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（ D）既不充足也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]能够为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不一样的产品摆成一排．若此中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左边，则不一样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获得一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试预计这天的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择互相独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的散布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60全部升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中全部升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只要写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，此中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)知足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对随意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，此中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中全部切合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其余正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）因为 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3所以 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）因为0 ≤ x ≤ π，2所以π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获得最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]所以 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这天的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9所以 X 的散布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获得X ~ B(2, 1) ，所以 E(X)2 1 2 ，相同给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 AB平面AA 1C 1C ，所以 A 1C AB ． [1 分 ] 因为三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，所以 四边形 AA 1C 1 C 为菱形，所以 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 所以 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）因为A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，所以 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 因为 平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，所以 A 1 A//EF ．[6 分 ]因为 平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，所以 A 1E //AF ．[7 分 ] 所以 四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．因为 AB平面 AA 1C 1C ，如图成立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．因为 BF2，所以 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4所以 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，所以 n ( 2,1,3) ．[11分 ]所以 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，所以二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，所以f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]因为f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]所以曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]因为a0，所以 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a所以存在独一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的状况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘所以因为且所以f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单一递加，在区间(x 0 , π) 上单一递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3， 所以 c 3 ．[2 分 ]a2因为 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 所以 b1，[4 分 ]所以 椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]所以 直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，所以 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21所以 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k因为 | PA| |MN |， 所以( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经查验均切合0 ，但 k3时不知足 PAMN 是平行四边形，舍去．2所以 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获得 ② 或只获得 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数挨次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假定 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对随意 s t2），与已知矛盾，所以q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假定 q2 1 ，则存在独一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等） ，与已知矛盾，所以q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]所以 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数挨次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获得的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下边证明 B n 知足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，①假如 a i a j 1 或 a i a j 2018，因为q1= 4, q2018= 4，所以切合条件；②假如 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，因为 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，所以也成立；③假如 a i1,a j 2 ，则可选用 a s2,a t a j 1 ；相同的，假如a i2017,a j 2018 ，则可选用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④假如1a i ≤a j2018 ，则可选用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这类状况每个数最多被选用了一次，所以也成立．综上，对随意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，此中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．所以B n知足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分 ]。

北京市西城区2017-2018学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图221 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1 6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）E FD P C A BB OC A NM二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.。

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项．1．若会集A{ x |0x 3} ，B{ x |1x 2} ，则A U B（ A）{ x | 1 x 3}（ B）{ x | 1 x 0}（ C）{ x |0 x 2}（ D）{ x | 2 x 3}2．以下函数中，在区间(0, ) 上单调递加的是（ A）y x 1（ B）y| x1|（ C）y sin x（ D）y1 x23．执行以下列图的程序框图，输出的S 值为（A）2（B） 6（C） 30（ D） 2704．已知M为曲线 C ：x3 cos , （为参数）上的动点．设O 为原点，则OM 的最y sin大值是（ A）1（B）2（C） 3（D）4x1≥ 0,5．实数x, y满足x y1≥ 0,则 2x y 的取值范围是x y≥1 0,（ A）[0,2]（B）(,0]（ C）[ 1,2]（ D）[0,)6．设a,b是非零向量，且a, b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的（ A）充分而不用要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不用要条件7．已知A，B是函数y2x的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线y 1 的距离相等，2则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是（A）(, 1)（B）(, 2)（C）(1,)（D）(2,) 8．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H] ）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位 mol/L ，记作 [OH ] ）的乘积等于常数10 14．已知 pH 值的定义为pH lg[H ] ，健康人体血液的pH 值保持在～之间，那么健康人体血液中的[H ]可以为[OH ]（参照数据：lg2 0.30 ， lg30.48 ）（A）1（B）1（C）1（D）1 23610第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．在复平面内，复数2i对应的点的坐标为____．1 i10．数列 { a n } 是公比为2的等比数列，其前n项和为S n．若a21____；S5 ____．，则 a n211．在△ABC中，a 3 ，C，△ ABC的面积为33 ，则c____．3412．把4 件不同样的产品摆成一排．若其中的产品A与产品 B 都摆在产品 C 的左侧，则不同样的摆法有 ____种．（用数字作答）13．从一个长方体中截取部分几何体，获取一个以原长方体的部分极点为极点的凸多面体，其三视图以下列图．该几何体的表面积是 ____．x2x, 2 ≤x≤c,14．已知函数f ( x)1 ,若 c0 ，则f ( x)的值域是____；若f (x)的值域c x ≤ 3. x是 [1,2] ，则实数c的取值范围是____．4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)2sin2x cos(2 x π) ．3（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；π（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值．216．（本小题满分13 分）已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时辰表．表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:17 1月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:36 2月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:56 3月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:16 3月22日6:156月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表 2：某年 2 月部分日期的天安门广场升旗时辰表日期升旗时辰日期升旗时辰日期升旗时辰2月 1日7:232月11日7:132月 21日6:592月 3日7:222月13日7:112月 23日6:572月 5日7:202月15日7:082月 25日6:552月 7日7:172月17日7:052月 27日6:522月 9日7:152月19日7:022月 28日6:49（Ⅰ）从表 1 的日期中随机选出一天，试估计这日的升旗时辰早于7:00 的概率；（Ⅱ）甲，乙二人各自从表 2 的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X 为这两人中观看升旗的时辰早于7:00 的人数，求X 的分布列和数学希望E( X ) ．（Ⅲ）将表 1 和表 2 中的升旗时辰化为分数后作为样本数据（如7:31 化为731）．记表 2 中60所有升旗时辰对应数据的方差为s2，表1和表2中所有升旗时辰对应数据的方差为 s*2，判断 s2与 s*2的大小．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1中，AB平面 AA1 C1C ，AA1 AB AC2，A1AC 60 .过 AA1的平面交 B1C1于点E，交BC于点F .（Ⅰ）求证：A1 C平面 ABC1；（Ⅱ）求证：四边形AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若BF2，求二面角 B AC1F的大小. BC318．（本小题满分13 分）已知函数 f (x) e ax sin x1，其中a 0．（Ⅰ）当a1y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；时，求曲线（Ⅱ）证明： f (x) 在区间 [0, π] 上恰有 2 个零点．19．（本小题满分14 分）已知椭圆 C :x2y2b 0) 过点 A(2, 0) ，且离心率为3．a22 1( a2 b（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 y kx 3 与椭圆 C 交于 M , N 两点．若直线x3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．20．（本小题满分13 分）数列A n：a1, a2, L , a n(n ≥ 4)满足：a1 1 ， a n m ， a k 1a k0 或1( k1, 2, L , n1) ．对任意i , j ，都存在s,t，使得a i a j a s a t，其中 i , j ,s,t {1,2, L ,n} 且两两不相等．（Ⅰ）若 m 2，写出以下三个数列中所有吻合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2 ；② 1,1,1,1,2,2,2,2 ；③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2（Ⅱ）记 S a1a2L a n．若m 3 ，证明： S≥ 20；（Ⅲ）若 m 2018，求n的最小值．北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末高三数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.1． A2．D3． C4．D5． D6．C7． B8．C二、填空题：本大题共 6 小题，每题5 分，共 30 分.9． ( 1,1)10． 2n3， 3111． 13412． 813． 3614． [ 1,)；[1,1]42注：第 10， 14 题第一空2 分，第二空3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由于 f ( x) 2sin 2x cos(2xπ 3 )1 cos2 xπ π [ 4分](cos2 x cossin 2 x sin )333 sin 2x31[ 5分]2cos2 x23sin(2 xπ 1 ，[7 分 ])3因此 f ( x) 的最小正周期T2π π． [8 分 ]2（Ⅱ）由于0 ≤ x ≤ π，2因此π π 2π[10分]≤ 2x≤3．33当 2 xπ π，即 x 5π时，[11分]3212f ( x) 获取最大值为3 1．[13 分 ]16．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）记事件 A 为“从表 1 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于7:00 ”，[ 1分]在表 1 的 20 个日期中，有15 个日期的升旗时辰早于7:00 ，15 3．[3 分 ]因此 P(A)4 20（Ⅱ） X 可能的取值为 0,1,2 ．[ 4 分 ]记事件 B 为“从表 2 的日期中随机选出一天，这日的升旗时辰早于 7:00 ”，则 P(B)51， P(B) 1 P(B)2 ． [5 分 ]15 33P( X0) P(B) P(B) 4 ；P( X 1) C 12 ( 1 )(1 1 ) 4 ；9 33 9 P( X2) P(B) P(B)1 ．[ 8分 ]9因此 X 的分布列为：X 0 1 2P4 4 1999E(X) 041 4 21 2 ． [10 分]999 3注：学生获取X ~ B(2, 1) ，因此 E(X)2 1 2 ，同样给分．33 3（Ⅲ） s 2s *2 ．[13分 ]17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由于 AB平面AA 1C 1C ，因此 A 1C AB ． [1 分 ] 由于三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AA 1 AC ，因此 四边形 AA 1C 1 C 为菱形，因此 A 1C AC 1 ．[ 3分 ] 因此 A 1C 平面 ABC 1 ．[4 分 ]（Ⅱ）由于A 1 A//B 1B ， A 1 A 平面 BB 1C 1C ，因此 A 1 A// 平面 BB 1C 1C ．[5 分 ] 由于 平面 AA 1 EF I 平面 BB 1C 1C EF ，因此 A 1 A//EF ．[6 分 ]由于 平面 ABC // 平面 A 1 B 1C 1 ，平面 AA 1 EF I 平面 ABC AF ，平面 AA 1 EF I 平面 A 1 B 1C 1A 1E ，因此 A 1E //AF ．[7 分 ] 因此 四边形 AA 1 EF 为平行四边形．[8 分 ]（Ⅲ）在平面 AA 1C 1C 内，过 A 作 Az AC ．由于 AB平面 AA 1C 1C ，如图建立空间直角坐标系 A - xyz ．[ 9分]由题意得， A(0,0,0) ， B (2,0,0) ， C(0,2,0) ， A 1 (0,1, 3) ， C 1 (0,3,3) ．由于 BF2，因此 BF2BC ( 4,4,0) ，BC 333 32 4因此 F( , ,0)．3 3由（Ⅰ）得平面ABC 1的法向量为 A1C (0,1, 3) ．设平面 AC F 的法向量为n ( x, y, z)，1则nAC10,3y3z0,即2x4y0. n AF0,33令 y 1 ，则x 2 ，z 3 ，因此 n ( 2,1,3) ．[11分 ]因此 | cos n , A1C|| n A1C | 2 ．[13分 ]| n || A1C |2由图知二面角 B AC1 F 的平面角是锐角，因此二面角 B AC1F的大小为 45 ．[14分 ]18．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）当 a1时， f (x)e x sin x 1 ，因此f(x)e x (sin x cosx) ．[ 2 分 ]由于f(0)1， f (0)1，[ 4 分 ]因此曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y x 1 ．[ 5 分 ]（Ⅱ）f ( )e ax (asinxcos )．[ 6 分 ] x x由f( x)0，得 a sin x cosx 0 ．[7 分 ]由于a0，因此 f (π0 ．[ 8分 ] )2当 xππcos x0，得 tanx1 (0,) U (,π) 时，由 a sin x．22a因此存在唯一的 x0( π, π) ，使得tanx01．[9 分 ]2a f ( x) 与 f ( x) 在区间(0,π)上的情况以下：x(0, x0 )x0( x0 , π) f( x)+0f (x)↗极大值↘因此由于且因此f (x) 在区间 (0, x 0 ) 上单调递加，在区间(x 0 , π) 上单调递减．[11分]π a πf ( x 0 )f (e21 0 ，[12分 ]) 1 e2f (0)f ( π) 1 0 ，f ( x) 在区间 [0, π]上恰有 2 个零点．[13 分 ]19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）由题意得 a2 ， e c3， 因此 c 3 ．[2 分 ]a2由于 a 2 b 2 c 2 ，[ 3 分 ] 因此 b1，[4 分 ]因此 椭圆 C 的方程为x 2 y 2 1 ．[5 分 ]4（Ⅱ）若四边形 PAMN 是平行四边形，则 PA //MN ，且 | PA| | MN |.[ 6 分]因此 直线 PA 的方程为 y k( x 2) ，因此 P(3,k) ， | PA |k 21．[ 7 分 ]设 M ( x 1 , y 1 ) ， N ( x 2 , y 2 ) ．y kx3,得 (4 k 2 1)x28 3kx 8 0 ，[ 8分 ]由4y 2 4, x 2由0 ，得 k 2 1 ．2且 x 1 x 28 3k， x 1 x 28 ． [ 9分 ]4k 2 14k 21因此 |MN|(k 2 1)[(x 1 x 2 )2 4x 1x 2] .(k 264k 2 32 ．[10分 ]1)21)2(4k由于 | PA| |MN |， 因此( k 21) 64k 232k 21 ．(4k 2 1)2整理得4 2 33 0 ， [12分 ]16k 56k解得 k3，或 k11[13分 ]2．2经检验均吻合0 ，但 k3时不满足 PAMN 是平行四边形，舍去．2因此 k3 ，或 k11 ．[14分 ]2220．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）②③．[3 分 ]注：只获取 ② 或只获取 ③ 给 [ 1 分 ] ，有错解不给分．（Ⅱ）当 m 3 时，设数列 A n 中 1,2,3出现频数依次为 q 1 , q 2 , q 3 ，由题意 q i ≥ 1 (i 1,2,3) ．① 假设 q 1 4 ，则有 a 1 a 2 a sa t （对任意 s t2），与已知矛盾，因此q 1 ≥ 4 ．同理可证： q 3 ≥4 ．[ 5分 ]② 假设 q2 1 ，则存在唯一的k {1,2,L , n}，使得 a2 ．k那么，对s,t ，有 a 1a k 1 2a sa t （ k,s,t 两两不相等） ，与已知矛盾，因此q 2 ≥ 2 ．[ 7分 ]综上： q 1 ≥ 4,q 3 ≥ 4, q 2 ≥ 2 ，3[ 8分]因此 Siq i ≥20 ．i 1（Ⅲ）设 1,2,L ,2018 出现频数依次为 q 1, q 2 ,..., q 2018 ．同（Ⅱ）的证明，可得 q 1 ≥ 4, q 2018 ≥ 4 ， q 2≥2,q 2017 ≥2 ，则 n ≥ 2026．取 q 1q20184,q 2q20172 ， q i 1,i 3,4,5, L ,2016 ，获取的数列为：B n :1,1,1,1,2,2,3,4, L L ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018 ． [10 分 ]下面证明 B n 满足题目要求．对i , j {1,2,L,2026} ，不如令 a i ≤ a j ，2018年北京市西城区高三第一学期期末数学试题及答案①若是 a i a j 1 或 a i a j 2018，由于q1= 4, q2018= 4，因此吻合条件；②若是 a i1,a j 2 或 a i2017, a j2018，由于 q1=4, q2018 = 4， q2=2,q2017=2 ，因此也建立；③若是 a i1,a j 2 ，则可采用 a s2,a t a j 1 ；同样的，若是a i2017,a j 2018 ，则可采用 a s a i1,a t2017，使得 a i a j a s a t，且 i, j , s,t 两两不相等；④若是1a i ≤a j2018 ，则可采用 a s a i1,a t a j 1 ，注意到这种情况每个数最多被采用了一次，因此也建立．综上，对任意 i , j ，总存在s,t，使得 a i a j a s a t，其中 i , j , s,t {1,2,L,n} 且两两不相等．因此B n满足题目要求，因此n 的最小值为2026．[13分 ]。

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由的否定的定义知p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点： 等比数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x ，即可求出x+y+z ． 解答： 解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1， 又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z= 由第一列，可得x=， 所以x+y+z=． 故答案为：．点评： 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力． 12．（5分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且AC=2AE ，那么=；∠A=．考点： 弦切角． 专题： 立体几何．分析： 证明△AEF ∽△ACB ，可得===，即可得出结论．解答： 解：由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， ∴∠AEF=∠C ， ∵∠EAF=∠CAB ， ∴△AEF ∽△ACB ，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n 0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故A（n）≤20m，令g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以A（n）≤20m．…（6分）令g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．。

市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学〔理科〕参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．(1,1)- 10．32n -，31411 12．813．3614．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]32cos 212x x =-+[5分] π)13x =-+， [ 7分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] 〔Ⅱ〕因为π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤． [10分] 当ππ232x -=，即5π12x =时， [11分]()f x 取得最1． [13分]16．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，[ 1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 153(A)204P ==．[ 3分] 〔Ⅱ〕X 可能的取值为0,1,2．[ 4分]记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00〞，那么 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分] 4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=．[ 8分]所以 X 的分布列为：X 0 1 2 P4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]注：学生得到X~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．〔Ⅲ〕22*s s <． [13分]17．〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥．[1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥．[3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ．[4分]〔Ⅱ〕因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以1//A A 平面11BB C C ．[ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以1//A A EF ．[ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [7分]所以 四边形1AA EF 为平行四边形．[8分] 〔Ⅲ〕在平面11AA C C ，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1A ，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由〔Ⅰ〕得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-． 设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，那么10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，那么2x =-，3z =-，所以 (2,1,3)=--n ． [11分]所以 111||2|cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分]18．〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕当1a =时，()e sin 1x f x x =⋅-，所以 ()e (sin cos )xf x x x '=+．[ 2分]因为 (0)1f '=，(0)1f =-， [ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-．[ 5分]〔Ⅱ〕()e (sin cos )axf x a x x '=+．[ 6分]由 ()0f x '=，得 sin cos 0a x x +=．[ 7分] 因为 0a >，所以π()02f '≠．[ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时， 由 sin cos 0a x x +=， 得 1tan x a =-．所以 存在唯一的0π(,π)2x ∈， 使得01tan x a =-．[ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)x 0x0(,π)x()f x '+-()f x↗极大值 ↘所以()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减．[11分]因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=， [12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以 ()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点．[13分]19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意得 2a =，c e a ==， 所以c ． [ 2分] 因为 222a b c =+，[ 3分]所以 1b =， [ 4分] 所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=．[ 5分]〔Ⅱ〕假设四边形PAMN 是平行四边形，那么 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分] 所以 直线PA 的方程为(2)y k x =-， 所以 (3,)P k，||PA [ 7分] 设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(41)80k x +++=， [ 8分] 由0∆>，得 212k >．且12x x +=122841x x k =+．[ 9分]所以||MN=[10分]因为 ||||PA MN =， 所以整理得 421656330k k -+=， [12分]解得k =，或k =[13分]经检验均符合0∆>，但k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以 k =k =[14分]20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕②③．[ 3分]注：只得到 ② 或只得到 ③给[ 1分]，有错解不给分．〔Ⅱ〕当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)i q i =≥． ①假设14q <，那么有12s t a a a a +<+〔对任意2s t >>〕，与矛盾，所以14q ≥．同理可证：34q ≥．[ 5分]② 假设21q =，那么存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2k a =．那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+〔,,k s t 两两不相等〕， 与矛盾，所以22q ≥．[ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以3120i i S iq ==∑≥．[ 8分]〔Ⅲ〕设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同〔Ⅱ〕的证明，可得120184,4q q ≥≥，220172,2q q ≥≥，那么2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．[10分]下面证明n B 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==， 所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，那么可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=， 那么可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；.11 / 11 ④ 如果12018i j a a <<≤，那么可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．[13分]。

三角【西城期末】11．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC ，则c =____． 【东城期末】（2）函数3sin(2)4y x π=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是 A. 2π B. π C. 2π D. 4π 【朝阳期末】14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）【石景山期末】4．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点()2,4P ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B.3- C ．13D ．3【海淀期末】（15）（本小题13分）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3,,36AD BC AB ADB C ππ==∠=∠=.（Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.【西城期末】15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π[0,]2上的最大值． 【东城期末】（15）（本小题13分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,2sin sin a A C ==. （Ⅰ）求c 的长； （Ⅱ）若1cos 24C =-，求ABC ∆的面积. 【朝阳期末】15. (本小题满分13分) 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-， 且02A π<<，求()fB 的取值范围. 【丰台期末】）15．在ABC ∆222sin B B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若4a =，ABC S ∆=b 的值.【石景山期末】15．（本小题共13分）如图，在ABC V 中，D 为边BC 上一点，6AD =，3BD =，2DC =． （Ⅰ）若2ADB π∠=，求BAC ∠的大小；（Ⅱ）若23ADBπ∠=，求ABCV的面积．图1B DACAC图2。

北京市西城区2018 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．12n -；6311．3-12[4,9)14．16注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩ 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-， 所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分] 所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(1)1g x g <=．[12分] 所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得y =，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分]直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而00ty nx OE y n -=-．[9分]直线M B 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而000ty nx OF y n +=+．[11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+， 所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有i j a i a j ++≤． 所以(1,2,3,,)n n B ∈，所以n n A B ⊆．[7分]所以集合nn A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0nb ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =． 此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2nn n n b b b b b b ---=++++++=，[12分]所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=． 所以{}n b 成等比数列．[13分]。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(★)已知集合A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x 2≤5}，那么A∩B=（）A．{0，2，4}B．{-2，0，2}C．{0，2}D．{-2，2}2．(★)在等比数列{a n}中，若a 3=2，a 5=8，则a 7=（）A．10B．16C．24D．323．(★★)一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．4．(★)在极坐标系中，点到直线ρcosθ=-1的距离等于（）A．1B．2C．3D．5．(★★★)在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1），点B在圆x 2+y 2=4上，则的最大值为（）A．3B．C．D．46．(★)设M，N＞0，0＜a＜1，则“log a M＞log b N”是“M＜N+1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(★)已知函数f（x）=sinπx，g（x）=x 2-x+2，则（）A．曲线y=f（x）+g（x）不是轴对称图形B．曲线y=f（x）-g（x）是中心对称图形C．函数y=f（x）g（x）是周期函数D．函数最大值为8．(★)一个国际象棋棋盘（由8×8个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则（）A．至多能剪成19块“L”形骨牌B．至多能剪成20块“L”形骨牌C．一定能剪成21块“L”形骨牌D．前三个答案都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(★)复数z满足方程1-i•z=i，则z= ．10．(★)已知角α的终边经过点（-3，4），则tanα= ；cos（α+π）= ．11．(★)执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为．12．(★)设x，y满足约束条件则z=x+3y的取值范围是．13．(★★)能说明“若定义在R上的函数f（x）满足f（0）f（2）＞0，则f（x）在区间（0，2）上不存在零点”为假命题的一个函数是．14．(★★)设双曲线的左焦点为F，右顶点为A．若在双曲线C上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(★★★)在△ABC中，a=3，，B=2A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）试比较∠B与∠C的大小．16．(★★★)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面B1BCC 1为正方形，M，N分别是A 1B 1，AC的中点，AB⊥平面BCM．（Ⅰ）求证：平面B 1BCC 1⊥平面A 1ABB 1；（Ⅱ）求证：A 1N∥平面BCM；（Ⅲ）若A 1ABB 1是边长为2的菱形，求直线A 1N与平面MCC 1所成角的正弦值．17．(★★★)为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据．已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a＞0）．（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元．一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较．18．(★★★)已知函数f（x）=lnx-x+a，其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）与x轴相切，求a的值；（Ⅱ）若a=ln2e，证明：f（x）≤x；（Ⅲ）如果函数在区间（1，e）上不是单调函数，求a的取值范围．19．(★★★)已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM，求证：∠PFQ为定值．20．(★★★★)设正整数数列A：a 1，a 2，…，a N（N＞3）满足a i＜a j，其中1≤i＜j≤N．如果存在k∈{2，3，…，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“k阶平衡数列”．（Ⅰ）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N为偶数，证明：数列A：1，2，3，…，N不是“k阶平衡数列”，其中k∈{2，3，…，N}．（Ⅲ）如果a N≤2019，且对于任意k∈{2，3，…，N}，数列A均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值．。