中考复习专题——圆切线证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明一、综合题1．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．2．如图，在⊙ O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ O于点E，⊙BCD=⊙DBE.（1）求证：BD是⊙ O的切线.（2）过点E作EF⊙AB于F，交BC于G，已知DE= 2√10，EG=3，求BG的长.3．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= 34x+4，与x轴相交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．4．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）连接AE 并延长与BC 的延长线交于点G （如图②所示）．若AB= 4√5 ，CD=9，求线段BC 和EG 的长．5．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线； （2）AD=AQ ； （3）BC 2=CF•EG ．6．如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于点E ，过点B 作BC⊙DE 交AD 的延长线于点C ，垂足为点F.（1）求证：AB=CB ；（2）若AB=18，sinA=13，求EF 的长.7．如图，已知⊙C 过菱形ABCD 的三个顶点B ，A ，D ，连结BD ，过点A 作AE⊙BD 交射线CB 于点E.（1）求证：AE是⊙C的切线.⌢围成的部分的面积.（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和AB（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连结AF，使⊙DAF＝15°，求点F到直线AD的距离. 8．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接AE、DE.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2.若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值；（3）在（2）的条件下，若AE＝3 √2，求⊙O的半径长.9．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于点F.（1）求证：FE是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，求证：4FG2=FC⋅FB；（3）当BC=6，EF=4时，求AG的长.10．如图，⊙ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG⊙CD交BP于点G．（1）求证：直线GA是⊙O的切线．（2）求证：AG•AD＝GD•AB．（3）若tan⊙AGB＝√2，PG＝6，求sinP的值．11．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED.（1）求证：AC是⊙O的切线；⌢中点，AE与BC交于点F，（2）若点E是的BD①求证：CA=CF；②若⊙O的半径为3，BF=2，求AC的长.12．在RtΔABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC 的中点，连接OD、DE.（1）求证：DE为⊙O切线.（2）若BC=4，填空：①当DE=时，四边形DOCE为正方形；②当DE=时，ΔBOD为等边三角形.⌢的长为π，点P是BC上一动13．如图，A为⊙O外一点，AO⊙BC，直径BC＝12，AO＝10，BD点，⊙DPM ＝90°，点M 在⊙O 上，且⊙DPM 在DP 的下方．（1）当sinA ＝35时，求证：AM 是⊙O 的切线；（2）求AM 的最大长度．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 交于点E ，且AC ＝BD ，连接AD ，BC.（1）求证：⊙ADB⊙⊙BCA ；（2）若OD⊙AC ，AB ＝4，求弦AC 的长；（3）在（2）的条件下，延长AB 至点P ，使BP ＝2，连接PC.求证：PC 是⊙O 的切线.15．如图，在⊙ABC 中，⊙C ＝90°，⊙ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是⊙BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）过点E 作EH⊙AB ，垂足为H ，求证：CD ＝HF ； （3）若CD ＝1，EH ＝3，求BF 及AF 长．16．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC // OP 交⊙O 于点C ，点E 是 AB⌢ 的中点.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=6，求CE的长.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．∵= ，∴OC⊙AD，∴AF=FD，∵OA=OB，∴OF⊙BD，即OC⊙BE，∵EC⊙EB，∴EC⊙OC，∴EC是⊙O的切线．（2）解：连接AC，作OH⊙AC于H．∵AB是直径，∴⊙ACB=90°，∴AC= = =6，∵OH⊙AC，∴AH=CH=3，OH= =4，∵S⊙AOC= •AC•OH= •CO•AF，∴AF= = ，∴DF=AF= ，∵⊙E=⊙ECF=⊙CFD=90°，∴四边形ECFD是矩形，∴EC=DF= ．2．【答案】（1）证明：如图，连接AE，则⊙BAE=⊙BCE，∵AB是直径，∴⊙AEB=90°，∴⊙BAE+⊙ABE=90°，∴⊙ABE+⊙BCE=90°，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙ABE+⊙DBE=90°，即⊙ABD=90°，∴BD是⊙O的切线.（2）解：如图，延长EF交⊙O于H，∵EF⊙AB，AB是直径，∴BE⌢=BH⌢，∴⊙ECB=⊙BEH，∵⊙EBC=⊙GBE，∴⊙EBC⊙⊙GBE，∴BEBG=BCBE，∵BC=BD，∴⊙D=⊙BCE，∵⊙BCE=⊙DBE，∴⊙D=⊙DBE，∴BE=DE= 2√10，∵⊙AFE=⊙ABD=90°，∴BD⊙EF，∴⊙D=⊙CEF，∴⊙BCE=⊙CEF，∴CG=GE=3，∴BC=BG+CG=BG+3，∴2√10BG=BG+32√10，∴BG=-8（舍）或BG=5，即BG的长为5.3．【答案】（1）解：如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt⊙AOE中，由勾股定理得：OA= √AE2−OE2= √52−32=4，∵OC⊙AB，∴由垂径定理得：OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），∵抛物线的顶点为C，∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣8）2，将点B的坐标代入得：64a=﹣4，a=﹣116，∴y=﹣116（x﹣8）2，∴抛物线的解析式为：y=﹣116x2+x﹣4；（2）解：直线l与⊙E相切；理由是：在直线l的解析式y= 34x+4中，当y=0时，即34x+4=0，x=﹣163，∴D（﹣163，0），当x=0时，y=4，∴点A在直线l上，在Rt⊙AOE和Rt⊙DOA中，∵OEOA=34，OAOD=34，∴OEOA=OAOD，∵⊙AOE=⊙DOA=90°，∴⊙AOE⊙⊙DOA，∴⊙AEO=⊙DAO，∵⊙AEO+⊙EAO=90°，∴⊙DAO+⊙EAO=90°，即⊙DAE=90°，∴直线l与⊙E相切；（3）解：如图2，过点P作直线l的垂线PQ，过点P作直线PM⊙x轴，交直线l于点M，设M（m，34m+4），P（m，﹣116m2+m﹣4），则PM= 34m+4﹣（﹣116m2+m﹣4）= 116m2﹣14m+8=116(m−2)2+ 314，当m=2时，PM取最小值是31 4，此时，P（2，﹣9 4），对于⊙PQM，∵PM⊙x轴，∴⊙QMP=⊙DAO=⊙AEO，又⊙PQM=90°，∴⊙PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动过程中，⊙PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，PQ最小=PM最小•sin⊙QMP=PM最小•sin⊙AEO= 314×45= 315，∴当抛物线上的动点P（2，﹣94）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为315．4．【答案】（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB=CE，OB=OE，OC=OC∴⊙OEC⊙⊙OBC（SSS）∴⊙OBC=⊙OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴⊙OEC=90°∴⊙OBC=90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：解：如图2，过点D作DF⊙BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA=DE，CE=CB，在Rt⊙DFC中，CF= √92−(4√5)2=1，设AD=DE=BF=x，则x+x+1=9，x=4，∵AD⊙BG，∴⊙DAE=⊙EGC，∵DA=DE，∴⊙DAE=⊙AED；∵⊙AED=⊙CEG，∴⊙EGC=⊙CEG，∴CG=CE=CB=5，∴BG=10，在Rt⊙ABG中，AG= √AB2+BG2=6 √5，∵AD⊙CG，∴⊙CEG⊙⊙DEA,∴ADCG=AEEG=45，∴EG= 59×6 √5= 10√53．5．【答案】（1）证明：连接BD，∵四边形BCDE是正方形，∴⊙DBA=45°，⊙DCB=90°，即DC⊙AB，∵C为AB的中点，∴CD是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴⊙DAB=⊙DBA=45°，∴⊙ADB=90°，即BD⊙AD，∵BD为半径，∴AD是⊙B的切线（2）证明：∵BD=BG，∴⊙BDG=⊙G，∵CD⊙BE，∴⊙CDG=⊙G，∴⊙G=⊙CDG=⊙BDG= 12⊙BCD=22.5°，∴⊙ADQ=90°﹣⊙BDG=67.5°，⊙AQB=⊙BQG=90°﹣⊙G=67.5°，∴⊙ADQ=⊙AQD，∴AD=AQ（3）证明：连接DF，在⊙BDF中，BD=BF，∴⊙BFD=⊙BDF，又∵⊙DBF=45°，∴⊙BFD=⊙BDF=67.5°，∵⊙GDB=22.5°，在Rt⊙DEF与Rt⊙GCD中，∵⊙GDE=⊙GDB+⊙BDE=67.5°=⊙DFE ，⊙DCF=⊙E=90°， ∴Rt⊙DCF⊙Rt⊙GED ， ∴CF ED =CD EG ， 又∵CD=DE=BC ， ∴BC 2=CF•EG ．6．【答案】（1）证明：连接OD ，如图1，∵DE 是⊙O 的切线， ∴OD⊙DE. ∵BC⊙DE ， ∴OD⊙BC. ∴⊙ODA=⊙C. ∵OA=OD ， ∴⊙ODA=⊙A. ∴⊙A=⊙C. ∴AB=BC ；（2）解：连接BD ，则⊙ADB=90°，如图2，在Rt⊙ABD 中， ∵sinA=BD AB =13，AB=18，∴BD=6.∵OB=OD ， ∴⊙ODB=⊙OBD.∵⊙OBD+⊙A=⊙FDB+⊙ODB=90°， ∴⊙A=⊙FDB. ∴sin⊙A=sin⊙FDB. 在Rt⊙BDF 中， ∵sin⊙BDF=BF BD =13，∴BF=2.由（1）知：OD⊙BF ， ∴⊙EBF⊙⊙EOD. ∴BE OE =BF OD.即：BE BE+9=29. 解得：BE=187. ∴EF=√BE 2−BF 2=8√27.7．【答案】（1）证明：如图1中，连结AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊙BD ， 又∵BD⊙AE ， ∴AC⊙AE ， ∴AE 是⊙O 的切线.（2）解：如图1中，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ， 又∵AC ＝BC ，∴⊙ABC 是等边三角形，∴⊙ACB＝60°，∵AC＝2，∴AE＝AC•tan60°＝2 √3，∴S阴＝S⊙AEC﹣S扇形ACB＝12×2×2 √3﹣60⋅π⋅22360＝2 √3﹣23π.（3）解：①如图2中，当点F在AD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，∵⊙ACD＝60°，∴⊙ACF＝⊙FCD，∴点F是弧AD的中点，∴CF⊙AD，∴点F到直线AD的距离＝CF﹣CA•cos30°＝2﹣√3.②如图3中，当点F在优弧BD⌢上时，∵⊙DAF＝15°，∴⊙DCF＝30°，过点C作CG⊙AD于D，过点F作FH⊙CG于H，可得⊙AFH＝15°，⊙HFC＝30°，∴CH＝1，∴点F到直线AD的距离＝CG﹣CH＝AC•cos30°﹣CH＝√3﹣1.综上所述，满足条件的点F到直线AD的距离为2﹣√3或√3﹣1. 8．【答案】（1）证明：连接OD，∴OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD.∵AB是直径，∴⊙ADB＝90°，∴⊙CDB＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴⊙EDB＝⊙EBD，∴⊙ODB+⊙EDB＝⊙OBD+⊙EBD，即⊙EDO＝⊙EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊙BC，∴⊙EBO＝90°，∴⊙ODE＝90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：∵S2＝5 S1∴S⊙ADB＝2S⊙CDB∴AD DC=21∵⊙BDC⊙⊙ADB∴⋅ADDB=DBDC∴DB2＝AD•DC∴DB AD =√22∴tan⊙BAC ＝＝ √22（3）解：∵tan⊙BAC ＝ DB AD =√22∴BC AB =√22 ，得BC ＝ √22AB ∵E 为BC 的中点∴BE ＝ √24AB∵AE ＝3 √2 ，∴在Rt⊙AEB 中，由勾股定理得 (3√2)2=(√24AB)2+AB 2 ，解得AB ＝4 故⊙O 的半径R ＝ 12AB ＝2.9．【答案】（1）证明：连接 EC ， OE ，∵BC 为 ⊙O 的直径， ∴∠BEC =90° ， ∴CE ⊥AB ， 又∵AC =BC ， ∴E 为 AB 中点， 又∵O 为 BC 中点， ∴OE⊙AC ， 又∵EG ⊥AC ， ∴OE ⊥EG ，又 OE 为 ⊙O 的半径， ∴FE 是 ⊙O 的切线. （2）证明：∵OE =OC ，∴∠OEC=∠OCE，∵EF为圆的切线，∴∠FEC+∠OEC=90°，∵∠BEC=90°∴∠B+∠BCE=90°，∴∠FEC=∠B，又∵∠F=∠F，∴△FEC∽△FBE，∴FEFB=FCFE，∴FE2=FC⋅FB，当∠F=30°时，∠FOE=60°，又OE=OC，∴△OEC为等边三角形，∴∠OEC=60°，∴∠FEC=30°=∠F，∴CE=CF，又CG⊥FE，∴FE=2FG，∴(2FG)2=FC⋅FB，即4FG2=FC⋅FB（3）解：由（2）得FE2=FC⋅FB，又BC=6，FE=4，FB=BC+FC=6+FC，∴42=FC⋅(FC+6)，因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，解得FC=2或FC=-8舍去，∵BC=6，∴OE=OC=12BC=3，AC=BC=6，∴FO=FC+CO=2+3=5，∵CG⊙OE，∴⊙GCF=⊙EOF，⊙FGC=⊙FEO，∴△FCG∽△FOE，∴FCFO=CGOE，即25=CG3，∴CG=6 5，∴AG=AC−CG=6−65=24510．【答案】（1）证明：∵将⊙ABC沿直线AB折叠得到⊙ABD，∴BC＝BD．∴点B在CD的垂直平分线上．同理得：点A在CD的垂直平分线上．∴AB⊙CD即OA⊙CD，∵AG∥CD．∴OA⊙GA．∵OA是⊙O的半径，∴直线GA是⊙O的切线；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°．∴⊙ABD+⊙BAD＝90°．∵⊙GAB＝90°，∴⊙GAD+⊙BAD＝90°．∴⊙ABD＝⊙GAD．∵⊙ADB＝⊙ADG＝90°，∴⊙BAD⊙⊙AGD．∴ABAG=ADGD．∴AG•AD＝GD•AB；（3）解：∵tan⊙AGB＝√2，⊙ADG＝90°，∴ADGD=√2．∴AD=√2GD．由（2）知，⊙BAD⊙⊙AGD，∴ADGD=BDAD，∴AD 2＝GD•BD ，∴BD ＝2GD ．∵AD⌢＝AD ⌢， ∴⊙GAD ＝⊙GBA ＝⊙PCD ．∵AG ∥CD ，∴⊙PAG ＝⊙PCD ．∴⊙PAG ＝⊙PBA ．∵⊙P ＝⊙P ，∴⊙PAG⊙⊙PBA ．∴PA 2＝PG•PB∵PG ＝6，BD ＝2GD ，∴PA 2＝6（6+3GD ）．∵⊙ADP ＝90°，∴PA 2＝AD 2+PD 2．∴6（6+3GD ）＝（√2GD ）2+（6+GD ）2．解得：GD ＝2或GD ＝0（舍去）．∴AD ＝2√2，AP ＝6√2，∴sinP ＝AD AP ＝2√26√2=13． 11．【答案】（1）证明：∵AB 是 ⊙O 的直径，∴⊙ADB=90°，∴⊙DBA+⊙DAB=90°，∵⊙DEA=⊙DBA ，⊙DAC=⊙DEA ，∴⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙BAC=⊙DAC+⊙DAB=90°，∵AB 是 ⊙O 的直径，⊙BAC=90°，∴AC 是 ⊙O 的切线；（2）解：①∵点E 是 BD⌢ 的中点， ∴⊙BAE=⊙DAE ，∵⊙CFA=⊙DBA+⊙BAE ，⊙CAF=⊙DAC+⊙DAE ，⊙DBA=⊙DAC ，∴⊙CFA=⊙CAF ，∴CA=CF；②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，∵⊙O的半径为3，∴AB=6，在Rt⊙ABC中，CA2+AB2=BC2，即：x2+62=(x+2)2，解得：x=8，∴AC=8.12．【答案】（1）证明：如图，连接CD，OE.∵BC为⊙O直径∴∠BDC=∠CDA=90°∵DE为Rt△ADC斜边AC的中线∴DE=CE∵OD=OC，OE=OE∴△COE≌△DOE(SSS)∴∠OCE=∠ODE=90°∴DE为⊙O的切线.（2）2；DE=2√313．【答案】（1）证明：如图①，过点O作OE⊙AM于点E，∵在Rt⊙AOE中，当sinA＝35，OA＝10，∴OE＝6∵直径BC＝12，∴OM＝6＝OE，∴点E与点M重合，OM⊙AM，∴AM是⊙O的切线．（2）解：如图②，当点P与点B重合时，AM取得最大值．AM的最大长度可以通过勾股定理求得．延长AO交⊙O于点F，作MG⊙AF于点G，连接OD、OM，DM，∵BD的长为π，∴π＝∠BOD⋅π⋅6180，∴⊙BOD＝30°，∵⊙DBM＝90°，∴DM是⊙O的直径，即DM过点O，∴⊙COM＝30°，∵AO⊙BC，∴⊙MOG＝60°，在Rt⊙GOM中，⊙MOG＝60°，OM＝6，∴OG＝3，GM＝3√3，在Rt⊙GAM中，AM＝√AG2+GM2＝14，∴AM的最大长度：14．14．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝⊙ADB＝90°，∵AB＝AB，∴⊙ADB⊙⊙BCA（HL）（2）解：如图，连接DC，∵OD⊙AC，⌢=DC⌢，∴AD∴AD＝DC，∵⊙ADB⊙⊙BCA，∴AD＝BC，∴AD＝DC＝BC，∴⊙AOD＝⊙ABC＝60°，∵AB＝4，∴AC=AB⋅sin60°=4×√32=2√3（3）证明：如图，连接OC，由(1)和(2)可知BC= √AB2−AC2=2∵BP＝2∴BC＝BP＝2∴⊙BCP＝⊙P，∵⊙ABC＝60°，∴⊙BCP＝30°，∵OC＝OB，⊙ABC＝60°，∴⊙OBC是等边三角形，∴⊙OCB＝60°，∴⊙OCP＝⊙OCB+⊙BCP＝60°+30°＝90°，∴OC⊙PC，∴PC是⊙O的切线.15．【答案】（1）证明：如图，连接OE．∵BE平分⊙ABC，∴⊙CBE=⊙OBE，∵OB=OE，∴⊙OBE=⊙OEB，∴⊙OEB=⊙CBE，∴OE⊙BC，∴⊙AEO=⊙C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：如图，连结DE．∵⊙CBE=⊙OBE，EC⊙BC于C，EH⊙AB于H，∴EC=EH．∵⊙CDE+⊙BDE=180°，⊙HFE+⊙BDE=180°，∴⊙CDE=⊙HFE．在⊙CDE与⊙HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=900EC=EH，∴⊙CDE⊙⊙HFE（AAS），∴CD=HF．（3）解：由（2）得，CD=HF．又CD=1 ∴HF＝1在Rt⊙HFE中，EF= √32+12＝√10∵EF⊙BE∴⊙BEF=90°∴⊙EHF=⊙BEF=90°∵⊙EFH=⊙BFE∴⊙EHF⊙⊙BEF∴EFBF=HFEF，即√10BF=1√10∴BF=10∴OE=12BF=5, OH=5−1=4,∴在Rt⊙OHE中，cos∠EOA=4 5 ,∴在Rt⊙EOA中，cos∠EOA=OEOA=45,∴5OA=45∴OA=25 4∴AF=254−5=54.16．【答案】（1）证明：如图，连接OC ，∵PA切⊙O于A∴∠PAO=90∘∵OP⊙BC∴⊙AOP=⊙OBC，⊙COP=⊙OCB∵OC=OB∴⊙OBC=⊙OCB∴⊙AOP=⊙COP又∵OA=OC，OP=OP∴⊙PAO⊙⊙PCO∴⊙PAO=⊙PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊙CE于点M∴⊙CMB=⊙EMB=⊙AEB=90º∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，BC=6∴AC=√AB2−BC2=8，∴cos∠CAB=ACAB=810=45又∵点E是AB⌢的中点∴⊙ECB=⊙CBM=⊙ABE=45º，∴BE=AB ×cos45 °=5√2CM=BC×cos45°=6×√22=3√2∵CB⌢=CB⌢∴∠CAB=∠CEB∴cos∠CEB=cos∠CAB=4 5∴EM= BE×cos∠CEB=5√2×45=4√2∴CE=CM+EM= 3√2+4√2=7√2∴CE的长为7√2.。

中考复习圆的切线的证明圆的切线是一条与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

下面我将为你展示圆的切线的证明。

设圆的半径为r，圆心坐标为(O,O)，切线与圆相切于点A，切点坐标为(a,b)。

我们需要证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

O_______________________/\/\AB根据几何性质，切线与径线的夹角为90度，所以角AOB为直角。

根据直角三角形AOB的性质，我们可以得到以下两个等式：1.OA²+AB²=OB²（勾股定理）2.OA=r（圆的定义）再根据切线与直径线的性质，我们可以得到以下等式：3.AB⊥OA（切线与半径线垂直）由等式3，我们可以得到两个直角三角形OAB和OBA。

考虑到OA=r，我们可以用r来表示OA和OB。

根据等式1，我们可以得到：r²+AB²=(2r)²r²+AB²=4r²AB²=3r²再根据等式2，我们可以得到：OA=r将等式2代入等式1中，我们可以得到：r²+AB²=OA²3r²=OA²移项得：AB²=2r²现在，我们来计算切线的斜率。

设切线的斜率为k，OA的斜率为m。

由定义可知，斜率m为切点A处切线的斜率，其值等于切线过切点A 和圆心O的直线的斜率。

而且，切线与直径OB垂直，垂直线的斜率之积为-1，即斜率k和斜率m之积为-1所以，我们可以得到以下等式：k×m=-1另外，我们可以计算切点A到圆心O的距离的平方。

根据点到点的距离公式，我们可以得到：OA²=(a-O)²+(b-O)²将具体的坐标代入上式，并将OA²替换为r²，我们可以得到：r²=(a-O)²+(b-O)²综上所述，我们可以得到以下两个等式：AB²=2r²k×m=-1现在我们来证明切线的斜率与切点到圆心的距离之间的关系。

证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.1. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O e ，使圆心O 在AB 上，O e 与AB 交于点E ．（1）求证：直线BD 与O e 相切；（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O e 的直径．2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为»EF的中点。

（1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切（2）（4分）当AD=23，∠CAD=30º时，求»AD 的长。

3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ．(1)求证：直线AB 是OO 的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值．4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。

（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。

5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ．（1）求证：⊙O 与BC 相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ．7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．OPCB A O P CB A8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E 作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11.如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．12、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，直线PO 交⊙O 与点E ，F 过点A 作PO 的垂线AB 垂足为D ，交⊙O 与点B ，延长BO 与⊙O 交与点C ，连接AC ，BF ．（1）求证：PB 与⊙O 相切；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值．。

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，△ABD=△BO D．（1）求证：AB为△O的切线；（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；（2）若sin△ECD ＝35，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是△O 的切线；（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．（1）求证：BD 是△O 的切线．（2）若OA ＝5，求OA 、OD 与AD 围成的扇形的面积．7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，以CD 为直径的△O 分别交AC 、BC 于点M 、N ，过点N 作NE△AB ，垂足为E（1）若△O的半径为52，AC＝6，求BN的长；（2）求证：NE与△O相切.8．如图，AB是△O的弦，OP△OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）若△O的半径为√5，OP=1，求BC的长．9．如图，AB是△O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分△CAE交△O于点D，且AE△CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是△O的切线．（2）若BC=3，CD=3 √2，求弦AD的长．10．如图，AB为圆的直径，C是△O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M.作AD△MC，垂足为D，已知AC平分△MAD .（1）求证：MC是△O的切线：（2）若AB＝BM＝4，求tan△MAC的值11．如图，AB是△O的直径，点C在△O上，BD平分∠ABC交△O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E.（1）求证：DE与△O相切；（2）若AB=10，AD=6，求DE的长.12．如图，点O在△APB的平分线上，△O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与△O相切；（2）PO的延长线与△O交于点E．若△O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．13．如图，已知A（﹣5，0）、B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，△CBO＝45°，CD△AB，△CDA＝90°点，P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间ts．（1）求点C的坐标；（2）当△BCP＝15°时，且△OPC中最长边是最短边的2倍，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的△P随点P的运动而变化，当△P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，连接AC，BC，在BA的延长线上取一点D，连接CD，使CD=CB．（1）如图1，若AC=AD，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，延长DC交⊙O于点E，连接AE．①若⊙O的直径为√10，sinB=√10，求AD的长；10②若CD=2CE，求cosB的值．15．如图，AB、AC分别是△O的直径和弦，OD△AC于点D，过点A作△O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.（1）求证：PC是△O的切线；（2）若△ABC=60°，AB=10，求线段CF的长，16．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，△BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，△P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ED是△P的切线；（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE ＝DE ，OE△BD ， BF ⌢=12BD ⌢ ， ∴△BOE ＝△A ，△OBE+△BOE ＝90°，∵△DBC ＝△A ，∴△BOE ＝△DBC ，∴△OBE+△DBC ＝90°，∴△OBC ＝90°，即BC△OB ，∴BC 是△O 的切线；（2）解：∵OB ＝6，△DBC ＝△A ＝60°，BC△OB ， ∴OC ＝12，∵△OBC 的面积＝ 12 OC•BE ＝ 12OB•BC ， ∴BE ＝ OB×BC OC =6×6√312=3√3 ， ∴BD ＝2BE ＝6 √3 ，即弦BD 的长为6 √3 ．2．【答案】（1）证明：连接 OD ，如图，∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D ，∴∠BAD=∠DAC，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAC，∴OD//AE，∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，OD为半径，∴DE是⊙O的切线（2）解：作OF⊥AC于F∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°，在RtΔADE中，DE=AE⋅tan30°=4四边形ODEF为矩形，∴OF=DE=4，在RtΔOAF中，∵∠OAF=60°∴AF=√3=4√33∴AC=2AF=8√3 33．【答案】（1）证明：作OH△AB，垂足为H∵AC与△O相切，切点为C，∴△ACO=90°∴△OAC+△AOC=90°又BD△AO∴△BDO=90°∴△BOD+△DBO=90°，△BAD+△ABD=90°又△BOD=△AOC，△ABD=△BOD∴△OAC=△BAD∴OH=OC又OC为△O半径∴AB为△O的切线（2）解：在Rt△BOH和Rt△BAC中AB=√BC2+AC2=5sin∠ABC=OHOB=ACAB=354−OB OB=35，解得OB=52，OC=32，OA=√OC2+AC2=32√5∵△AOC=△BOD，△C=△D=90°∴△AOC△△BOD∴OAOB=ACBD∴32√552=3BD，解得：BD=√5．4．【答案】（1）解：结论：CD是△O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴△OCB＝△OBC，∵BC平分△ABD，∴△OBC＝△CBE，∴△OCB＝△CBE，∴OC//BD ，∵CD△BD ，∴CD△OC ，∵OC 是半径，∴CD 是△O 的切线；（2）解：设OA ＝OC ＝r ，设AE 交OC 于点J ．∵AB 是直径，∴△AEB ＝90°，∵OC△DC ，CD△DB ，∴△D ＝△DCJ ＝△DEJ ＝90°，∴四边形CDEJ 是矩形，∴△CJE ＝90°，CD ＝EJ ，CJ ＝DE ，∴OC△AE ，∴AJ ＝EJ ，∵sin△ECD ＝DE CE ＝35，CE ＝5， ∴DE ＝3，CD ＝4，∴AJ ＝EJ ＝CD ＝4，CJ ＝DE ＝3，在Rt△AJO 中，r 2＝（r ﹣3）2+42，∴r ＝256， ∴△O 的半径为256． 5．【答案】（1）解：连接OC ．如图1所示：∵OA＝OC，∴△1＝△2．又∵△3＝△1+△2，∴△3＝2△1．又∵△4＝2△1，∴△4＝△3，∴OC△DB．∵CE△DB，∴OC△CF．又∵OC为△O的半径，∴CF为△O的切线；（2）解：连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴△D＝90°，∴CF△AD，∴△BAD＝△F，∴sin△BAD＝sinF＝BDAB＝35，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC△CF，∴△OCF＝90°，∴sinF＝OCOF＝35，解得：OF＝5．6．【答案】（1）证明：∵△ADO＝△BAD＝30°，∴△DOB＝60°∵△ABD＝30°，∴△ODB＝90°∴OD△BD．∵点D为△O上一点，∴BD是△O的切线．（2）解：∵△DOB＝60°，∴△AOD＝120°．∵OA＝5，∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为120·π·52360=253π．7．【答案】（1）解：∵ △O 的半径为52，则CD=5，AB=10，BC=√AB2−AC2=√100−36=8CD为直径，得DN△BC，D为AB的中点，则BD=CD，则△BDC为等腰三角形，由三线合一知，BN=NC=12BC=4。

题型专项( 八)与切线有关的证明与计算种类 1 与全等三角形相关1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点连结 CD ，交⊙ O 于点 E ，F，过圆心A ，B 分别作切线，交于O 作 OM ⊥ CD ，垂足为点BO，AO M.的延伸线于点C， D ，求证：(1) △ ACO ≌△ BDO ；(2)CE ＝ DF.证明：(1) ∵ AC ， BD 分别是⊙O 的切线，∴∠ A＝∠ B ＝ 90° .又∵ AO ＝ BO ，∠ AOC ＝∠ BOD ，∴△ ACO ≌△ BDO.(2) ∵△ ACO ≌△ BDO ，∴OC ＝ OD.又∵ OM ⊥ CD ，∴ CM ＝ DM.又∵ OM ⊥EF ，点 O 是圆心，∴EM ＝ FM.∴CM － EM ＝ DM － FM.∴CE ＝DF.2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与 AC 的延伸线交于点 Q，过点 C 的切线 CD 交 PQ 于点 D，连结 OC.(1)求证：△ CDQ 是等腰三角形；(2)假如△ CDQ ≌△ COB ，求 BP∶ PO 的值．解： (1) 证明：由已知得∠ACB ＝ 90°，∠ ABC ＝ 30° .∴∠ Q＝ 30°，∠ BCO ＝∠ ABC ＝ 30 ° .∵CD 是⊙ O 的切线， CO 是半径，∴CD ⊥ CO.∴∠ DCQ ＝∠ BCO ＝ 30° .∴∠ DCQ ＝∠ Q.故△ CDQ 是等腰三角形．(2)设⊙ O 的半径为 1，则 AB ＝ 2， OC＝ 1， BC ＝ .∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝ CB ＝ .∴AQ ＝ AC ＋ CQ＝ 1＋ .∴AP ＝ AQ ＝ .∴B P ＝ AB － AP ＝ .∴PO ＝ AP－ AO ＝ .∴B P ∶ PO＝ .3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延伸线上一点，点 E 在弧上且知足 PE2＝ PA· PC，连结 CE ， AE ， OE 交 CA 于点 D.(1) 求证：△ PAE ∽△ PEC；(2) 求证： PE 为⊙ O 的切线；(3) 若∠ B＝ 30°， AP＝ AC ，求证： DO ＝DP.证明： (1) ∵ PE2＝ PA·PC ，∴＝ .又∵∠ APE ＝∠ EPC，∴△ PAE ∽△ PEC.(2) ∵△ PAE ∽△ PEC，∴∠ PEA ＝∠ PCE.∵∠ PCE＝∠ AOE ，∴∠ PEA ＝∠ AOE. ∵ OA ＝ OE，∴∠ OAE ＝∠ OEA.∵∠ AOE ＋∠ OEA ＋∠ OAE ＝ 180°，∴∠ AOE ＋ 2∠ OEA ＝ 180°，即2∠ PEA ＋ 2∠OEA ＝ 180 ° .∴∠ PEA ＋∠ OEA ＝90 ° .∴PE 为⊙ O 的切线．(3)设⊙ O 的半径为 r，则 AB ＝ 2r.∵∠ B ＝ 30 °，∠ PCB ＝ 90°，∴ AC ＝ r， BC ＝ r. 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F，∴O F ＝ r.∵ AP ＝ AC ，∴AP ＝ .∵ PE2＝ PA·PC，∴ PE＝ r.在△ ODF 与△ PDE 中，∴△ ODF ≌△ PDE. ∴ DO ＝ DP.种类 2与相像三角形相关4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB BC 于点 E，连结 AE 交 CD 于点 P，交⊙ O ＝90°，在 D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙ O 交于点 F ，连结 DF，∠ CAE ＝∠ ADF.(1)判断 AB 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)若 PF∶ PC＝ 1∶ 2， AF ＝ 5，求 CP 的长．解： (1)AB 是⊙ O 切线．原因：∵∠ ACB ＝ 90°，∴∠ CAE ＋∠ CEA ＝ 90 °.∵∠ CAE ＝∠ ADF ，∠ CDF ＝∠ CEA ，∴∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90° .∴ AB 是⊙ O 切线．(2) 连结 CF.∵∠ ADF ＋∠ CDF ＝ 90°，∠ PCF＋∠ CDF ＝ 90°，∴∠ ADF ＝∠ PCF.∴∠ PCF＝∠ PAC.又∵∠ CPF＝∠ APC ，∴△ PCF∽△ PAC. ∴＝ .∴P C 2＝ PF·PA. 设 PF＝ a，则 PC＝ 2a.∴4a2＝a(a＋ 5)．∴a＝ .∴P C ＝ 2a＝ .5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连结BE交CD于点F，过点E作直线 EP 与 CD 的延伸线交于点 P，使∠ PED＝∠ C.(1)求证： PE 是⊙ O 的切线；(2)求证： ED 均分∠ BEP；(3)若⊙ O 的半径为 5， CF＝ 2EF，求 PD 的长．解： (1) 证明：连结OE.∵CD 是圆 O 的直径，∴∠ CED ＝ 90 °.∵OC ＝ OE，∴∠ C＝∠ OEC.又∵∠ PED ＝∠ C，∴∠ PED ＝∠ OEC.∴∠ PED ＋∠ OED ＝∠ OEC ＋∠ OED ＝ 90°，即∠ OEP ＝ 90 ° .∴OE ⊥ EP.又∵点 E 在圆上，∴PE 是⊙ O 的切线．(2)证明：∵ AB ， CD 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝∠ CED ＝ 90 °.∴∠ AEC ＝∠ DEB( 同角的余角相等)．又∵∠ PED ＝∠ C， AE ∥ CD ，∴∠ PED ＝∠ DEB ，即ED 均分∠ BEP.(3) 设 EF＝ x ，则 CF＝ 2x.∵⊙ O 的半径为5，∴O F ＝2x － 5.在Rt△ OEF 中， OE 2＝ EF2＋ OF2，即 52＝ x2＋ (2x － 5) 2，解得 x＝4，∴EF ＝ 4.∴B E ＝ 2EF＝ 8， CF＝ 2EF ＝ 8.∴D F ＝ CD－ CF ＝ 10－ 8＝ 2.∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ AEB ＝ 90 °.∵AB ＝ 10， BE ＝8，∴ AE ＝ 6.∵∠ BEP ＝∠ A ，∠ EFP＝∠ AEB ＝ 90°，∴△ EFP∽△ AEB.∴＝，即＝ .∴P F＝ .∴P D ＝ PF－ DF ＝－ 2＝ .6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延伸线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙ O 的直径，过点 C 作 CG⊥ AD 于点 E，交 AB 于点 F，交⊙ O 于点 G.(1)判断直线 PA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因；(2)求证： AG 2＝ AF·AB ；(3)若⊙ O 的直径为 10 ， AC ＝ 2， AB ＝ 4，求△ AFG 的面积．解： (1)PA 与⊙ O 相切．原因：连结CD.∵AD 为⊙ O 的直径，∴∠ ACD ＝ 90 ° .∴∠ D ＋∠ CAD ＝ 90 °.∵∠ B ＝∠ D ，∠ PAC ＝∠ B ，∴∠ PAC ＝∠ D.∴∠ PAC ＋∠ CAD ＝ 90°，即 DA ⊥ PA.∵点 A 在圆上，∴ PA 与⊙ O 相切．(2)证明：连结 BG.∵AD 为⊙ O 的直径， CG⊥ AD ，∴＝ .∴∠ AGF ＝∠ ABG.∵∠ GAF ＝∠ BAG ，∴△ AGF ∽△ ABG.∴AG ∶ AB ＝ AF ∶ AG. ∴ AG 2＝ AF·AB.(3) 连结 BD.∵AD 是直径，∴∠ ABD ＝ 90° .∵AG 2＝ AF·AB ， AG ＝ AC ＝ 2， AB ＝ 4，∴AF ＝＝ .∵CG ⊥ AD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝ 90 ° .∵∠ EAF ＝∠ BAD ，∴△ AEF ∽△ ABD.∴＝，即＝，解得 AE ＝ 2.∴E F ＝＝ 1.∵EG ＝＝ 4，∴F G ＝EG － EF＝ 4－1＝ 3.∴S△AFG＝ FG·AE ＝× 3× 2＝ 3.种类 3与锐角三角函数相关7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点 P， OP 交 AB 于点 D ， BC ， PA 的延伸线交于点 E.(1)求证： PA 是⊙ O 的切线；(2)若 sin∠ E＝， PA ＝ 6，求 AC 的长．解： (1) 证明：连结OA.∵AC ∥ OP，∴∠ AOP ＝∠ OAC ，∠ BOP ＝∠ OCA.∵OA ＝ OC ，∴∠ OCA ＝∠ OAC. ∴∠ AOP ＝∠ BOP.又∵ OA ＝ OB ， OP＝ OP，∴△ AOP ≌△ BOP. ∴∠ OAP ＝∠ OBP.∵B P ⊥ CB ，∴∠ OAP ＝∠ OBP ＝ 90° .∴ OA ⊥ PA.∴PA 是⊙ O 的切线．(2)∵ PB⊥ CB ，∴ PB 是⊙ O 的切线．又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴PA ＝PB＝ 6.又∵ sin E＝＝＝，∴ AO ＝ 3.在Rt△ OPB 中， OP＝＝ 3.∵B C 为⊙ O 直径，∴∠ CAB ＝ 90° .∴∠ CAB ＝∠ OBP ＝ 90°，∠ OCA ＝∠ BOP.∴△ ACB ∽△ BOP. ∴＝ .∴AC ＝＝＝ .8．(2015·贵宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连结 AD ， BD ， BD 交 AC 于点 F.(1)求证： BD 均分∠ ABC ；(2)延伸 AC 到点 P，使 PF＝ PB，求证： PB 是⊙ O 的切线；(3)假如 AB ＝10 ， cos∠ ABC ＝，求 AD.解： (1) 证明：∵ OD ∥ BC ，∴∠ ODB ＝∠ CBD.∵OB ＝ OD ，∴∠ OBD ＝∠ ODB.∴∠ CBD ＝∠ OBD.∴B D 均分∠ ABC.(2)证明：∵⊙ O 是以 AB 为直径的△ ABC 的外接圆，∴∠ ACB ＝ 90° .∴∠ CFB ＋∠ CBF ＝ 90° .∵P F＝ PB，∴∠ PBF＝∠ CFB.由(1) 知∠ OBD ＝∠ CBF ，∴∠ PBF ＋∠ OBD ＝ 90° .∴∠ OBP ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(3)∵在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝10，∴cos∠ ABC ＝＝＝ .∴B C ＝ 6， AC ＝＝ 8.∵OD ∥ BC ，∴△ AOE ∽△ ABC ，∠ AED ＝∠ OEC ＝ 180 °－∠ ACB ＝ 90 °.∴＝＝，＝＝ .∴AE ＝ 4， OE＝ 3.∴D E ＝ OD － OE＝ 5－ 3＝ 2.∴AD ＝＝＝ 2.9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB∥OP，直线PB 交直线 AC 于点 D ， BD ＝ 2PA.(1)证明：直线 PB 是⊙ O 的切线；(2)研究线段 PO 与线段 BC 之间的数目关系，并加以证明；(3)求 sin∠ OPA 的值．解： (1) 证明：连结OB.∵B C ∥ OP， OB ＝OC ，∴∠ BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠ POB ，∠ BCO ＝∠ CBO.∴∠ POA ＝∠ POB. 又∵ PO ＝ PO， OB ＝ OA ，∴△ POB ≌△ POA. ∴∠ PBO ＝∠ PAO ＝ 90° .∴PB 是⊙ O 的切线．(2)2PO ＝ 3BC.( 写 PO＝ BC 亦可 )证明：∵△ POB ≌△ POA ，∴ PB＝ PA.∵B D ＝ 2PA ，∴ BD ＝ 2PB.∵B C ∥ PO，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝ .∴ 2PO＝ 3BC.(3) ∵ CB ∥ OP，∴△ DBC ∽△ DPO.∴＝＝，即 DC ＝ OD.∴OC ＝ OD. ∴ DC＝ 2OC.设OA ＝ x， PA ＝ y.则 OD＝ 3x， OB ＝ x ， BD ＝ 2y.在Rt△ OBD 中，由勾股定理得 (3x) 2＝ x2＋ (2y) 2，即 2x2＝ y2.∵x＞ 0， y＞ 0，∴ y＝ x，OP ＝＝ x.∴s in ∠ OPA ＝＝＝＝ .种类 4与特别四边形相关10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D 作⊙ O 的切线，分别交 OA 延伸线与 OC 延伸线于点 E， F，连结 BF.(1)求证： BF 是⊙ O 的切线；(2)已知圆的半径为 1，求 EF 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵E F 为⊙ O 的切线，∴∠ ODF ＝ 90 °.∵四边形AOCD 为平行四边形，∴AO ＝ DC ， AO ∥ DC.又∵ DO ＝ OC ＝ OA ，∴DO ＝ OC ＝ DC.∴△ DOC 为等边三角形．∴∠ DOC ＝∠ ODC ＝ 60° .∵DC ∥ AO ，∴∠ AOD ＝∠ ODC ＝60 ° .∴∠ BOF ＝ 180°－∠ COD －∠ AOD ＝ 60° .在△ DOF 和△ BCF 中，∴△ DOF ≌△ BOF.∴∠ ODF ＝∠ OBF ＝ 90° .∴BF 是⊙ O 的切线．(2)∵∠ DOF ＝ 60°，∠ ODF ＝90°，∴∠ OFD ＝ 30 °.∵∠ BOF ＝ 60°，∠ BOF ＝∠ CFD ＋∠ E，∴∠ E ＝∠ OFD ＝30 ° .∴O F ＝OE.又∵ OD ⊥ EF，∴D E ＝ DF.在Rt△ ODF 中，∠ OFD ＝ 30 °.∴O F ＝2OD.∴D F ＝＝＝ .∴E F ＝ 2DF ＝2.11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB ＝ 10，弦 AC ＝ 6，∠ BAC 的均分线交⊙O 于点 D ，过点D 作 DE ⊥ AC 交 AC 的延伸线于点 E.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)求 DE 的长．解： (1) 证明：连结OD.∵AD 均分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAB.∵OA ＝ OD ，∴∠ ODA ＝∠ DAO.∴∠ ODA ＝∠ DAE.∴OD ∥ AE.∵DE ⊥ AC ，∴OD ⊥ DE.∴DE 是⊙ O 切线．(2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F.∴AF ＝ CF＝ 3.∴O F ＝＝＝ 4.∵∠ OFE ＝∠ DEF ＝∠ ODE ＝ 90°，∴四边形OFED 是矩形．∴D E ＝ OF ＝ 4.12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C， D 为切点．(1)如图 1，求⊙ O 的半径；(2)如图 1，若点 E 是 BC 的中点，连结 PE，求 PE 的长度；(3)如图 2，若点 M 是 BC 边上随意一点 (不含 B ，C)，以点 M 为直角极点，在 BC 的上方作∠ AMN＝90 °，交直线 CP 于点 N ，求证： AM ＝ MN.解： (1) 连结 OD ， OC.∵P C ， PD 是⊙ O 的两条切线， C， D 为切点，∴∠ ODP ＝∠ OCP ＝ 90° .∵四边形ABCD 是⊙ O 的内接正方形，∴∠ DOC ＝ 90°， OD ＝ OC.∴四边形DOCP 是正方形．∵AB ＝ 4，∠ ODC ＝∠ OCD ＝ 45°，∴DO ＝ CO ＝ DC·sin45°＝ 4×＝ 2.(2) 连结 EO， OP.∵点 E 是 BC 的中点，∴OE ⊥ BC ，∠ OCE ＝ 45 °，则∠ EOP ＝ 90° .∴EO ＝ EC ＝ 2， OP＝ CO＝ 4.∴P E＝＝ 2.(3)证明：在 AB 上截取 BF ＝BM.∵AB ＝ BC ， BF ＝ BM ，∴AF ＝MC ，∠ BFM ＝∠ BMF ＝ 45° .∵∠ AMN ＝ 90°，∴∠ AMF ＋∠ NMC ＝ 45°，∠ FAM ＋∠ AMF ＝ 45° .∴∠ FAM ＝∠ NMC.∵由 (1) 得 PD ＝ PC，∠ DPC ＝ 90°，∴∠ DCP ＝ 45° .∴∠ MCN ＝ 135° .∵∠ AFM ＝ 180 °－∠ BFM ＝ 135 °，在△ AFM 和△ MCN 中，∴△ AFM ≌△ MCN( ASA)．∴AM ＝ MN.。

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明1．如图，已知△ABE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BEF＝∠FAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径．2．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆周上一点，连接AC、BC，点D是AB延长线上一点，作∠DCB＝∠CAB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝6，则CD的长为．3．如图，点A，B在圆O上，∠BAO的平分线交圆O于点D，点C在OA的延长线上，且∠CBA＝∠D．（1）求证：CB是圆O的切线；（2）若DB∥OA，BD＝3，求圆O的半径．4．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DF＝1，CF＝3，求BC的长．5．如图，△ABD为等腰直角三角形，∠BAD＝90°，点A，B在⊙O上，DA，DB的延长线分别与⊙O交于点E，F，G为EF延长线上一点，∠GBF＝∠FAB．（1）求证：BG为⊙O的切线；（2）若AF＝BF＝，求与弦BF围成的阴影部分面积．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若cos B＝，AD＝5，求FD的长．7．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE＝2，CD＝8，求⊙O的半径和AD的长．8．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝6，AE＝，求⊙O的半径．9．如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝，CE＝1．求⊙O的半径和AB的长度．10．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）求证：直线BE与⊙O相切．（2）若CA＝4，CD＝6，求BE的长．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心作⊙A与BC相切于D，交AB于点F，在BC上取点E，使CE＝AC，连接EA，EF．（1）求证：EF是⊙A的切线；（2）若BE＝5，EF＝4，求点C到EA的距离．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE ⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CF＝，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段BC的长．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC到D，连接AD，使AD∥OC．AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若sin C＝，设BC切⊙D于点F，求tan∠CFE的值；15．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）若BC＝8，求阴影部分的面积．16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上CE ＝CA，AB，CE的延长线交于点F．（1）求证：CE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3，EF＝4，求CE的长．17．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠FBA，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝2，GE＝6，求⊙O的半径．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，连结AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠DAC＝30°，AB＝6，则弧AC的长为．20．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB＝2+，BC＝4，求AC及⊙O的半径．参考答案与试题解析1．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵∠BEF＝∠FAE，OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠FAE，∠F＝∠F，∴△BEF∽△EAF，∴，即，∴AF＝40，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣10＝30，∴⊙O的半径为15．2．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA，∵∠DCB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠OCA，∴∠DCB+∠OCB＝90°，即OC⊥DC∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝30°，AB＝∴∠COD＝2∠A＝60°，，由（1）可得：OC⊥DC，在Rt△OCD中，CD＝OC•tan∠OCD＝3tan30°＝3，故答案为：．3．【解答】（1）证明：如图，延长AO交圆O于点E，连接OB，BE，∵AE是圆O的直径，∴∠ABE＝90°，即∠OBE+∠OBA＝90°，又∵OB＝OE，∴∠E＝∠OBE，∵∠D＝∠ABC，∠D＝∠E，∴∠ABC＝∠OBE，∴∠OBA+∠ABC＝∠OBA+∠OBE＝90°，即BO⊥BC，又∵OB是半径，∴BC是圆O的切线．（2）解：方法一：∵DB//OA，∴∠OAD＝∠D，∵AD是∠BAO的平分线，∴∠OAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠D，∴BD＝AB＝3，∵∠AOB＝2∠E＝2∠D＝2∠BAD＝∠OAB，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴OA＝AB，∴OA＝3，即圆O的半径为3．方法二：连接DO，OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，又∵∠OAD＝∠BAD，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AB（内错角相等，两直线平行），又DB//OA，∴四边形OABD为平行四边形，故OA＝BD＝3．4．【解答】（1）证明：连接GO并延长交BC于E，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∴Rt△ABD≌Rt△DCG（HL），∴BG＝CG，∴GE⊥BC，∵AD∥BC，∴OG⊥AD，∵OG是⊙O的半径，∴AD与⊙O相切；（2）解：连接GF，∵∠DFG+∠CFG＝∠CFG+∠CBG＝180°，∵∠DFG＝∠CBG，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∴∠DGC＝∠DFG，∵∠D＝∠D，∴△GDF∽△CDG，∴＝，∴＝，∴DG＝2（负值舍去），∴BC＝AD＝2DG＝4．5．【解答】（1）证明：连接BE，∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE是圆O的直径，∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，∴∠FBG+∠EBF＝90°，∴∠OBG＝90°，故BG是圆O的切线；（2）解：如图，连接OA，OF，∵△ABD为等腰直角三角形，∴∠EFD＝∠DAB＝90°，∠D＝45°，∴∠FED＝45°，∴∠AOF＝90°，∵AF＝BF＝，∴OA＝OF＝BF＝1，∴△BOF是等边三角形，∴∠BOF＝60°，∴与弦BF围成的阴影部分面积＝﹣1×＝﹣．6．【解答】解：（1）连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）∵∠B＝∠ADC，cos B＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝5，∴CD＝AD•cos∠ADC＝5×＝3，∴AC＝＝4，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+5，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+5），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．7．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE＝90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD＝8，∴DF＝FC＝4．在Rt△OFD中，OF＝AE＝2，∴OD＝＝6，在Rt△AED中，AE＝2，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝6﹣4＝2，∴AD＝＝2，∴AD的长是2．8．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAM，∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴DO∥MN，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠AED＝90°，DE＝6，AE＝2，∴AD＝＝4，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∵∠CAD＝∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴＝，∴，∴AC＝8，∴⊙O的半径是4．9．【解答】（1）证明：如图，连接OA，∵∠AOC＝2∠ABC＝90°，OC∥AD，∴OA⊥AD，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）设半径为r，则OE＝r﹣1，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OE2+OA2＝AE2，即（r﹣1）2+r2＝（）2，解得r＝2或r＝﹣1（舍去），（2）如图，延长CO交⊙O于F，由相交弦定理得，AE•EB＝EC•EF，即•EB＝（2﹣1）×（2+1），∴EB＝，∴AB＝AE+BE＝．10．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，D是切点，∴OD⊥CD，即∠ODE＝ODC＝90°，∵AD∥OE，∴∠ODA＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，又∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠DOE＝∠BOE，又∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是半径，∴BE是⊙O的切线；（2）解：设半径为r，则OC＝r+4，在Rt△COD中由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，即r2+62＝（r+4）2，解得r＝，∵∠ODC＝∠EBC＝90°，∠C＝∠C，∴△ODC∽△EBC，∴＝，即＝，解得BE＝．11．【解答】（1）证明：连接AD，∵⊙A与BC相切于D，∴∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∴CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠DAE＝∠BAE，∵AF＝AD，AE＝AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴∠ADE＝∠AFE＝90°，∵AF是⊙A的半径，∴EF是⊙A的切线；（2）解：过点C作CG⊥AE，垂足为G，在Rt△BFE中，BE＝5，EF＝4，∴BF＝＝＝3，∵△AFE≌△ADE，∴EF＝DE＝4，∴BD＝BE+DE＝9，在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，∴AD2+81＝（AF+3）2，∴AE＝＝＝4，∵CA＝CE，CG⊥AE，∴EG＝AE＝2，∵∠ADE＝∠CGE＝90°，∠AED＝∠CEG，∴△AED∽△CEG，∴＝，∴＝，∴CG＝6，∴点C到EA的距离为6．12．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∵OD是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODF中，sin F＝，∴，∴OD＝，∴AC＝，AF＝10，在Rt△AEF中，由sin F＝＝得，AE＝6，在Rt△AEF中，由勾股定理得EF＝8，∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝﹣6＝，∵OD∥AB，∴，∴ED＝3，∴BD＝，∴BC＝2BD＝3．13．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4，∴⊙O的半径为4．14．【解答】（1）证明：如图1，作DH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，∴DA⊥BA，∵BD平分∠ABC，∴DH＝DA，∵DA为⊙D的半径，∴BC是⊙D的切线．（2）解：如图2，连接DF，设AB＝5m，DA＝DF＝r，∵sin C＝＝，∴BC＝13m，∴AC＝＝12m，∴CD＝12m﹣r，∵⊙D与BC相切于点F，∴BC⊥DF，，∴BC•DF＝CD•AB＝S△BCD∴×13mr＝×5m（12m﹣r），∴DA＝r＝m，∵∠BFD＝∠BAD＝90°，BD＝BD，DF＝DA，∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），∴∠BDF＝∠BDA，∵DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∴∠ADF＝2∠BDF＝∠DFE+∠DEF＝2∠DFE，∴∠BDF＝∠DFE，∴EF∥BD，∴∠CFE＝∠CBD＝∠ABD，∴tan∠CFE＝tan∠ABD＝＝＝，∴tan∠CFE的值是．15．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，∵BC是⊙O的直径，点D在圆上，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵CA＝CB，∴BD＝AD，又∵OB＝OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，又∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠A＝∠B＝30°，∠ACB＝120°，∵OD∥AC，∴∠COD＝180°﹣120°＝60°，又∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝BC＝4，在Rt△CDE中，CD＝4，∠CDE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝CD＝2，DE＝CD＝2，∴S阴影部分＝S梯形OCED﹣S扇形OCD＝（2+4）×﹣＝6﹣π．16．【解答】（1）证明：如图，连接OE、AE，则OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∵CE＝CA，∠CAO＝90°，∴∠CEA＝∠CAE，∴∠CEO＝∠CEA+∠OEA＝∠CAE+∠OAE＝∠CAO＝90°，∵CE经过⊙O的半径OE的外端，且CE⊥OE，∴CE与⊙O相切．（2）解：∵∠FEO＝90°，OE＝OA＝3，EF＝4，∴OF＝＝＝5，∴AF＝OF+OA＝8，∵CA2+AF2＝CF2，且CA＝CE，CF＝4+CE，∴CE2+82＝（4+CE）2，∴CE＝6，∴CE的长为6．17．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵BE平分∠FBA，∴∠1＝∠2，∵OB＝OE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∵OE是⊙O的半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝2，GE＝6，∴OG＝OA+AG＝r+2，∵OG2＝GE2+OE2，∴（2+r）2＝62+r2，解得：r＝8，故⊙O的半径为8．18．【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵DE∥AC，∵∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，在Rt△BCD中，BD＝＝4，∴CF＝＝＝，∴AC＝2CF＝．19．【解答】（1）证明：∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠FAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠DAC＝30°，AB＝6，∴∠ACO＝∠CAO＝∠DAC＝30°，OA＝OC＝3，∴∠AOC＝120°，∴弧AC的长＝＝2π．故答案为：2π．20．【解答】（1）证明：如图，连接OA，则OA＝OC，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，∴∠AOP＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠ACP＝∠AOP＝30°，∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝90°，∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线．（2）解：如图，作CE⊥AB于点E，则∠BEC＝∠AEC＝90°，∵AB＝2+，BC＝4，∴BE＝BC•cos60°＝4×＝2，CE＝BC•sin60°＝4×＝2，∴AE＝AB﹣BE＝2+﹣2＝，∴AC＝＝＝3，∵∠OAP＝90°，∠P＝30°，AP＝AC＝3，∴OP＝2OA，∴（2OA）2﹣OA2＝（3）2，∴OA＝3，∴⊙O的半径长为3．。

中考复习证明圆的切线的两种方法
方法一：直角三角形方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。

首先，连接OA和OB。

由于OA是半径，所以OA⊥AB。

由于AB是切线，所以AB⊥OB。

综上可得：OA⊥AB⊥OB，即OA⊥OB，所以O、A、B三点共线。

由于直角三角形AOB中，AO⊥OB，所以AOB为直角三角形。

根据直角三角形的性质，AOB为直角三角形可推出∠OAB=90°。

所以，∠OAB=90°，即OA⊥AB，证明了AB是圆的切线。

方法二：几何方法证明圆的切线
设圆的圆心为O，半径为r，切点为A，切线为AB。

首先，连接OA和OB。

由于OA是半径，所以OA=OB=r。

根据圆的性质，点A到圆心O的距离为r，即AO=r。

因为AB是切线，所以∠OAB=90°。

又知，O、A、B三点共线，所以∠OBA=∠OAB=90°。

所以，三角形OAB是直角三角形。

由于OAB为直角三角形，可以利用勾股定理得到：AB²=OA²+OB²。

代入已知条件，可得AB²=r²+r²=2r²。

化简得到AB²=2r²，取平方根可得AB=√2r。

所以，AB=√2r，证明了AB是圆的切线。

综上所述，根据直角三角形方法和几何方法可以证明圆的切线。

中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。

专题：《切线的证明技巧》[方法技巧]连半径，证垂直或作垂直，证半径是证明直线是圆的切线的常用方法。

-、有公共点→连半径，证垂直1、已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE=∠BAC，求证：CE是⊙O的切线。

方法点拔：借助角度转换证垂直2、如图，⊙O的弦AD=4，BD=8，AD⊥BD,C是BD延长线上一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线。

方法点拔：借助角度转换证垂直C3、如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，切点为A，OE平行于弦BC。

求证：CE是⊙O的切线。

方法点拔：借助全等证垂直A B二、无公共点→作垂直，证半径方法点拔：借助角平分线性质证d=R4、如图△ABC中，CA=CB，D为AB中点，以D为圆心的圆与AC相切于点E，求证：BC与⊙O相切。

DA BE5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD+BC=CD，求证：以AB为直径的圆与CD相切。

OAB CD1．（2015•湖北模拟）如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．2.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.求证:PB为⊙O的切线;DCOBPEA3．（2015•武汉校级模拟）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．求证：PB是⊙O的切线；。

专题解析——切线证明切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ．∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．图1O ABCD【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o ．∴∠ODC ＝90o ．∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．O ABCD 图22 341 图3O ABCD2 31思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴AC平分∠DAB．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线．理由：连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B．∵∠COD是△BOC的外角，∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D，∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB 的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．求证：AC是⊙O的切线证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,O B=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，DC∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ，OCOPODOC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG中点O，连结OC.∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于 F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。

精品文档证明圆的切线专题证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路：1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径：2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直.1不常用,一般常用2.??O90????90CDB?A?CD,A ABCRt?，过点且,作，1.如图，在点D中，是AC的中点，OOABEAB．使圆心上，在交于点与OBD相切；与（1）求证：直线O6BC?AE:?4:5,AD的直径．求（2）若,2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，O、D分别为AB、BC上的点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、EF的中点。

，且D为AC于点E、F（1）（4分）求证：BC与⊙O相切3AD的长。

o时，求AD=2 ，∠（（2）4分）当CAD=30?O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA如图，已知CD是，直线AE、CD相交于点B． 3.(1)求证：直线AB是OO的切线；(2)如果AC =1，BE =2，求tan∠OAC的值．精品文档．精品文档E。

⊥AC，垂足为于点D，过点D作DE，交4.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙OBC 的切线；DE是⊙O）求证：（1 的长。

=5，求CE2）如果BC=8，AB（．相切于点DO为圆心的⊙O与AC，以5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O相切；与BC（1）求证：⊙O的半径时，求⊙O）当AC=3，BC=6（2ADO平分∠，C，CD，交AM，BN于点DBN 6.如图，AB是⊙O的直径，AM，分别切⊙O于点A，B DC．的切线；CD是⊙O（1）求证：．O的半径R）若AD=4，BC=9，求⊙（2?AB，PB的中点，连接PAABO的内接三角形，＝AC，点P是，ABC7.如图，在平面直角坐标系中，△是⊙PC．AC?3AP；＝60°，求证：BPC（1）如图①，若∠24tan?PAB?BPCsin?的值．，求）如图②，若2（25AAPP精品文档OOCBBC．精品文档8.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC 于G，延长GE交AD于H．（1）求证：AH=HD；（2）若cos∠C= 4/5，，DF=9，求⊙O的半径9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求tan∠ABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长．10如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP 于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．精品文档．精品文档的直，交过CAM的延长线交⊙O于点GAB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，如图，在⊙11.O中，直径．NCB与DG 交于点线于F，∠1=∠2，连结的切线；）求证：CF是⊙O（1；）求证：△ACM∽△DCN（21的长．，求，的半径为4cos∠BNBOC=）若点（3M是CO的中点，⊙O4，垂足为D作PO的垂线ABE为切点，直线PO交⊙O与点，F过点AO12、如图，PA为⊙的切线，A ．AC，BFBO 与⊙O交与点C，连接，延长交⊙O与点BO相切；PB（1）求证：与⊙之间的数量关系，并加以证明；OD，OPEF（2）试探究线段，的值．∠，求tanAC=123（）若，∠F=cosACB精品文档．精品文档精品文档．。

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABCC．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A．B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

专题:圆切线的两种证明方法
方法一、有切点、连半径、证垂直
例1．如图，在三角形ABC中，AB=AC,以☉O为直径的圆O交BC于点D，过点D作DE垂直AC于点E．求证：DE是☉O的切线．
【变式训练1】如图，PA是以AC为直径的☉O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交☉O于点B．求证：PB是☉O的切线；
【变式训练2】如图RTABC中，∠C=90度，以AB上一点o为圆心，OA的长为半径作O，交AC,AB分别于D,E两点，连接BD，且∠A=∠CBD.
求证：BD是☉O的切线；
【变式训练3】如图，☉O是三角形ABC的外接圆，点D是弧BC的中点，过点D作FE平行BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F,连接AD,BD,∠ABC 的平分线BM交AD于点M. 求证：FE是☉O的切线；
方法二、无切点、作垂直、证半径
例1.如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．求证：CD是⊙O的切线；
【变式训练1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．求证：AC是⊙O的切线；
【变式训练2】在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；
【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，以O 为圆心，OC为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线．
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中考数学专题突破：证明圆的切线方法一：等角代换（☆☆☆☆☆）方法二：利用平行线的性质（☆☆）方法三：证明三角形全等或相似（☆）方法四：算出角度方法五：勾股定理方法一：等距替换（找到一个等于90度的角度）【2021山东潍坊22】如图，ab为半圆o的直径，ac是⊙o的一条弦，d为的中点，作de⊥ac，交ab的延长线于点f，连接da．（1）求证：ef为半圆o的切线；【分析】（1）证明：连接OD，∵ D是的中点，∴∠cad=∠bad，∵oa=od∴∠糟糕的=∠阿多∴∠计算机辅助设计=∠阿多∵判定元件⊥交流电，∴∠e=90°∴∠cad+∠eda=90°，即∠ado+∠eda=90°，∴od⊥ef，∴ef为半圆o的切线；[2022年山东德州20号]如图所示，已知RT△ 美国广播公司，∠ C=90°，D是BC的中点，AC为直径的⊙o交ab于点e．（1）求证：de是⊙o的切线；【分析】（1）证明：连接oe、ec，∵ AC是直径⊙ 哦，∵ AEC=∠ BEC=90°，∵ D是BC的中点，∵ ed=DC=BD，∵ 1 = ∠ 2.∵ OE=OC，∵ 3 = ∠ 4.∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠oed=∠acb，∵∠acb=90°，∴∠oed=90°，∴de是⊙o的切线；[2022湖北咸宁]如图所示，在哪里？在ABC，AB？交流电，⊙ O和以ab为直径的边缘bc,ac分别交于d,e两点，过点d作df?ac，垂足为点f.（1）验证：DF是⊙ o；【解析】（1）证明：如图，连接od，作og⊥ac于点g，，∵ob=od，∴∠odb=∠b，和∵ AB=AC，∵ C=∠ B∵ ODB=∠ C∵ DF⊥ 交流电，∵ DFC=90°，∵ ODF=∠ DFC=90°，∵ DF是⊙ o【2021四川泸州】如图，△abc内接于⊙o，bd为⊙o的直径，bd与ac相交于点h，ac的延长线与过点b的直线相交于点e，且∠a=∠ebc．（1）求证：be是⊙o的切线；[答：]（1）证明：连接CD，∵bd是直径，∴∠bcd=90°，即∠d+∠cbd=90°，∵∠a=∠d，∠a=∠ebc，∴∠cbd+∠ebc=90°，∴be⊥bd，∴be是⊙o切线．[2022山东滨州23]如图所示，E点为△ ABC，AE的延长线在点F处与BC相交，并与⊙ ABC交叉⊙ o在D点；连接BD并通过d点做一条直线DM，以便∠ BDM=∠ 数模转换器（1）求证：直线dm是⊙o的切线；A.obmdecf【分析】证明：（1）如图1所示，连接do并延伸交叉点⊙ o至G点，连接BG；∵点e是△abc的内心，∴ad平分∠bac，∴∠bad＝∠dac．[∵∠g＝∠bad，∴∠mdb＝∠g，≓ DG是直径⊙ 哦，⊙ GBD＝90°，⊙ g＋∠ BDG＝90°。