电动力学电动力学二一(静电场标势微分方程)

4
把单位正电荷由P1点移 至P2点，电场E对它所作
的功为
P2
E dl P1
这功定义为P1点和P2点
的电势差。若电场
对电荷做了正功，则电 势φ下降。由此
(P2 ) (P1)
P2 P1
E dl
5
由这定义，只有两点的电势差才有 物理意义，一点上的电势的绝对数值是
导体的特殊性
1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容 率为ε，导体表面的边界条件为
C

n
15
三、静电场能量
W

1 2

第二章 静电场
本章内容：电磁场的基本理论应用 到最简单的情况：电荷静止，相应 的电场不随时间而变化的情况。
本章研究的主要问题：在给定的自 由电荷分布以及周围空间介质和导 体分布的情况下，求解静电场。
1
本章具体内容：
1. 静电场标势微分方程 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 5. 格林函数法 6. 电多级矩
E dl E dl 0
C1
C2

E dl E dl
C1
C2
电荷由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关， 只和两端点有关。
7
相距为dl的两点的电势差

d E dl
由于
d


Leabharlann Baidu
dx


dy


dz


dl
x y z
lim

ln
1

1 R2 M 2 1
1 R02
M
2

M 4 0 1 1 R02 M 2 1 1 R2 M 2

4 0
ln
R02 R2


2 0
ln
R R0
22
若选P0点为参考点，规定，
( R0 ) 0
则
(R) ln R
W Q2
8 0a
24
方法之二: 按电场分布
1
W 2 E DdV
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
W 0 2
Q2
4 0r 2
2 r 2drd

Q2
8 0
a
1 r 2 dr

Q2
8 0a
.
25
因此，电场强度E等于电势φ的负梯度

E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
8
E 0
0


E D E

d E dl

(P ) P E dl
(P2 ) (P1)
E DdV
由E=-和D=得




E D D (D) D

(D)
因此
W

1 2

dV

1 2




(D)dV
16
式中右边第二项散度体积分化为面积分


(D)dV D dS r 0
若选0=0，则有


E0

x
19
例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线 密度为，求电势。
解
如图，设场点P到导线 的垂直距离为R，电荷 元dz, 到P点的距离为
z2 R2
20
则

(P)
dz
4 0 z 2 R2
(P)


ln( z z 2 R2 )
所以
W

1 2

dV
17
例1 求均匀电场E0的电势。
解
均匀电场每一点强度E0相同，其电场线为平 行直线。选空间任一点为原点，并设该点上
的电势为φ0，那么任一点P处的电势为
P
P

(
P
)

0 0

0 E0
E0 x

dl
0 E0
0
dl
18
其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无 穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域 内，因此不能选()=0.
没有物理意义的。参考点的选择是任意的， 在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无 穷远点作为参考点。令()=0有

(P ) P E dl
6
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
( x)


( x)dV 4 0r

11
二、静电势的微分方程和边值关系
均匀各向同 性线性介质
代入

D E

D
得泊松方程
2
其中ρ为自由电荷密度。泊松方程是静电势满足的基本 微分方程。给出边界条件就可以确定电势φ的解。
12
通过转换获得两介质界 面上电势φ必须满足边值 关系

n n
(E2 E1 ) 0
(D2 D1 )
13
电荷沿法线方向移动, 切 线分量不做功，沿法线 方向做功为零（因电场 有限，且间距趋于零）

1 2 E P1P2 0 法向电场不连续
1 2
2
2
n
1
1
n


14
2
第一节 静电场的标势及其微分方程
3
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场部分为
E 0


E
D
这两方程连同介 质的电磁性质方 程是解决静电问 题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
P2 P1
E dl
9
点电荷Q激发的 电场强度

Q
E 4 0r 3 r
其中r为源点到场点 的距离。把此式沿径 向场点到无穷远点积 分，电势为
(P)
r
Q
4 0r

2
dr


Q
4 0r
10
一组点电荷Qi激发的 电势
(P)
Qi
i 4 0ri
若电荷连续分布，电荷密度 为ρ，设r为源点x'到场点x的 距离，则场点x处的电势为
4 0

积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷和 电荷不是有限区域内的分布有关。
21
计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷 大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则P 点和P0点的电势差为
(P)
(P0 )

lim
M
4
0
ln
z z
M
z2 R2
z 2 R02 M
2 0 R0
取φ的梯度得
ER R 2 0 R
E Ez 0
23
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。
解 方法之一: 按电荷分布
整个导体为等势 体, 导体球的电 荷分布于球面上
W

1 2

dV

1 2
Q
a
a

Q
4 0a
因此静电场总能量为