最新江西省抚州市临川一中高一下学期期末数学试题(解析版)

某某省抚州市某某一中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．若集合A={x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则B={y|∈N*，y∈A}中元素的个数为（）A． 3个B． 4个C． 1个D． 2个2．下列结论正确的是（）A．当B．当无最大值C．的最小值为2 D．当x＞0时，3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）A． 8 B．±8C． 16 D．±164．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，则cos∠DAC=（）A．B．C．D．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A． 2B．C． 2 D． 28．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．②③B．③C．②④D．③④9．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A． 2 B．±2C．±D．10．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值X围是（）A．（π，）B．[π，] C． [，] D．（，）11．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x2+y2+﹣m＜0恒成立，则m的取值X围是（）A． m＜B． m＞C．m≤D． m＞012．若函数f（x）在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f （x），则称f（x）为M上的t级类增函数，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）=+x是（1，+∞）上的1级类增函数B．函数f（x）=|log2（x﹣1）|是（1，+∞）上的1级类增函数C．若函数f（x）=x2﹣3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值X围为[1，+∞）D．若函数f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，则实数a的最小值为[2，+∞]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知球O是棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．14．在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为．15．已知a n=2n﹣2，a n2=（），=，求数列{}前n项的和S n=．16．已知数列{a n}的通项公式a n=﹣n2+13n﹣．当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数 f（x）=4x+1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a=2，若对任意的x∈R不等式f（x）≤f （A）恒成立，求△ABC面积的最大值．18．已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；（2）当|PQ|=2时，求直线l的方程．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2+2，a2n=2a n，（1）求等差数列{a n}的通项公式a n．（2）令b n=，数列{a n}的前n项和为T n．证明：对任意n∈N*，都有≤T n＜．20．已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D1AE（如图2），并且平面D1AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D1﹣ABCE的主视图与左视图．（1）求证：直线BE⊥平面D1AE；（2）求点A到平面D1BC的距离．21．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点；（2）设L与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）若定点P（1，1）分弦AB所得向量满足=，求此时直线L的方程．22．对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（Ⅲ）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x﹣3|，求k的值及f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值．某某省抚州市某某一中2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案）1．若集合A={x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则B={y|∈N*，y∈A}中元素的个数为（）A． 3个B． 4个C． 1个D． 2个考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：此题实际上是求A∩B中元素的个数．解一元二次不等式，求出集合A，用列举法表示B，利用两个集合的交集的定义求出这两个集合的交集，结论可得．解答：解：A={x|0＜x＜7，x∈N*}={1，2，3，4，5，6}，B={1，2，3，6}，∵A∩B=B，∴集合A={x|x2﹣7x＜0，x∈N*}，则B={y|∈N*，y∈A}中元素的个数为4个．故选：B．点评：本题考查一元二次不等式的解法，用列举法表示集合，求两个集合的交集的方法．2．下列结论正确的是（）A．当B．当无最大值C．的最小值为2 D．当x＞0时，考点：基本不等式．专题：规律型．分析：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，；对于B，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值；对于C，在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为；对于D，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故可判断．解答：解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，，结论不成立；对于B，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故B不成立；对于C，在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故C错误；对于D，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故D成立故选D．点评：本题考查的重点是基本不等式的运用，解题的关键是明确基本不等式的使用条件，属于基础题．3．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）A． 8 B．±8C． 16 D．±16考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：设这个等比数列为{a n}，根据等比中项的性质可知a2•a4=a1•a5=a23进而求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．解答：解：设这个等比数列为{a n}，依题意可知a1=，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，∴a2•a4=a1•a5=a23=4∴a3=2∴a2a3a4=a33=8故选A．点评：本题主要考查了等比数列的性质．主要是利用等比中项的性质来解决．4．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．解答：解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C点评：本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，则cos∠DAC=（）A．B．C．D．考点：余弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：画出图形求出△ACD的三个边长，利用余弦定理求解即可．解答：解：如图：直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，不妨令AB=2，则BC=CD=1，作ED⊥AB于E，可得AD=，AC==．在△ACD中，由余弦定理可得：coscos∠DAC===．故选：B．点评：本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，画出图形是解题的关键．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：图表型．分析：先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．解答：解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．7．已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A． 2B．C． 2 D． 2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z好圆在第一象限相切时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，则圆心到直线的距离d==2，即|a|=2，故a=2或a=﹣2，（舍），故选：A点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．8．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．②③B．③C．②④D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①由已知利用面面平行的判定定理可得：α∥β或相交，即可判断出正误；②利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得：l与n不一定垂直，即可判断出正误；③利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得：m∥n，即可判断出正误；④由已知可得m∥n、相交或异面直线，即可判断出正误．解答：解：①若m∥n，m⊂α，n⊂β，不满足平面平行的判定定理，因此α∥β或相交，不正确；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，若l⊂m，则可能l∥n，因此不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n、相交或异面直线，因此不正确．综上只有：③正确．故选：③．点评：本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．9．已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A． 2 B．±2C．±D．考点：平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值．解答：解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90°，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得k=±2，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值X围是（）A．（π，）B．[π，] C． [，] D．（，）考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的X围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的X围求解首项a1取值X围．解答：解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．点评：本题考查等差数列的通项公式，考查三角函数的有关公式，考查等差数列的前n项和，训练二次函数取得最值得条件，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．11．已知x＞0，y＞0，2x+y=1，若4x2+y2+﹣m＜0恒成立，则m的取值X围是（）A． m＜B． m＞C．m≤D． m＞0考点：函数恒成立问题；基本不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：题目转化为求4x2+y2+的最大值问题，由题意和基本不等式以及二次函数的知识可得．解答：解：要使4x2+y2+﹣m＜0恒成立，只需m＞4x2+y2+恒成立，∵x＞0，y＞0，2x+y=1，∴1=2x+y≥2，∴0＜≤，∵4x2+y2+=（2x+y）2﹣4xy+=1﹣4xy+=﹣4（﹣）2+，∴4x2+y2+的最大值为，∴m＞故选：B点评：本题考查函数恒成立问题，涉及基本不等式和配方法以及二次函数的最值，属中档题．12．若函数f（x）在给定区间M上，存在正数t，使得对于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f （x），则称f（x）为M上的t级类增函数，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）=+x是（1，+∞）上的1级类增函数B．函数f（x）=|log2（x﹣1）|是（1，+∞）上的1级类增函数C．若函数f（x）=x2﹣3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值X围为[1，+∞）D．若函数f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，则实数a的最小值为[2，+∞]考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中，f（x+1）﹣f（x）=≥0在（1，+∞）上不成立；B中，f（x+1）﹣f（x）=|log2x|﹣|log2（x﹣1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立；C．故运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；D．由f（x）=x2﹣3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值X围为[1，+∞）．解答：解：A．∵f（x）=+x，∴f（x+1）﹣f（x）=﹣﹣x=≥0在（1，+∞）上不成立，故A不正确；B．∵f（x）=|log2（x﹣1）|，∴f（x+1）﹣f（x）=|log2x|﹣|log2（x﹣1）|≥0在（1，+∞）上不成立，故B不正确；C∵f（x）=x2﹣3x为[1，+∞）上的t级类增函数，∴（x+t）2﹣3（x+t）≥x2﹣3x，∴2tx+t2﹣3t≥0，t≥3﹣2x，由于x∈[1，+∞），则3﹣2x≤1，故实数t的取值X围为[1，+∞），∴C正确．D．f（x）=sinx+ax为[，+∞）上的级类增函数，∴sin（x+）+a（x+）≥sinx+ax，sinxcos+cosxsin+ax+a≥sinx+ax，∴cosx+a≥sinx，当x=时，a≥，a≥，∴则实数a的最小值为，∴D不正确；故选：C点评：本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知球O是棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为6π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．解答：解：根据题意知，平面ACD1是边长为6的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是6××tan30°=，则所求的截面圆的面积是6π．故答案为：6π．点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想．14．在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8内，过点P（1，0）的最长的弦为AB，最短的弦为DE，则四边形ADBE的面积为4．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由圆的知识可知过（1，0）的最长弦为直径，最短弦为过（1，0）且垂直于该直径的弦，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．解答：解：圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，由题意得最长的弦|AB|=4，圆心（2，2），圆心与点（1，0）的距离d==，根据勾股定理得最短的弦|DE|=2=2=2，且AB⊥DE，四边形ABCD的面积S=|AB|•|DE|=×4×2=4，故答案为：4．点评：本题考查学生灵活运用几何知识决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半是解决问题的关键，属中档题．15．已知a n=2n﹣2，a n2=（），=，求数列{}前n项的和S n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过a n2=（）两边取对数化简可知b n=﹣2（n﹣2），进而=，利用错位相减法计算即得结论．解答：解：∵a n=2n﹣2＞0，a n2=（），∴log2a n2=log2（），化简得：b n=﹣2（n﹣2），∴==，∴S n=﹣2[﹣1•+0+1•+2•+…+（n﹣2）•]，S n=﹣2[﹣1•+0+1•+2•+…+（n﹣3）•+（n﹣2）•]，两式相减得：S n=﹣2[﹣2+（++++…+）﹣（n﹣2）•]，∴S n=﹣4[﹣2+﹣（n﹣2）•]=﹣4[﹣2+2﹣﹣（n﹣2）•]=，故答案为：．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知数列{a n}的通项公式a n=﹣n2+13n﹣．当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时，n的值为9 ．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过配方可知该数列当从第4项至第9项为正数、其余项为负数，进而计算可得结论．解答：解：∵a n=﹣n2+13n﹣=﹣（n﹣）2+9，∴a n＞0，等价于＜n＜，∴当从第4项至第9项为正数，其余项为负数，∴当n＞11时，a n a n+1a n+2恒小于0，又∵a9a10a11＞0＞a8a9a10，∴a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+a n a n+1a n+2取得最大值时n=9，故答案为：9．点评：本题考查数列的前n项的若干项乘积之和取最大值时项数n的求法，解题时要认真审题，注意数列中各项符号的合理运用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数 f（x）=4x+1（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a=2，若对任意的x∈R不等式f（x）≤f （A）恒成立，求△ABC面积的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=4sin（2x+）﹣1，由2k≤2x+≤2k解得函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）由题意得2A+=+2kπ，k∈Z结合A的X围，解得A的值，由余弦定理可解得bc的最大值，由三角形面积公式即可求得△ABC面积的最大值．解答：（本题满分15分）解：（Ⅰ）=sin2x+cos2x﹣2sin2x=2sin2x+2cos2x﹣1=4sin（2x+）﹣1由2k≤2x+≤2k解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z所以函数f（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z（Ⅱ）由题意得当x=A时，f（x）取得最大值，则2A+=+2kπ，k∈Z及A∈（0，π）解得A=，S△ABC=，由余弦定理得4=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc即bc所以当b=c时，△ABC面积的最大值==2+．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．18．已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；（2）当|PQ|=2时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得l的斜率，可得直线l的方程，联立直线m的方程，可得交点N，代入圆心，可得直线l过圆心；（2）由|PQ|=2得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x﹣ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程．解答：解：（1）因为l与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为﹣，所以直线l的斜率为3，所以l的方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．联立，解得，即有N（﹣，﹣），代入圆心（0，3），有0﹣3+3=0成立，所以直线l过圆心C（0，3）．（2）由|PQ|=2得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x﹣ny+1=0，则由d==1．解得n=0，或n=，所以直线l的方程为x+1=0或4x﹣3y+4=0．点评：本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2+2，a2n=2a n，（1）求等差数列{a n}的通项公式a n．（2）令b n=，数列{a n}的前n项和为T n．证明：对任意n∈N*，都有≤T n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S4=3S2+2、a2n=2a n计算即可；（2）通过分离分母，并项相加即得结论．解答：解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则由S4=3S2+2、a2n=2a n，得，解得，所以；（2）因为，所以，则=．因为n≥1，n∈N*，所以．点评：本题考查求数列的通项及前n项和，分离分母且并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D1AE（如图2），并且平面D1AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D1﹣ABCE的主视图与左视图．（1）求证：直线BE⊥平面D1AE；（2）求点A到平面D1BC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）由主视图和左视图易知：AD=DE=EC=BC=1，证明BE⊥AE，利用平面D1AE⊥平面ABCE，证明直线BE⊥平面D1AE；（2）利用，求点A到平面D1BC的距离．解答：（1）证明：由主视图和左视图易知：AD=DE=EC=BC=1∴，∴AE2+BE2=AB2⇒BE⊥平面D1AE…（5分）（2）解：分别取AE，BC中点M，N∵D1A=D1E=1，⇒D1M⊥平面ABCE，⇒BC⊥平面D1MN，∴BC⊥D1N．Rt△D1MN中，，∴设A到平面D1BC的距离为d，∵，∴，∴，∴，∴…（12分）点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判断，考查点面距离的计算，正确利用线面垂直的判定是关键．21．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线L：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点；（2）设L与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）若定点P（1，1）分弦AB所得向量满足=，求此时直线L的方程．考点：轨迹方程；直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）直线L过定点P（1，1）在圆内，即可得出结论；（2）分类讨论，利用CM⊥MP，可求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）利用=，确定A，B横坐标之间的关系，直线与圆联解，利用韦达定理，即可得出结论．解答：（1）证明：由于直线L的方程是mx﹣y+1﹣m=0，即y﹣1=m（x﹣1），经过定点P（1，1）在圆内，∴对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点；（2）解：当M不与P重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，设M（x，y），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0；当M与P重合时，满足上式．（3）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵，∴1﹣x1=（x2﹣1），∴x2=3﹣2x1，直线与圆联解得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0 （*）∴x1+x2=∴可得，代入（*）得m=±1直线方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．22．对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．（Ⅰ）若（a，b）是f（x）的一个“P数对”，且f（2）=6，f（4）=9，求常数a，b的值；（Ⅱ）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；（Ⅲ）若（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，且当x∈[1，2）时f（x）=k﹣|2x﹣3|，求k的值及f（x）在区间[1，2n）（n∈N*）上的最大值与最小值．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）利用f（2）=6，f（4）=9，建立方程组，即可求常数a，b的值；（Ⅱ）由已知，f（2x）=f（x）+1恒成立，整理f（2x）﹣f（x）=1，令x=2k，则f（2k+1）﹣f（2k）=1，{f（2k）}是等差数列，利用通项公式求解（Ⅲ）令x=1，则f（1）=k﹣1=3，解得k=4，当x∈[1，2）时f（x）=4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值X围是[3，4]．利用由已知，f（2x）=﹣2f（x）恒成立⊕，将[1，2n）分解成[2k ﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值X围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，即，解得：；…3分（Ⅱ）由题意知f（2x）=f（x）+1恒成立，令x=2k（k∈N*），可得f（2k+1）=f（2k）+1，∴{f（2k）}是公差为1的等差数列，故f（2n）=f（20）+n，又f（20）=3，故f（2n）=n+3．…8分（Ⅲ）当x∈[1，2）时，f（x）=k﹣|2x﹣3|，令x=1，可得f（1）=k﹣1=3，解得k=4，…10分所以，x∈[1，2）时，f（x）=4﹣|2x﹣3|，故f（x）在[1，2）上的取值X围是[3，4]．又（﹣2，0）是f（x）的一个“P数对”，故f（2x）=﹣2f（x）恒成立，当x∈[2k﹣1，2k）（k∈N*）时，，=…=，…9分故k为奇数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值X围是[3×2k﹣1，2k+1]；当k为偶数时，f（x）在[2k﹣1，2k）上的取值X围是[﹣2k+1，﹣3×2k﹣1]．…11分所以当n=1时，f（x）在[1，2n）上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n+1，最小值为﹣2n；当n为不小于2的偶数时，f（x）在[1，2n）上的最大值为2n，最小值为﹣2n+1．…13分．点评：本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力．考查转化计算，分类讨论、构造能力及推理论证能力，思维量大，属于难题．。

2023-2024学年江西省抚州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =1+i2+i ，则z 的虚部为( )A. −15B. 15C. −15iD. 15i2.sin 210°cos 120°的值为( )A. 14B. −34C. −32D.343.直线l 与平面α不平行，则( )A. l 与α相交 B. l ⊂αC. l 与α相交或l ⊂αD. 以上结论都不对平行于同一个平面4.在△ABC 中，若A =45°，B =30°，BC =3，则边AC 的长为( )A.62 B. 322 C. 326D. 325.在△ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE =λAB +μAC ，则λ+μ=( )A. 1B. −1C. 13D. −136.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为( )A. 12B.22C.33D.637.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得tan ∠ACB =34，CD =50m ，cos ∠BCD =55,cos ∠BDC =35，则塔高AB 为( )A. 153m B. 203m C. 155m D. 205m8.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC 和边AB 上，D ，E 分别为BC 和BA 的三等分点，点D 靠近点B ，点E 靠近点A ，AD 交CE 于点P ，设BC =a ，BA =b ，则BP =( )A. −17a +37b B. 17a +47b C. 17a +37b D. 27a +47b二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量a =(cosx,1)，b =(sinx,2)，则a ⋅b 的值可以是( )A. 1B. 2C. 73D. 310.如图，正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，P 为线段BC 1上的动点，则下列说法正确的是( )A. B 1D ⊥A 1PB. A 1C 1⊥平面PDD 1C. 三棱锥P−ACD 1的体积为定值D. A 1P +PC 的最小值为 6+211.设函数f(x)=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π2)的最小正周期为π，且过点(0,2)，则下列说法正确的是( )A. f(x)为偶函数B. f(x)的一条对称轴为x =π2C. 把f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)=2cos (2x +π6)D. 若f(x)在(0,a)上单调递减，则a 的取值范围为(0,π2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2024届江西省抚州市临川二中数学高一下期末教学质量检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数[]()3sin 20,6y x x ππ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．如图，在ABC 三角形中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则AD =( )A ．2133AB AC + B ．1233AB AC + C ．2133AB AC -D ．1233AB AC -3．已知0x >，0y >，182x y x y-=-，则2x y +的最小值为 A 2 B ．22C ．32D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．400，40B ．200，10C ．400，80D ．200，205．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（ ）A ．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长B ．该超市这五个月中，利润基本保持不变C ．该超市这五个月中，三月份的利润最高D ．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关6．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-,则点D 的坐标为（ ） A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,37．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，890, 0S <S =.若n k S S ≥对*n N ∈恒成立，则正整数k 构成的集合是（ ） A ．{4,5}B ．{4}C ．{3,4}D ．{5,6}8．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．11a -≤≤B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ）A ．202021-B ．1010323⨯-C ．1010321⨯-D ．1010322⨯-10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

江西高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知直线，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．3.如果球的大圆周长为C，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．4.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．5.如果直线L过点，且与直线垂直，则直线L的方程为（）A．B．C．D．6.函数 ( )A．是奇函数，且在上是减函数B．是奇函数，且在上是增函数C．是偶函数，且在上是减函数D．是偶函数，且在上是增函数7.三棱锥A-BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A-BCD的表面积为（）A．B．C．D．8.直线与圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交过圆心D．相交不过圆心9.若点到点及的距离之和最小，则m的值为( )A．2B．C．1D．10.已知三条直线a,b,c,若a和b是异面直线，b和c是异面直线，那么直线a和c的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行、相交或异面11.已知面，，直线，直线，斜交，则（）A．和不垂直但可能平行B．和可能垂直也可能平行C．和不平行但可能垂直D．和既不垂直也不平行二、填空题1.直线与直线的距离为 .2.在空间直角坐标系中，以、、、为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥表面积为 .3.将函数的图像向左平移一个单位，得到图像，再将向上平移一个单位得到图像，作出关于直线对称的图像，则的解析式为 .4.若一条直线和平面所成的角为，则此直线与该平面内任意一条直线所成角的取值范围是 .5.三个顶点的坐标分别是，则该三角形外接圆方程是 .6.已知半径为3的圆与轴相切，圆心在直线上，则此圆的方程为 .三、解答题1.已知直线L经过点，且直线L在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，求直线L的方程.2.棱长为2的正方体中，E为的中点.（1）求证：；（2）求异面直线AE与所成的角的正弦值.3.函数在上是减函数，求实数的取值范围.4.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.5.注：此题选A题考生做①②小题，选B题考生做①③小题.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时有.①求的解析式；②（选A题考生做）求的值域；③（选B题考生做）若，求的取值范围.6.注：此题选A题考生做①②小题，选B题考生做①②③小题.已知圆C：，直线.①求证：对任意，直线与圆C总有两个不同的交点；②当m=1时，直线与圆C交于M、N两点，求弦长|MN|；③设与圆C交于A、B两点，若，求的倾斜角.江西高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知直线，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线斜率，设该直线的倾斜角为，则，因为，所以。

2024届江西省临川第一中学等九校数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =-，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．33B ．332C ．34D ．232．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏3．点()2,5P 关于直线0x y +=对称的点的坐标是（ ） A ．()5,2-- B ．()2,5- C ．()5,2D ．()2,5--4．已知向量，，则＝（ ）A ．B ．C ．D ． 5．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ==6．已知()f x 的定义域为D ，若对于a ∀，b ，c D ∈，()f a ，()f b ，()f c 分别为某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ）A ．()ln(1)(0)f x x x =+>；B ．()4cos 2f x x =-；C ．()(116)f x x x =≤≤；D ．()(01)xf x e x =≤≤7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若cos cos 0a A b B -=，则ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A ．B ．2C ．3D ．269．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2+a 4=6,则S 5等于( ) A ．10B ．12C ．15D ．3010．圆22240x y x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2021-2021年江西省抚州市临川一中高一下学期期末数学试卷和参考- 2021-2021学年江西省抚州市临川一中高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x��4x+3≥0}，B＝{x∈N|��1≤x≤5}，则A∩B＝（） A．{1，3，4，5} 2．（5分）cos50°（A．B．{0，1，4，5}C．{0，3，1，4，5} D．{3，4，5}2��tan10°）的值为（） B．C．1D．23．（5分）已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8＝（） A．6B．122C．18 D．94．（5分）函数f（x）＝（x��3）?ln|x|的大致图象为（）A． B．C． D．，则（） B．D．5．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，A．C．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．��3 B．4 C．2 D．57．（5分）已知函数f（x）＝A．��2B．��1，若f（2��a）＝1，则f（a）＝（） C．1D．28．（5分）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形网格的边长为1，第1页（共17页）那么该四面体最长棱的棱长为（）A．B．C．6D．9．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）+f（x��2）＝0，若y＝f （x+1）的图象关于点（��1，0）对称，且f（1）＝2，则f（2021）＝（）A．��2B．0C．1D．210．（5分）在正方体ABCD��A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是四边形BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，下列说法正确的个数是（）①点F的轨迹是一条线段②A1F与D1E不可能平行③A1F与BE是异面直线④当F与C1不重合时，平面A1FC1不可能与平面AED1平行A．1B．25C．3 D．4511．（5分）设等差数列{an}满足（1��a1008）+2021（1��a1008）＝1，（1��a1009）+2021（1��a1009）＝��1，数列{an}的前n项和记为Sn，则（）A．S2021＝2021，a1008＞a1009B．S2021＝��2021，a1008＞a1009第2页（共17页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

江西高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．3.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．4.方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.设，，，则的大小顺序为（）A．B．C．D．7.若是的一个内角，且，则的值为( )A．B．C．D．8.已知函数（其中）的部分图像如下图所示，则的值为（）A．B．C．D．9.已知，且是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．10.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或二、填空题1.已知扇形的周长是，圆心角是弧度，则该扇形的面积为________.2.的值为______________.3.化简： .4.若，则_________.5.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.三、解答题1.已知集合,，,,求的值.2.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.3.（1）已知，，且，求的值；（2）已知，求证：.4.已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．5.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①；②；③；④；⑤.(1) 请根据(2)式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.6.设函数(为实常数)为奇函数，函数().(1)求的值；(2)求在上的最大值；(3)当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．江西高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由或，当时，为第三象限；当时，为第二象限，故选B.【考点】任意角的三角函数.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，函数是偶函数，在定义域内不是单调函数；对于B，函数是上的奇函数且为减函数；对于D，函数是定义在上的奇函数，但函数在区间与区间都是递减；对于C，定义域为，若记，则，故是奇函数，当时，，此时在上单调递增且；由奇函数的性质可知在也为增且此时函数值为负值，所以为上的增函数，故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.3.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.4.方程的解所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.【考点】函数与方程.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.6.设，，，则的大小顺序为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以，故选B.【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性.7.若是的一个内角，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意可知，故，而，所以，从而，而，所以，故选D.【考点】同角三角函数的基本关系式.8.已知函数（其中）的部分图像如下图所示，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观察图像可得，所以，又因为函数图像过点，所以，即，而，所以当时，，所以，所以，故选A.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.诱导公式.9.已知，且是第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是第三象限角，所以，所以，所以，而，所以，故，选D.【考点】1.象限角的定义；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和的正切公式.10.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.二、填空题1.已知扇形的周长是，圆心角是弧度，则该扇形的面积为________.【答案】【解析】设扇形的半径、弧长、圆心角分别为，则依题意有即，解得，所以.【考点】扇形的弧长与面积公式.2.的值为______________.【答案】【解析】.【考点】1.诱导公式；2.两角和与差的三角函数.3.化简： .【答案】【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系式.4.若，则_________.【答案】【解析】依题意可得.【考点】1.分段函数的求值问题；2.对数值的计算.5.给出下列结论：①函数的定义域为；②；③函数的图像关于点对称；④若角的集合,,则；⑤函数的最小正周期是,对称轴方程为直线.其中正确结论的序号是 _______.【答案】③④⑤【解析】对于①，由，故函数的定义域应当为；对于②，；对于③，采用检验法，三角函数对称中心的横坐标是函数的零点，当时，，符合，所以③正确；对于④，角的集合、都表示终边落在上的角，所以这两集合相等，所以④正确；对于⑤，的图像是由变化而来（保持轴上方的图像不变，而把轴下方的图像沿轴翻折到轴的上方），结合正切函数的图像与性质可知，的周期为，且对称轴为；综上可知，③④⑤正确.【考点】1.命题真假的判断；2.函数的定义域；3.诱导公式；4.三角函数的图像与性质；5.集合之间的关系.三、解答题1.已知集合,，,,求的值.【答案】.【解析】先从得到，然后代入集合中的二次方程，可求解出，再进一步确定集合，再由，确定集合，最后根据二次方程根与系数的关系可求出.试题解析：,，， 2分， 4分6分又，， 8分和是方程的两根，即 12分.【考点】1.集合的运算；2.二次方程根与系数的关系.2.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.3.（1）已知，，且，求的值；（2）已知，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）先利用角的拼凑与两角和与差的正弦或余弦公式计算出的正弦值或余弦值，然后根据三角函数值与角的范围，写出角即可；（2）利用两角和的正切公式来化简证明即可.试题解析：(1) 由，得由，得又∵∴ 3分由得6分，∴ 8分（2）证明：得 10分【考点】1.不等式的性质；2.同角三角函数的基本关系式；3. 两角和与差的公式.4.已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先由正余弦的二倍角公式与辅助角公式化简，然后应用正弦函数的单调减区间求出函数的减区间；（2）用代换得，然后用代换得，再由求出的范围，最后由正弦函数的性质得出函数的值域.试题解析：（1） 4分由，解出所以的减区间为 6分(2)因为将左移得到横坐标缩短为原来的，得到 8分，所以所求值域为 12分.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.二倍角公式、辅助角公式；3.三角函数的图像变换.5.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①；②；③；④；⑤.(1) 请根据(2)式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.【答案】(1)；(2).【解析】(1)对于②，根据同角三角函数的基本关系式与正弦的二倍角公式可计算出所求的常数；(2)观察发现两角之和为,可猜想，再运用二倍角公式，两角和与差公式，同角三角函数的关系式进行证明即可．试题解析：(1)对于②式；(2)猜想的三角恒等式为证明:．【考点】1.二倍角公式；2.两角和与差公式；3.同角三角函数的关系式.6.设函数(为实常数)为奇函数，函数().(2)求在上的最大值；(3)当时，对所有的及恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）或或.【解析】（1）根据为奇函数得到，恒有，从而计算出的值；（2）根据指数函数的图像与性质对进行分类讨论确定函数的单调性，从而由单调性求出在的最大值；（3）先根据（2）计算出，然后将不等式的恒成立问题转化成对恒成立，接着构造关于的函数，从而列出不等式组，求解不等式即可得出的取值范围.试题解析：（1）由得，∴ 2分（2）∵ 3分①当，即时，在上为增函数最大值为 5分②当，即时，在上为减函数的最大值为 7分8分（3）由（2）得在上的最大值为即在上恒成立 10分令即所以或或 14分【考点】1.一次与二次函数的图像与性质；2.指数函数的图像与性质；3.二次不等式.。

江西省抚州一中2024届高一数学第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某单位共有老年人180人,中年人540人,青年人人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为的样本，用分层抽样方法抽取进行调查，样本中的中年人为6人,则和的值不可以是下列四个选项中的哪组（ ） A ． B ． C ．D ．2．若直线过点()(1,2,4,23，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．90。

3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是（ ） A ．2cos y x =B ．2sin y x =C ．cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．cot y x =-4．一组数据0，1，2，3，4的方差是 A ．65B 2C ．2D ．45．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( ) A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③6．三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）A ．B ．C ．2D ．7．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示： 开业天数 1020304050销售额/天（万元）62758189根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为0.6754.9y x =+，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ） A ．68B ．68.3C ．71D ．71.38．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A ．14AB +34AC B ．34AB +14AC C ．13AB +23AC D ．23AB +13AC 9．若复数i2im z +=-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．2-B ．12-C ．12D ．210．对于一个给定的数列{}n a ，定义：若()11n n n a a a n ∆+=-∈*N ，称数列{}1na ∆为数列{}n a 的一阶差分数列；若()2111n n n a a a n ∆∆∆+=-∈*N，称数列{}2na ∆为数列{}n a 的二阶差分数列．若数列{}n a 的二阶差分数列{}2n a ∆的所有项都等于1，且1820170a a ==，则2018a =（ ）A ．2018B ．1009C ．1000D ．500二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年江西省抚州市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数，则z 的虚部为()A. B. C.D.2.的值为()A.B.C.D.3.直线l 与平面不平行，则()A.l 与相交B.C.l 与相交或D.以上结论都不对平行于同一个平面4.在中，若，，，则边AC 的长为()A. B. C.D.5.在中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若，则()A.1B.C.D.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为() A. B.C.D.7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得，，，则塔高AB 为()A. B. C.D.8.如图，在中，点D，E分别在边BC和边AB上，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，点E靠近点A，AD交CE于点P，设，，则()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知向量，，则的值可以是()A.1B.2C.D.310.如图，正方体中，，P为线段上的动点，则下列说法正确的是()A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为11.设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是()A.为偶函数B.的一条对称轴为C.把的图象向左平移个单位长度后得到函数，则D.若在上单调递减，则a的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.计算：______.13.已知，，，，则向量在向量上的投影向量为______用坐标表示14.四面体ABCD中，，，，则该四面体的体积=______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

江西省抚州市临川第一中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．352．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．113．已知直线l 的方程为sin 10x α+-=，α∈R ，则直线l 的倾斜角范围（ ） A ．20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D ．20,,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭4．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)25．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．23B ．46+C ．43+D ．23+7．设a R ∈，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则（ ） A ．()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭C ．()2724f a a f ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．()2724f a a f ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭8．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）A ．B ．0或C ．0D ．69．若两等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分別为n A ，n B ，满足()73416n n A n n N B n *+=∈+，则1111a b 的值为( ). A ．74B ．32C ．43D ．787110．已知R ω∈，函数()()()26sin f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

临川一中2021-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（每题5分，共10个小题，此题总分值50分） 1.若是b a >，那么以下各式正确的选项是( ) A. x b x a lg lg ⋅>⋅B. 22bx ax > C. 22b a >D. xx b a 22⋅>⋅2.已知10<<x ，那么)33(x x -取得最大值时x 的值为（ ） A ．31 B.21 C ．43D ．32 3.一个等比数列前n 项的和为48，前n 2项的和为60，那么前n 3项的和为( ) A ．83 B.108 C ．75D ．634.假设直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，那么a 的值为( ) A ．0或23-B.0或32- C ．0或32 D ．0或23 5.已知a b 、都是正实数，函数2x y ae b =+的图象过(0,1)点，那么11a b+的最小值是( ) A ．322+ B.322- C ．4D ．26.钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC =2 ，那么AC =( )A. 5B.5 C. 2 D. 17.某市生产总值持续两年持续增加.第一年的增加率为p ，第二年的增加率为q ，那么该市这两年生产总值的年平均增加率为( ) A.2q p + B.(1)(1)12p q ++- C.pq D.(1)(1)1p q ++-8.一个多面体的三视图如下图， 那么该多面体的表面积为（ ） A.213+ B ．183+ C ．21 D ．189.设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y xy 下，目标函数my x z +=的最大值大于2，那么m 的取值范围为（ ）第8题A.()21,1+B. ()+∞+,21 C. ()3,1 D. ()+∞,310.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、别离是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，那么BM与AN 所成的角的余弦值为（ ） A.110 B.25C.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题（每题5分，共5小题，总分值25分）11.当0>x 时，函数xx x y 422++=的最小值为 .12.假设等差数列{}n a 知足7897100,0a a a a a ++>+<，那么当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 13.设甲、乙两个圆柱的底面积别离为12S S ，，体积别离为12V V ，，假设它们的侧面积相等，且1294S S =，那么12V V 的值是 ．14.已知函数2()1f x x mx =+-，假设关于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，那么实数m 的取值范围为 .15.设点)2,(a M ，假设在圆4:22=+y x O 上存在点N ，使得45OMN ∠=，那么a 的取值范围是________.三、解答题（需要写出解答进程或证明步骤） 16.（本小题总分值12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长别离是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin()4A π+的值.17.（本小题总分值12分）解关于x 的不等式022>---x x xa ,其中常数a 是实数. 18.（本小题总分值12分）在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且),(R n m AC n AB m OP ∈+=→→→.（Ⅰ）假设31==n m ，求→OP ；（Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最小值. 19.（本小题总分值12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，45BAC ︒∠=，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明：PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值； (Ⅲ)求三棱锥ACD P -外接球的体积. 20. (本小题总分值13分)如图，为爱惜河上古桥OA ，计划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形爱惜区．计划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；爱惜区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两头O 和A 到该圆上任意一点的距离均很多于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，53cos =∠BCO ．以OC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴成立平面直角坐标系.（Ⅰ）求BC 所在直线的方程及新桥BC 的长； （Ⅱ）当OM 多长时，圆形爱惜区的面积最大？ 并求现在圆的方程. 21(本小题总分值14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 知足:+∈=+--+-N n n n S n n S n n ,0)(3)3(222.等比数列{}n b 知足：021log 2=+n n a b . (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项的和n T ； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有31)1(1)1(1)1(12211<++⋅⋅⋅++++n n a a a a a a .DCBAP临川一中2013—2014学年度下学期期末考试 高一数学试卷答案三.解答题16.解：（Ⅰ）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅∵3,1b c ==，∴212,23a a ==分（Ⅱ）由余弦定理得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-， 由于0A π<<，∴2212sin 1cos 1()33A A =-=--=， 故2221242sin()sin coscos sin()44432326A A A πππ+=+=+-⨯=..........12分 17.解原不等式0)1)(2)((<+--⇔x x a x .........................2分 当1-<a 时原不等式的解集为)2,1(),(-⋃-∞a ..............4分 当1-=a 时原不等式的解集为)2,1()1,(-⋃--∞...........6分 当21<<-a 时原不等式的解集为)2,()1,(a ⋃--∞.......8分 当2=a 时原不等式的解集为)1,(--∞............10分 当2>a 时原不等式的解集为),2()1,(a ⋃--∞.........12分 18解（Ⅰ）→→→+=AC n AB m OP )1,1()1,2(31)2,1(31=+=， ∴2=→OP ....................5分19. 解：（Ⅰ）PC DA PAC DA PA DA AC DA ⊥⇒⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥平面.................4分（Ⅱ）过A 作PC AM ⊥交PC 于点M ，连接DM ，那么AMD ∠为所求角 在三角形AMD 中，630sin ==∠DM AD AMD ........................8分 (Ⅲ)求三棱锥ACD P -外接球即为以AC AD AP ,,为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径23)2(912222222=⇒==++=R R lπππ29)23(343433=⨯==R V ...............12分20（Ⅰ）成立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，因此直线AB 的斜率k AB =34.设点B 的坐标为(a ,b )，那么k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 因此BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=..............6分 新桥BC 的长是150 m.（Ⅱ）设爱惜区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由知，直线BC 的方程为436800x y +-=由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均很多于80 m,因此80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 因此当OM = 10 m 时，圆形爱惜区的面积最大.现在圆的方程为222130)10(=-+y xDCBAPM.....................................13分)2()1(-得n n n n T )21()21()21()21(121121⨯-+⋅⋅⋅+++=-n nn )21(211)21(1⋅---=)2()21(41+-=∴-n T n n .............................................9分(Ⅲ)当+∈N k 时)43)(41(1632222+-=-+>+k k k k k k..............................................................................................14分。

2022-2023学年江西省抚州市高一下学期6月期末数学试题一、单选题1．复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得复数为26i -+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．已知平面向量(1,2),(2,)a b k ==- ，若a 与b共线，则k 等于（）A ．1B ．4-C ．1-D ．4【答案】B【分析】由向量共线得出()1220k ⨯-⨯-=即可求解.【详解】由题，若a 与b共线，则()1220k ⨯-⨯-=，解得4k =-.故选：B.3．在ABC 中，若AD 为BC 边上的中线，点E 在AD 上，且2AE ED =，则EB =（）A ．2133AB AC -B ．2133AC AB - C ．7566AB AC - D ．7566AC AB-【答案】A【分析】利用三角形法则和平行四边形法则表示向量.【详解】如图所示，在ABC 中，因为AD 为BC 边上的中线，所以D 为BC 的中点，所以由平行四边形法则有：()12AD AB AC =+，又点E 在AD 上，且2AE ED =所以23EA AD =- ，所以EB EA AB =+ 23AD AB =-+()2132AB AC AB=-⨯++1133AB AC AB=--+2133AB AC =-，故选：A.4．已知直角梯形OABC 上下两底分别为分别为2和4，高为22，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）A ．62B ．32C ．3D ．6【答案】C【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积.【详解】如图所示，实线表示直观图，122OC OC =='.4AOC π∠'=,4,2OA B C ''==,∴直观图的面积为242sin 324π+⨯⨯=,故选：C.【点睛】本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领.5．设()()()()()()222sin 2cos 2cos 1sin sin 2cos 4f παπααααπαπα-+--=+++--，则236f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．33B ．33-C ．3D ．3-【答案】D【解析】利用诱导公式化简()f α的表达式，然后利用诱导公式可计算出236f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】()()()()()()()22222sin 2cos 2cos 2sin cos cos 1sin sin 2cos 41sin sin cos f παπαααααααπαπαααα-+----==+++--++- ()()2cos 2sin 12sin cos cos 12sin sin sin 2sin 1tan αααααααααα++=-=-=-++，因此，2311113232363tantan tan 46663f πππππ⎛⎫-=-=-=-=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，解题的关键就是利用诱导公式化简()f α的表达式，考查计算能力，属于基础题.6．在ABC ∆中，已知3a =，1b =，130A =︒，则此三角形的情况为A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定【答案】B【详解】31,130a b A =>==︒ 为钝角，∴此三角形只有唯一解．故答案选B点睛：此题主要考查三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理应用，根据已知判断三角形有解，有几个解，还是无解．7．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面,2,2,45BCD AB CD BC BCD ===∠=︒，则点B 到平面ACD 的距离为（）A ．377B ．355C ．277D ．255【答案】D【分析】利用余弦定理可求得2BD =，根据勾股定理可求得6,2AC AD CD ===，再利用等体积法即可得点B 到平面ACD 的距离为255．【详解】如图所示：在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠，解得2BD =．所以222BD BC CD +=，即BC BD ⊥；在ACD 中，易知6,6,2AC AD CD ===，则126152ACD S =⨯⨯-=△，设点B 到平面ACD 的距离为h ，由A BCD B ACD V V --=可得1112225323h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得255h =，即点B 到平面ACD 的距离为255．故选：D8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()5πsin πcos 06a B b A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，15a =，若点M 满足25BM BC =，且∠MAB ＝∠MBA ，则△AMC 的面积是（）A ．3037B ．30314C ．225314D ．135314【答案】D【分析】由正弦定理及诱导公式结合()5πsin πcos 06a B b A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭可得2π3A =.由25BM BC = ，结合15a =可得6BM =，9MC =.后由∠MAB ＝∠MBA ，2π3A =结合正弦定理，可得sin AMC ∠，即可得面积【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：()5πsin πcos 06a B b A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭31sin sin sin cos sin 0,sin 022A B B A A B ⎛⎫⇒-+-+=> ⎪ ⎪⎝⎭，化简得：sin 3cos 0A A +=tan 3A ⇒=-，又()0,πA ∈，则2π3A =.又25BM BC =，则6BM =，9MC =.因MAB MBA ∠=∠，则2π3MAC B ∠=-，π3MCA B ∠=-，则在 MAC 中，sin sin MC MA MAC MCA=∠∠962ππsin sin 33B B ⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解之：3tan 5B =.则22tan 53sin sin 21tan 14B AMC B B ∠===+，则 MAC 中，边AM 对应高531536147h =⨯=，则 MAC 面积1153135392714S =⨯⨯=．二、多选题9．已知()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB共线的单位向量为（）A ．()3,4-B ．()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】根据题意，可得向量AB的坐标及其模长，然后即可求得与向量AB共线的单位向量.【详解】因为()1,3A ，()4,1B -，则向量()3,4AB =- ，且()22345AB =+-=,所以与向量AB同向共线的单位向量为()1343,4,555AB AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，与向量AB 反向共线的单位向量为()1343,4,555AB AB⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，故选:CD10．设,m n 是不同的直线，,a β是不同的平面，则下列命题不正确的是（）A ．,//m n n α⊥，则m α⊥B ．//,m ββα⊥，则m α⊥C ．,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ【答案】ABC【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D.【详解】对于A ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面1111,,A B B C α分别为直线,m n ，显然满足,//m n n α⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，A 不正确；对于B ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面11,,A B αβ为直线m ，显然满足//,m ββα⊥，而//m α，此时m α⊥不成立，B 不正确；对于C ，在长方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面1,,CC αβ为直线m ，显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂，此时//m β不成立，C 不正确；对于D ，因为,m m αβ⊥⊥，由线面垂直的性质知，//αβ，D 正确.故选：ABC.11．已知3sin cos 3αα+=，则（）A ．447sin cos 9αα+=B ．5cos 49α=C ．2tan 11tan 3αα=-+D ．315sin 6α+=【答案】AC【分析】将已知等式两边平方得2sin 23α=-，将44sin cos αα+配方，利用二倍角正弦公式可求出44sin cos αα+79=，可知A 正确；利用二倍角的余弦公式求出1cos 49α=，可知B 不正确；由22sin cos 3αα=-弦化切可得C 正确；联立223sin cos 3sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩求出sin α，可知D 不正确.【详解】因为3sin cos 3αα+=，所以()2sin co 1s 3αα+=，所以112sin cos 3αα+=，所以22sin cos 3αα=-，所以2sin 23α=-，442222sin cos (sin )(cos )αααα+=+22222(sin cos )2sin cos αααα=+-2211271sin 21()2239α=-⨯=-⨯-=，故A 正确；由2sin 23α=-得241cos 412sin 21299αα=-=-⨯=，故B 不正确；由2sin 23α=-得22sin cos 3αα=-，得222sin cos 2sin cos 3αααα=-+，得22tan 21tan 3αα=-+，得2tan 11tan 3αα=-+，故C 正确；联立223sin cos 3sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得315sin 6315cos 6αα⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或315sin 6315cos 6αα⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故D 不正确.故选：AC12．设ABC 中角A ，B ，C 所对应的边长度分别为a ，b ，c ，满足sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，则以下说法中正确的有（）A ．ABC 为钝角三角形B ．若a 确定，则ABC 的面积确定C ．3cos 24A =-D ．sin :sin :sin 27:5:32A B C =【答案】BCD【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出sin 2,sin 2,sin 2A B C ，再逐项分析即可作答.【详解】在ABC 中，因sin 2:sin 2:sin 24:5:6A B C =，令sin 24A t =，则sin 25B t =，sin 26C t =，显然0t ≠，若0t <，即sin 20A <，因0A π<<，022A π<<，则22A ππ<<，有2A ππ<<，同理，2B ππ<<，2C ππ<<，矛盾，于是得0t >，即角A ，B ，C 都为锐角，A 不正确；sin 2sin[2(22)]sin(22)sin 2cos 2cos 2sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=--，即有4cos 25cos 26t B t A t --=，亦即：4cos 25cos 26B A +=-，显然，cos2,cos2A B 都小于0，否则4cos 25cos 25B A +≥-，矛盾，则22412551166t t ----=-，即22412551166t t -+-=，而223511641252t t ---=，解得231164t -=，2912516t -=，于是得3cos 24A =-，9cos 216B =-，C 正确；从而有1cos 2141cos 252sin ,sin 2428A B A B --====，214cos ,cos 48A B ==，3sin sin()sin cos cos sin 4C A B A B A B =+=+=，因此，ABC 的内角A ，B ，C 是定值，若a 确定，即ABC 确定，其面积确定，B 正确；14523sin :sin :sin ::27:5:32484A B C ==，D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知向量b 在a的方向上的数量投影为1，3a = ，2b = ，则a b ⋅=.【答案】3【分析】根据数量积得几何意义及数量积的定义即可得解.【详解】因为向量b 在a的方向上的数量投影为1，所以cos ,1b a b = ，所以cos ,3a b a b a b ⋅==.故答案为：3.14．已知i 是虚数单位，若复数3i(R)2im z m -=∈+是纯虚数，则m =．【答案】32【分析】由条件设()302m ibi b i-=≠+，再化简，列式求解.【详解】z 是纯虚数，则设()302m ibi b i-=≠+()322m i i bi b bi ∴-=+=-+，23m b b =-⎧∴⎨=-⎩，解得：33,22b m =-=.故答案为：32【点睛】本题考查根据复数的特征求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.15．已知函数()()sin 0,y x ωϕωπϕπ=+>-≤<的图象如下图所示，则ϕ=.【答案】910π【分析】根据给定图象求出函数的周期，再由最小值点即可计算得解.【详解】由图象知函数()sin y x ωϕ=+的周期为：352(2)42T πππ=-=，则245πω==T ，而当34x π=时，y 取得最小值-1，因此，432,Z 542k k ππϕπ⨯+=-∈，即112,Z 10k k πϕπ=-∈，又πϕπ-≤<，则91,10k πϕ==，所以ϕ=910π.故答案为：910π16．若ABC 面积为2，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为.【答案】22/122【分析】根据直观图与原图的面积关系计算即可.【详解】如图所示作ABC ，CO 为其高，由斜二测画法作出其直观图A B C ''' ，过C '作C G A B '''⊥，可得122C O CO C G ''==，所以12221422A B C A B C ABCA B C GS S S AB CO '''''''''⨯==⇒=⨯ .故答案为：22四、解答题17．计算：(1)()()()826222a b c a b c a c -+--+-+ ；(2)()()11284232a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦．【答案】(1)64a b+(2)2b a- 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果；（2）按照向量的运算法则依次计算即可.【详解】（1）原式1688612642a b c a b c a c =-+-+---(1664)(812)(862)a b c=--+-++-- 64a b =+ ．（2）原式()()1144236233a b a b a b b a ⎡⎤=+--=-+=-⎣⎦ 18．已知复数()25453i,R z m m m =-++∈.(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求m 的值.【答案】(1)3m =-(2)3m =【分析】（1）（2）根据复数的类型列方程或不等式求参数m 即可.【详解】（1）若z 为实数，则30m +=，即3m =-；（2）若z 为纯虚数，则2545030m m ⎧-=⎨+≠⎩，可得3m =.19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求A 的大小；(2)若a ＝7，且顶点A 到边BC 的距离等于15314，求b 和c 的长.【答案】(1)2π3A =(2)b ＝3，c ＝5或b ＝5，c ＝3【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求解；（2）利用面积公式求出15bc =，联立方程组可求答案.【详解】（1）由正弦定理，()()2222a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++.因为2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA <<，所以2π3A =.（2）由（1）可知2249b c bc ++=①.又因为11153153722s n 4i 14ABC S bc A ==⨯⨯=△，所以15bc =②，联立①②解得b ＝3，c ＝5或b ＝5，c ＝3.20．如图，我市有一条从正南方向OA 通过市中心O 后向北偏东60︒的OB 方向的公路，现要修建一条地铁L ，在OA ､OB 上各设一站A ，B ，地铁线在AB 部分为直线段，现要求市中心O 到AB 的距离为6km .(1)若10km OA =，求O ，B 之间的距离；(2)求A ，B 之间距离最小值.【答案】(1)20(433)km 13+(2)123km 【分析】（1）过O 作OE AB ⊥于点E ，根据勾股定理求得8AE =，进而得出4cos 5OAE ∠=，3sin 5OAE ∠=.根据两角差的正弦公式得出433sin 10OBE -∠=.由正弦定理，即可得出答案；（2）设AOE α∠=，0120α︒<<︒，根据已知表示出,AE BE ，得出6tan 6tan(120)AB αα=+︒-.化简即可得出11sin(230)24AB α=-︒-，然后根据α的范围，即可得出最大值时α的取值，代入即可得出答案.【详解】（1）过O 作OE AB ⊥于点E ，如图所示：市中心O 到AB 的距离为6km ，即6OE =.因为10OA =，所以228AE OA OE =-=，所以4cos 5OAE ∠=，3sin 5OAE ∠=.又60OBE OAE ∠=︒-∠，则sin sin(60)OBE OAE ∠=︒-∠433sin 60cos cos 60sin 10OAE OAE -=︒∠-︒∠=.在AOB 中，由正弦定理得sin sin OA OB OBE OAE =∠∠，即103433510OB =-，解得20(433)13OB +=，故O ，B 之间的距离为20(433)km 13+.（2）由已知可得，120AOB ∠=︒，设AOE α∠=，0120α︒<<︒，则6tan AE α=，6tan(120)BE α=︒-，所以，6tan 6tan(120)AB αα=+︒-[]6tan1201tan tan(120)αα=︒-︒-sin sin(120)631cos cos(120)αααα⎡⎤︒-=--⋅⎢⎥︒-⎣⎦cos1203363cos cos(120)cos cos(120)αααα︒=-⋅=︒-︒-.又cos cos(120)αα︒-cos (cos120cos sin120sin )ααα=︒+︒11sin(230)24α=-︒-，0120α︒<<︒，所以，30230210α︒︒-︒<-<，所以，当60α=︒时，11cos cos(120)sin(230)24ααα︒-=-︒-的最大值为111244-=，所以，AB 的最小值为3312314=，故A ，B 之间距离最小值为123km .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：(1)PD 平面ANC ；(2)M 是PC 中点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连结BD ，AC ，设AC BD O = ，连结NO ，由线面平行的判定定理证明；（2）先证线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行，从而得证结论．【详解】（1）连结BD ，AC ，设AC BD O = ，连结NO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，在PBD △中，N 是PB 的中点，∴PD NO ∥，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，∴//PD 平面ANC .（2）∵底面ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ，∵BC ⊄平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ，∴//BC 平面ADMN .∵平面PBC ⋂平面ADMN MN =，BC 在面PBC 内，∴//BC MN ，又N 是PB 的中点，∴M 是PC 的中点.22．已知函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，4π()2sin 133g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且满足,π[]0x ∀∈，()()0f x g x ⋅≤恒成立．(1)求解()g x 的零点以及()f x 的函数解析式．(2)求函数()f x 在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围．【答案】(1)零点为3π3π82k x =+或7π3π82k x =+，Z k ∈；解析式为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2)22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）令()0g x =得()g x 的零点，根据()g x 的图象可知()f x 的图象经过3π7π0088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，求得ω的值；（2）若()f x 的对称轴在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，当满足π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时最大值与最小值之差最小；若当()f x 的对称轴不在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，直接求π()4f t f t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最大值即可.【详解】（1）令4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得，4π1sin 332x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4ππ2π336x k -=+或4π5π2π336x k -=+，Z k ∈，解得3π3π82k x =+或7π3π82k x =+，Z k ∈，()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒过定点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，当[0,π]x ∈时，令4π()2sin 1033g x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得3π8x =或7π8x =，当3π0,8[]x ∈时，()0g x ≤；当3π7π,88[]x ∈时()0g x ≥；当7π[],π8x ∈时，()0g x ≤，故4π()2sin 133g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象如图所示：故依条件可知当且仅当函数()f x 的图象经过3π7π,0,,088A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时满足条件()()0f x g x ⋅≤此时()f x 最小正周期为7π3π2π2()88ω-=，所以2ω=或2ω=-，当2ω=-时，()3πππsin 2sin 0842f x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2ω=，下面验证当2ω=时满足()()0f x g x ⋅≤，此时()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当3π0,8[]x ∈时，ππ2[,π]44x +∈，()0f x ≥，()0g x ≤，故()()0f x g x ⋅≤成立；当3π7π,88[]x ∈时，π2[π,2π]4x +∈，()0f x ≤，()0g x ≥，故()()0f x g x ⋅≤成立；当7π[],π8x ∈时，ππ2[2π,2π]44x +∈+，()0f x ≥，()0g x ≤，故()()0f x g x ⋅≤成立，所以()f x 的函数解析式()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的长度为π4，函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，若()f x 的对称轴在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，不妨设对称轴π8x =在π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，最大值为1，当π()4f t f t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即π2(0)42f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭时，函数()f x 在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之差取得最小值为222122--=；其它的对称轴在π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内时结果同上.若()f x 的对称轴不在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，则()f x 在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内单调，在两端点处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：ππππ()sin 2sin 24244f t f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()ππππcos 2sin 22sin 22sin 224444t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,4t t ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之差的取值范围为22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。