2020高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解练习 新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解一、A组1.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()解析:根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间(a,b)一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合,因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化,因此不能用二分法求函数零点.答案:C2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为()A.[-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[2,3]解析:f(-1)=-<0,f(0)=-2<0,f(1)=-1<0,f(2)=1>0,f(3)=5>0,则f(1)·f(2)<0,即初始区间可选[1,2].答案:C3.(2016·山东淄博高一期末)根据表格内的数据,可以断定方程e x-x-2=0的一个根所在的区间是()x-1 0 1 2 3e x 0.3712.727.3920.08x+21 2 3 4 5A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:令f(x)=e x-x-2,由上表可知,f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0.则f(1)·f(2)<0,故选C.答案:C4.(2016·重庆高一期末)已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表:x0 0.5 0.531 250.562 50.6250.751f(---0.060.20.51.0x) 1.307 0.0840.0096 15 12 99由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625B.-0.009C.0.562 5D.0.066解析:设近似解为x0,因为f(0.531 25)<0,f(0.562 5)>0,所以x0∈(0.531 25,0.562 5).因为0.562 5-0.531 25=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可取为0.562 5,故选C.答案:C5.若函数f(x)=x2+ax+4有零点,但不能用二分法求出该零点,则a的值为.解析:由题意知Δ=a2-16=0,解得a=±4.答案:±46.在用二分法求方程f(x)=0在(0,1)内的近似解时,经计算f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,则可得出方程的一个近似解为(精确度0.1).解析:因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1,所以(0.687 5,0.75)内的任意一个值都可作为方程的近似解.答案:0.75(答案不唯一)7.若函数f(x)的图象是连续不断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为.(只填序号)①(-∞,1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6,+∞)解析:根据零点存在定理,f(x)在[2,3],[3,4],[4,5]内都有零点.答案:③④⑤8.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个近似零点,其参考数据如下:f(1.6)≈0. 200 f(1.5875)≈0.133f(1.575)≈0.067f(1.562 5)≈0.003 f(1.55625)≈-0.029f(1.55)≈-0.060根据此数据,求方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01).解:因为f(1.562 5)·f(1.556 25)<0,所以函数的零点在区间(1.556 25,1.562 5)内, 因为|1.562 5-1.556 25|=0.006 25<0.01,所以方程3x-x-4=0的一个近似解可取为1.562 5.9.导学号29900126求方程3x+=0的近似解(精确度0.1).解:原方程可化为3x-+1=0,即3x=-1.令g(x)=3x,h(x)=-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=-1的简图.g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(-1,0),且只有一交点,∴原方程只有一个解x=x0.令f(x)=3x+=3x-+1,∵f(0)=1-1+1=1>0,f(-0.5)=-2+1=<0,∴x0∈(-0.5,0).用二分法求解列表如下:中点值中点(端点)函数值及符号选取区间f(-0.5)<0,f(0)>0 (-0.5,0)-0.25f(-0.25)≈0.4265>0(-0.5,-0.25)-0.375f(-0.375)≈0.0623>0(-0.5,-0.375)-0.4375f(-0.437 5)≈-0.159 3<0(-0.4375,-0.375)∵|-0.437 5-(-0.375)|=0.062 5<0.1,∴原方程的近似解可取为-0.4.二、B组1.已知f(x)=-ln x在区间(1,2)内有一个零点x0,若用二分法求x0的近似值(精确度0.2),则需要将区间等分的次数为()A.3B.4C.5D.6解析:f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0.由二分法求函数零点近似值的步骤可知:分第一次,因为f>0,所以x0∈,区间长度=0.5>0.2;分第二次,因为f>0,所以x0∈,区间长度=0.25>0.2;分第三次,因为f<0,所以x0∈,区间长度<0.2.故分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.答案:A2.下列函数中,不能用二分法求其零点的是()A.y=3x+1B.y=x2-1C.y=log2(x-1)D.y=(x-1)2解析:结合函数y=(x-1)2的图象(图略)可知,该函数在x=1的左、右两侧的函数值的符号均为正,故不能用二分法求其零点.答案:D3.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定解析:由已知f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)·f(1.5)<0,因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.答案:B4.利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:若方程2x=x2有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,∴根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,∴a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.85.导学号29900127如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.解析:第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.答案:66.导学号29900128如图所示,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为x cm 的正方形,然后折成一个无盖的盒子.(1)求盒子的容积y(以x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域;(2)如果要做一个容积为150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长x是多少?(精确度0.005,最终结果精确到0.1 cm)解:(1)盒子的容积y是以x为自变量的函数,解析式为y=x(15-2x)2,x∈(0,7.5).(2)如果要做成一个容积是150 cm3的盒子,那么(15-2x)2·x=150.令f(x)=(15-2x)2·x-150,由f(0)·f(1)<0,f(4)·f(5)<0,可以确定f(x)在(0,1)和(4,5)内各有一个零点,即方程(15-2x)2·x=150在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解.取区间(0,1)的中点x1=0.5,∵f(0.5)=-52,∴零点x0∈(0.5,1).再取中点x2=0.75,∵f(0.75)≈-13.31,∴零点x0∈(0.75,1).继续有x0∈(0.75,0.875),x0∈(0.812 5,0.875),x0∈(0.843 75,0.875),x0∈(0.843 75,0.859 375),x0∈(0.843 75,0.851 562 5),x0∈(0.843 75,0.847 656 25).∵|0.847 656 25-0.843 75|≈0.004<0.005,且区间(0.843 75,0.847 656 25)内的所有值精确到0.1都是0.8,∴方程在区间(0,1)内的近似解可取0.8.同理,可得方程在区间(4,5)内的近似解为4.7.所以要做成一个容积为150 cm3的无盖盒子,截去小正方形的边长约是0.8 cm或4.7 cm.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解课后训练基础巩固1．用二分法求函数f (x )＝3x 3－6的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )A ．|a －b |＜0.1B ．|a －b |＜0.001C ．|a －b |＞0.001D ．|a －b |＝0.0013．下列函数不宜用二分法求零点的是( )A ．f (x )＝x 3－1 B ．f (x )＝ln x ＋3C ．f (x )＝x 2＋4x ＋4D ．f (x )＝－x 2＋4x －14．函数f (x )＝x 3＋4的零点必落在区间( ) A ．[－3，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0] D ．[1,2]A ．1B ．2C ．3D ．4 6．用二分法求图象是连续不断的函数f (x )在区间(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1)＜0，f (1.5)＞0，f (1.25)＜0，则该函数的零点所在的一个区间为( )．A ．(1,1.5)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定7．下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是( )A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5B ．f (x )＝x 3－5x －5C ．f (x )＝mx 2－3x ＋6D ．f (x )＝e x＋3x －68．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．9．用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)． 能力提升10．下列函数中能用二分法求零点的是( )11．方程ln x －1x＝0的解所在的区间是( )A．(0,1) B．(1，e) C．(e,3) D．(3，＋∞)12．若x0是方程1312xx⎛⎫=⎪⎝⎭的解，则x0属于区间( )A．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D．10,3⎛⎫⎪⎝⎭13．某方程在区间D＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分( )A．2次 B．3次C．4次 D．5次14的近似值(精确度0.01)．15．(压轴题)如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)写出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1 cm)?错题记录参考答案1．B 点拨：∵f(1)＝－3，f(2)＝18，∴f(1)·f(2)＜0．∴可选区间为(1,2)．2．B 点拨：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．3．C 点拨：∵f(x)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，∴不能用二分法求零点．4．B 点拨：因f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝3＞0，故函数f(x)＝x3＋4在区间[－2，－1]内必有零点．5．D 点拨：由表可知：f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，因此函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．6．B 点拨：∵f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)内．7．D 点拨：对于D项，∵f(1)＝e＋3－6＝e－3＜0，f(2)＝e2＋6－6＝e2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)＝e x＋3x－6在区间[1,2]上一定有零点．8．[2,2.5] 点拨：记f(x)＝x3－2x－5，∵f(2)＝－1＜0，f(2.5)＝512528f⎛⎫=⎪⎝⎭－10＞0，∴下一个有解区间为[2,2.5]．9．解：∵f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴函数f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分的近似值为1.3．10．C 点拨：在A中，函数无零点，在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不间断的，且图象与x 轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点．故选C．11．B 点拨：令f(x)＝ln x－1x，则f(1)＝ln 1－11＝－1＜0，f(e)＝ln e－1e＝1－1e＞0，f(1)·f(e)＜0，且函数f(x)＝ln x－1x在区间(1，e)上连续，因此方程ln x－1x＝0的解所在的区间是(1，e)．12．C 点拨：令f(x)＝1312xx⎛⎫-⎪⎝⎭，∵13f⎛⎫⎪⎝⎭＞0，1123111222f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜0，∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点．故选C．13．D 点拨：等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.062 5＜0.1．故选D．14．解：设x=x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，函数f(x)的近似值，下面用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．∴取x＝1.265 625作为函数f(x)的零点的近似值．的近似值为1.265 625．15．解：(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0＜x＜7.5}．(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150．下面用二分法来求该方程在区间(0,7.5)内的近似解．令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图象如图所示．由图象可以看出，函数f(x)在定义域内分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解．下面用二分法求方程的近似解．取区间(0,1)的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52．∵f(0.5)·f(1)＜0，∴x0∈(0.5,1)．再取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31．∵f(0.75)·f(1)＜0，∴x0∈(0.75,1)．同理可得x0∈(0.75,0.875)，此时区间(0.75,0.875)的长度小于0.2，∴此区间中点即为所求．∴方程在区间(0,1)内精确到0.1的近似解为0.8．同理可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7．∴如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm 或4.7 cm．。

姓名，年级：时间：第三章3。

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解课时分层训练‖层级一‖｜学业水平达标|1．下列函数中不能用二分法求零点的是（)A．f(x）＝2x＋3 B．f(x）＝ln x＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f（x）＝2x－1解析：选C f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1）2≥0，零点是1,它的左、右两侧函数值同号．2．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时,不可能求出的零点是( ）A．x1B．x2C．x3D．x4解析:选C 观察图象知，x3附近两边的函数值都是负值，因此不能用二分法求．3．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0。

1)是（)f(1)＝－1f（2)＝3f(1。

5）＝－0。

125f(1。

75)＝1。

109375f（1。

625)＝0.416 01562f(1。

562 5）＝0。

127 19726A。

1.75C．1。

612 5 D．1。

56解析：选D ∵f（1。

5）·f(1。

562 5)<0，且｜1。

562 5－1.5｜＝0。

062 5<0。

1，∴函数f(x)在(1，2）上零点可以是（1。

5，1。

562 5)上的任何一个值,故选D.4．设函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是( ) A．(0,1）B．(1,2)C．(2，3) D．(3，4)解析:选B 令f(x)＝x2－错误!x－2,则f（0）＝－4<0，f(1）＝－1<0,f(2）＝3>0，∴f（x）的零点在区间(1,2）内，即函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点的横坐标x0∈（1，2)．5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2）内近似解的过程中得f（1)<0，f（1.5)〉0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ）A．(1,1。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。

高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业含解析新人教A 版必修3.1.2 用二分法求方程的近似解一、选择题1．用二分法求如图所示函数f (x )的零点时，不可能求出的零点是( C )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 4[解析] 用二分法求函数的零点时在函数零点的左右两侧，函数值的符号不同，故选C ． 2．已知函数y ＝f (x )的图象如下图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( D )A ．4,4B ．3,4C ．5,4D ．4,3[解析] 题中图象与x 轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D ．3．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( A )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0，12)D ．(12，1)[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )单调递增， ∵f (1)＝log 21－1＝－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，∴在区间(1,2)内，函数f (x )存在零点，故选A ．4．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)＝－2 f (1.5)＝0.625 f (1.25)＝－0.984A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5[解析] 依据题意，∵f (1.437 5)＝0.162，且f (1.406 25)＝－0.054，∴方程的一个近似解为1.4，故选C ．5．设f (x )＝lg x ＋x －3，用二分法求方程lg x ＋x －3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f (2.25)<0，f (2.75)>0, f (2.5)<0，f (3)>0，则方程的根落在区间( C )A ．(2,2.25)B ．(2.25,2.5)C ．(2.5,2.75)D ．(2.75,3)[解析] 因为f (2.25)<0，f (2.75)>0，由零点存在性定理知，在区间(2.25,2.75)内必有根，利用二分法得f (2.5)<0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)内，选C ．6．已知函数y ＝f (x )的零点在区间[0,1]内，欲使零点的近似值的精确度达到0.01，则用二分法取中点的次数的最小值为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵(12)6＝0.015 625，(12)7＝0.007 812 5， ∴至少要取7次中点，区间的长度才能达到精确度要求． 二、填空题7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝__0.25__.[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0， ∴f (0)·f (0.5)<0，∴f (x )在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)，∴x 1＝0.25.8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称__4__次就可以发现这枚假币．[解析] 将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在平天两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．三、解答题9．求32的近似值(精确度0.01)．[解析] 设x ＝32，则x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f (1)＝－1<0，f (2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点 中点函数值(1,2) 1.5 f (1.5)＝1.375 (1,1.5) 1.25 f (1.25)≈－0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 f (1.375)≈0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 f (1.312 5)≈0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 f (1.281 25)≈0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 625f (1.265 625)≈0.027 3(1.25,1.265 625) 1.257 812 5 f (1.257 812 5)≈－0.010 0(1.257 812 5,1.265 625)5<0.01，所以32的近似值可以取1.26.10．已知函数f (x )＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)当m ＋6＝0时，函数为f (x )＝－14x －5，显然有零点，当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)·(m ＋1)＝－36m －20≥0，得m ≤－59，∴m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上可知，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点， 则有x 1＋x 2＝－2m －1m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6，∵1x1＋1x2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2m－1m＋1＝－4，解得m＝－3，且当m＝－3时，m≠－6，Δ>0符合题意，∴m＝－3.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1.知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理,进一步理解函数与方程的关系;(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法,能借助计算器求方程的近似解;(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神以及辨证思维的能力.2.过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍,使学生体验逼近的思想和二分法的思想;(2)通过具体实例和具体的操作步骤,体验算法的程序化思想.3.情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例,使学生体会到数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣;(2)体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.重点:用二分法求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.难点:对二分法概念的理解,精确度的理解,求方程近似解的一般步骤的概括和理解.重难点的突破:创设特殊情境,导入二分法,激发学生兴趣的同时初步体会二分法的含义,并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想——逼近思想,难点之一得以突破.在此基础上,提出问题:如何探寻方程在某一区间上的零点,引导学生借助零点存在定理,类比案例分组协作,交流意见,归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程,基于二分法求解步骤的重复性,学生存在运算无限的茫然性,此时引出精确度的概念,化难为易,难点之二精确度的作用得以破解.“精确度”和“精确到”一样吗?用二分法解题时,经常会遇到“精确度”与“精确到”这两个概念.教材中没有对这两个概念进行严格定义,也未将二者区分开来,但通过认真分析与研究,我们不难发现它们是两个不同的概念,既有区别又有联系.1.区别(1)两个概念的含义不同.要求一个真实值x0的近似值,有两种不同的要求:①按“精确度ε”要求,即需求一个数x0',使得|x0'-x0|<ε;②按“精确到ε”要求,即需按照要求将真实值x0四舍五入而得到近似值x0″.(2)结果的形式不同.由上述可知,按“精确度ε”的要求得到的近似值x0'不是唯一的;而按“精确到ε”的要求得到的近似值x0″是唯一的.2.联系基于“精确度”与“精确到”这两个概念的含义,我们不难得到二者有如下关系:若按“精确到ε”而得到近似值x0″,由于|x0″-x0|<×5=,故x0″是x0按“精确度”而得到的一个近似值.例如,1.449 231(x0)精确到0.1(ε)的近似值为1.4(x0″),因为|1.4-1.449 231|=0.049231<0.05,所以1.4是1.449 231按“精确度为0.05”而得到的一个近似值.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．谈重点对二分法的理解(1)二分法就是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．(2)二分法的理论基础是根的存在性定理．【例1－1】下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－x对于A，解方程x＋7＝0，得x＝－7，因此函数y＝x＋7不一定非得用二分法求零点；对于B，解方程5x－1＝0，得x＝0，因此函数y＝5x－1不一定必须用二分法求零点；对于C，解方程log3x＝1，得x＝1，因此函数y＝log3x不是必须用二分法求零点；对于D，无法通过方程12x⎛⎫⎪⎝⎭－x＝0得到零点．故选D.答案：D【例1－2】下列函数中，不能用二分法求零点的是( )解析：能否用二分法求函数的零点，关键是在零点附近是否存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0，从直观上看，就是图象是否穿过x轴．答案：C点技巧判断能否用二分法求函数零点的依据判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)．因此用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数y＝f(x)在选定的区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，才能用二分法去求函数的零点．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．谈重点用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：①区间[a，b]的长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)＜0．(2)二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)适用．(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．【例2－1】用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( )A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.125)解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的更准确位置．答案：A【例xf(1.6000)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003f(1.556 25)≈－0.029f(1.550 0)≈－0.060x．解析：∵由参考数据知f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 25)≈－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5．答案：1.562 5(答案不唯一)3．利用二分法求方程的近似解应用二分法求函数零点近似值的方法可以求某些方程的近似解或某些无理数的近似值，其方法是构造函数，转化为求函数零点近似值的问题．利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．用二分法求方程的近似解要注意的问题：(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．(3)在二分法的第四步，由|a－b|＜ε，便可判断零点近似值为a或b，即只需进行有限次运算即可．(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．例如，求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．解析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数y＝lg x的图象，利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间．如图所示，由函数y＝lg x与y＝3－x的图象，可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内，设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0⇒x2∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0⇒x3∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0⇒x4∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0⇒x5∈(2.562 5,2.625)．因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x5≈2.6．本题关键是应用数形结合，直观地寻求方程的近似解所在的区间(2,3)，并借助计算器等辅助工具．【例3－1】求方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的近似解(精确度0.1)．解析：可先作出函数y＝lg x和y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解．解：如图所示，由函数y＝lg x与y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象可知，方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．设f (x )＝lg x －12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋1，f (1)＝12＞0，用计算器计算，列表如下： 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度(0,1) 0.5 －0.008 1 1(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125由于区间差不超过0.1，所以函数f (x )的零点近似值为0.562 5，即方程lg x ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭－1的近似解为x ≈0.562 5．析规律 利用二分法求方程的近似解的方法 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，即转化为求函数F (x )的零点近似值，利用二分法求解即可． 【例3－2】求方程3x＋1x x +＝0的近似解(精确度0.1)． 解：原方程可化为3x －1x x +＋1＝0，即3x ＝1x x +－1． 在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x 与h (x )＝1x x +－1的简图，如图所示：∵g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点，∴原方程只有一解x ＝x 0．令f (x )＝3x ＋1x x +＝3x －1x x +＋1， ∵f (0)＝1－1＋1＝1＞0，f (－0.5)32＋1133-＜0， ∴x 0∈(－0.5,0)．用二分法求解，列表如下∵|－0.375－(－0.437 5)|＝0.062 5＜0.1，∴原方程的近似解可取为－0.375．4．二分法在生活中的应用我们知道，二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台的方法．二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，还在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题．如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．例如，中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取区间[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4－1】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．解：如图，维修工人首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即一、两根电线杆附近．【例4－2】某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2008年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．(1)求2012年每台电脑的生产成本；(2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01)．解：(1)设2012年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200(元)．故2012年每台电脑的生产成本为3 200元．(2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0＜x＜1)，令f(x)＝5 000(1－x)4－3 200，作出x，f(x)的对应值表：x 00.10.150.20.30.45f(x) 1 80080.5－590－1 152－2 000－2 742x0．取区间(0.1,0.15)的中点x1＝0.125，可得f(0.125)≈－269．因为f(0.125)·f(0.1)＜0，所以x0∈(0.1,0.125)．再取区间(0.1,0.125)的中点x2＝0.112 5，可得f(0.112 5)≈－98．因为f(0.1)·f(0.112 5)＜0，所以x0∈(0.1,0.112 5)．同理可得，x0∈(0.1,0.106 25)，x0∈(0.103 125,0.106 25)，x0∈(0.104 687 5，0.106 25)，x0∈(0.105 468 75,0.106 25)，由于|0.105 468 75－0.106 25|＜0.01，此时区间的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程的近似解为0.11．故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为11%．。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】知识点、方法题号二分法的概念1,2,3二分法的步骤4,5,6,11二分法求方程的近似解或函数零点7,8,9,101.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 1.5 1.61 1.875 2f(x) -2 -0.984 0.260 -0.052 0.165 0.625 -0.315 4.35 6由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.9.x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 …y=2x0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 …若方程2=x有一个根位于区间(a,a+0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值),则a的值为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。

用二分法求方程的近似解(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列函数能用二分法求零点的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=C.f(x)=ln(x+2)2D.f(x)=【解析】选C.因为函数f(x)=ln(x+2)2的零点为x=-1,函数在x=-1两侧的函数值符号异号,此函数能用二分法求零点.【补偿训练】(2017·故城高一检测)已知函数y=f(x)的图象如图,其中可以用二分法求解的零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.因为函数y=f(x)与x轴有4个交点,其中一个交点,左右两边函数值符号相同不能用二分法求解,所以可以用二分法求解的零点的个数为3个.2.(2017·广州高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【解析】选C.因为f(-1)=2-1-3=-<0,f(0)=20-3=-2<0,f(1)=2-3=-1<0,f(2)=22-3=1>0,f(3)=23-3=5>0,所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)的零点x0∈(1,2).3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )A.[1,4]B.[-2,1]C. D.【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能是[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能是,,,.故选D.4.(2017·济宁高一检测)若函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f(x) -1 0.875 -0.296 9 0.224 6 -0.051 51 那么方程x3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)为( )A.1.3B.1.3125C.1.4375D.1.25【解析】选B.由于f(1.375)>0,f(1.3125)<0,且1.375-1.3125<0.1.【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致,精确度为0.1并不是让近似根保留1位小数,而是区间的右端点减去左端点的值的绝对值小于0.1.5.(2017·石家庄高一检测)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=,f(2)=-5,f=9,则下列结论正确的是( )A.x0∈B.x0=C.x0∈D.x0∈或x0∈【解析】选C.因为f(2)·f<0,所以x0∈.6.用二分法求方程f(x)=0在区间[a,b]内的根,二分次数n+1 ( )A.只与函数f(x)有关B.只与根的分离区间的长度以及精确度有关C.与根的分离区间长度、精确度以及函数f(x)都有关D.只与精确度有关【解析】选C.根据二分法的定义可判断C正确.7.(2017·长沙高一检测)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=e x-1D.f(x)=ln【解析】选A.因为g=-<0,g=1>0,所以g·g<0,所以g(x)=4x+2x-2的零点x0∈.A中,函数f(x)=4x-1的零点为,则0<x0-<,所以<,满足题意.B中,f(x)=(x-1)2的零点为1,则-<x0-1<-,|x0-1|>,不满足题意.C中f(x)=e x-1的零点为0,<x0-0<,所以|x0-0|>,不满足题意.D中,f(x)=ln的零点为,则-<x0-<-1,所以>1,不满足题意.8.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ξ(ξ为精确度)时,函数零点近似值x0=与真实零点的误差最大不超过( )A. B. C.ξ D.2ξ【解析】选B.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而b-=-a=<,因此误差最大不超过.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·晋江高一检测)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如表:f(1)=-2 f(1.5)=0.625f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为________.【解析】由于精确度是0.1,而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1,故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.4375.答案:1.4375(答案不唯一)【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时,由于所选取的起始区间不同,最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的.10.(2017·日照高一检测)在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在的区间为________.【解析】区间(1,2)的中点为x0=,令f(x)=x3-2x-1,f=-4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在的下一个区间为.答案:【补偿训练】(2017·南京高一检测)函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b 的关系是________.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数的零点为不变号零点,即二次函数f(x)=x2+ax+b与x轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b三、解答题(每小题10分,共20分)11.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度为0.1) 【解析】设函数f(x)=2x+3x-6,因为f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又因为f(x)是增函数,所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一的零点,则方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,设该解为x0,则x0∈[1,2],取x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0,f(1)·f(1.25)<0,所以x0∈(1,1.25),取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0,f(1.125)·f(1.25)<0,所以x0∈(1.125,1.25),取x4=1.1875,f(1.1875)≈-0.16<0,所以f(1.1875)·f(1.25)<0,因为|1.25-1.1875|=0.0625<0.1,所以1.1875可作为这个方程的实数解.12.用二分法求函数y=f(x)=x3-3的一个正零点(精确度0.1).【解析】由于f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,如表:端点或中点坐标端点或中点的函数值取区间a0=1,b0=2 f(1)=-2<0,f(2)=5>0 (1,2)x1==1.5 f(1.5)=0.375>0 (1,1.5)x2==1.25 f(1.25)≈-1.046 9<0 (1.25,1.5) x3==1.375 f(1.375)≈-0.400 4<0 (1.375,1.5)从表中可知|1.5-1.4375|=0.0625<0.1,所以函数y=x3-3精确度为0.1的正零点可取为1.5.【能力挑战题】(1)方程2x3-6x2+3=0有几个解?如果有解,全部解的和为多少?(精确度为0.01)(2)探究方程2x3-6x2+5=0,2x3-6x2+8=0的全部解的和,你由此可以得出什么结论?【解析】(1)设函数f(x)=2x3-6x2+3,因为f(-1)=-5<0,f(0)=3>0,f(1)=-1<0,f(2)=-5<0,f(3)=3>0且函数f(x)=2x3-6x2+3的图象是连续的曲线,所以方程2x3-6x2+3=0有三个实数解.因为f(-1)·f(0)<0,所以在区间(-1,0)内有一个解x0.取区间(-1,0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=1.25>0.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1,-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)<0.因为f(-0.75)·f(-0.5)<0,同理,可得x0∈(-0.75,-0.625),x0∈(-0.6875,-0.625),x0∈(-0.65625,-0.625),x0∈(-0.65625,-0.640625),x0∈(-0.6484375,-0.640625),x0∈(-0.64453125,-0.640625).由于|(-0.640625)-(-0.64453125)|<0.01,此时区间(-0.64453125,-0.640625)的两个端点精确到0.01的近似值都是-0.64,所以方程2x3-6x2+3=0在区间(-1,0)且精确到0.01的近似解约为-0.64.同理可求得方程2x3-6x2+3=0在区间(0,1)和(2,3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83,2.81.所以,方程2x3-6x2+3=0的三个解的和为-0.64+0.83+2.81=3.(2)利用(1)中的方法可求得方程2x3-6x2+5=0和2x3-6x2+8=0的所有解的和也为3.一般地,对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0有三个根x1,x2,x3,且x1+x2+x3=-.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解A 级 基础巩固一、选择题1．下列关于二分法的叙述中，正确的是() A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D 错误．答案：B2．函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的变号零点的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数f (x )的图象通过零点时穿过x 轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f (x )有3个变号零点．答案：D3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间(a n ，b n )内，当|a n －b n |<ε时，函数的近似零点与真正的零点的误差不超过()A ．εB.12εC ．2εD.14ε解析：最大误差即为区间长度ε. 答案：A4．下列函数中不能用二分法求零点的是() A ．f (x )＝3x －1 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x解析：对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点，但当x >0时，f (x )>0； 当x <0时，f (x )>0.所以f (x )＝|x |的函数值非负， 即函数f (x )＝|x |有零点，但零点两侧函数值同号， 所以不能用二分法求零点． 答案：C5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1在区间(0，1)内的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，f (1)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为() A ．(0，0.5)，f (0.25) B ．(0，1)，f (0.25) C ．(0.5，1)，f (.025) D ．(0，0.5)，f (0.125)解析：因为f (0)<0，f (0.5)>0，所以f (0)·f (0.5)<0，故f (x )的一个零点x 0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f (0.25)．答案：A 二、填空题6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：的值为________．解析：令f (x )＝2x－x 2，由表中的数据可得f (－1)<0，f (－0.6)>0；f (－0.8)<0，f (－0.4)>0，所以根在区间(－0.8，－0.6)内， 所以a ＝－1或a ＝－0.8. 答案：－1或－0.87．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________．解析：设等分的最少次数为n ，则由0.12n ＜0.01，得2n＞10，所以n 的最小值为4.答案：48．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：4 三、解答题9．用二分法求5的近似值(精确度为0.1)． 解：设x ＝5，则x 2＝5，即x 2－5＝0， 令f (x )＝x 2－5.因为f (2.2)＝－0.16＜0，f (2.4)＝0.76＞0， 所以f (2.2)·f (2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x 0， 取区间(2.2，2.4)的中点x 1＝2.3，则f (2.3)＝0.29. 因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2，2.3)，再取区间(2.2，2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5. 因为f (2.2)·f (2.25)＜0，所以x 0∈(2.2，2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.10．从某水库闸房(设为A )到防洪指挥部(设为B )的线路发生了故障．这是一条10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点，就要爬一次电线杆子.10 km 长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．算一算，要把故障可能发生的X 围缩小到50～100 m 之间，要查多少次？解：①如图所示，他首先从中点C 检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D 查，这次若发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再到CD 段中点E 查……②设需要排查n 次，因为每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，所以50<10 0002n<100，即100<2n<200，n ＝7.因此，只要7次就够了．B 级 能力提升1．下列关于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的四个结论：①若x 0∈[a ，b ]，且满足f (x 0)＝0，则(x 0，0)是f (x )的一个零点； ②若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值． 其中正确的个数为() A ．0 B ．1 C ．3 D ．4解析：因为x 0∈[a ，b ]且f (x 0)＝0，所以x 0是f (x )的一个零点，而不是(x 0，0)，所以①不正确；因为函数f (x )不一定连续，所以②不正确；因为方程f (x )＝0的根一定是函数f (x )的零点，所以③不正确；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④不正确．答案：A2．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2，4)内的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个含有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝23－2×2－5＝－1<0，f (3)＝33－2×3－5＝16>0，故下一个含有根的区间为(2，3)．答案：(2，3)3．中央电视台有一档娱乐节目，主持人会给选手在限定的时间内猜某一物品的售价机会．如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500，1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750，1 000]的中点875；否则取另一个区间[500，750]的中点625；若遇到小数取整数．照这样的方案游戏过程猜价如下：750，875，812，843，859，851，经过6次即可猜中价格．。

第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．答案：A3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得A．1.55 B．1.56C．1.57 D．1.58解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，f(1.556 2)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01为1.56)．答案：B4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.解析：由题意x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝0.625.答案：0.6255．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).精品精品6．求32的近似值(精确度0.01)．解：设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由于区间0.01，所以这个区间内的点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26.。

3．1.2 用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点____；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则________________；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定5A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8) C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)6．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2f(x2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)8.x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f(x)＝12log x＋x－4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为( )A．0 B．1 C．3 D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精知识梳理1．f (a )·f (b )<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解2．(1)f (a )·f (b )<0 (2)c (3)①c 就是函数的零点 ②(a ，c )③(c ，b )作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]2．A [由选项A 中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25. 又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0， 又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析 令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0，f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．9．0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．10．解 (答案不唯一)设y 1＝12log x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图．由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点，当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，f (4)<0，当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，f (8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明 设函数f (x )＝2x ＋3x －6，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可作为这个方程的实数解．12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．] 13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。

3.1.2 用二分法求方程的近似解【选题明细表】1.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( C )(A)x1(B)x2(C)x3(D)x4解析:观察图象可知,零点x3的附近两边的函数值都为负值,所以零点x3不能用二分法求.2.用二分法找函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间中点2,则下一个存在零点的区间为( B )(A)(0,1) (B)(0,2)(C)(2,3) (D)(2,4)解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0,所以零点在区间(0,2).3.已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,),(0,),则下列说法中正确的是( B )(A)函数f(x)在区间(0,)内一定有零点(B)函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是(C)函数f(x)在(,a)内无零点(D)函数f(x)在区间（0,）或（,）内有零点解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在（0,）或（,）中或f（）=0.故选B.4.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为( B )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由<0.01,得2n>10,所以n的最小值为4.故选B.5.用二分法求方程x2-5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次二分后精确度能达到0.01.解析:因为初始区间的长度为1,精确度要求是0.01,所以≤0.01,化为2n≥100,解得n≥7.答案:76.用二分法研究函数f(x)=x3+ln（x+）的零点时,第一次经计算f(0)<0,f（）>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.解析:由于f(0)<0,f（）>0,故f(x)在（0,）上存在零点,所以x0∈（0,）,第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点x1==.答案:（0,）f（）7.(2018·安徽省江南名校高一联考)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,15),(0,7),(0,4),(1,3)内,那么下列说法中正确的是( C )(A)函数f(x)在区间(1,2)内有零点(B)函数f(x)在区间(1,2)或(2,3)内有零点(C)函数f(x)在区间[3,15)内无零点(D)函数f(x)在区间(2,15)内无零点解析:根据二分法的实施步骤即可判断.故选C.8.下面是函数f(x)在区间[1,2]上的一些点的函数值.由此可判断:方程f(x)=0在[1,2]上解的个数( A )(A)至少5个 (B)5个(C)至多5个 (D)4个解析:由所给的函数值的表格可以看出,在x=1.25与x=1.375这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(1.25)f(1.375)<0,所以函数的一个零点在(1.25,1.375)上,同理:函数的一个零点在(1.375,1.406 5)上,函数的一个零点在(1.406 5,1.438)上,函数的一个零点在(1.5,1.61)上,函数的一个零点在(1.61,1.875)上.故函数至少有5个零点,即方程f(x)=0在[1,2]上至少有5个解.为.解析:令f(x)=2x-x2,由表中的数据可得f(-1)<0,f(-0.6)>0;f(-0.8)<0,f(-0.4)>0,所以根在区间(-1,-0.6)与(-0.8,-0.4)内,所以a=-1或a=-0.8.答案:-1或-0.810.利用计算器,求方程x2-6x+7=0的近似解(精确度0.1).解:设f(x)=x2-6x+7,通过观察函数的草图得,f(1)=2>0,f(2)=-1<0,所以方程x2-6x+7=0有一根在(1,2)内,设为x1,因为f(1.5)=0.25>0,所以1.5<x1<2,又因为f()=f(1.75)=-0.437 5<0,所以1.5<x1<1.75,如此继续下去,得f(1)>0,f(2)<0⇒x1∈(1,2),f(1.5)>0,f(2)<0⇒x1∈(1.5,2),f(1.5)>0,f(1.75)<0⇒x1∈(1.5,1.75),f(1.5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.5,1.625),f(1.562 5)>0,f(1.625)<0⇒x1∈(1.562 5,1.625),由于|1.562 5-1.625|=0.062 5<0.1,所以方程x2-6x+7=0的一个近似解可取为1.625,用同样的方法,可求得方程的另一个近似解可取为4.437 5.11.如果在一个风雨交加的夜里查找线路,从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10 km长,大约有200多根电线杆子.假如你是维修线路的工人师傅,你应该怎样工作?想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?解:如图.他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时,如果发现AC段正常,则断定故障在BC段,再到BC段中点D,这次若发现BD段正常,则故障在CD段,再到CD中点E来查,……每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右,即两根电线杆附近,设需要排查n次,则有50<<100,即100<2n<200.因此只要7次就够了.。