2020年浙江高考数学一轮复习：双 曲 线

第练双曲线[基础保分练].双曲线－＝的焦点到渐近线的距离为( ).(·杭州模拟)双曲线－＝的渐近线方程为( )＝±＝±＝±＝±.下列方程表示的双曲线的焦点在轴上且渐近线方程为＝±的是( )－＝－＝－＝－＝.(·湖州模拟)已知双曲线过点()，渐近线方程为＝±，则该双曲线的标准方程是( ) －＝－＝－＝－＝.设，分别是双曲线－＝的左、右焦点，若双曲线上存在点，使∠＝°且＝，则双曲线的离心率为( ).(·全国Ⅲ)已知双曲线：－＝(>，>)的一条渐近线方程为＝，且与椭圆＋＝有公共焦点，则的方程为( )－＝－＝－＝－＝.已知双曲线－＝(>，>)的左焦点为，离心率为.若经过和()两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝.(·金华十校联考)过双曲线－＝(>，>)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这条直线所围成的四边形的周长为，则该双曲线的渐近线方程为( )＝±＝±＝±＝±.(·温州一模)双曲线的焦点在轴上，实轴长为，离心率为，则该双曲线的标准方程为，渐近线方程为..(·杭州模拟)已知，分别为双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点，(，)是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，，其中(－，－)，△为等腰三角形，则双曲线的离心率为.[能力提升练].如图所示，，是双曲线－＝(>，>)的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为，，且△是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )＋＋.(·绍兴模拟)设(，)，点为双曲线：－＝(>，>)的左顶点，线段交双曲线一条渐近线于点，且满足∠＝，则该双曲线的离心率为( ).(·衢州模拟)已知双曲线－＝(，>)的左焦点(－)，其中满足>，且＝＋，直线－＋＝与双曲线在第二象限交于点，若＝(为坐标原点)，则该双曲线的渐近线方程为( )＝±＝±＝±＝±.已知(，)(其中≠)为双曲线－＝上任一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，，则△的面积为( ).与点的位置有关.(·杭州模拟)已知双曲线－＝(>，>)的两个焦点为，，以为圆心过原点的圆与双曲线在第一象限交于点，若的中垂线过原点，则离心率为..已知是双曲线：－＝的右焦点，是的左支上一点，()，当△周长最小时，该三角形的面积为.答案精析基础保分练．－＝＝±能力提升练．．[因为直线－＋＝过双曲线的左焦点，连接点与双曲线的右焦点，由＝＝＝知⊥，故直线的方程为＋－＝，所以，代入双曲线方程得－＝，整理变形为×－×－＝，即＝，因为该双曲线的渐近线方程为＝±＝±，故选.]．[双曲线－＝的渐近线方程为＝±，因为，分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程＝的倾斜角为α，则α＝，所以∠＝α＝＝－，∠＝，·＝·＝＝，因此△的面积＝·∠＝××＝，故选.]＋解析由题意知△为等边三角形，所以，代入双曲线的方程得－＝，结合＝－，整理得－＋＝，因为＝，所以－＋＝，又>，解得＝＋.．解析由已知得＝，＝，则()，＝.设是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有－＝，所以＋＝＋＋≥＋＝，即点是线段与双曲线左支的交点时，＋＝＋＋最小，即△周长最小，此时∠＝，∠＝－∠＝，即有∠＝.由余弦定理得＝＋－·∠，即(－)＝＋－××，解得＝，于是△＝··∠＝×××＝.。

听课正文第53讲双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形(续表)标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)性质范围,y∈R ,x∈R对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1,A2A1,A2渐近线y= y=离心率e=ca,e∈a ,b ,c的关系c 2= (c>a>0,c>b>0)实、虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|= ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长常用结论双曲线的几个常用结论: (1)与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x 2a2-y 2b2=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P (x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,则①x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在右支上,则r 1=ex 0+a ,r 2=ex 0-a ;若点P 在左支上,则r 1=-ex 0-a ,r 2=-ex 0+a.②y 2a2-x 2b2=1(a>0,b>0),若点P 在上支上,则r 1=ey 0+a ,r 2=ey 0-a ;若点P 在下支上,则r 1=-ey 0-a ,r 2=-ey 0+a.题组一 常识题1.[教材改编] 若双曲线E :x 29-y 225=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=5,则|PF 2|= .2.[教材改编] 已知双曲线经过点P (4,-2√2)和点Q (-4√2,2√3),则该双曲线的标准方程为 .3.[教材改编] 双曲线C :4x 2-10y 2=100的离心率是 ,渐近线方程是 .题组二 常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F 1F 2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.4.平面内到点F 1(5,0),F 2(-5,0)距离之差的绝对值等于10的点P 的轨迹是 .5.已知A (-5,0),B (5,0),动点P 满足|PA |-|PB |=6,则点P 的轨迹是 .6.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为 .7.P 是双曲线x 216-y 281=1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且|PF 1|=9,则|PF 2|= .探究点一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( )A .x 24-y 212=1B .x 212-y 24=1 C .x 23-y 2=1D .x 2-y 23=1(2)[2018·辽宁朝阳一模] 设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12,圆(x-6)2+y 2=20与该双曲线的渐近线相切,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离是9,则点P 到F 2的距离是 ( ) A .17或1 B .13或5 C .13 D .17[总结反思] (1)应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用配方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支.(2)待定系数法求双曲线方程时,一要注意焦点位置的判断,二要注意c 2=a 2+b 2,a ,b ,c 的关系不要弄错.变式题 (1)[2018·合肥三模] 已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)的上焦点为F ,M 是双曲线虚轴的一个端点,过F ,M 的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点,且|AF|=6,则双曲线C 的方程为 ( ) A .y 22-x 28=1 B .y 28-x 22=1 C .y 2-x 24=1D .y 24-x 2=1(2)双曲线C的渐近线方程为y=±2√33x,一个焦点为F(0,-√7),点A(√2,0),点P为双曲线在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4+3√7D.3+3√7(3)已知双曲线的虚轴长为12,离心率为54,则其方程为.探究点二双曲线的几何性质有关问题微点1已知离心率求渐近线方程例2[2018·辽宁凌源二中月考]已知圆E:(x-3)2+(y+m-4)2=1(m∈R),当m变化时,圆E上的点与原点O的最短距离与双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率相等,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12xC.y=±√3xD.y=±√33x[总结反思]已知离心率求渐近线方程,即e=ca ⇒c2=e2·a2=a2+b2⇒e2=1+b2a2,即得渐近线方程为y=±√e2-1x.微点2已知渐近线方程求离心率例3[2018·赣州模拟]若双曲线y2a2-x2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为y=34x,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.169D.259[总结反思]已知渐近线方程y=±kx,若焦点位置不明确要分k=ba 和k=ab两种情况讨论.已知渐近线方程为y=±ba ·x,可由c2=a2+b2⇒c2a2=1+b2a2,从而求得离心率e=√1+(ba)2.微点3由离心率研究渐近线夹角问题例4定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E:x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),当其离心率e∈[√2,2]时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为()A.[0,π6]B.[π6,π3]C.[π4,π3]D.[π3,π2][总结反思]已知离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.微点4利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围例5已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的离心率为.[总结反思]一般可以先求解已知直线与渐近线的交点,再结合相关条件得到关于a与b的方程(或不等式),利用c2=a2+b2,转化为关于a与c的方程(或不等式),从而得离心率的值(或范围).应用演练1.【微点1】[2018·永州模拟]双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率e=√5,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A .y=±12x B .y=±15xC .y=±2xD .y=±5x2.【微点2】[2018·合肥一模] 若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=-2x ,则该双曲线的离心率是 ( )A .√52B .√3C .√5D .2√33.【微点3】已知双曲线x 2a2-y 2b2=1的离心率为2√33,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A .π6B .π4C .π3D .π24.【微点4】[2018·珠海三模] 双曲线x 2a2-y 2b2=1的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为( ) A .√52B .√5C .√3+12 D .√3+15.【微点2】已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线经过圆E :x 2+y 2-2x+4y=0的圆心,则双曲线C 的离心率为 ( )A .√5B .√52C .2D .√26.【微点4】过双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为P ,且该直线与y 轴的交点为Q ,若|FP|<|OQ|(O 为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围为 .探究点三 直线与双曲线的位置关系 例6 [2018·安阳一模] 如图8-53-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:y=x 与直线l 2:y=-x 之间的阴影部分记为W ,区域W 中动点P (x ,y )到l 1,l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)动直线l 穿过区域W ,分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点,若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.图8-53-1[总结反思]解决直线与双曲线的位置关系问题的常用方法:(1)将直线方程代入双曲线方程得到关于x(或y)的方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题,设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|=√1+k2·|x1-x2|;(2)比较直线的倾斜角(或斜率)与渐近线的倾斜角(或斜率)的大小,得到直线与双曲线的交点情况;(3)与中点有关的问题常用点差法.变式题已知双曲线C以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,且过点P(7,12).(1)求双曲线C与其渐近线的方程;(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),求直线l的方程.。

第六节 双 曲 线[例1] (1)(2013·天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[自主解答] (1)由抛物线y 2＝8x 可知其准线方程为x ＝－2， 所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为离心率为2，所以e ＝ca ＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)由x 29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16>2a ，又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.[答案] (1)x 2－y 23＝1 (2)44 【互动探究】本例(2)中“若PQ 的长等于虚轴长的2倍”改为“若PQ 的长等于实轴长的2倍”，则结果如何？解：依题意知|PQ |＝4a ＝12>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴PQ 在双曲线的一支上．同样|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6. ∴|PF |＋|QF |＝24.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝24＋12＝36. 【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.2．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.45B.74C.54 D.7 解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |＝||PB |－|P A ||＝2a ＝8＝45.[例2] (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．[自主解答] (1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，解得x ＝± a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝(x 1＋3)2＋y 21＝(x 1＋3)2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)， |BF 1|＝(x 2＋3)2＋y 22＝(x 2＋3)2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝(x 1－3)2＋y 21＝(x 1－3)2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝(x 2－3)2＋y 22＝(x 2－3)2＋8x 22－8＝3x 2－1，故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.从而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2， 所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA ·OB >2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1.1．双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长．[例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[自主解答] (1)52＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以b a ＝12， 故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x .(2)设双曲线C 2的实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝(2c )2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4， (m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8,2a ＝|m －n |＝22，a ＝2， 则双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝32＝62.[答案] (1)C (2)D与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．1．(2013·湖北高考)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.由双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ.2．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B 依题意c ＝3，又∵e ＝c a ＝32，∴a ＝2，∴b 2＝ c 2－a 2＝32－22＝5，∴C 的方程为x 24－y 25＝1.3．(2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线定义知 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .因为c >a ，所以2c >2a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°， 即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac .所以c 2－23ac ＋3a 2＝0， 两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 答案： 3———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a ，b 的值即可求得方程． (2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置设方程：由焦点位置设方程定值：根据条件确定相关参数②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).3个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 大小关系，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，而在椭圆中a 2＝b 2＋c 2.(2)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .\。

第50讲 双曲线（解析版）考点内容解读要求 常考题型 1．双曲线的定义掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

Ⅰ选择题，填空题，大题 2．双曲线的性质 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程．能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题．Ⅱ选择题，填空题，大题一、双曲线的简单几何性质双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质1． 范围22221x x a ax a x a 即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a 或x ≥a ． 2．对称性对于双曲线标准方程12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

3．顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。

实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。

a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。

①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

②双曲线的焦点总在实轴上。

③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

4．离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

§9.6双曲线1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质概念方法微思考1.平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0，0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响.∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编2.[P61T1]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3.[P61A 组T3]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4.[P62A 组T6]经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3) D.(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C ：y 2－x 24＝1的渐近线方程为__________，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________. 答案 y ＝±x 2 x 212－y 23＝1解析 双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ；与y 2－x 24＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y 2－x 24＝m (m ≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m ＝12－424＝－3，即该双曲线的方程为y 2－x 24＝－3，即x 212－y 23＝1.题型一 双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8， ∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3. 2.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3，0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<|AB |＝10，因此点C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， ∵2a ＝6，2c ＝10，∴a ＝3，b ＝4，故顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0，12)；③经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7).解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 1.定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c 2＝a 2＋b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . 2.待定系数法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程. (2)常见设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)；④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)；⑤与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2).跟踪训练2 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________. 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋b 2＝9.②由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 答案 A解析 如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称， 则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ， 所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足∠PF 2F 1＝π2，连接PF 1交y 轴于点Q ，若|QF 2|＝2c ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 3答案 C解析 设O 为坐标原点，由题意可得，PF 2⊥x 轴，OQ ∥PF 2，所以Q 为PF 1的中点，易知F 2(c ，0)，因为|QF 2|＝2c ，所以|OQ |＝c ，又|OQ |＝12|PF 2|，所以|PF 2|＝2|OQ |＝2c ，所以|PF 1|＝22c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即22c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝12－1＝2＋1.故选C.(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一个端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →＝tBF →(t ∈R )，则该双曲线的离心率为( )A.2B. 5C.1＋32D.1＋52答案 D解析 由题图知F (－c ，0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝±b ax .由已知得A ，B ，F 三点共线，且AF ⊥OB .所以点F 到渐近线OB 的距离为d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，|AF |＝c 2＋b 2，又由△BOF ∽△OAF ，得|FO |2＝|FB |·|FA |.即c 2＝b c 2＋b 2，即c 4＝b 2(c 2＋b 2)，则c 4＝(c 2－a 2)(2c 2－a 2)，整理得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝3－52舍去.所以该双曲线的离心率e ＝3＋52＝6＋254＝5＋12，故选D. 思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (1)已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫102，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 答案 C解析 由|F 1F 2|＝2|OP |，可得|OP |＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2， 整理得(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2.又|PF 1|≥3|PF 2|，即2a ＋|PF 2|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，所以|PF 2|＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a . 由e ＝c a，且e >1，可得1<e ≤102.故选C. (2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B.4C.233D. 3答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ， 因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ， 因为B 为双曲线左支上一点， 所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ， 由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°， 得c 2＝7a 2，则e 2＝7， 又e >1，所以e ＝7.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ， 则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32， 故选A.例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( ) A.6－1B.3＋12C.6＋12D.6＋1答案 C解析 由对称性不妨设点P 在第一象限，如图，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边于G ，D ，E 三点，则|PG |＝|PE |，|GF 1|＝|DF 1|，|EF 2|＝|DF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|GF 1|－|EF 2|＝|DF 1|－|DF 2|＝2a ，设D (x 0，0)，则x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，即x 0＝a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，∴|PF 1|＝|GP |＋|GF 1|＝a 2＋|DF 1|＝a2＋c ＋a＝3a 2＋c ，|PF 2|＝|PE |＋|EF 2|＝a 2＋|DF 2|＝a 2＋c －a ＝c －a2，在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝(2c )2，整理得4c 2－4ac －5a 2＝0，则4e 2－4e －5＝0，解得离心率e ＝6＋12(舍负)，故选C.1.(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)答案 B解析 ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 故选B.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax . 又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 5.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1――→的值为( )A.3B.2C.－3D.－2 答案 B解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1――→＝|F 2P →|·|F 2F 1――→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6.已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B解析 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2) D.(2，＋∞)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.9.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________. 答案x 24－y 28＝1 y ＝±2x 解析 由2a ＝4，c a＝3，得a ＝2，c ＝23，b ＝22， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，渐近线方程为y ＝±2x .10.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________. 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形. ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴1F AB S＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4. 11.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.答案 (0，2)解析 对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，求双曲线C 的离心率. 解 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得 |PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ， 即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负).13.(2018·湖州模拟)已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，∠AF 1B ＝90°，△AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为72a ，则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.5D.52答案 A解析 设内切圆的圆心M (x ，y )，圆M 分别切AF 1，BF 1，AB 于S ，T ，Q ，如图，连接MS ，MT ，MF 1，MQ ，则|F 1T |＝|F 1S |，故四边形SF 1TM 是正方形，边长为圆M 的半径.由|AS |＝|AQ |，|BT |＝|BQ |， 得|AF 1|－|AQ |＝|SF 1|＝|TF 1|＝|BF 1|－|BQ |，又|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|， ∴Q 与F 2重合，∴|SF 1|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a ，即(x －c )2＋y 2＝4a 2，① |MF 1|＝22a ，(x ＋c )2＋y 2＝8a 2，②联立①②解得x ＝a 2c ，y 2＝4a 2－b 4c 2，又y ＝72a ，故7a 24＝4a 2－b 4c 2，得e ＝c a＝2. 14.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，求b 的值.解 方法一 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义， 得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c，sin∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c ，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得(－c 2＋2b )2c 2－4c 2b 2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2>0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3. 方法二 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ， 所以cos∠F 2F 1A ＝b c. 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c ，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2， 所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且交双曲线的右支于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1∶r 2＝3∶1，则直线l 的斜率为( ) A.±1B.±2C.±3D.±2 答案 C解析 方法一 当A 在第一象限时，如图1，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ， 则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |， 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ， ∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ， ∴|F 2P |＝c －a ， ∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点， 连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2. 连接O 1F 2，O 2F 2，又O 1F 2平分∠F 1F 2A ，O 2F 2平分∠F 1F 2B ， ∴∠O 1F 2O 2＝90°，∴Rt△O 1F 2P ∽Rt△F 2O 2P ∽Rt△O 1O 2F 2，∴|O 1F 2|2＝|O 1P |·|O 1O 2|，|O 2F 2|2＝|O 2P |·|O 1O 2|， ∴|O 1F 2|2|O 2F 2|2＝|O 1P ||O 2P |＝r 1r 2＝3， 则tan∠O 2O 1F 2＝|O 2F 2||O 1F 2|＝33，∴∠O 2O 1F 2＝30°，则∠O 1F 2P ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°， ∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3. 综上，直线l 的斜率为± 3.方法二 当A 在第一象限时，如图2，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ，∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ，∴|F 2P |＝c －a ，∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2.设⊙O 2切BF 2于点H ，连接O 1N ，O 2H ，则在直角梯形O 2HNO 1中，|O 2H |＝r 2，|O 1N |＝r 1＝3r 2，|O 1O 2|＝r 1＋r 2＝4r 2，作O 2T ⊥O 1N 于点T ，则|O 1T |＝r 1－r 2＝2r 2，故在Rt△O 1O 2T 中，∠O 2O 1T ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°，∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3.综上，直线l 的斜率为± 3.16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF 2的倾斜角为120°，△PF 1F 2的面积S ＝32(a 2＋b 2)，求双曲线C 的离心率. 解 方法一 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以|PF 2|＝|y 0|sin60°＝c . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos∠PF 2F 1＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×cos60°＝3c 2，所以|PF 1|＝3c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝(3－1)c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝23－1＝3＋1.方法二 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以x 0＝c －|y 0|tan60°＝c 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 由点P 在双曲线上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1， 整理得c 4－8c 2a 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e >1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.。

第四节 双曲线突破点一 双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一 双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二 双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二 双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________． 答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。

高考数学一轮复习考点知识与题型讲解考点44 双曲线一．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三．双曲线的几何性质x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)四．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F x ，y ＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考点题型分析考点题型一 双曲线的定义【例1-1】(2022·浙江省德清县第三中学)已知双曲线22:14x G y -=的左､右焦点分别为1F ､2F ，若点P 在G 的右支上，且21PF =，则1PF =( ) A ．3B ．5C ．251D ．251+【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为2214x y -=，所以2a =又212PF PF a -=，所以1245PF PF =+=故选：B【例1-2】．(2022·河北张家口市)已知12(6,0),(6,0)F F -，动点P 满足21|PF PF a -=∣，当a 分别为4和12时，点P 的轨迹分别为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和一条射线 C ．双曲线的一支和一条射线 D ．双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得1212F F =当4a =时，21124PF PF a F F -==<，可知点P 的轨迹为双曲线左支； 当12a =时，211212PF PF a FF -===，可知点P 的轨迹为以1F 为端点的一条射线.故选：C【例1-3】．(2022·全国课时练习)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________. 【答案】4【解析】由双曲线方程知：12||2F F c == 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222121212121212||||||2||||cos (||||)||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，∴21212||||8(||||)PF PF PF PF ⋅=--，而12||||||2PF PF -=， ∴12||||4PF PF ⋅=. 故答案为：4.【举一反三】1．(2022·上海普陀区)设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】C【解析】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．(2022·上海市)已知两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN -=，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线C ．一条射线D ．双曲线的右支【答案】C【解析】由两点()3,0M -和()3,0N ，动点P 满足6PM PN MN -==， 所以动点P 的轨迹是一条射线.故选：C3．(2022·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()12,0F -，()22,0F ，12PF PF a -=(a ∈R )，若点P 的轨迹为双曲线，则a 的取值范围是( ) A ．()0,4 B ．(]0,4 C ．()4,+∞ D ．()()0,44,+∞【答案】A【解析】12PF PF a -=，由点P 的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则12124PF PF F F <=-，所以04a <<故选: A4．(2022·全国高三专题练习)已知1F 、2F 为双曲线22:13x C y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，则12PF F △的面积为____________【解析】双曲线22:13x C y -=，则223,1a b ==，所以2224c a b =+=，利用双曲线定义知，122PF PF a -==两边平方得221212||||122||||PF PF PF PF +=+⋅，且12||24F F c ==，1260F PF ∠=由余弦定理22212212121212||||||122||||161cos 2||||2||||2PF PF FF PF PF F PF PF PF PF PF +-+⋅-∠===⋅⋅， 解得：12||||4PF PF ⋅=，则121211||||sin 604222PF F S PF PF =⋅⋅∠=⨯⨯=考点题型二 双曲线的标准方程【例2-1】(2022·福建龙岩市)“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程22112x y m m +=+-表示双曲线，则(1)(2)0m m +-<，得12m -<<，则11m -<<能推出12m -<<，12m -<<不能推出11m -<<，“11m -<<”是“方程22112x y m m +=+-表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A ．【例2-2】．(2022·全国课时练习)过点(1,1)，且ba=( ) A ．22112x y -=B ．22112y x -=C ．22112y x -= D ．22112x y -=或22112y x -=【答案】D【解析】由ba=222b a =. 当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为222212x y a a -=，将点(1,1)代入可得212a =，则双曲线方程为22112x y -=.同理，焦点在y 轴上时，双曲线方程为22112y x -=.故选：D【举一反三】1．(2022·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦点在x 轴上，2a =离心率52e =，求双曲线的标准方程； (2)11a c +=，3c a -=，焦点在y 轴上，求双曲线的标准方程．【答案】(1)224121x y -=；(2)2211633y x -=.【解析】(1)由题意可得252a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，5c ∴=，b =因为双曲线的焦点在x 轴上，因此，双曲线的标准方程为224121x y -=； (2)由已知条件可得113a c c a +=⎧⎨-=⎩，解得74c a =⎧⎨=⎩，b ∴==因为双曲线的焦点在y 轴上，因此，双曲线的标准方程为2211633y x -= 2．(2022·浙江)已知曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，( )A ．若E 表示双曲线，则2m >B ．若12m <<，则E 表示双曲线C ．若E 表示椭圆，则2m >D ．若12m <<且32m ≠，则E 表示椭圆 【答案】D【解析】因为曲线22:1()12x y E m m m -=∈--R ，当()()120m m -->解得2m >或1m <时曲线表示双曲线；当102012m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩即12m <<且32m ≠时曲线表示椭圆；故选：D3．(2022·江苏南通市)命题:p “34m <<”是命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题:q “曲线22135x y m m-=--表示双曲线”，则()()350m m -->，即()()350m m --<， 解得35m <<由于命题p 能推出命题q ，命题q 不能推出命题p 则命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：C考点题型三 直线与曲线的位置关系【例3】(2022·全国课时练习)若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，求实数k 的取值范围． 【答案】22k -<<【解析】4x 2－y 2＝16渐近线方程为2y x =±，因为直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，所以k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由0∆>可得()241640k ⨯->，解得22k -<<.【举一反三】1．(2022·徐汇区·上海中学)已知直线()1y kx k =+∈R 与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】k =k =【解析】由22311x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得()223220k x kx ---=，因为直线与双曲线有一个公共点，所以230k -=或()()()2223024320k k k ⎧-≠⎪⎨∆=----=⎪⎩，解得k =k =2．(2022·江苏南通市)直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值有( )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】联立22341169y kx k x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理得()()()2221693243164390kx k k x k ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，由于直线34y kx k =-+与双曲线221169x y -=有且只有一个公共点， 所以，21690k -=或()()()222216903243641694390k k k k k ⎧-≠⎪⎨⎡⎤⎡⎤∆=----+=⎪⎣⎦⎣⎦⎩， 解得34k =±或2724250k k +-=，对于方程2724250k k +-=，判别式为22447250'∆=+⨯⨯>，方程2724250k k +-=有两个不等的实数解.显然34k =±不满足方程2724250k k +-=.综上所述，k 的取值有4个.故选：D.3．(2022·陕西宝鸡市)如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．考点题型四 弦长【例4】(2022·全国高三专题练习)直线x ＋y ＝1与双曲线4x 2－y 2＝1相交所得弦长为( )A．3B．3CD【答案】B【解析】将直线1x y +＝代入2241x y -＝得23220x x +-=. 设两交点()()1122,,,A x y B x y ，则12122233x x x x +-=-＝，，123AB x ∴=-==.故选:B ． 【举一反三】1．(2022·辽宁朝阳市·高三月考)直线0x y -=与双曲线2222x y -=有两个交点为A ，B ，则AB =( ) A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【解析】由22220x y x y ⎧-=⎨-=⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4AB ==.故选：C ．2．(2022·全国高三专题练习)过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k--＝8，解得k ＝1. 所以x 1x 2＝2232321012k k k -+--＝10. 所以|AB |.故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -=， ① 222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2. 由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝.故选：D考点题型五 离心率与渐近线【例3】(2022·浙江湖州市)双曲线2214y x -=的离心率是_______，渐近线方程是_______．(两条都写出)2y x=±【解析】由题可知1a=，2b=，故c=e==渐近线方程为：by xa=±即2y x=±.2y x=±【举一反三】1．(2022·浙江杭州市·学军中学)双曲线22143x y-=的渐近线方程是___________；离心率为___________.【答案】2y x=±2【解析】由双曲线方程得：2,a b==，则c=因此渐近线方程是2y x=±；离心率为2ca=故答案为：2y x=±；22．(2022·湖北高三一模)已知12,F F分别是双曲线C的左､右焦点，若双曲线C上存在一点M满足1212::12:13:5MF MF F F=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【解析】设121212,13,5MF k MF k F F k===双曲线的离心率122125521312F Fc kea MF MF k k====--.故答案为：53．(2022·河北张家口市)已知椭圆221259x y+=和双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>有共同焦点12,,F F P是它们的一个交点，且123F PFπ∠=，则双曲线的离心率为_____________.【答案】13【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为a ， 根据椭圆及双曲线的定义：121210,2PF PF PF PF a +=-=， 所以125,5PF a PF a =+=-，12128,3F F F PF π=∠=， 由余弦定理可得，2264(5)(5)2(5)(5)cos 3a a a a π=++--+-，整理得213a =，13c e a ===..。

••>必过数材美1.双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白____________ 集合P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |F i F2|= 2c,其中a, c 为常数且a> 0, c>0.(1) 当2a v |F i F21时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当2a = |F i F 2|时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当2a > |F i F21时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程---------------- 2------- 2 -------------------------------------------------/—y2=i(a>0, b> 0)----------- 2 ------- 2--------------------------------------------字-討i(a> 0, b> 0)图形A性质范围x< — a 或x>a, y€ R y w —a 或y> a, x€ R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A i( —a,0), A2(a,0)顶点坐标：A i(0, —a), A2(0 , a)渐近线y=*x y= ±x离心率ce= ", e€ (i ,+s ) a ----a, b, c的关系c2= a2+ b2实虚轴线段A i A2叫做双曲线的实轴，它的长|A i A2| = 2a；线段B i B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B i B2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长［小题体验］2 2 i双曲线x —y2=1的焦距为 __________________________________ •2 2解析：由双曲线—七=1,易知c 2= 3 + 2= 5,所以c = 5,322 2 所以双曲线X-—专=1的焦距为2 5.答案：2 52 22•(教材习题改编)以椭圆^4+yx =i 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为2 2解析：设要求的双曲线方程为 予—令=1(a >0, b >0),2 2由椭圆X += 1 , 4 3得椭圆焦点为(±,0),顶点为(±,0) • 所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0). 所以 a = 1, c = 2, 所以 b 2= c 2— a 2= 3,2所以双曲线标准方程为 X 2— : = 1.2答案：x 2— y = 122f~53. (2018北京高考)若双曲线 y4 = 1(a > 0)的离心率为 玄，贝V a= ________ ,T a > 0, . a = 4. 答案：4••>必过易错关1.双曲线的定义中易忽视 2a < IF 1F 2I 这一条件.若2a =|F 1F 2|，则轨迹是以F 1, F ?为端点的两条射线，若 2a > IF 1F 2I ，则轨迹不存在.2•双曲线的标准方程中对 a , b 的要求只是a >0, b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同.若a > b > 0,则双曲线的离心率 e € (1, 2);若a = b > 0,则双曲线的离心率 e =2;若0<a < b,则双曲线的离心率 e € (• 2,+^ ).2 23.注意区分双曲线中的 a , b , c 大小关系与椭圆中的 a , b, c 关系，在椭圆中a = b + c 2,而在5 4,a 2= 16.解析：由e =：；= a 2+ 4 2~ a双曲线中c2= a2+ b2.4•易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b,当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b［小题纠偏］2 21.设P是双曲线土一士 = 1上一点，F i, F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF i|16 20=9则|PF2|等于____________ .解析：由题意知|PF i|= 9v a+ c= 10,所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|- |PF i|= 2a = 8,故|PF2|= |PF i| + 8= 17.答案：172•以直线y= ±2x为渐近线，且过点（一U3, 2）的双曲线的标准方程为____________解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±. 2x,不妨可设该双曲线的方程为2x2—y2=入因为双曲线过点（一，3, 2）,所以6 —4= = 2，所以双曲线的方程为2x2—y2= 2,2即其标准方程为x2—专=1.2答案：x2—专=1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019金华调研）已知双曲线的一个焦点与圆x2+ y2—4y= 0的圆心重合，且其渐近线的方程为一3x勿=0，则该双曲线的标准方程为（）2 2A.x—y2= 1B.y—x2= 1332 2 2 2C.2L —必=1D.y-—瓦=19 16 16 92 解析：选B 由圆的方程知其圆心为（0,2），故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为鸟—a2器=1（a>0, b> 0），且a2+ b2= 4, ①又知渐近线方程为V3x±y= 0,二；=西，②2 由①②得a 2= 3, b 2= 1 ,•••双曲线方程为y3 — x 2= 1.2 2 2. （2018海口二模）已知双曲线 C :孑一狰=他〉0，b >0）过点（2, 3），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）2A.X- - y 2= 1 -2 2B.x — y= 1 9 32C X 2 — y - = 132 2 D.X y= 1 -3 3 2解析：选C •••实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，•b= tan 60a3. （2018温岭模拟）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,且离心率等于3, 则该双曲线的标准方程为 ______________ ;渐近线方程为 ______________ .2 解析：因为c = 3,所以e = c = 3解得a = 2,所以b 2= 5.所以双曲线的标准方程为 X a 24y5 = 1，其渐近线方程为y = ±25x.24.焦点在x 轴上，焦距为卩且与双曲线y 4-宀1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _________________ .22 2 设所求双曲线的标准方程为 y — H = — X X>0），即X— y = 1,则有4入+匸25,4 X 4 X 2 2所以所求双曲线的标准方程为令—± = 1.5 202 2x -—y - = 1520［谨记通法］求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ,b ,c 的方2 2 2 2程并求出a , b , c 的值.与双曲线字—¥= 1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 p —吉=3,即b =』3a ,T 双曲线2 2 C :予-沪1(a >0,2b >0)过点(2,3),•匸2a —3拿=1，解得a 2= 1 ,•b 2= 3,故双曲线C 的标准方程是=1.解析： 解得X= 5, 答案：⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定 c 的值.考点二 双曲线的定义 重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］2 4已知双曲线X 2— 加1的两个焦点为F l , F 2, P 为双曲线右支上一点. 若|PF i | = 4|PF 2|,则厶F 1PF 2的面积为（）A . 48B . 24C . 12D . 6解析：选B 由双曲线的定义可得1|PF i |— |PF 2|=尹2| = 2a = 2, 解得 |PF 2|= 6,故|PF 1|= 8，又 |F 1F 2|= 10,由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形, 1因此 S A PF 1F 2= Q|PF 1||PF 2|= 24.［由题悟法］应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点 （焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” •若定义中的“绝对值” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支•同时注意定义的转化应用.［即时应用］1.已知F 1, F 2为双曲线C : x 2— y 2= 2的左、右焦点，点 P 在C 上, 则 cosZ F 1PF 2=(1 A _ A .4 4 %2 2双曲线方程可化为》—=1,,|PF 1|— |PF 2|= 2\f2, m 厂 厂由'得|PF 1|= 4迈,|PF 2|= 2最，由余弦定理得cos/ F 1PF 2 =JPF 1|= 2|PF 2||PF 『+ |PF 2|2—尸讦2|2 = 32|PF 1| |PF 2| = 4.2 2|PF 1|= 2|PF 2|,Bl解析：选C.a = b = 2,c = 2.2. (2018余姚期初)已知△ ABC的顶点A, B分别为双曲线器—弋=1的左、右焦点，X.［锁定考向］双曲线的几何性质是每年高考命题的热点. 常见的命题角度有:(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程.［题点全练］角度一：求双曲线的离心率(或范围)2 21. (2016山东高考)已知双曲线 E : j —器=1(a >0, b >0)，若矩形 ABCD 的四个顶点 在E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|，贝U E 的离心率是 2b 2解析：如图，由题意知|AB|=』,|BC|= 2c.a又 2|AB| = 3|BC|,22X 也=3X 2c ,即 2b 2 = 3ac , a.2(c 2— a 2) = 3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2— 3e — 2 = 0,解得e = 2(负值舍去).答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程22. (2018乐清调研)以椭圆X + /= 1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线 方程是2 2 X2— y2= 1(a >0, b >0),则 a = . 4— 1= . 3, a bc = 2，所以 b 2= c 2— a 2= 4- 3 = 1,故所求渐近线方程为 y = ±33/ 0r顶点C 在双曲线上，则|Sin A- Sin B|的值为 sin C解析：由正弦定理知, SBCA = SACB =盔，由双曲线的定义可知，|Sin AinC in B|l|BC|—|AC|| =色=4|AB| = 10= 5.答案:45考点三双曲线的几何性质题点多变型考点多角探明解析：由题意可知所求双曲线方程可设为角度三：求双曲线方程- -3.过双曲线C: {— y «= 1（a >0, b > 0）的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相a b交于点A.若以C 的右焦点为圆心、 半径为4的圆经过A , O 两点（0为坐标原点），则双曲线2 2B.X --y -= 1 7 9- -D 各-y -= 1 1- 4解析：选A 由题意知右顶点为（a,0），不妨设其中一条渐近线方程为 y =-x ，因此可得a点A 的坐标为（a , b ）.设右焦点为 F （c,0），由已知可得 c = 4，且|AF|= 4,即（c — a ）-+ b -= 16,所以有（c — a ）-+ b -= c -,又 c -= a -+ b -,贝U c = 2a ，即 a = - = 2,所以 b -= c -— a -= 4-— 2-= 12,故双曲线- -的方程为―—± = 1.4 12［通法在握］与双曲线几何性质有关问题的解题策略（1）求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条件，将问题转化为关于 a , c 的等式（或不等 式），解方程（或不等式）即可求得.⑵求双曲线的渐近线方程•依据题设条件，求双曲线中a ,b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.（3）求双曲线的方程•依据题设条件，求出 a , b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的 方程.⑷求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长•依题设条件及 a , b , c 之间的关系求解.［演练冲关］- -1. （2018萧山六校联考）已知I 为双曲线C : x -—善=1（a >0, b >0）的一条渐近线，I 与a b 圆F : （x — c ）-+ y -= a -（其中c -= a -+ b -）相交于A , B 两点，若△ ABF 为等腰直角三角形， 则 C 的离心率为（）D.C 的方程为（）- -x y . A — — = 1 4 1 答案：y =解析：选D 由题意可设I的方程为bx+ ay= 0.已知圆F : (x — c)2 + y 2= a 2的圆心为(c,0)，半径为a ,2 2•••I 为双曲线C ：字— y2=1(a >0, b >0)的一条渐近线，I 与圆F : (x — c)2 + y 2= a 2(其中c 2= a 2+ b 2)相交于A , B 两点，△ ABF 为等腰直角三角形，二|AB|= 2a.的距离的取值范围是又(c,0)到 l 的距离 d = |b<2+ 0|2=实：b,」b+ a ca 2= 2b 2.又c 2= a 2 + b 2,. e =c =专.a 2 2 2 x2. (2018 •州调研)设双曲线 孑一 ...b 2+ JAB 1 2= a 2,将|AB|= 2a 代入上式，得 器=1(a >0, b >0)的虚轴长为 2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为解析：因为2b = 2,所以b = 1,所以双曲线的渐近线方程为因为 2c = 2 3,所以 c = 3，所以 a = \f c 2 — b 2= ,2, 令x.3. (2018杭州二中适应2 2)双曲线j — ¥= 1(a > 0, b > 0)上存在一点 P ,与坐标原点0、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则p1c ,双曲线上，所以 2c4a 2釜=1，结合 b 2= c2-a2 及 e=:, 化简得 e 4— 8e2+ 4= 0, 解得e 2= 4+ 2 .3或 e 2= 4— 2 3.因为e > 1,所以e 2= 4+ 2 3，所以 答案：目3+ 1e =叮'4+ 2 3 = 3+ 1.4. (2018安阳二模)已知焦点在2x 轴上的双曲线 X2+ —J = 1,它的焦点 8 — m 4— mF 到渐近线2 2解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线X 2— y 2= 1(a >0, b >0)，它的右焦点a b2 2 2 2 J 缨2= b.而双曲线 —+ — = 1,即 X — y: /b 2 + a 2 8 — m 4 — m 8— mm — 4线bx — ay = 0的距离为(c,0)到渐近1的焦点在答案：y =8 —m> 0,x轴上，则m—4> 0, 解得4v m v 8,它的焦点F到渐近线的距离为.m—4€ (0,2).答案：(0,2)考点四直线与双曲线的位置关系重点保分型考点师生共研［典例引领］2 2设A , B 分别为双曲线 j — ¥= 1(a >0, b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y p^x — 2与双曲线的右支交于 M , N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ，使6M + O N = t"O D ，求t 的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3,T 一条渐近线为 y = b x ，即卩bx — ay = 0.a•••由焦点到渐近线的距离为 , 得 |b© 3得—b 2+ a 2= 3.又T c 2 = a 2+ b 2,「. b 2= 3,2 2•••双曲线的方程为%—y =i.12 3(2)设 M (X 1, y i ), N(X 2, y 2), D(x o , y o ), 贝y X 1+ X 2= tX o ,浙 + y 2= ty o .厂 2 2将直线方程『=爭—2代入双曲线方程 誇—y3 = 1得 x 2— 16 3x + 84= 0,贝U x 1+ x 2= 16 3,屮+ y 2 = _33(X 1+ x 2)— 4 = 12.• t = 4，点D 的坐标为(4 3, 3).［由题悟法］直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为o 的判断.(2) 技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验.［即时应用］已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过A( — 7,5), B( — 1,— 1)两点.(1) 求双曲线C 的方程；2 2(2) 设直线I : y = x + m 交双曲线C 于M , N 两点，且线段 MN 被圆E : x + y — 12x + nX 0 = g y o = 3 ,2 2 x o — y o =1 12 3. 解得 x o = , yo = 3.=0(n € R)三等分，求实数 m , n 的值. 解：⑴设双曲线C 的方程是入2+^y= i ,依题意有所以 P(— 2m , — m).又圆心E(6,0)，依题意k p E =— 1, 故昴=7即m =-2.将m =— 2代入①得x 2— 8x + 7= 0, 解得 x 1= 1, x 2= 7,所以 |MN |= 1+ 12|x 1 — X 2|= 6 2. 故直线I 截圆E 所得弦长为3|MN |= 2 2. 又E(6,0)到直线l 的距离d = 2 2, 所以圆E 的半径R =「2：2 2+—2 2= 10,所以圆E 的方程是x 2+ y 2— 12x + 26= 0. 所以 m =— 2, n = 26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快21. (2018浙江高考)双曲线；3 —寸=1的焦点坐标是()3 A . (— 2, 0), ( 2, 0) B . (— 2,0), (2,0) C . (0, — 2), (0,2)D . (0, — 2), (0,2)2解析：选B •••双曲线方程为 专—y 2= 1,解得入=- 11= 2, 所以所求双曲线的方程是2y 2— x 2= 1.22(2)将 I : y = x + m 代入 2y — x = 1, 得 x 2+ 4mx + (2m 2— 1) = 0,①2 2 2 △= (4m) — 4(2 m — 1) = 8m + 4 > 0.设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), MN 的中点 P(x o , y o ), 则 x 1+ x 2=— 4m , x 1x 2= 2m 2— 1,所以x o =X 1+ X 22 =—2m ,y o = X o + m =— m ,答案：n 165.如图所示，已知双曲线以长方形a 2= 3,b 2= 1且双曲线的焦点在 x 轴上,c = p..；：a 2+ b 2 = \.3 + 1 = 2, •••该双曲线的焦点坐标是(一2,0), (2,0).2 2 2 22. (2018唐山期中联考)已知双曲线 C ：冷―n = l(m >0, n >0)的离心率与椭圆方+=1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为()A . 4x ±3y = 0=0.故选A.2 23. (2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C : X 2 —治=1(a > 0, b >0)的左、右焦点 分别是F i , F 2，正三角形 AF 1F 2的一边AF i 与双曲线左支交于点 B ，且AF i = 4BF 1，则双 曲线C 的离心率为()A ^2?+ 113 , d C.〒+ 1解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(— c,0), A(0, ■. 3c),设B(x ,y),T AF 1= 4BF 1 ,• (— c ,— ：：f 3c)= 4( — c — x ,— y),• x =—乎，y =亠^,代入双曲线方2 29c 3c程可得 磚—216 2= 1, • 9e 4— 28e 2 + 16= 0,二 e =：+ 1c — a32 2 4. (2018义乌质检)设F 1, F 2是双曲线X — y= 1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上,9 16 且满足 |PF 1| |PF 2|= 32,则/ F 1PF 2 =2解析：由题可得，|PF 1|— |PF 2|= 2a = 6, |F 1F 2|= 10.因为 |PF 1| |PF 2|= 32,所以 |PF 1| + |PF 2|2= (IPF 1—|PF 2|)2+ 2|PF 1||PF 2|= 100= |F 1F 2|2,所以 PF 」PF 2,所以/ 卩耐2 =才 所1 1 以 S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 32X ?= 16.B . 3x ±4y = 0C . 4x ±3y = 0 或 3x ±4y = 0D . 4x ±5y = 0 或 5x ±ly = 0解析：选A 由题意知，椭圆中 ---------- 2 a =5,b =4，•椭圆的离心率L;1—b2=,••双曲线的离心率为.r +普=3」m3 •双曲线的4x = ±^x ,即 4x ±3y；S A F 1 PF 2 = ABCD 的顶点A , B 为左、且双曲线过 C , D 两顶点.若|AB|= 4, |BC|= 3,则此双曲线的标准方程为 _______________2 2解析：设双曲线的标准方程为X 2-y 2= 1(a >0, b >0).由题意得B(2,0), C(2,3), a b2•双曲线的标准方程为X 2-y 3 = 1. 2 答案:X 2-y3 = 1两条渐近线于 A , B 两点，则|AB|=(B . 2 3 D . 4.32X 2-— 1的渐近线方程为 y = ±3x ,将x = c = 2代入3得y=±2・3，即A , B 两点的坐标分别为(2,2,3), (2,- 2 3)，所以|AB| = 4 3.2 24 = a 2+ b 2, 4 9a2-1,解得a2=1，b 2= 3,-二保咼考，全练题型做到咼考达标2 2x-+丄=1k -91•“ k v 9”是“方程 25 - k 表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A •方程22. (2018杭州调研)过双曲线x表示双曲线，••• (25 — k)(k — 9)v 0,••• k v 9或 k >解析：选D 由题意知，双曲线3. (2018杭州五中月考)已知F1, F2是双曲线X2-y2= 1(a>0, b> 0)的左、右焦点，过a b2 nA,与右支交于点B，若|AF1|= 2a，/ F1AF2=§，则S A AF1F2_ ( )S A ABF 2 —(F i的直线I与双曲线的左支交于点A. 11 1解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2| - |AF1|= 2a.因为|AF i|= 2a，所以|AF2|= 4a,又/ F i AF 2=牛所以S A AF i F2= i|AF i| |AF2| sin Z F i AF2=舟x 2a x 4a x 乎由双曲线定义可知|BF i|- |BF2|= 2a, 所以|BF i|= 2a + |BF2|, 又|BF i|= 2a+ |BA|，所以|BA|= |BF2|.因为/ BAF2=n,所以△ ABF2为等边三角形，边长为4a,x (4a)2= 4 3a 2,— S A AF 1F 2 2 3a 2 1 故 S^BF ；=4 3a 2=2・2X C： xa b4. （2018浙大附中测试）如图, F i F 2Q 中，l F i F 2|= 2c,所以F i , F 2分别是225. （2018宁波六校联考）已知点F 为双曲线E :字一診=1（a > 0, b > 0）的右焦点，直线 y = kx （k > 0）与E 交于M , N 两点，若 冗 冗IMF 丄NF ，设Z MNF = 3且氏在，£ I 则该双曲线的离心率的取值范围是 （）B . [2,3+ 1] D . [2,3+ 1]解析：选D 设左焦点为F '，令|MF |= r i , |MF ' |=帕 则|NF |=|MF ' |= r 2,由双曲线定义可知 r 2—冷=2a ①，：•点 M 与点N 关 于原点对称，且 MF 丄 NF ,••• |OM|= |ON|= |OF|= c ,「. r 2+ r 2= 4c 2②，由①②得 r i r 2= 2(c 2— a 2)= 2b 2，又知 S MNF = 2S M OF , • $1"= 2 •c 2 sin 2 3, • b 2= c 2 sin所以 S A ABF 2 =2 V法二：如图所示，双曲线 C 的一条渐近线的方程为2所以双曲线的标准方程为y —x 2= 1.4 所以 a = 2,离心率 e = C =¥.a 2 答案：— x 2= 1严4 2 7.若点P 是以A( — 3,0), B(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2+ y 2= 9的一个交点，贝U |PA|+ |PB|= ______ .解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA|— |PB|= 2 5, ① 又 |PA|2+ |PB|2= 36,②联立①②化简得 2|PA| |PB|= 16,所以(|PA|+ |PB|)2= |PA|2 + |PB|2+ 2|PA| |PB|= 52,所以 |PA|+ |PB|= 2 13. 答案：2 132 28. (2018绍兴四校联考)已知双曲线 C ： x 2— b 2= 1(a >0, b >0)的右焦点为 F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ,若2MF = FN ，则双曲线C 的离心率e = __________ ,解析：法一:由2MF = FN 知，= 2.由渐近线的对称性知/ NOF =/ MOF ，即OF为/ NOM 的角平分线，则 cos/ NOM =|OM|= JMF|=-,所以/ NOM =n，/ NOF =Z MOF|ON| |FN | 2 3=才.因为双曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，所以b = tan 才=宁，所以e =£ =二1+ ： 2 =2*33 .2戸 c 2- a 2,^ e 2= 1—1 — sin2 0,•••sin 则;‘¥]•••宀 1^『[2,(3+ 1)2],又T e > 1 ,••• e € [ 2,3 + 1],故选 D. 6. 已知双曲线的一个焦点 F(0, 5)，它的渐近线方程为y =埜x ，则该双曲线的标准方程为 _________________ ;其离心率为 ______________ .2 2解析：设双曲线的标准方程为眷一含=i (a >0, b >0), a 2= 4,由题意得Jalb = 2a 2 +b 2= 5, a = 2bbc点为F (c,0)，因此|FM| =——2^2= b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为 P ，则|FP|=|FM|= b, 1 n又因为 2MF = FN ，所以 |FN| = 2b.在 Rt △ FNP 中，sin / FNP =-，所以/ FNP =」，故在△2 6/ MON = n ，所以/ FON =n ，所以卫=申，所以双曲线C 的离心率e =3 6 a 39.已知双曲线的中心在原点， 焦点F i , F 2在坐标轴上，离心率为，2且过点(4,而), 点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程; (2) 求证：MF 1 MF 2= 0; (3) 求厶F 1MF 2的面积.解：(1) •/ e = 2,则双曲线的实轴、虚轴相等. •••可设双曲线方程为 x 2— y 2=入 •••双曲线过点(4,— 10), • 16— 10=人即入=6. ••双曲线方程为x 2— y 2= 6.(2)证明：设 M n= (— 2^3— 3,— m), M?2= (2 3— 3, — m). 二忒 MF >2= (3 + 2 3) X (3 — 2 3) + m 2=— 3 + m 2, •/ M 点在双曲线上，•- 9— m 2= 6,即卩 m 2— 3= 0, •- MF 1 MF 2= 0.⑶•/△ F 1MF 2 的底边长 |F 1F 2|= 4 3. 由(2)知 m = ± 3.••△ F 1MF 2 的高 h = |m|=S A F 1MF 2= ； X 4,3 X、.：3 = 6.2 2字一存=1(a > 0, b >0)的离心率为.3,点(3, 0)是双曲线的一个顶点.OMN 中,答案:2,3 310.已知双曲线 C :(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A, B,2 2 X y 孑一b ^= 1(a >0, b >0)的离心率为 .3,点(3，0)是双曲线的一个2 2'—y = 1, 3 6联立y=¥x -3 , 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),ntt6 27 则 X i + X 2=— 5, X i X 2=— ~.求 |AB|.顶点，c = 3， a = 3, 2X ⑵双曲线3— 解得c = 3, b = 6,「.双曲线的方程为 2 2 △—y -=i. 3 6 的右焦点为F 2(3,0),•经过双曲线右焦点 F 2且倾斜角为30 °勺直线的方程为 y=^(x - 3). 所以|AB| = /- r 4X 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 2 2 1. (2018暨阳联考)已知双曲线 C : 器=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，过点F 作双 曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足"FP -FP = 3F H T ，则双曲线的离心率为() A. 3 13 C.〒 B . 2 3 D. 13 解析：选C 不妨取渐近线方程为 b x ，则 |FH |= 一产—二 b.因为"FP = 3"if ，所 a a + b 以|FP|= 3b ,设双曲线的右焦点为 F 2,则 |F 2P|= 3b — 2a.因为 cos/ PFF 2=£, |FF 2|= 2c.所以 由余弦定理得：(3b — 2a)2= 4c 2 + 9b 2— 2X 2c X 3b x b ,化简得 2b = 3a.若取 a = 2，贝U b = 3, c c = 13.所以离心率为e = c =亠严. a 2 2. (2018浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； ⑵若直线I : y = kx + 2与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线I D 与y 轴交于M(0, m),求m 的取值范围.解: ⑴•••双曲线 得 5X 2+ 6X — 27= 0.解：(1)设双曲线 2 2 C 的方程为 02—器=1(a >0, b >0). 由已知得，a = 3, c = 2, • b 2= c 2— a 2= 1,2•••双曲线C 的方程为；-y 2= 1.2(2)设 A(X A , Y A ), B(X B ,『B ),将 y = kx + 2代入X - y = 1，得 (1 — 3k 2)x 2-6 2kx — 9 = 1 - 3" 0,2△= 36 (1 — k 尸 0,由题意知 X A + X B = J X A X B =•- Y A + Y B =叫+ 2)+ 叫+ 2) =k(x A + X B )+ 2 2 = 1 — 3^2. • AB 的中点p 的坐标为13—歩,匸3孑. 设直线I o 的方程为：y =- kx + m , k 将点P 的坐标代入直线I o 的方程，得 m = 4 j 2.1 — 3k••Vv k v 1，•— 2v 1- 3k 2v 0.3 --m v — 2\J 2.• m 的取值范围为(—a,— 2 2). 0.• k 的取值范围为 i 3, ⑶由(2)得: X A + X B =解得于＜ k v 1.。

10.2双曲线及其性质挖命题【考情探究】分析解读 1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计2020年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,8)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P是双曲线右支上一点,O为坐标原点.若|PF2|,|PO|,|PF1|成等比数列,则双曲线的离心率为()A. B.C.2D.答案 A2.(2018浙江宁波高三期末,15)已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为,若点N的坐标为(0,6),M是双曲线C左支上的一点,则△FMN周长的最小值为.答案x2-=1;6+2考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江重点中学12月联考,2)双曲线-=1的离心率是()A. B. C. D.答案 D2.(2018浙江名校协作体期初联考,2)双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 C炼技法【方法集训】方法求双曲线离心率(范围)的常用方法1.(2018浙江金华十校模拟(4月),2)双曲线-y2=1的离心率为()A. B. C. D.答案 C2.(2018浙江萧山九中12月月考,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1,l2∥PF2,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.答案 C过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一双曲线的定义和标准方程(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(2,8)考点二双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)答案 B2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1答案 A3.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.答案2;y=±x4.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2018天津文,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案 D3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B4.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案 A5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.答案2考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C.D.2答案 D2.(2018课标全国Ⅲ理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A. B.2 C. D.答案 C3.(2018课标全国Ⅰ理,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A. B.3 C.2 D.4答案 B4.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是()A. B.C. D.答案 A5.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.答案 26.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案C组教师专用题组考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅲ理, 5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C 的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 C3.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3答案 B4.(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.3答案 A5.(2014天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.答案 A考点二双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅱ理,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 A2.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF 的面积为()A. B.C. D.答案 D3.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.答案 A4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为()A. B. C. D.2答案 A6.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是()A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1答案 C7.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为()A. B.2 C. D.答案 D8.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是() A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)答案 A9.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.B.2C.6D.4答案 D10.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案 D11.(2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 A12.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B.3 C.m D.3m答案 A13.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案 A14.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3答案 B15.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a=.答案 416.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.答案 217.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=.答案 518.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案 219.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=.答案20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案21.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案22.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案-=1;y=±2x23.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y= (x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3, 故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.评析本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应用能力、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点M与点N的坐标是解决本题的前提,注意点P(x0,y0)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推理论证能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,4)双曲线9y2-4x2=1的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 C2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于它的实轴长,则该双曲线离心离e的取值范围是()A.1<e<B.1<e<C.e>D.e>答案 B3.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),2)若y=x是曲线C:-=1(a,b>0)的一条渐近线,则C的离心率为()A.3B.C.D.答案 B4.(2018浙江诸暨高三期末,8)已知双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2为其左,右焦点,若P是双曲线右支上的一点,且tan∠PF1F2=,tan∠PF2F1=2,则该双曲线的离心率为()A. B. C.D.答案 A5.(2018浙江高考模拟卷,5)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P 在双曲线上,则双曲线的离心率是()A.+1B.-1C.2D.答案 A6.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)已知双曲线右支上存在点P使得∠PAF=,PA=AF,其中A是双曲线的右顶点,F是左焦点,则双曲线的离心率为()A. B. C.2-2 D.+1答案 C7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为()A.-1B.C.D.+1答案 C8.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知F是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,以坐标原点O为圆心,|OF|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y轴右侧的两个交点记为A,B,且∠AFB=120°,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.答案 C9.(2018浙江绍兴高三适应性模拟,7)如图,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,A为虚轴的一端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B,且=t(t∈R),则该双曲线的离心率为()A.2B.C. D.答案 D10.(2018浙江诸暨高三适应性考试,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆+y2=1所得的弦长为,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案 B二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)11.(2018浙江嵊州高三期末质检,12)已知双曲线C:-=1(t>0)的其中一条渐近线经过点(1,1),则该双曲线的右顶点的坐标为,渐近线方程为.答案(,0);y=±x12.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F的直线l与双曲线的渐近线交于A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若=3,则此双曲线的离心率为.答案13.(2017浙江名校协作体联考,16)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O为坐标原点,若=λ+μ,λμ=(λ,μ∈R),则双曲线的离心率e为 .答案。

第23讲 双曲线【知识要点】平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

1、已知圆1O 和圆2O 的半径分别为2和4，且12||8O O =，若动圆M 与圆1O 内切，与圆2O 外切，则动圆圆心M 的轨迹是（ ）。

A 、圆B 、椭圆C 、双曲线的一支D 、抛物线2、已知双曲线经过点(1,22)，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为____________________。

3、（师大附中2021届月考4）（多选题）已知曲线C 的方程为221(,2,6)26x y k R k k k k+=∈≠≠--，则下列结论正确的是（ ）。

A 、当4k =时，曲线C 为圆B 、当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C 、“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线”的充分不必要条件D 、存在实数k 使得曲线C4、若双曲线221412x y -=上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是（ ）。

A 、4B 、12C 、4或12D 、65、设P 是双曲线2211620x y -=上一点，12,F F 分别是双曲线左，右两个焦点，若1||9PF =，则2||PF =（ ）。

A 、1B 、17C 、1或17D 、以上答案均不对 注：双曲线中，||PF c a ≥-6、已知12,F F 是双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=°，则12||||PF PF ⋅=（ ）。

A 、2B 、4C 、6D 、87、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（ ）。

A 、5B 、5+C 、7D 、9双曲线中焦点三角形12212tan2F PF b S F PF ∆=∠8、（2020年全国卷3）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则a =（ ）。

§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线概念方法微思考1.平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？ 提示 不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线； 当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0，0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示 离心率受到影响.∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二 教材改编2.[P61T1]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.5 C. 2 D.2答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb＝0，即bx ±ay ＝0， ∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3.[P61A 组T3]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.4.[P62A 组T6]经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.6.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C ：y 2－x 24＝1的渐近线方程为__________，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________. 答案 y ＝±x 2 x 212－y 23＝1解析 双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ；与y 2－x 24＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y 2－x 24＝m (m ≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m ＝12－424＝－3，即该双曲线的方程为y2－x 24＝－3，即x 212－y 23＝1.题型一 双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D. 圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.2.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3，0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<|AB |＝10，因此点C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， ∵2a ＝6，2c ＝10， ∴a ＝3，b ＝4，故顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0，12)；③经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7).解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. ③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 1.定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c 2＝a 2＋b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a .2.待定系数法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程. (2)常见设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)；④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)；⑤与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2).跟踪训练2 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________. 答案x 216－y 29＝1 解析 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ， 则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三 双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 答案 A解析 如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称， 则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足∠PF 2F 1＝π2，连接PF 1交y 轴于点Q ，若|QF 2|＝2c ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 3答案 C解析 设O 为坐标原点，由题意可得，PF 2⊥x 轴，OQ ∥PF 2，所以Q 为PF 1的中点，易知F 2(c ，0)，因为|QF 2|＝2c ，所以|OQ |＝c ，又|OQ |＝12|PF 2|，所以|PF 2|＝2|OQ |＝2c ，所以|PF 1|＝22c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即22c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝12－1＝2＋1.故选C.(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，A为虚轴的一个端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →＝tBF →(t ∈R )，则该双曲线的离心率为( )A.2B. 5C.1＋32D.1＋52答案 D解析 由题图知F (－c ，0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝±b ax .由已知得A ，B ，F 三点共线，且AF ⊥OB .所以点F 到渐近线OB 的距离为d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，|AF |＝c 2＋b 2，又由△BOF ∽△OAF ，得|FO |2＝|FB |·|FA |.即c 2＝b c 2＋b 2，即c 4＝b 2(c 2＋b 2)，则c 4＝(c 2－a 2)(2c 2－a 2)，整理得c 4－3a 2c 2＋a4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝3－52舍去.所以该双曲线的离心率e ＝3＋52＝6＋254＝5＋12，故选D. 思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±a b x .反之，已知渐近线方程为y ＝±ba x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (1)已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫102，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 答案 C解析 由|F 1F 2|＝2|OP |，可得|OP |＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2， 整理得(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2.又|PF 1|≥3|PF 2|，即2a ＋|PF 2|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，所以|PF 2|＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a .由e ＝c a ，且e >1，可得1<e ≤102.故选C. (2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B.4C.233 D. 3答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ， 因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ， 因为B 为双曲线左支上一点， 所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ， 由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°， 得c 2＝7a 2，则e 2＝7， 又e >1，所以e ＝7.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ， 则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32， 故选A.例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( )A.6－1B.3＋12C.6＋12D.6＋1答案 C解析 由对称性不妨设点P 在第一象限，如图，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边于G ，D ，E 三点，则|PG |＝|PE |，|GF 1|＝|DF 1|，|EF 2|＝|DF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|GF 1|－|EF 2|＝|DF 1|－|DF 2|＝2a ，设D (x 0，0)，则x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，即x 0＝a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，∴|PF 1|＝|GP |＋|GF 1|＝a 2＋|DF 1|＝a 2＋c ＋a ＝3a2＋c ，|PF 2|＝|PE |＋|EF 2|＝a 2＋|DF 2|＝a 2＋c －a ＝c －a 2，在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝(2c )2，整理得4c 2－4ac －5a 2＝0，则4e 2－4e －5＝0，解得离心率e ＝6＋12(舍负)，故选C.1.(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)答案 B解析 ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 故选B.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax . 又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，② 由①②可得a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D.5.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1――→的值为( )A.3B.2C.－3D.－2 答案 B解析 由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， 又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1――→＝|F 2P →|·|F 2F 1――→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6.已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析 由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B解析 由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2) D.(2，＋∞)答案 A解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A. 9.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________. 答案x 24－y 28＝1 y ＝±2x 解析 由2a ＝4，c a＝3，得a ＝2，c ＝23，b ＝22， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，渐近线方程为y ＝±2x .10.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________. 答案 4解析 由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形. ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.11.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________.答案 (0，2)解析 对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，求双曲线C 的离心率.解 设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称， 又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得 |PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ， 即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负).13.(2018·湖州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，∠AF 1B ＝90°，△AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为72a ，则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.5D.52答案 A解析 设内切圆的圆心M (x ，y )，圆M 分别切AF 1，BF 1，AB 于S ，T ，Q ，如图，连接MS ，MT ，MF 1，MQ ，则|F 1T |＝|F 1S |，故四边形SF 1TM 是正方形，边长为圆M 的半径.由|AS |＝|AQ |，|BT |＝|BQ |， 得|AF 1|－|AQ |＝|SF 1|＝|TF 1|＝|BF 1|－|BQ |， 又|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|， ∴Q 与F 2重合，∴|SF 1|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a ，即(x －c )2＋y 2＝4a 2，① |MF 1|＝22a ，(x ＋c )2＋y 2＝8a 2，②联立①②解得x ＝a 2c ，y 2＝4a 2－b 4c 2，又y ＝72a ，故7a 24＝4a 2－b 4c 2，得e ＝c a＝2. 14.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，求b 的值.解 方法一 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义， 得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c，sin∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c ，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得(－c 2＋2b )2c 2－4c 2b 2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2>0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.方法二 因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ， 所以cos∠F 2F 1A ＝b c. 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c ，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2， 所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)， 即b ＝1＋ 3.15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且交双曲线的右支于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1∶r 2＝3∶1，则直线l 的斜率为( ) A.±1B.±2C.±3D.±2 答案 C解析 方法一 当A 在第一象限时，如图1，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ， 则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |， 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ， ∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ， ∴|F 2P |＝c －a ， ∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点， 连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2. 连接O 1F 2，O 2F 2，又O 1F 2平分∠F 1F 2A ，O 2F 2平分∠F 1F 2B ， ∴∠O 1F 2O 2＝90°，∴Rt△O 1F 2P ∽Rt△F 2O 2P ∽Rt△O 1O 2F 2，∴|O 1F 2|2＝|O 1P |·|O 1O 2|，|O 2F 2|2＝|O 2P |·|O 1O 2|， ∴|O 1F 2|2|O 2F 2|2＝|O 1P ||O 2P |＝r 1r 2＝3， 则tan∠O 2O 1F 2＝|O 2F 2||O 1F 2|＝33，∴∠O 2O 1F 2＝30°，则∠O 1F 2P ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°， ∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3.综上，直线l 的斜率为± 3.方法二 当A 在第一象限时，如图2，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ，∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ， ∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ，∴|F 2P |＝c －a ，∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2.设⊙O 2切BF 2于点H ，连接O 1N ，O 2H ，则在直角梯形O 2HNO 1中，|O 2H |＝r 2，|O 1N |＝r 1＝3r 2，|O 1O 2|＝r 1＋r 2＝4r 2，作O 2T ⊥O 1N 于点T ，则|O 1T |＝r 1－r 2＝2r 2，故在Rt△O 1O 2T 中，∠O 2O 1T ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°，∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3.综上，直线l 的斜率为± 3.16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF 2的倾斜角为120°，△PF 1F 2的面积S ＝32(a 2＋b 2)，求双曲线C 的离心率.解 方法一 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以|PF 2|＝|y 0|sin60°＝c . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos∠PF 2F 1＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×cos60°＝3c 2，所以|PF 1|＝3c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝(3－1)c ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 方法二 设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2， 解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以x 0＝c －|y 0|tan60°＝c 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c . 由点P 在双曲线上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1， 整理得c 4－8c 2a 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e >1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.。