高中数学第2章章末小结知识整合与阶段检测(含解析)苏教版选修2_1

章末总结知识点一合情推理归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．例1在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？例2如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c 分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．知识点二 演绎推理合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．演绎推理的一般模式是“三段论”．例3 已知函数f (x )＝ax ＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．知识点三 综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．例4 已知a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.知识点四 反证法反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.例6 如图所示，已知两直线l ∩m ＝O ，l ⊂α，m ⊂α，l ⊄β，m ⊄β，α∩β＝a .求证：l 与m 中至少有一条与β相交．章末总结 答案重点解读例1 解 设n 条直线分平面为S n 部分，先实验观察特例有如下结果：n 与S n n n －1n n －1这是因为在n －1条直线后添加第n 条直线被原(n －1)条直线截得的n 段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n 部分，所以S n ＝S n －1＋n ，即S n －S n －1＝n .从而S 2－S 1＝2，S 3－S 2＝3，S 4－S 3＝4，…，S n －S n －1＝n . 将上面各式相加有S n －S 1＝2＋3＋…＋n ， ∴S n ＝S 1＋2＋3＋…＋n ＝2＋2＋3＋…＋n ＝1＋n (n ＋1)2.例2 解如图所示，在四面体P —ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间， 其形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 例3 解 f (x )的单调区间为⎝⎛⎦⎤0，a b 和⎣⎡⎭⎫a b ，＋∞，证明如下：设0<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a x 1＋bx 1－⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a x 1x 2－b . 当0<x 1<x 2≤ab时， 则x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤0，a b 上是减函数． 当x 2>x 1≥ab时， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎡⎭⎫a b ，＋∞上是增函数． 例4 证明 方法一 (综合法)⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c a －1·⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c b －1·⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以不等式成立． 方法二 (分析法)要证⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8成立， 只需证1－a a ·1－b b ·1－c c ≥8成立．因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－cc ≥8成立．即b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋bc≥8. 只需证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c ≥8成立，而2bc a ·2ac b ·2ab c≥8显然成立， 故⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8成立． 例5 证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得：(1－a )·a ·(1－b )·b ·(1－c )·c >143，①又因为0<a <1， ∴0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫a ＋1－a 22＝14，同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．例6证明假设l，m都不与β相交，∵l⊄β，m⊄β，∴l∥β且m∥β.又∵l⊂α，m⊂α，α∩β＝a，∴l∥a，m∥a，∴l∥m.这与已知l、m是相交直线矛盾．因此l和m至少有一条与β相交．。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1.椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析：由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29. 答案：11或292.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知，m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1化为标准形式y 2－x 2－1m＝1，故a 2＝1，b 2＝－1m ，所以a ＝1，b ＝－1m ，则由2－1m ＝2×2，解得m ＝－14.答案：－143.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎨⎧2b 2a ＝2a 2c c ＝1，即⎩⎨⎧2b 2a ＝2， ①b2c＝1， ②①÷②得e ＝22.答案：224.与x 2－4y 2＝1有相同的渐近线，且过M (4，3)的双曲线方程为________．解析：设方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，将M (4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x 24－y2＝1.答案：x 24－y 2＝15.已知双曲线3x 2－y 2＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x 23－y 29＝1，可知a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝3＋9＝23，e ＝c a ＝2332.答案：26.若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2，0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p2＝2，故p ＝4.答案：47.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：由题意得F (1，0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF→＝－4，解得y 0＝±2，此时点A 的横坐标为y 204＝1，故点A 的坐标为(1，±2)．答案：(1，±2)8.设P 是椭圆x 225＋y 2161上的任意一点，又点Q 的坐标为(0，－4)，则PQ 的最大值为________．解析：设P 的坐标(x ，y )，则PQ 2＝x 2＋(y ＋4)2＝25(1－y 216)＋(y ＋4)2＝－916(y －649)2＋6259(－4≤y ≤4)，当y ＝4时，PQ 2最大，此时PQ 最大，且PQ 的最大值为25×（1－4216）＋（4＋4）2＝8.答案：89.以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：由题意知圆心坐标应为(5，0)．又因为点(5，0)到渐近线y ＝±43x 的距离为4，所以圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.答案：x 2＋y 2－10x ＋9＝010.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23c ＝3，椭圆方程为x 212＋y 291或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝111.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，M (－2，0)，N (2，0)，则MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )；由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简整理得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x12.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0.于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →＝1可得322＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)13.椭圆x 24＋y 29＝1与曲线x 29－k ＋y 24－k＝1(0<k <4)的关系是________．(填正确的序号)①有相等的焦距，相同的焦点； ②有相等的焦距，不同的焦点； ③有不等的焦距，相同的焦点； ④有不等的焦距，不同的焦点．解析：椭圆x 24＋y 29＝1的焦点在y 轴上，曲线x 29－k ＋y24－k＝1(0<k <4)是椭圆，焦点在x 轴上，排除①，③；又c 2＝9－4＝(9－k )－(4－k )＝5，所以有相同的焦距．答案：②14.已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则P A ＝PB ，F 1A ＝F 1M ，F 2B ＝F 2M ，又点P 在双曲线右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，故F 1M －F 2M ＝2a ，而F 1M ＋F 2M ＝2c ，设M 点坐标为(x ，0)，则由F 1M －F 2M ＝2a 可得(x ＋c )－(c －x )＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④正确．答案：①④二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m. (1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2)若水面上升1 m ，求水面宽度．解：(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由已知条件可知，点B 的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p ×(－4)，即p ＝2. 所以，所求抛物线标准方程是x 2＝－4y .(2)若水面上升1 m ，则y ＝－3，代入x 2＝－4y ，得x 2＝－4×(－3)＝12，x ＝±23，所以这时水面宽为4 3 m.16.(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x 29＋y 24＝1，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝59a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x ＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则有p 2＝355，故p ＝655.所以抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .17.(本小题满分14分)已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5，3)，F 为右焦点，试在双曲线上求一点P ，使PM ＋12PF 最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F (6，0)，离心率e ＝2，右准线为l ：x ＝32.作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，连结FP ，则PF ＝ePN ＝2PN ⇒PN ＝12PF .此时PM ＋12PF ＝PM ＋PN ＝MN ＝5－32＝72为最小值． 在x 29－y 227＝1中，令y ＝3，x 2＝12⇒x ＝±23； 又∵x >0，∴取x ＝2 3.即当所求P 点的坐标为(23，3)时，PM ＋12PF 取最小值72.18.(本小题满分16分)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点N (－2，1)在椭圆上，线段NF 2与y 轴的交点M 满足NM →＋F 2M →＝0；(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)由已知，点N (－2，1)在椭圆上，∴有2a 2＋1b 2＝1，①又∵NM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为NF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴有a 2－b 2＝2，②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设PF 1＝m ，PF 2＝P ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，即m ＋n ＝4.①又由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22，即m 2＋n 2－mn ＝(22)2.②由①2－②，得mn ＝83，∴S △F 1PF 2＝233.19.(本小题满分16分)已知点A (0，－2)，B (0，4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证OC ⊥OD (其中O 为原点)．解：(1)由题意得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x ，4－y )＝y 2－8，化简得x 2＝2y .故动点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)证明：设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 得x 2＝2(x ＋2)，即x 2－2x －4＝0，则Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.因为y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，所以y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.所以k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y2x 1x 2＝－1.所以OC ⊥OD .20.(本小题满分16分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标；(3)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m ，0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)，又∵F (1，0)，∴k F A ＝43；MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x .解方程组⎩⎨⎧y ＝43（x －1）y －2＝－34x ，得⎩⎨⎧x ＝85y ＝45，∴点N 的坐标为(85，45．(3)由题意得，圆M 的圆心是点(0，2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－mx －m )，即为4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0，2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋（m －4）2，令d >2，解得m >1.∴当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切；当m <1时，直线AK 与圆M 相交．。

章末综合测评(一) 常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】 13．(2015·浙江高考改编)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】[1，＋∞)5．命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定．．是________． 【解析】 ∀改为∃，否定结论，即∃x ∈R ，|x|＋x 2<0.【答案】 ∃x ∈R ，|x|＋x 2<06．(2016·湛江高二检测)设命题p 和命题q ，“p 或q ”的否定是真命题，则必有________．①p 真q 真；②p 假q 假；③p 真q 假；④p 假q 真．【解析】 因为“p 或q ”的否定是真命题，所以“p 或q ”是假命题，则p 假q 假．【答案】 ②7．给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α；③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a<0.其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8．(2016·邯郸高二检测)“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b 时，可得a ＜b.所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a＞⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b ”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)10．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q)；④(非p)或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．(2016·江苏扬州中学高三模拟)已知p ：－4<x －a<4，q ：(x －2)(3－x)>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【09390017】【解析】 p ：a －4<x<a ＋4，q ：2<x<3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________．。

第2章 推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．即1－x2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S1＋S2＋…＋Snn ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”．已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列3，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________．解析：由题意知T 500＝2 004＝S1＋S2＋…＋S500500，则T 501＝3＋（S1＋3）＋（S2＋3）＋…＋（S500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 003 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→ (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x2a2＋y2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝mOA ―→＋nOB ―→可得⎩⎨⎧x＝（m－n）a，y＝（m＋n）b，代入x2a2＋y2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m2＋n22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…，A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sinπ4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x2≥3，x ＋27x3≥4，…，可推广为x ＋axn≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x＋1x≥2，x＋4x2＝x＋22x2≥3，x＋27x3＝x＋33x3≥4，…，可推广为x＋nnxn≥n＋1，故a＝n n.答案：n n13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n个图形中共有______________个顶点．解析：设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an－2＝n＋n·n，an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.答案：n2＋5n＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数 N(n，4)＝n2，五边形数 N(n，5)＝32n2－12n，六边形数 N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．解析：N(n，k)＝a k n2＋b k n(k≥3)，其中数列{a k}是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k}是以12为首项，－12。

章末检测卷(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．物体运动的方程为s＝14t4－3，则t＝5时的瞬时速度为________．答案125解析v＝s′＝t3，∴t＝5时的瞬时速度为125.2．函数y＝3x－x3的单调增区间是________．答案(－1,1)解析y′＝3－3x2>0⇒x∈(－1,1)．3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．答案 2解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.答案 2解析 点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.5．若函数y ＝a(x 3－x)的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是________．答案 a>0解析 依题意y ′＝a(3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞，∴a>0. 6.函数y ＝f(x)的图象过原点且它的导函数y ＝f ′(x)的图象是如右图所示的一条直线，则y ＝f(x)图象的顶点在第________象限．答案 一解析 显然y ＝f(x)为二次函数，设为f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则y ＝f ′(x)＝2ax ＋b.由图象知a<0，b>0.又由已知函数的图象过原点，∴c ＝0，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a ，－b 24a ， 因而y ＝f(x)的顶点在第一象限．7.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，3]解析依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3. 8．若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为________．答案4x－y－2＝0解析y′＝4x，设切点M(x0，y0)，∴k＝4x0.又∵x＋4y－8＝0的斜率k1＝－1 4，∴k＝4x0＝4，x0＝1，y0＝2x20＝2，即切点为M(1,2)，k＝4.故切线l的方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.9．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为________．(用定积分表示)答案2ʃπ40(cosx－sinx)dx 解析如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x<π4阴影部分面积。

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是________．【解析】 把抛物线方程化为标准形式得x 2＝－8y ，所以抛物线的准线方程为y ＝2. 【答案】 y ＝22．如果方程x2a2＋y2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 焦点在x 轴上，则标准方程中a 2>a ＋6，解得a >3或a <－2.又a 2>0，a ＋6>0，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－23．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于________． 【解析】 双曲线x26－y23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，得r ＝ 3.【答案】34．若F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x225＋y29＝1的共同的左、右焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________. 【导学号：09390068】【解析】 不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知⎩⎨⎧ PF1－PF2＝2a ，PF1＋PF2＝10，即⎩⎨⎧8－PF2＝2a ，8＋PF2＝10，得2a ＝6，a ＝3. 又a 2＋b 2＝16，所以b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±73x . 【答案】 y ＝±73x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．【解析】 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立错误!⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.【答案】 [－1,1] 6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为______________．【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝ba ×2.①由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a2＋b2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1. 【答案】 x24－y23＝17．设F 1，F 2为曲线C 1：x26＋y22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知，|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x26＋y22＝1，x23－y2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2. 【答案】28．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．【解析】 由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b2a ＝2c . ∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0. 又∵e >1， ∴e ＝2＋1. 【答案】2＋19．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，A B 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．【解析】 如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p2，即p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x10．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．【解析】 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.【答案】 138 11．已知椭圆方程x24＋y23＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．【解析】 因为双曲线 x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c ＝2，a ＝1，所以双曲线的离心率为2.【答案】 2 12．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB→，则点P 的轨迹C 的方程为________． 【解析】 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y ，因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1. 【答案】 x22＋y 2＝113．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________. 【解析】 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由错误!解得错误!或错误! 知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴BF ＝12－(－1)＝32.【答案】 32 14．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．【解析】 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x2a2＋x2b2＝1，即x24b2＋x2b2＝5x24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，a 2＝20，所以椭圆方程为x220＋y25＝1.【答案】 x220＋y25＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF1→·MF2→.【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ， ∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴MF1→·MF2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.16．(本小题满分14分)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为D (2，－1)，求直线l 的一般式方程. 【导学号：09390069】【解】 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：错误!－x ＝1(x ＞0)，化简得y 2＝4x (x ＞0)．即曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y21＝4x1， ①y22＝4x2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，易知l 的斜率k 存在，故(y 1＋y 2)y1－y2x1－x2＝4，即－2k ＝4，所以k ＝－2，故l 的一般式方程为2x ＋y －3＝0.17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y1－2x1－1(x 1≠1)，k PB ＝y2－2x1－1(x 2≠1)．∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得 y 21＝4x 1，① y 2＝4x 2，②∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4. ②－①，得k AB ＝y2－y1x2－x1＝4y1＋y2＝－1(x 1≠x 2)．18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． 【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝1，94a2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝14，b2＝34或错误!∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12)．图2(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 【解】 (1)由⎩⎨⎧y ＝kx －2，x2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)， 所以⎩⎨⎧ －2pk ＝－4，－2pk2－4＝－12，解得⎩⎨⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大． 设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋t ，x2＝－2y ，得x 2＋4x ＋2t ＝0， ∴Δ＝42－4×2t ＝0，∴t ＝2.此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离， d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎨⎧y ＝2x －2，x2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，AB ＝1＋k2·错误!＝错误!·错误!＝4错误!.∴△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2. 20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝t OP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由题意知，e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，即a 2＝2b 2.又因为b ＝21＋1＝1，所以a 2＝2，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由错误!得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，k 2＜12， x 1＋x 2＝8k21＋2k2，x 1x 2＝8k2－21＋2k2.∵OA →＋OB →＝t OP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x1＋x2t ＝错误!， y ＝y1＋y2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝错误!. ∵点P 在椭圆上，∴错误!＋2错误!＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|＜253，∴1＋k2|x 1－x 2|＜253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209， ∴(1＋k 2)错误!＜错误!，∴(4k2－1)(14k2＋13)＞0，∴k2＞1 4，∴14＜k2＜12.∵16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝16k21＋2k2＝8－81＋2k2，∴－2＜t＜－263或263＜t＜2，∴实数t的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝⎛⎭⎪⎫263，2.。

章末综合测评（一）(时间120分钟,满分160分)一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上)1．函数f（x)＝错误!在点(1，－2)处的切线方程为________．【解析】f′（x）＝错误!,则f′（1)＝1,故函数f（x）在点(1，－2）处的切线方程为y－(－2)＝x－1,即x－y－3＝0。

【答案】x－y－3＝02．若函数f(x）＝错误!x3－f′（1）·x2－x,则f′(1）的值为________．【解析】f′(x)＝x2－2f′（1）·x－1，则f′（1）＝12－2f′(1）·1－1,解得f′(1）＝0.【答案】03．函数f(x）＝错误!的导数为________．【解析】f′（x）＝错误!′＝错误!＝错误!＝－错误!。

【答案】－错误!4．f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6,则a＝________。

【解析】f′（x）＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x）＝0，则x＝0或x＝1.∴f(x）在（－∞,0）上递增，在（0，1)上递减，在（1,＋∞)上递增,∴f（x)极大值＝f（0)＝a，∴a＝6。

【答案】65．若a〉2，则函数f（x）＝错误!x3－ax2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．【解析】f′（x)＝x2－2ax＝x（x－2a）,令f′（x）＝0得x1＝0,x2＝2a〉4，∴x∈(0,2)时，f′（x）〈0,f（x）为减函数．∵f(0)＝1>0,f(2）＝错误!－4a〈0,∴f（0)f(2)〈0，∴f（x）在（0，2)内有且只有一个零点．【答案】16．(2016·长沙雅礼中学质检）函数f（x)＝x－ln x的单调递减区间是_______．【解析】令f′（x）＝1－错误!＝错误!≤0，得x∈(0，1]，∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1］．【答案】(0，1]7．(2016·汕头检测)曲线y＝错误!x3＋x在点错误!处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】∵y′＝x2＋1，∴曲线在点错误!处的切线斜率为k＝12＋1＝2，故曲线在点错误!处的切线方程为y－错误!＝2(x－1),∴该切线与两坐标轴的交点分别是错误!，错误!。

[对应学生用书P46]一、圆锥曲线的意义1．椭圆平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1．椭圆的标准方程和几何性质2.双曲线的标准方程和几何性质3. 抛物线的标准方程和几何性质三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离比等于常数e 的点的轨迹．当0<e <1时，表示椭圆；当e >1时，表示双曲线；当e ＝1时，表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． (2)对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别为x ＝－a 2c ，x ＝a 2c.四、曲线与方程 1．定义如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x 、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x ，y )，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x .答案：y ＝±34x2．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以所求距离为|±3×1－0|1＋3＝32.答案：323．方程x 2(a －1)2＋y 2a 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2>a 2，a ≠1，a ≠0，解之得a <12，且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，0∪(0，12)4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －P A ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝3PF 2得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α， 在△PF 1O 中，PF 21＝OF 21＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①， 在△OPF 2中，PF 22＝OF 22＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②， 由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝2a ，①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝3aa ＝ 3.答案： 36．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝2－x .∴y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x7．已知双曲C 1＝x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．解析：∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的率心率为2.∴ca ＝a 2＋b 2a ＝2，∴b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程为 3 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2.∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝⎝⎛⎭⎫y 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋p2＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.答案：129．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝33x 的距离是________．解析：∵椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点为(1,0)，∴右焦点到直线3x －3y ＝0的距离d ＝33＋9＝12. 答案：1210．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则AF ＝6.由AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝AB2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.答案：5711．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案：x 218＋y 29＝112．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________． 解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴AB ＝(1＋22)(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15. 答案：1513．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为c .由题意知∠F 1AF 2＝90°， ∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin 60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案：3－114．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆x 23＋y 22＝1的离心率e ＝53；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－18；④双曲线y 249－x 225＝－1的渐近线方程是y ＝±57x .其中所有不正确命题的序号是________． 解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝33； ④渐近线的方程为y ＝±75x .答案：①②④二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是设双曲线方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是y 24－x 221＝1，实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2， ∴x 1＋x 2＋2＝8，即2k 2＋4k 2＋2＝8.解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)， 即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．(本小题满分14分) 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·|85c －0|＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t . 由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.18．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1， 所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2，y 0＝84＋k 2－1. 所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12AB ·PD ＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 19．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2(x －1)2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，所以，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0， 故k 2>32.由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2， 可得⎝⎛⎭⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32， 解得k ＝－32或k ＝32，所以直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22.② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－32或32. 20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)． 于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． 因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得F A ＝y 1＋p 2，FB ＝y 2＋p 2， 所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2， 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由题设，7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。

M 的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．(1)C(2)x216＋y28＝1[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，∴a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，∴c ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝8， ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．1．点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2,3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．[解] 抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.【例2】 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．(1)D (2)x 2－y23＝1 [(1)由题意得⎩⎨⎧c ＝1c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得⎩⎨⎧c ＝2ca ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3，因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．2．(1)以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y C [由题意知2p ＝8，故选C .](2)焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1D ．x 2＋y 24＝1A [依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程是x 24＋y 23＝1.]【例3】 (1)如图所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 4＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．[思路探究] (1)由椭圆可求出|AF 1|＋|AF 2|，由矩形求出|AF 1|2＋|AF 2|2，再求出|AF 2|－|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率．(2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出ba，再求渐近线方程．(1)D(2)x±2y＝0[(1)由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，因此对于双曲线有a＝2，c＝3，所以C2的离心率e＝ca ＝62.(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝a2－b2a，e2＝a2＋b2a.因为e1·e2＝32，所以a4－b4a2＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫ba4＝14，所以ba＝22.故双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±22x，即x±2y＝0.]求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ，A ，B 分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO 的面积是3c 2，则这一椭圆的离心率是( )A.12 B.32 C.22D.33A [12ab ＝3c 2，即a 2(a 2－c 2)＝12c 4，所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0，所以a 2＝4c 2，a ＝2c ，故e ＝c a ＝12.]【例4】 已知椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．[思路探究] (1)利用定义解题．(2)利用勾股定理和弦长公式来解． [解] (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5， 由d <1得|m |< 52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)] ＝1524－m 2.由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：1．相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．2．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．3．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，求a 的取值范围． [解] (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， 由A (2,0)，得a ＝2，∴c ＝2，b ＝2， ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22，设椭圆方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1，联立⎩⎨⎧x 2a 2＋2y 2a 2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0，若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点，等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (0)≥0，即⎩⎨⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4，故a 的取值范围是233≤a ≤2.。

[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________． 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________． 答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________． 解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OPu u u r＝m OA u u r ＋n OB u u u r (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP u u u r ＝m OA u u r ＋n OB u u u r(m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OPu u u r ＝m OA u u r＋n OB u u u r 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14. 答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a 的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n .答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…， a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n(n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n ＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题满分14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。