函数值域的13种求法
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高中数学:求函数值域的十三种方法
一、观察法(☆
)二、配方法(☆)
三、分离常数法(☆)
四、反函数法(☆)
五、判别式法(☆)
六、换元法(☆☆☆)
七、函数有界性
八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆)十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y
f x 的取值范围。
【例1】求函数1y
x 的值域。
【解析】∵0x ,∴
11x ,∴函数1y x 的值域为[1,)。
【例2】求函数x 1
y
的值域。
【解析】∵0x
∴0x 1显然函数的值域是:),0()0,(【例3】已知函数
112x y ,2,1,0,1x ,求函数的值域。
【解析】因为2,1,0,1x ,而331f f ,02
0f f ,11f 所以:3,0,1y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ,则函数的值域为
1|y y 。
二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c 的函数的值域问题,均可使用配方法。
【例1】求函数225,[1,2]y x x x 的值域。
【解析】将函数配方得:∵
由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,
故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域,对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解:∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题,均可用配方法,而后一情况要注意)(x f 的范围;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解:将函数配方得:4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max =故函数的值域是:[4,8]评注:配方法往往需结合函数图象求值域.3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(1a ,2a 不同时为0)的函数常采用此法,就是把函数转化成关于x 的一元二次方程(二次项系数不为0时),通过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,求得原函数的值域.对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型:直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简,再用均值不等式x mx nx 1 例:y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一:用判别式 法二:用换元法,把分母替换掉x x 1(x+1)(x+1)+1 1 例:y (x+1)1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解:原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-(1)当1y ≠时,R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得:23y 21≤≤ (2)当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得:21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程:0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
求函数值域的十种常用方法函数的值域是指函数在定义域上取到的所有可能的函数值的集合。
确定函数的值域是函数分析中的一个重要内容,对于了解函数的性质和作用有着重要的意义。
下面是常用的十种方法来确定一个函数的值域:1.通过求导数:对于一个实变函数,可以通过求导数找到函数的极值点和临界点,并确定函数在这些点的函数值,然后从中选择最大值和最小值作为函数的值域的边界值。
2.分析极限:通过求函数的极限可以确定函数的趋势和发散的情况,从而可以确定函数的值域。
3.分段函数的值域:对于一个分段函数,可以分析每个分段的值域,然后将这些值域合并在一起得到整个函数的值域。
4.利用平移、伸缩和翻转:通过对函数进行平移、伸缩和翻转等运算,可以改变函数的图像和函数值的取值范围,并进一步确定函数的值域。
5.利用对称性:如果函数具有对称性,如轴对称、中心对称等,可以利用对称性来确定函数的值域。
6.利用图像分析:通过绘制函数的图像,可以直观地观察函数的取值范围。
7.利用函数的性质:对于特定的函数,可以利用函数的性质,如增减性、单调性、周期性等来确定函数的值域。
8.利用函数的定义域:函数的值域一般不能超出其定义域,因此可以通过函数的定义域来确定其值域的范围。
9.利用复合函数的值域:如果函数可以表示为其他函数的复合,可以利用复合函数的值域和定义域来确定原函数的值域。
10.利用数学工具:如利用不等式、方程以及数列等数学工具来分析函数的取值范围和值域。
当然,以上只是常用的一些方法,对于一些特殊的函数,可能需要运用其他方法和技巧来确定其值域。
准确确定函数的值域需要结合具体的函数形式和问题的要求进行分析和计算。
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法,对于一些简单的函数,可以通过观察得到其值域。
例如,对于函数y=1/x,由于x不等于0,因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如,对于函数y=3-x,由于x的取值范围为(-∞,+∞),因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法,这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如,对于函数y=x^2-2x+5,将其配方得到y=(x-1)^2+4,由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法,例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2),可以将其化为关于x的一元二次方程,然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外,还有其他的函数值域求法,如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点,应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之,确定函数的值域是研究函数的重要一环,掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程,事半功倍。
换元法是一种数学方法,可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中,函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用,也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如,对于函数 $y=x+x^{-1}$,我们可以令 $x-1=t$,则$x=t+1$。
代入原函数,得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$,根据二次函数的性质,当 $t=0$ 时,$y$ 取得最小值 $1$,当 $t$ 趋近于正无穷时,$y$ 也趋近于正无穷。
因此,函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如,对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$,我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$,然后令 $x+1=\cos\beta$,则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。
在数学中,可以用多种方法来确定函数的值域。
1.输入法:根据函数的解析式,将不同的输入带入函数中,找出函数的输出值。
例如,对于函数$f(x)=x^2$,将不同的$x$值带入函数中,得到$f(1)=1$,$f(2)=4$,$f(3)=9$,...,通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。
2. 虚拟增量法:给定函数的定义域,通过逐渐增加函数的输入值,观察函数的输出值是否有变化。
例如,对于函数$g(x) = \sqrt{x}$,可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值,观察$\sqrt{x}$的变化,直到无法再增加$x$的值为止。
通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。
3. 图像法:画出函数的图像,通过观察图像的高度范围找出函数的值域。
例如,对于函数$h(x) = \sin x$,可以画出其图像,观察图像的高度范围为$[-1, 1]$,则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。
4. 函数属性法:通过函数的性质推断出函数的值域。
例如,对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$,可以通过观察函数的分母$x$的取值范围,推断出函数的值域为除去零的实数集合。
5. 求导法:对于可导函数,可以通过求导数来确定函数的值域。
例如,对于函数$f(x) = x^3 + 1$,求导得到$f'(x) = 3x^2$,由于$f'(x)$是一个二次函数,且开口向上,因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。
6. 函数复合法:对于复合函数,可以通过将函数复合起来,找出函数的值域。
例如,对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$,可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$,其中$g(x) = \sin x$,由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$,因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。
函数值域的求法大全值域为R(注意判别式);对数函数y=logax(a>0,a≠1)的定义域为R+,值域为R;指数函数y=ax(a>0,a≠1)的定义域为R,值域为(0,+∞);三角函数y=sin x,y=cos x的值域均为[-1,1];反三角函数y=arcsin x的定义域为[-1,1],值域为[-π/2,π/2];y=arccos x的定义域为[-1,1],值域为[0,π];y=arctan x的定义域为R,值域为(-π/2,π/2)。
利用函数的单调性来求值域对于单调递增函数f(x),其值域为[f(a),f(b)];对于单调递减函数f(x),其值域为[f(b),f(a)]。
利用反函数来求值域设函数f(x)的反函数为g(x),则f(x)的值域等于g(x)的定义域,即f(x)的值域为{x|g(x)∈R}。
利用配方法来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数,可通过配方法将其化为y=a(x+p)2+q的形式,其中a>0,(p,q)为顶点坐标,此时,y的值域为[q,+∞)或(−∞,q]。
利用不等式来求值域对于形如y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)的二次函数,可通过求解不等式ax2+bx+c≥0来确定其值域。
以上是常见的求值域的方法,不同的函数类型可能需要不同的方法来求值域。
在解题过程中,要根据具体情况选择合适的方法,结合图像、单调性、反函数等性质进行分析,才能得出正确的结果。
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求函数值域是数学中常见的问题。
下面介绍两种常用的方法:单调性法和换元法。
单调性法是指利用函数的单调性来确定函数的值域。
具体来说,可以先找到函数在给定区间内的单调区间,然后比较区间两端点的函数值,从而确定函数的最大值或最小值。
当顶点横坐标是字母时,需要根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
求函数值域的十种方法一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例 1 .求函数的值域。
【解析】∵ ,∴ ,∴函数的值域为。
【练习】1 .求下列函数的值域:① ;② ;③ ;,。
【参考答案】① ;② ;③ ;。
二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题,均可使用配方法。
例 2 .求函数()的值域。
【解析】。
∵ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ 。
∴函数()的值域为。
例 3 .求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得:利用二次函数的相关知识得,从而得出:。
说明:在求解值域 ( 最值 ) 时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为:。
例 4 .若,试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点,确定一条直线,作出图象易得:, y=1 时,取最大值。
【练习】2 .求下列函数的最大值、最小值与值域:① ;② ;③ ;④ ;,;。
【参考答案】① ;② ;③ ;④ ;;三.反函数法:反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。
适用类型:分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 .求函数的值域。
分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出,从而便于求出反函数。
反解得,故函数的值域为。
【练习】1 .求函数的值域。
2 .求函数,的值域。
【参考答案】 1 .;。
四.分离变量法:适用类型 1 :分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 :求函数的值域。
解:∵ ,∵ ,∴ ,∴函数的值域为。
适用类型 2 :分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 :求函数的值域。
高中数学:求函数值域的十三种方法一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性八、函数单调性法(☆)九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y x =+的值域。
【解析】∵0x ≥,∴11x +≥, ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数x 1y =的值域。
【解析】∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ,而()()331==-f f ,()()020==f f ,()11-=f 所以:{}3,0,1-∈y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x ∈,则函数的值域为{}1|-≥y y 。
二. 配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。
【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时, 故函数的值域是:[4,8]【变式】已知,求函数的最值。
【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。
函数的最小值为,最大值为。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ,(1)求函数()g t(2)当∈t [-3,-2]时,求g(t)的最值。
求值域的方法如何求函数的值域一、配方法将函数配方成顶点式的格式,再根据函数的定义域,求得函数的值域。
二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的,将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式,进行常数分离,求得值域。
三、逆求法对于y=某x的形式,可用逆求法,表示为x=某y,此时可看y的限制范围,就是原式的值域了。
四、换元法对于函数的某一部分,较复杂或生疏,可用换元法,将函数转变成我们熟悉的形式,从而求解。
五、单调性可先求出函数的单调性(注意先求定义域),根据单调性在定义域上求出函数的值域。
六、基本不等式根据我们学过的基本不等式,可将函数转换成可运用基本不等式的形式,以此来求值域。
七、数形结合可根据函数给出的式子,画出函数的图形,在图形上找出对应点求出值域。
八、求导法求出函数的导数,观察函数的定义域,将端点值与极值比较,求出最大值与最小值,就可得到值域了。
函数的值域是什么函数经典定义中,因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
f:A→B中,值域是集合B的子集。
如:f(x)=x,那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。
常见函数值域:y=kx+b (k≠0)的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时,值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ;当a<0时,值域为(-∞,4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R。
求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题,通过求函数值域可以了解函数的取值范围,对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。
下面将介绍求函数值域的十三种方法。
一、观察法观察法是最直观的方法,通过观察函数的定义域和性质,可以初步确定函数的值域。
例如,对于一个关于实数的二次函数,如果其开口向上,则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。
二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。
例如,对于一个有理函数,可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。
三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。
通过观察图像的变化趋势,可以确定函数的值域。
例如,对于一个周期函数,可以通过绘制其一个周期内的图像,然后根据图像的波动范围确定函数的值域。
四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。
通过分析导数的增减性和极值点,可以确定函数的值域。
例如,对于一个单调递增函数,其值域为整个定义域;对于一个有界函数,其值域为一个闭区间。
五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。
通过求反函数的定义域,可以得到函数的值域。
例如,对于一个严格单调增函数,其反函数的定义域即为函数的值域。
六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。
通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界,从而确定函数的值域。
例如,对于一个无界函数,可以通过求其极限来确定函数的值域。
七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。
通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积,从而确定函数的值域。
例如,对于一个连续非负函数,可以通过求其积分来确定函数的值域。
八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。
通过分析级数的收敛性和和的性质,可以确定函数的值域。
例如,对于一个幂级数函数,可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。
九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。
通过求微分方程的解析解或数值解,可以确定函数的值域。
函数值域的常用求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解:∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞Y例2. 求函数x3y -=的值域。
解:∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解:将函数配方得:4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8]3. 判别式法例4. 求函数132222++++=x x x x y 的值域。
分析与解答:因为04321122≠+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x ,原函数变形为:()()()03222=-+-+-y x y x y (1)当2=y 时,求得3=y ,所以2≠y 。
当2≠y 时,因为R x ∈,所以一元二次方程(1)有实数根。
则:0≥∆,即:()()()3102032422≤≤⇒≥----y y y y 所以3102≤<y ,4. 分离常数法5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域。
解:由原函数式可得:1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得:1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解:令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2,10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2,10]上是增函数当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+=所求函数的值域为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
函数值域方法归纳1.常见函数的值域.(1)一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R .(2)二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭, 当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦. (3)反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. (4)指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. (5)对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R .(6)正,余弦函数的值域为[]1,1-,正切函数的值域为R .2.求函数值域(最值)的常用方法.一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数)1、求y=|x+2|+3的值域.2、求函数y =的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域)1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域.2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。
三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型)1、求函数12+=x x y 的值域. 2、求函数2241x y x +=-的值域.四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断)1、求函数2122x y x x +=++的值域.2、求函数3274222++-+=x x x x y 的值域五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用三角代换)等)1、求函数的值域①y x =+x x y 41332-+-=.2.求函数y=cos2x-sinx+3的值域。
六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域)1、求函数13y x x =-+-的值域。
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解:∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解:∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解:将函数配方得:4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知:当x=1时,4y min =,当1x -=时,8y max = 故函数的值域是:[4,8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解:原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-(1)当1y ≠时,R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得:23y 21≤≤ (2)当y=1时,0x =,而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222=++-(1) ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得:21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-,得2x 0≤≤由0≥∆,仅保证关于x 的方程:0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程(1)解得:]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时,原函数的值域为:]21,0[+注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54x 3++值域解:由原函数式可得:3y 5y 64x --=则其反函数为:3x 5y 64y --=,其定义域为:53x ≠故所求函数的值域为:33(,)(,)55-∞⋃+∞5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域 解:由原函数式可得:1y 1y e x -+=∵0e x>∴01y 1y >-+解得:1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域 解:由原函数式可得:y 3x cos x sin y =-,可化为:y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即1y y3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得:42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域解:令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2,10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2,10]上是增函数 当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域解:原函数可化为:1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=,显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =,2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值2,原函数有最大值222=显然0y >,故原函数的值域为]2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x x y -+=的值域解:令t 1x =-,)0t (≥则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知当0t =时,1y min = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域解:因0)1x (12≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= 1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0 211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域 解:原函数可变形为:222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯= 可令β=tg x ,则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y 当82k π-π=β时,41y max =当82k π+π=β时,41y min -= 而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域 解:)1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+,则)1t (21x cos x sin 2-=22)1t (211t )1t (21y +=++-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 可得:2t 22≤≤∴当2t =时,223y max +=,当22t =时,2243y += 故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。
例15. 求函数2x 54x y -++=的值域解:由0x 52≥-,可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤04544π≤π+β≤π∴当4/π=β时,104y max +=当π=β时,54y min -=故所求函数的值域为:]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域解:原函数可化简得:|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),)8(B -间的距离之和。
由上图可知,当点P 在线段AB 上时,10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时,10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为:],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域解:原函数可变形为:2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和,由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域 解:将函数变形为:2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0)的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即:|BP ||AP |y -= 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点'P ,则构成'ABP ∆,根据三角形两边之差小于第三边,有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即:26y 26<<-(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有26|AB |||BP ||AP ||==- 综上所述,可知函数的值域为:]26,26(-注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A ,B 两点在x 轴的同侧。
如:例17的A ,B 两点坐标分别为:(3,2),)1,2(--,在x 轴的同侧;例18的A ,B 两点坐标分别为(3,2),)1,2(-,在x 轴的同侧。
9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域解:原函数变形为:52x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1xcos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当x cot x tan =即当4k x π±π=时)z k (∈,等号成立 故原函数的值域为:),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域解:x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==当且仅当x sin 22x sin 22-=,即当32x sin 2=时,等号成立。
由2764y 2≤可得:938y 938≤≤- 故原函数的值域为:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,93810. 一一映射法原理:因为)0c (d cx bax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。